(共57张PPT)
4.3 一元二次不等式的应用
新课程标准解读 核心素养
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程.
了解一元二次不等式的现实意义 数学抽象
2.能够构建一元二次函数模型解决实际问题 数学建模、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段
距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事
故的一个重要因素.在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车
相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了.事后现场勘查
测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m.又知
甲、乙两种车型的刹车距离 s （m）与车速 x （km/h）之间分别有如下
关系： s甲＝0.1 x ＋0.01 x2， s乙＝0.05 x ＋0.005 x2.
【问题】 如何判断甲、乙两车是否超速？
知识点 利用一元二次不等式解决实际问题的步骤
1. 选取合适的字母表示题中的未知数.
2. 由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）.
3. 求解所列出的不等式（组）.
4. 结合题目的实际意义确定答案.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）不等式 ＞1的解集是{ x ｜ x ＜1}. （ × ）
（2）若 a ＞0，则关于 x 的不等式 ax2＋ bx ＋ c ≤0有解集的充要条
件是Δ＝ b2－4 ac ≥0. （ √ ）
（3）若关于 x 的不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞0在R上恒成立，则
（ × ）
×
√
×
2. 某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2 400元，为了
减少木材消耗，决定按销售收入的 t %征收木材税，这样每年的木
材销售量减少 t 万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收入每
年不少于900万元，则 t 的取值范围是（ ）
A. { t ｜1≤ t ≤3} B. { t ｜3≤ t ≤5}
C. { t ｜2≤ t ≤4} D. { t ｜4≤ t ≤6}
解析： 设按销售收入的 t %征收木材税时，税金收入为 y 万元，
则 y ＝2 400 × t %＝60（8 t － t2）.令 y ≥900，即60（8 t
－ t2）≥900，解得3≤ t ≤5.
3. 不等式 ≥0的解集为 .
解析：原不等式 ∴－1≤ x ＜1.
{ x ｜－1≤ x ＜1}
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 简单的分式不等式
【例1】 解下列不等式：
（1） ≥0；
解：原不等式等价于
即∴－2≤ x ＜3.
∴原不等式的解集为{ x ｜－2≤ x ＜3}.
（2） ＞1.
解：原不等式可化为 －1＞0，即 ＜0.
∴（3 x －2）（4 x －3）＜0，∴ ＜ x ＜ .
∴原不等式的解集为 .
通性通法
解分式不等式的策略
（1）对于形如 ＞0（＜0）的不等式可等价转化为 f （ x ） g
（ x ）＞0（＜0）来解决；对于形如 ≥0（≤0）的不等
式可等价转化为来解决；
（2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分
（不要去分母），使不等号右边为零，然后再用上述方法求解.
【跟踪训练】
1. 不等式 ＜0的解集为 .
解析：原不等式可化为（ x ＋1）（2 x －1）＜0，∴－1＜ x ＜ ，
故原不等式的解集为 .
2. 不等式 ≥0的解集是{ x ｜－1≤ x ＜5}，则 a 的值为 .
解析：由于原不等式等价于因此结合不等
式解集知 a ＝5.
5
题型二 不等式恒成立问题
角度1 在R上恒成立问题
【例2】 若不等式2 kx2＋ kx － ＜0对一切实数 x 都成立，则 k 的取值
范围为（ ）
A. （－3，0] B. [－3，0）
C. [－3，0] D. （－3，0）
解析： （1） k ＝0时，－ ＜0，不等式恒成立.
（2） k ≠0时，不等式恒成立应满足即－3
＜ k ＜0.由（1）（2）知－3＜ k ≤0.
【母题探究】
（变条件）若把本例条件变为“不等式2 kx2＋ kx ＋ ＞0对一切实数 x
都成立”，试求 k 的取值范围.
解：当 k ＝0时，不等式为 ＞0，显然成立；
当 k ≠0时，则有解得0＜ k ＜3.所以 k 的取
值范围为[0，3）.
通性通法
转化为一元二次不等式解集为R的情况，即
ax2＋ bx ＋ c ＞0（ a ≠0）恒成立
ax2＋ bx ＋ c ＜0（ a ≠0）恒成立
ax2＋ bx ＋ c ≥0（ a ≠0）恒成立
ax2＋ bx ＋ c ≤0（ a ≠0）恒成立
提醒 若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一
定要讨论二次项系数是否为0.
角度2 在给定范围上恒成立问题
【例3】 当1≤ x ≤2时，不等式 x2＋ mx ＋4＜0恒成立，则实数 m 的
取值范围为 .
（－∞，－5）
解析：令 y ＝ x2＋ mx ＋4，∵ y ＜0在1≤ x ≤2上恒成立，∴ y ＝0的根一个小于1，另一个大于2.如图，可得解得 m ＜－
5，∴实数 m 的取值范围是（－∞，－5）.
通性通法
在给定范围上的恒成立问题
（1）当 a ＞0时， ax2＋ bx ＋ c ＜0在 x ∈{ x ｜α≤ x ≤β}上恒成立 y
＝ ax2＋ bx ＋ c 在 x ＝α， x ＝β时的函数值同时小于0；
（2）当 a ＜0时， ax2＋ bx ＋ c ＞0在 x ∈{ x ｜α≤ x ≤β}上恒成立 y
＝ ax2＋ bx ＋ c 在 x ＝α， x ＝β时的函数值同时大于0.
【跟踪训练】
1. 命题“ x ∈{ x ｜1≤ x ≤2}， x2－ a ≤0”为真命题的一个充分不必
要条件是（ ）
A. a ≥4 B. a ≥5 C. a ≤4 D. a ≤5
解析： 因为命题“ x ∈{ x ｜1≤ x ≤2}， x2－ a ≤0”是真命
题，所以当1≤ x ≤2时， a ≥ x2恒成立，所以 a ≥4，结合选项，命
题是真命题的一个充分不必要条件是 a ≥5.
2. 若对 x ∈R不等式 x2＋ mx ＞4 x ＋ m －4恒成立，求实数 m 的
取值范围.
解：原不等式可化为 x2＋（ m －4） x ＋4－ m ＞0，
∴Δ＝（ m －4）2－4（4－ m ）＝ m2－4 m ＜0，
∴0＜ m ＜4，∴ m 的取值范围为{ m ｜0＜ m ＜4}.
题型三 一元二次不等式的实际应用
【例4】 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/
辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需
求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加
的比例为 x （0＜ x ＜1），则出厂价相应的提高比例为0.75 x ，同时预
计年销售量增加的比例为0.6 x .已知年利润＝（出厂价－投入成本）
×年销售量.
（1）写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式；
解：由题意，得 y ＝[1.2×（1＋0.75 x ）－1×（1＋ x ）]×1
000×（1＋0.6 x ）（0＜ x ＜1），整理得 y ＝－60 x2＋20 x ＋200
（0＜ x ＜1）.
解不等式组，得0＜ x ＜ ，
所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加
的比例 x 的范围为 .
（2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比
例 x 应在什么范围内？
解：要保证本年度的年利润比上年度有所增加，当且仅当
即
通性通法
解不等式应用题的步骤
【跟踪训练】
某单位在对一个长800 m、宽600 m的矩形区域进行绿化时，是这样想
的：中间为矩形草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证草坪
的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围.
解：设花坛的宽度为 x （0＜ x ＜300）m，则草坪的长为（800－2 x ）m，宽为（600－2 x ）m，
根据题意得（800－2 x ）·（600－2 x ）≥ ×800×600，
整理得 x2－700 x ＋60 000≥0，
解不等式得 x ≥600（舍去）或 x ≤100，
所以0＜ x ≤100.
当 x 在0＜ x ≤100之间取值时，草坪的面积不小于总面积的二分之一.
1. 不等式 ≥0的解集为（ ）
A. { x ｜0≤ x ≤2} B. { x ｜0＜ x ≤2}
C. { x ｜ x ＜0或 x ≥2} D. { x ｜ x ＜0或 x ＞2}
解析： 由原式得 x （ x －2）≤0且 x ≠0，解得0＜ x ≤2，故
选B.
2. 不等式 ≥1的解集是（ ）
A. { x ｜ x ＜－1或－1＜ x ≤2}
B. { x ｜－1≤ x ≤2}
C. { x ｜ x ≤2}
D. { x ｜－1＜ x ≤2}
解析： ∵ ≥1，∴ －1≥0，∴ ≥0，即 ≤0，即
（ x －2）（ x ＋1）≤0且 x ＋1≠0，解得－1＜ x ≤2.
3. 已知不等式 x2＋ ax ＋4＜0的解集为空集，则实数 a 的取值范围是
（ ）
A. [－4，4]
B. （－4，4）
C. （－∞，－4]∪[4，＋∞）
D. （－∞，－4）∪（4，＋∞）
解析： 欲使不等式 x2＋ ax ＋4＜0的解集为空集，则Δ＝ a2－
16≤0，∴－4≤ a ≤4，即实数 a 的取值范围是[－4，4].
4. 某产品的总成本 y （万元）与产量 x （台）之间的函数关系式是 y
＝3 000＋20 x －0.1 x2（0＜ x ＜240， x ∈N），若每台产品的售价
为25万元，则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产
量是 台.
150
解析： y －25 x ＝－0.1 x2－5 x ＋3 000≤0，所以 x2＋50 x －30
000≥0，解得 x ≤－200（舍去）或 x ≥150，又因为0＜ x ＜240， x
∈N，所以150≤ x ＜240， x ∈N.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 不等式 ＜ 的解集是（ ）
A. { x ｜ x ＜2} B. { x ｜ x ＞2}
C. { x ｜0＜ x ＜2} D. { x ｜ x ＜0或 x ＞2}
解析： 不等式 ＜ 等价于 － ＜0，等价于 ＜0，等价于2
x （2－ x ）＜0，解得 x ＜0或 x ＞2.故选D.
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2. 与不等式 ≥0同解的不等式是（ ）
A. （ x －3）（2－ x ）≥0 B. 0＜ x －2≤1
C. ≥0 D. （ x －3）（2－ x ）＞0
解析： 解不等式 ≥0，得2＜ x ≤3，A项，解不等式（ x －
3）（2－ x ）≥0得2≤ x ≤3，故不正确.B项，解不等式0＜ x －
2≤1得2＜ x ≤3，故正确.C项，解不等式 ≥0得2≤ x ＜3，故不
正确.D项，解不等式（ x －3）（2－ x ）＞0得2＜ x ＜3，故不正
确.故选B.
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3. 某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天
能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价
销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收
入.则这批台灯的销售单价 x （单位：元）的取值范围是（ ）
A. { x ｜10≤ x ＜16} B. { x ｜12≤ x ＜18}
C. { x ｜15＜ x ＜20} D. { x ｜10≤ x ＜20}
解析： 由题意得[30－（ x －15）×2] x ＞400，即 x2－30 x ＋
200＜0，∴10＜ x ＜20，又∵ x ＞15，∴15＜ x ＜20.故选C.
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4. 已知不等式－ x2＋4 x ≥ a2－3 a 在R上有解，则实数 a 的取值范围为
（ ）
A. { a ｜－1≤ a ≤4} B. { a ｜－1＜ a ＜4}
C. { a ｜ a ≥4或 a ≤－1} D. { a ｜－4≤ a ≤1}
解析： 由题意知，原不等式可化为－（ x －2）2＋4≥ a2－3 a 在
R上有解，∴ a2－3 a ≤4，即（ a －4）（ a ＋1）≤0，∴－1≤ a
≤4，故选A.
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5. 若函数 y ＝ x2－ ax ＋9的图象恒在 x 轴上方，则实数 a 的取值范围为
（ ）
A. a ＜6 B. －6＜ a ＜6
C. 0＜ a ≤6 D. －6≤ a ≤6
解析： 依题意 x2－ ax ＋9＞0在R上恒成立，所以Δ＜0，由Δ＝
a2－36＜0，解得－6＜ a ＜6.故选B.
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6. （多选）下列不等式中，与不等式 ＜2解集相同的是（ ）
A. （ x ＋8）（ x2＋2 x ＋3）＜2
B. x ＋8＜2（ x2＋2 x ＋3）
C. ＜
D. 2 x2＋3 x －2＞0
解析： 依题意，注意到 x2＋2 x ＋3＝（ x ＋1）2＋2≥2＞0，因
此不等式 ＜2等价于 x ＋8＜2（ x2＋2 x ＋3），化简得2 x2＋
3 x －2＞0.故选B、D.
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7. 现有含盐7%的食盐水200克，生产含盐5%以上、6%以下的食盐
水，设需要加入含盐4%的食盐水为 x 克，则 x 的取值范围是
.
解析：5%＜ ＜6%，解得 x 的取值范围是{ x ｜100＜ x ＜
400}.
{ x ｜
100＜ x ＜400}
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8. 若不等式 ＞ ax ＋ 的解集是{ x ｜4＜ x ＜ b }，则实数 a ＝ ， b
＝ .
解析：设 ＝ t （ t ＞0），则 x ＝ t2，由题意易知不等式 at2－ t ＋
＜0的解集为{ t ｜2＜ t ＜ }，所以2， 是方程 at2－ t ＋ ＝0的
两根，即解得
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9. 甲厂以 x 千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤ x
≤10），每小时可获得利润100（5 x ＋1－ ）元.要使生产该产品2
小时获得的利润不低于3 000元，则 x 的取值范围是 .
解析：要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，则2×100
≥3 000，整理得5 x －14－ ≥0，又1≤ x ≤10，所以5
x2－14 x －3≥0，解得3≤ x ≤10.故 x 的取值范围为[3，10].
[3，10]
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10. 设函数 y ＝ mx2－ mx －1.
（1）若对于一切实数 x ， y ＜0恒成立，求 m 的取值范围；
解：若 m ＝0，显然－1＜0恒成立；
若 m ≠0，则 －4＜ m ＜0.
∴ m 的取值范围为{ m ｜－4＜ m ≤0}.
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（2）对于 x ∈{ x ｜1≤ x ≤3}， y ＜－ m ＋5恒成立，求 m 的取值
范围.
解： y ＜－ m ＋5恒成立，即 m （ x2－ x ＋1）－6＜0恒成立，
∵ x2－ x ＋1＝ ＋ ＞0，∴ m ＜ .
∵函数 y ＝ ＝ 在[1，3]上的最小值为 ，
∴只需 m ＜ 即可.
∴ m 的取值范围为 .
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11. 在R上定义运算 ： x y ＝ x （1－ y ），若不等式（ x － a ）
（ x ＋ a ）＜1对任意实数 x 恒成立，则（ ）
A. －1＜ a ＜1 B. 0＜ a ＜2
C. － ＜ a ＜ D. － ＜ a ＜
解析： 根据题意，不等式（ x － a ） （ x ＋ a ）＜1可变形为
（ x － a ）（1－ x － a ）＜1，∴ x2－ x － a2＋ a ＋1＞0.要使 x2－ x
－ a2＋ a ＋1＞0恒成立，则Δ＝（－1）2－4（－ a2＋ a ＋1）＜0，
即4 a2－4 a －3＜0，∴－ ＜ a ＜ ，故选C.
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12. （多选）不等式 x2＋ bx ＋ c ≥2 x ＋ b 对任意 x ∈R恒成立，则下列
关系正确的是（ ）
A. b2－4 c ＋4≤0 B. b ≤0
C. c ≥1 D. b ＋ c ≥0
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解析： 对于A，将 x2＋ bx ＋ c ≥2 x ＋ b 整理为 x2＋（ b －
2） x ＋ c － b ≥0，因为 x2＋ bx ＋ c ≥2 x ＋ b 对任意 x ∈R恒成立，
所以Δ≤0，即（ b －2）2－4（ c － b ）≤0，整理得 b2－4 c ＋
4≤0，A正确；对于B，令 b ＝1， c ＝2，则Δ＝（1－2）2－4（2
－1）＝1－4＝－3＜0，B错误；对于C，由A知4 c ≥ b2＋4，即 c
≥ ＋1≥1，C正确；对于D， b ＋ c ≥ b ＋ ＋1＝（ ＋1）
2≥0，D正确，故选A、C、D.
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13. 若对 x ∈[－3，－1]上恒有 x2－ ax －3＜0成立，则 a 的取值范围
是 .
解析：要使 x2－ ax －3＜0在[－3，－1]上恒成立，则必使函数 y
＝ x2－ ax －3在[－3，－1]上的图象在 x 轴的下方，由于函数的图
象开口向上，此时 a 应满足：即
解得 a ＜－2.故当 a ∈（－∞，－2）时，有 x2－ ax
－3＜0在 x ∈[－3，－1]上恒成立.
（－∞，－2）
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14. 某小商品在2023年的价格为8元/件，年销量是 a 件.现经销商计划
在2024年将该商品的价格下调至5.5元/件到7.5元/件之间，经调
查，顾客的期望价格是4元/件.经测算，该商品价格下调后新增的
年销量与实际价格和顾客期望价格之差成反比，比例系数为 k .该
商品的成本价为3元/件.
（1）写出该商品价格下调后，经销商的年收益 y （单位：元）与
实际价格 x （单位：元/件）的函数关系式；
解：由题意知，该商品价格下调后为 x 元/件，则年销
量增加到 件，故经销商的年收益 y ＝ （ x
－3），5.5≤ x ≤7.5.
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（2）设 k ＝2 a ，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销
商2024年的收益比2023年至少增长20%？
解：当 k ＝2 a 时，依题意有 （ x －3）≥（8－3） a ×（1＋20%），化简得 ≥0，解得 x ≥6或4＜ x ≤5.
又5.5≤ x ≤7.5，故6≤ x ≤7.5，即当实际价格最低定为6元
/件时，仍然可以保证经销商2024年的收益比2023年至少增
长20%.
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15. 不等式 a2＋8 b2≥λ b （ a ＋ b ）对任意的 a ， b ∈R恒成立，则实
数λ的取值范围是 .
解析：以 a 为主元，即 a2－λ ba ＋（8－λ） b2≥0，要使不等式
对任意的实数 a 恒成立，只需（－λ b ）2－4（8－λ） b2≤0，即
（λ2＋4λ－32） b2≤0，从而只需λ2＋4λ－32≤0，解得－
8≤λ≤4.
{λ｜－8≤λ≤4}
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16. 已知函数 y ＝ x2－2 ax ＋ a ＋2， a ∈R.
（1）若方程 y ＝0有两个小于2的不等实根，求实数 a 的取值
范围；
解：因为方程 y ＝0，即 x2－2 ax ＋ a ＋2＝0有两个小于2的不等实根，
所以即
所以 a ＜－1，
故实数 a 的取值范围为（－∞，－1）.
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（2）若不等式 y ≥－1－ ax 对任意的 x ∈R恒成立，求实数 a 的取
值范围.
解：由 y ≥－1－ ax 可得 x2－2 ax ＋ a ＋2≥－1－ ax ，
所以 x2－ ax ＋ a ＋3≥0对任意 x ∈R恒成立，
所以Δ＝ a2－4（ a ＋3）≤0，
即 a2－4 a －12≤0，解得－2≤ a ≤6.
故实数 a 的取值范围为[－2，6].
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谢 谢 观 看！4.3 一元二次不等式的应用
1.不等式＜的解集是（ ）
A.{x｜x＜2} B.{x｜x＞2}
C.{x｜0＜x＜2} D.{x｜x＜0或x＞2}
2.与不等式≥0同解的不等式是（ ）
A.（x－3）（2－x）≥0 B.0＜x－2≤1
C.≥0 D.（x－3）（2－x）＞0
3.某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（ ）
A.{x｜10≤x＜16} B.{x｜12≤x＜18}
C.{x｜15＜x＜20} D.{x｜10≤x＜20}
4.已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围为（ ）
A.{a｜－1≤a≤4} B.{a｜－1＜a＜4}
C.{a｜a≥4或a≤－1} D.{a｜－4≤a≤1}
5.若函数y＝x2－ax＋9的图象恒在x轴上方，则实数a的取值范围为（ ）
A.a＜6 B.－6＜a＜6
C.0＜a≤6 D.－6≤a≤6
6.（多选）下列不等式中，与不等式＜2解集相同的是（ ）
A.（x＋8）（x2＋2x＋3）＜2
B.x＋8＜2（x2＋2x＋3）
C.＜
D.2x2＋3x－2＞0
7.现有含盐7%的食盐水200克，生产含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x克，则x的取值范围是 .
8.若不等式＞ax＋的解集是{x｜4＜x＜b}，则实数a＝ ，b＝ .
9.甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得利润100（5x＋1－）元.要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，则x的取值范围是 .
10.设函数y＝mx2－mx－1.
（1）若对于一切实数x，y＜0恒成立，求m的取值范围；
（2）对于x∈{x｜1≤x≤3}，y＜－m＋5恒成立，求m的取值范围.
11.在R上定义运算 ：x y＝x（1－y），若不等式（x－a） （x＋a）＜1对任意实数x恒成立，则（ ）
A.－1＜a＜1 B.0＜a＜2
C.－＜a＜ D.－＜a＜
12.（多选）不等式x2＋bx＋c≥2x＋b对任意x∈R恒成立，则下列关系正确的是（ ）
A.b2－4c＋4≤0 B.b≤0
C.c≥1 D.b＋c≥0
13.若对x∈[－3，－1]上恒有x2－ax－3＜0成立，则a的取值范围是 .
14.某小商品在2023年的价格为8元/件，年销量是a件.现经销商计划在2024年将该商品的价格下调至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格是4元/件.经测算，该商品价格下调后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格之差成反比，比例系数为k.该商品的成本价为3元/件.
（1）写出该商品价格下调后，经销商的年收益y（单位：元）与实际价格x（单位：元/件）的函数关系式；
（2）设k＝2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2024年的收益比2023年至少增长20%？
15.不等式a2＋8b2≥λb（a＋b）对任意的a，b∈R恒成立，则实数λ的取值范围是 .
16.已知函数y＝x2－2ax＋a＋2，a∈R.
（1）若方程y＝0有两个小于2的不等实根，求实数a的取值范围；
（2）若不等式y≥－1－ax对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围.
4.3 一元二次不等式的应用
1.D 不等式＜等价于－＜0，等价于＜0，等价于2x（2－x）＜0，解得x＜0或x＞2.故选D.
2.B 解不等式≥0，得2＜x≤3，A项，解不等式（x－3）（2－x）≥0得2≤x≤3，故不正确.B项，解不等式0＜x－2≤1得2＜x≤3，故正确.C项，解不等式≥0得2≤x＜3，故不正确.D项，解不等式（x－3）（2－x）＞0得2＜x＜3，故不正确.故选B.
3.C 由题意得[30－（x－15）×2]x＞400，即x2－30x＋200＜0，∴10＜x＜20，又∵x＞15，∴15＜x＜20.故选C.
4.A 由题意知，原不等式可化为－（x－2）2＋4≥a2－3a在R上有解，∴a2－3a≤4，即（a－4）（a＋1）≤0，∴－1≤a≤4，故选A.
5.B 依题意x2－ax＋9＞0在R上恒成立，所以Δ＜0，由Δ＝a2－36＜0，解得－6＜a＜6.故选B.
6.BD 依题意，注意到x2＋2x＋3＝（x＋1）2＋2≥2＞0，因此不等式＜2等价于x＋8＜2（x2＋2x＋3），化简得2x2＋3x－2＞0.故选B、D.
7.{x｜100＜x＜400} 解析：5%＜＜6%，解得x的取值范围是{x｜100＜x＜400}.
8. 36 解析：设＝t（t＞0），则x＝t2，由题意易知不等式at2－t＋＜0的解集为{t｜2＜t＜}，所以2，是方程at2－t＋＝0的两根，即解得
9.[3，10] 解析：要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，则2×100≥3 000，整理得5x－14－≥0，又1≤x≤10，所以5x2－14x－3≥0，解得3≤x≤10.故x的取值范围为[3，10].
10.解：（1）若m＝0，显然－1＜0恒成立；
若m≠0，则 －4＜m＜0.
∴m的取值范围为{m｜－4＜m≤0}.
（2）y＜－m＋5恒成立，即m（x2－x＋1）－6＜0恒成立，
∵x2－x＋1＝＋＞0，∴m＜.
∵函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，∴只需m＜即可.
∴m的取值范围为.
11.C 根据题意，不等式（x－a） （x＋a）＜1可变形为（x－a）（1－x－a）＜1，∴x2－x－a2＋a＋1＞0.要使x2－x－a2＋a＋1＞0恒成立，则Δ＝（－1）2－4（－a2＋a＋1）＜0，即4a2－4a－3＜0，∴－＜a＜，故选C.
12.ACD 对于A，将x2＋bx＋c≥2x＋b整理为x2＋（b－2）x＋c－b≥0，因为x2＋bx＋c≥2x＋b对任意x∈R恒成立，所以Δ≤0，即（b－2）2－4（c－b）≤0，整理得b2－4c＋4≤0，A正确；对于B，令b＝1，c＝2，则Δ＝（1－2）2－4（2－1）＝1－4＝－3＜0，B错误；对于C，由A知4c≥b2＋4，即c≥＋1≥1，C正确；对于D，b＋c≥b＋＋1＝（＋1）2≥0，D正确，故选A、C、D.
13.（－∞，－2） 解析：要使x2－ax－3＜0在[－3，－1]上恒成立，则必使函数y＝x2－ax－3在[－3，－1]上的图象在x轴的下方，由于函数的图象开口向上，此时a应满足：即解得a＜－2.故当a∈（－∞，－2）时，有x2－ax－3＜0在x∈[－3，－1]上恒成立.
14.解：（1）由题意知，该商品价格下调后为x元/件，则年销量增加到件，故经销商的年收益y＝·（x－3），5.5≤x≤7.5.
（2）当k＝2a时，依题意有（x－3）≥（8－3）a×（1＋20%），化简得≥0，解得x≥6或4＜x≤5.
又5.5≤x≤7.5，故6≤x≤7.5，即当实际价格最低定为6元/件时，仍然可以保证经销商2024年的收益比2023年至少增长20%.
15.{λ｜－8≤λ≤4} 解析：以a为主元，即a2－λba＋（8－λ）b2≥0，要使不等式对任意的实数a恒成立，只需（－λb）2－4（8－λ）b2≤0，即（λ2＋4λ－32）b2≤0，从而只需λ2＋4λ－32≤0，解得－8≤λ≤4.
16.解：（1）因为方程y＝0，即x2－2ax＋a＋2＝0有两个小于2的不等实根，
所以即
所以a＜－1，
故实数a的取值范围为（－∞，－1）.
（2）由y≥－1－ax可得x2－2ax＋a＋2≥－1－ax，
所以x2－ax＋a＋3≥0对任意x∈R恒成立，
所以Δ＝a2－4（a＋3）≤0，
即a2－4a－12≤0，解得－2≤a≤6.
故实数a的取值范围为[－2，6].
1 / 24.3 一元二次不等式的应用
新课程标准解读 核心素养
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程.了解一元二次不等式的现实意义 数学抽象
2.能够构建一元二次函数模型解决实际问题 数学建模、数学运算
汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事故的一个重要因素.在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离s（m）与车速x（km/h）之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.
【问题】 如何判断甲、乙两车是否超速？
知识点 利用一元二次不等式解决实际问题的步骤
1.选取合适的字母表示题中的未知数.
2.由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）.
3.求解所列出的不等式（组）.
4.结合题目的实际意义确定答案.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）不等式＞1的解集是{x｜x＜1}.（ ）
（2）若a＞0，则关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0有解集的充要条件是Δ＝b2－4ac≥0.（ ）
（3）若关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0在R上恒成立，则（ ）
2.某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2 400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是（ ）
A.{t｜1≤t≤3} B.{t｜3≤t≤5}
C.{t｜2≤t≤4} D.{t｜4≤t≤6}
3.不等式≥0的解集为 .
题型一 简单的分式不等式
【例1】 解下列不等式：
（1）≥0；（2）＞1.
尝试解答
通性通法
解分式不等式的策略
（1）对于形如＞0（＜0）的不等式可等价转化为f（x）g（x）＞0（＜0）来解决；对于形如≥0（≤0）的不等式可等价转化为来解决；
（2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分（不要去分母），使不等号右边为零，然后再用上述方法求解.
【跟踪训练】
1.不等式＜0的解集为 .
2.不等式≥0的解集是{x｜－1≤x＜5}，则a的值为 .
题型二 不等式恒成立问题
角度1 在R上恒成立问题
【例2】 若不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为（ ）
A.（－3，0] B.[－3，0）
C.[－3，0] D.（－3，0）
尝试解答
【母题探究】
（变条件）若把本例条件变为“不等式2kx2＋kx＋＞0对一切实数x都成立”，试求k的取值范围.
通性通法
转化为一元二次不等式解集为R的情况，即
ax2＋bx＋c＞0（a≠0）恒成立
ax2＋bx＋c＜0（a≠0）恒成立
ax2＋bx＋c≥0（a≠0）恒成立
ax2＋bx＋c≤0（a≠0）恒成立
提醒 若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一定要讨论二次项系数是否为0.
角度2 在给定范围上恒成立问题
【例3】 当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，则实数m的取值范围为 .
尝试解答
通性通法
在给定范围上的恒成立问题
（1）当a＞0时，ax2＋bx＋c＜0在x∈{x｜α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0；
（2）当a＜0时，ax2＋bx＋c＞0在x∈{x｜α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0.
【跟踪训练】
1.命题“ x∈{x｜1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A.a≥4 B.a≥5
C.a≤4 D.a≤5
2.若对 x∈R不等式x2＋mx＞4x＋m－4恒成立，求实数m的取值范围.
题型三 一元二次不等式的实际应用
【例4】 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润＝（出厂价－投入成本）×年销售量.
（1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
（2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？
尝试解答
通性通法
解不等式应用题的步骤
【跟踪训练】
某单位在对一个长800 m、宽600 m的矩形区域进行绿化时，是这样想的：中间为矩形草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围.
1.不等式≥0的解集为（ ）
A.{x｜0≤x≤2} B.{x｜0＜x≤2}
C.{x｜x＜0或x≥2} D.{x｜x＜0或x＞2}
2.不等式≥1的解集是（ ）
A.{x｜x＜－1或－1＜x≤2}
B.{x｜－1≤x≤2}
C.{x｜x≤2}
D.{x｜－1＜x≤2}
3.已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则实数a的取值范围是（ ）
A.[－4，4]
B.（－4，4）
C.（－∞，－4]∪[4，＋∞）
D.（－∞，－4）∪（4，＋∞）
4.某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2（0＜x＜240，x∈N），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是 台.
4.3 一元二次不等式的应用
【基础知识·重落实】
自我诊断
1.（1）× （2）√ （3）×
2.B 设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则y＝2 400×t%＝60（8t－t2）.令y≥900，即60（8t－t2）≥900，解得3≤t≤5.
3.{x｜－1≤x＜1} 解析：原不等式 ∴－1≤x＜1.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）原不等式等价于
即∴－2≤x＜3.
∴原不等式的解集为{x｜－2≤x＜3}.
（2）原不等式可化为－1＞0，即＜0.
∴（3x－2）（4x－3）＜0，∴＜x＜.
∴原不等式的解集为.
跟踪训练
1. 解析：原不等式可化为（x＋1）（2x－1）＜0，∴－1＜x＜，故原不等式的解集为.
2.5 解析：由于原不等式等价于因此结合不等式解集知a＝5.
【例2】 A （1）k＝0时，－＜0，不等式恒成立.
（2）k≠0时，不等式恒成立应满足即－3＜k＜0.由（1）（2）知－3＜k≤0.
母题探究
解：当k＝0时，不等式为＞0，显然成立；
当k≠0时，则有解得0＜k＜3.所以k的取值范围为[0，3）.
【例3】 （－∞，－5） 解析：令y＝x2＋mx＋4，∵y＜0在1≤x≤2上恒成立，∴y＝0的根一个小于1，另一个大于2.如图，可得解得m＜－5，∴实数m的取值范围是（－∞，－5）.
跟踪训练
1.B 因为命题“ x∈{x｜1≤x≤2}，x2－a≤0”是真命题，所以当1≤x≤2时，a≥x2恒成立，所以a≥4，结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是a≥5.
2.解：原不等式可化为x2＋（m－4）x＋4－m＞0，
∴Δ＝（m－4）2－4（4－m）＝m2－4m＜0，
∴0＜m＜4，∴m的取值范围为{m｜0＜m＜4}.
【例4】 解：（1）由题意，得y＝[1.2×（1＋0.75x）－1×（1＋x）]×1 000×（1＋0.6x）（0＜x＜1），整理得y＝－60x2＋20x＋200（0＜x＜1）.
（2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加，当且仅当即
解不等式组，得0＜x＜，
所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x的范围为.
跟踪训练
解：设花坛的宽度为x（0＜x＜300）m，则草坪的长为（800－2x）m，宽为（600－2x）m，
根据题意得（800－2x）·（600－2x）≥×800×600，
整理得x2－700x＋60 000≥0，
解不等式得x≥600（舍去）或x≤100，
所以0＜x≤100.
当x在0＜x≤100之间取值时，草坪的面积不小于总面积的二分之一.
随堂检测
1.B 由原式得x（x－2）≤0且x≠0，解得0＜x≤2，故选B.
2.D ∵≥1，∴－1≥0，∴≥0，即≤0，即（x－2）（x＋1）≤0且x＋1≠0，解得－1＜x≤2.
3.A 欲使不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则Δ＝a2－16≤0，∴－4≤a≤4，即实数a的取值范围是[－4，4].
4.150 解析：y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0，所以x2＋50x－30 000≥0，解得x≤－200（舍去）或x≥150，又因为0＜x＜240，x∈N，所以150≤x＜240，x∈N.
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