(共47张PPT)
培优课 不等式的综合问题
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 基本不等式的综合应用
【例1】已知实数 x ， y 满足 x ＞ y ＞0，且 x ＋ y ＝2，则 ＋ 的
最小值为（ ）
A. 3＋2
C. 3－2 D.
解析： ∵ x ＋ y ＝2， ＝ ＝1，∵ x ＞ y ＞
0，∴ x － y ＞0，∴ ＋ ＝ （ ＋ ）
＝ ［3＋ ＋ ］≥ ［3＋2 ］＝ .
当且仅当 x ＋3 y ＝ （ x － y ）时，等号成立，因此， ＋ 的
最小值为 .
通性通法
在利用基本不等式求最大（小）值时，要特别注意“拆、拼、
凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（条件要求中字母为正
数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的
条件）的条件才能应用，否则会出现错误.
【跟踪训练】
如图所示，将一矩形花坛 ABCD 扩建为一个更大的矩形花坛 AMPN ，
要求点 B 在 AM 上，点 D 在 AN 上，且对角线 MN 过点 C ，已知 AB ＝4
米， AD ＝3米，当 BM ＝ 米时，矩形花坛 AMPN 的面积最小.
4
解析：设 BM ＝ x （ x ＞0），则由 DC ∥ AM 得 ＝ ，解得 ND
＝ ，∴矩形 AMPN 的面积为 S ＝（4＋ x ）（3＋ ）＝24＋3 x ＋
≥24＋2 ＝48，当且仅当3 x ＝ ，即 x ＝4时等号成立.∴当
BM ＝4米时，矩形花坛 AMPN 的面积最小.
题型二 一元高次不等式的解法
角度1 不等式组法解一元高次不等式
【例2】 解不等式（ x ＋2）（ x2－ x －12）＞0.
解：原不等式可化为或即
或解得 x ＞4或－3＜ x ＜－2.故原不等
式的解集为{ x ｜ x ＞4或－3＜ x ＜－2}.
通性通法
将高次不等式 f （ x ）＞0（＜0）中的多项式 f （ x ）分解成若干
个不可约因式的乘积，然后利用不等式的性质将高次不等式等价转化
为一个或多个一元一次或一元二次不等式组，原不等式的解集就是各
不等式组解集的并集.
角度2 穿根引线法解一元高次不等式
【例3】 解不等式 ≤0.
解：原不等式可化为（ x2－3 x －4）（ x2－1）＜0或
即（ x －1）·（ x ＋1）2（ x －4）＜0或 x ＝4.令
（ x －1）（ x ＋1）2·（ x －4）＝0，可得 x ＝1或 x ＝4或 x ＝－1（偶次
根），结合图象可得不等式（ x －1）（ x ＋1）2（ x －4）＜0的解集
为{ x ｜1＜ x ＜4}，故原不等式的解集为{ x ｜1＜ x ≤4}.
通性通法
穿根引线法解一元高次不等式的步骤
（1）分解因式，将不等式转化为一端为0，另一端为若干个因式（一
次或二次不可约因式）的乘积的形式，并将各因式中 x 最高次数
的项的系数化为“＋”；
（2）求出相应方程的根，并在数轴上表示出来；
（3）由数轴右上方穿线，经过数轴上表示各根的点.穿线时要遵循
“奇穿偶回”的原则（即某个因式是奇数次时，就从数轴的一
侧穿到数轴的另一侧；某个因式是偶数次时，则不穿过数轴）.
简称“奇过偶不过”；
（4）若不等式（ x 最高次数的项的系数符号化为“＋”后）“＞
0”，则找“线”在数轴上方对应的 x 的取值范围；若不等式
“＜0”，则找“线”在数轴下方对应的 x 的取值范围.
【跟踪训练】
已知不等式（ ax2＋ bx ＋ c ）（ x ＋ d ）＞0的解集是{ x ｜ x ＜－3或1＜
x ＜4}.则不等式 ax3－（ b ＋ ad ） x2＋（ c ＋ bd ） x － cd ≤0的解集
为 .
{ x ｜－4≤ x ≤－1或 x ≥3}
解析：由穿根引线法可知－3，1，4为方程（ ax2＋ bx ＋ c ）·（ x ＋
d ）＝0的根，且 a ＜0.而 ax3－（ b ＋ ad ） x2＋（ c ＋ bd ） x － cd ＝
ax3－ bx2＋ cx － d （ ax2－ bx ＋ c ）＝（ ax2－ bx ＋ c ）（ x － d ）.∴原
不等式可化为（ ax2－ bx ＋ c ）（ x － d ）≤0.而（ ax2－ bx ＋ c ）（ x
－ d ）＝－[ a （－ x ）2＋ b （－ x ）＋ c ][（－ x ）＋ d ].∴（ ax2－ bx
＋ c ）（ x － d ）＝0的根与（ ax2＋ bx ＋ c ）（ x ＋ d ）＝0的根互为相
反数，所以（ ax2－ bx ＋ c ）（ x － d ）＝0的根为3，－1，－4.由图可
知，所求不等式的解集为{ x ｜－4≤ x ≤－1或 x ≥3}.
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 设 x ＞0，则3－3 x － 的最大值是（ ）
A. 3
C. －1
解析： ∵ x ＞0，∴3 x ＋ ≥2 ＝2 ，当且仅当 x
＝ 时取等号，∴－ ≤－2 ，则3－3 x － ≤3－2
，故选D.
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2. 若关于 x 的不等式 x2＋ ax ＋ b ＞0的解集是{ x ｜ x ＜－2或 x ＞3}，
则 a ＋ b ＝（ ）
A. －7 B. －6
C. －5 D. 1
解析： 依题意，关于 x 的不等式 x2＋ ax ＋ b ＞0的解集是{ x ｜ x
＜－2或 x ＞3}，所以关于 x 的方程 x2＋ ax ＋ b ＝0的根为 x ＝－2或 x
＝3，所以 所以 a ＋ b ＝－7，故选A.
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3. 设 m ＞3， P ＝ m ＋ ， Q ＝9，则 P ， Q 的大小关系为（ ）
A. P ＜ Q B. P ＝ Q C. P ≥ Q D. P ≤ Q
解析： 因为 m ＞3，所以 P ＝ m ＋ ＝ m －3＋ ＋3≥2
＋3＝9＝ Q ，当且仅当 m －3＝ ，即 m ＝6时
等号成立，故选C.
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4. 不等式 ax2＋ bx ＋2＞0的解集为{ x ｜－1＜ x ＜2}，则函数 y ＝ ax2
－ bx ＋2的图象为（ ）
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解析： 不等式 ax2＋ bx ＋2＞0的解集为{ x ｜－1＜ x ＜2}，则－
1，2是 ax2＋ bx ＋2＝0的两根且 a ＜0，则－1＋2＝－ ，－1×2＝
，故 a ＝－1， b ＝1，所以 y ＝ ax2－ bx ＋2＝－ x2－ x ＋2，则函数
y ＝ ax2－ bx ＋2的图象为开口向下，对称轴为 x ＝－ 的抛物线，只
有D选项中图象符合题意，故选D.
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5. 某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最
少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本 y （元）
与月处理量 x （吨）之间的函数关系可近似地表示为 y ＝ x2－300 x
＋80 000，为使平均处理成本最低，则该厂每月处理量应为（ ）
A. 300吨 B. 400吨
C. 500吨 D. 600吨
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解析： 由题意，月处理成本 y （元）与月处理量 x （吨）的函
数关系为 y ＝ x2－300 x ＋80 000，所以平均处理成本为 s ＝ ＝
＝ ＋ －300，其中300≤ x ≤600，又 ＋
－300≥2 －300＝400－300＝100，当且仅当 ＝ 时
等号成立，所以 x ＝400时，平均处理成本最低.故选B.
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6. 甲、乙两人解关于 x 的不等式 x2＋ bx ＋ c ＜0，甲写错了常数 b ，得
到的解集为{ x ｜－6＜ x ＜2}；乙写错了常数 c ，得到的解集为
{ x ｜－3＜ x ＜2}.那么原不等式的解集为（ ）
A. { x ｜2＜ x ＜6} B. { x ｜－4＜ x ＜3}
C. { x ｜－3＜ x ＜4} D. { x ｜－2＜ x ＜6}
解析： 由根与系数的关系得则则原
不等式为 x2＋ x －12＜0，解得－4＜ x ＜3，即原不等式的解集为
{ x ｜－4＜ x ＜3}，故选B.
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7. 若关于 x 的不等式 kx2＋2 kx － k －1＞0的解集为 ，则实数 k 的取值
范围是（ ）
解析： 当 k ＝0时，不等式化为－1＞0，此时不等式无解，满足
题意；当 k ≠0时，要满足题意，只需
解得－ ≤ k ＜0，综上，实数 k 的
取值范围为［－ ，0］，故选C.
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8. 设 x ＞0， y ＞0，不等式 ＋ ＋ ≥0恒成立，则实数 m 的最小
值是（ ）
A. －2 B. 2
C. 1 D. －4
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解析： ∵ x ＞0， y ＞0，不等式 ＋ ＋ ≥0恒成立，即 m
≥－（ ＋ ）（ x ＋ y ）恒成立，∴只需 m ≥［－（ ＋ ）（ x ＋
y ）］max，∵（ ＋ ）（ x ＋ y ）＝2＋ ＋ ≥2＋2 ＝4，当
且仅当 x ＝ y 时取等号.∴－（ ＋ ）（ x ＋ y ）≤－4，∴ m ≥－
4，∴ m 的最小值为－4，故选D.
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9. （多选）下列推理正确的是（ ）
A. 若 a ＞ b ，则 a2＞ b2
B. 若 a2－ b2＝1，且 a ， b 为正实数，则 a － b ＜1
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解析： A选项，不妨设 a ＝0， b ＝－1，满足 a ＞ b ，但 a2＜
b2，A错误；B选项，因 a ， b 为正实数，且 a2－ b2＝（ a ＋ b ）（ a
－ b ）＝1，则 a － b ＞0，即 a ＞ b ＞0，由于 a ＋ b ＞ a － b ，则 a ＋
b ＞1＞ a － b ＞0，所以 a － b ＜1，B正确；C选项，因为 a ＜ b ＜
0，所以 ab ＞0，不等式两边同除以 ab 得： ＞ ，C正确；D选
项，因为 a ， b ∈R，故当 a ＝0或 b ＝0时， ＋ 无意义，D错误，
故选B、C.
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10. （多选）不等式－ x2－ x ＋6≥0成立的充分不必要条件可以是
（ ）
A. 0≤ x ≤2 B. x ≥－3
C. x ∈{1，2} D. －3≤ x ≤2
解析： 由题意知，－ x2－ x ＋6≥0 －3≤ x ≤2，所以0≤ x
≤2， x ∈{1，2}是－3≤ x ≤2的充分不必要条件，故选A、C.
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11. （多选）若关于 x 的一元二次方程（ x －2）（ x －3）＝ m 有实数
根 x1， x2，且 x1＜ x2，则下列结论正确的是（ ）
A. 当 m ＝0时， x1＝2， x2＝3
C. 当 m ＞0时，2＜ x1＜ x2＜3
D. 当 m ＞0时， x1＜2＜3＜ x2
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解析： 对于A， m ＝0时，方程为（ x －2）（ x －3）＝0，
解得 x1＝2， x2＝3，所以A正确.对于B，将方程整理可得 x2－5 x
＋6－ m ＝0，由于方程有两个不同的实数根，所以Δ＝25－4（6
－ m ）＞0，解得 m ＞－ ，所以B正确.对于C和D，当 m ＞0时，
根据根与系数的关系可得 x1＋ x2＝5， x1 x2＝6－ m ＜6，结合2＋3
＝5，2×3＝6即可得出 x1＜2， x2＞3，故选项C不符合题意，选项
D符合题意.
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12. （多选）若 m ＞0， n ＞0，且3 m ＋ n ＝1，下列结论正确的是
（ ）
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解析： 选项A，因为 m ＞0， n ＞0，3 m ＋ n ＝1≥2
，所以 mn ≤ ，当且仅当3 m ＝ n ＝ ，即 m ＝ ， n ＝ 时
等号成立，故选项A正确；选项B，因为3 m ＋ n ＝1，所以 ＋
＝ ＋ ＝3＋ ＋ ≥3＋2 ＝5，当且仅当 m ＝ n ，即
m ＝ ， n ＝ 时等号成立，故选项B不正确；
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选项C， ＋ ＝ （ ＋ ）[（3 m ＋3）＋（ n ＋2）]＝
［3＋2＋ ＋ ］≥ （5＋2 ）
＝ （5＋2 ），当且仅当 ＝ 且3 m ＋ n ＝1，即
m ＝5－2 ， n ＝6 －14时等号成立，故选项C正确；选项D，9 m2
＋ n2≥ （3 m ＋ n ）2＝ ，当且仅当3 m ＝ n ＝ ，即 m ＝ ， n ＝ 时
等号成立，故选项D正确.故选A、C、D.
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13. 已知 x ＞0，则2－ x － 的最大值是 .
解析：∵ x ＞0，∴2－ x － ＝2－（ x ＋ ）≤2－2 ＝－2，
当且仅当 x ＝2时等号成立，∴2－ x － 的最大值是－2.
－2
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14. 写出一个同时具有下列四个性质中的三个性质的二次函数： f
（ x ）＝ .
① f （ x ）的最小值为－1；② f （ x ）的一次项系数为－4；③ f
（0）＝3；④ f （ x ）的对称轴为直线 x ＝1.
x2－4 x ＋3（2 x2－4 x ＋1或4 x2－8 x ＋3或2 x2－4 x ＋ 3）
解析：第一种情况： f （ x ）具有①②③三个性质，由②③可设 f
（ x ）＝ ax2－4 x ＋3（ a ≠0），则根据①可得： ＝－1，解
得 a ＝1，所以 f （ x ）＝ x2－4 x ＋3.
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第二种情况： f （ x ）具有①②④三个性质，由①④可设 f （ x ）＝ a （ x －1）2－1（ a ＞0），则根据②可得：－2 a ＝－4，解得 a ＝2，所以 f （ x ）＝2（ x －1）2－1＝2 x2－4 x ＋1.第三种情况： f （ x ）具有①③④三个性质，由①④可设 f （ x ）＝ a （ x －1）2－1（ a ＞0），则根据③可得： f （0）＝ a －1＝3，解得： a ＝4，所以 f （ x ）＝4（ x －1）2－1＝4 x2－8 x ＋3.第四种情况： f （ x ）具有②③④三个性质，由②③可设 f （ x ）＝ ax2－4 x ＋3（ a ≠0），则根据④可得：－ ＝1，解得 a ＝2，所以 f （ x ）＝2 x2－4 x ＋3.
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15. 不等式 ≥1的解集为 { x ｜－2≤ x ＜－1或 ≤ x ＜3} .
解析：原不等式可化为 ≤0，即 ≤0，
则如图所示，则不等式的
解集为{ x ｜－2≤ x ＜－1或 ≤ x ＜3}.
{ x ｜－2≤ x ＜－1或 ≤ x ＜3}
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16. 如图，已知在一个半径为 r 的半圆形铁板中，截取一块矩形
ABCD ，使得矩形的顶点 A ， B 在半圆的直径上， C ， D 在半圆弧
上，若矩形 ABCD 的面积最大时，其最大值是 .
r2
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解析：设 BC ＝ x ， x ∈（0， r ），连接 OC ，得 OB ＝ ，
所以 AB ＝2 ，所以矩形 ABCD 面积 S ＝2 x ＝2
≤ x2＋ r2－ x2＝ r2.当且仅当 x2＝ r2－ x2，即 x ＝
r 时取等号，此时 Smax＝ r2.
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17. （1）设2＜ a ＜7，1＜ b ＜2，求 a ＋3 b ，2 a － b ， 的范围；
解：∵2＜ a ＜7，1＜ b ＜2，
∴4＜2 a ＜14，3＜3 b ＜6，－2＜－ b ＜－1， ＜ ＜1，
∴5＜ a ＋3 b ＜13，2＜2 a － b ＜13，1＜ ＜7.
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（2）已知 a ＋ b ＋ c ＝1，求证： ab ＋ bc ＋ ca ≤ .
解：证明：由 a ＋ b ＋ c ＝1，两边平方得 a2＋ b2＋
c2＋2 ab ＋2 bc ＋2 ac ＝1，
根据基本不等式有 a2＋ b2≥2 ab ， b2＋ c2≥2 bc ， a2＋ c2≥2 ac ，
当且仅当 a ＝ b ＝ c ＝ 时等号成立，
将上述3个不等式相加得2（ a2＋ b2＋ c2）≥2 ab ＋2 bc ＋2 ac ，
即 a2＋ b2＋ c2≥ ab ＋ bc ＋ ac ，
所以1＝ a2＋ b2＋ c2＋2 ab ＋2 bc ＋2 ac ≥3 ab ＋3 bc ＋3 ac ，
整理得 ab ＋ bc ＋ ca ≤ ，当且仅当 a ＝ b ＝ c ＝ 时等号成立.
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18. 已知函数 y ＝ ax2－（2 a ＋3） x ＋6（ a ∈R）.
（1）若 y ＋2＞0恒成立，求实数 a 的取值范围；
解：若 y ＋2＞0恒成立，则 y ＋2＞0 ax2－（2 a ＋3）
x ＋8＞0恒成立.
当 a ＝0时， ax2－（2 a ＋3） x ＋8＝－3 x ＋8＞0不恒成立；
当 a ≠0时，解得 ＜ a ＜ .
故实数 a 的取值范围为（ ， ）.
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（2）当 a ＝1时，函数 y ≤－（ m ＋5） x ＋3＋ m 在[－2，2]有
解，求 m2＋3的取值范围.
解：当 a ＝1时， y ≤－（ m ＋5） x ＋3＋ m 在[－2，2]有解，
即 x2＋ mx ＋3－ m ≤0在[－2，2]有解，
因为 y ＝ x2＋ mx ＋3－ m 的图象开口向上，对称轴 x ＝－ ，
①－ ≤－2即 m ≥4， x ＝－2时，函数取得最小值，此时4
－2 m ＋3－ m ≤0，
即 m ≥ ，∴ m ≥4.
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②－2＜－ ＜2即－4＜ m ＜4时，当 x ＝－ 取得最小值，
此时－ ＋3－ m ≤0，解得2≤ m ＜4.
③当－ ≥2即 m ≤－4时，当 x ＝2时取得最小值，此时4＋
2 m ＋3－ m ≤0，
解得 m ≤－7，综上， m ≥2或 m ≤－7，所以 m2＋3的范围
为[7，＋∞）.
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1.设x＞0，则3－3x－的最大值是（ ）
A.3 B.3－2
C.－1 D.3－2
2.若关于x的不等式x2＋ax＋b＞0的解集是{x｜x＜－2或x＞3}，则a＋b＝（ ）
A.－7 B.－6
C.－5 D.1
3.设m＞3，P＝m＋，Q＝9，则P，Q的大小关系为（ ）
A.P＜Q B.P＝Q
C.P≥Q D.P≤Q
4.不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x｜－1＜x＜2}，则函数y＝ax2－bx＋2的图象为（ ）
5.某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－300x＋80 000，为使平均处理成本最低，则该厂每月处理量应为（ ）
A.300吨 B.400吨
C.500吨 D.600吨
6.甲、乙两人解关于x的不等式x2＋bx＋c＜0，甲写错了常数b，得到的解集为{x｜－6＜x＜2}；乙写错了常数c，得到的解集为{x｜－3＜x＜2}.那么原不等式的解集为（ ）
A.{x｜2＜x＜6} B.{x｜－4＜x＜3}
C.{x｜－3＜x＜4} D.{x｜－2＜x＜6}
7.若关于x的不等式kx2＋2kx－k－1＞0的解集为 ，则实数k的取值范围是（ ）
A.（－，0） B.［－，0）
C.［－，0］ D.（－，0］
8.设x＞0，y＞0，不等式＋＋≥0恒成立，则实数m的最小值是（ ）
A.－2 B.2
C.1 D.－4
9.（多选）下列推理正确的是（ ）
A.若a＞b，则a2＞b2
B.若a2－b2＝1，且a，b为正实数，则a－b＜1
C.若a＜b＜0，则＞
D.若a，b∈R，则＋≥2
10.（多选）不等式－x2－x＋6≥0成立的充分不必要条件可以是（ ）
A.0≤x≤2 B.x≥－3
C.x∈{1，2} D.－3≤x≤2
11.（多选）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）＝m有实数根x1，x2，且x1＜x2，则下列结论正确的是（ ）
A.当m＝0时，x1＝2，x2＝3
B.m＞－
C.当m＞0时，2＜x1＜x2＜3
D.当m＞0时，x1＜2＜3＜x2
12.（多选）若m＞0，n＞0，且3m＋n＝1，下列结论正确的是（ ）
A.mn的最大值为
B.＋的最小值为6
C.＋的最小值为（5＋2）
D.9m2＋n2的最小值为
13.已知x＞0，则2－x－的最大值是 .
14.写出一个同时具有下列四个性质中的三个性质的二次函数：f（x）＝ .
①f（x）的最小值为－1；②f（x）的一次项系数为－4；③f（0）＝3；④f（x）的对称轴为直线x＝1.
15.不等式≥1的解集为 .
16.如图，已知在一个半径为r的半圆形铁板中，截取一块矩形ABCD，使得矩形的顶点A，B在半圆的直径上，C，D在半圆弧上，若矩形ABCD的面积最大时，其最大值是 .
17.（1）设2＜a＜7，1＜b＜2，求a＋3b，2a－b，的范围；
（2）已知a＋b＋c＝1，求证：ab＋bc＋ca≤.
18.已知函数y＝ax2－（2a＋3）x＋6（a∈R）.
（1）若y＋2＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当a＝1时，函数y≤－（m＋5）x＋3＋m在[－2，2]有解，求m2＋3的取值范围.
培优课 不等式的综合问题
1.D ∵x＞0，∴3x＋≥2＝2，当且仅当x＝时取等号，∴－≤－2，则3－3x－≤3－2，故选D.
2.A 依题意，关于x的不等式x2＋ax＋b＞0的解集是{x｜x＜－2或x＞3}，所以关于x的方程x2＋ax＋b＝0的根为x＝－2或x＝3，所以 所以a＋b＝－7，故选A.
3.C 因为m＞3，所以P＝m＋＝m－3＋＋3≥2＋3＝9＝Q，当且仅当m－3＝，即m＝6时等号成立，故选C.
4.D 不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x｜－1＜x＜2}，则－1，2是ax2＋bx＋2＝0的两根且a＜0，则－1＋2＝－，－1×2＝，故a＝－1，b＝1，所以y＝ax2－bx＋2＝－x2－x＋2，则函数y＝ax2－bx＋2的图象为开口向下，对称轴为x＝－的抛物线，只有D选项中图象符合题意，故选D.
5.B 由题意，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）的函数关系为y＝x2－300x＋80 000，所以平均处理成本为s＝＝＝＋－300，其中300≤x≤600，又＋－300≥2－300＝400－300＝100，当且仅当＝时等号成立，所以x＝400时，平均处理成本最低.故选B.
6.B 由根与系数的关系得则则原不等式为x2＋x－12＜0，解得－4＜x＜3，即原不等式的解集为{x｜－4＜x＜3}，故选B.
7.C 当k＝0时，不等式化为－1＞0，此时不等式无解，满足题意；当k≠0时，要满足题意，只需解得－≤k＜0，综上，实数k的取值范围为［－，0］，故选C.
8.D ∵x＞0，y＞0，不等式＋＋≥0恒成立，即m≥－（＋）（x＋y）恒成立，∴只需m≥［－（＋）（x＋y）］max，∵（＋）（x＋y）＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝y时取等号.∴－（＋）（x＋y）≤－4，∴m≥－4，∴m的最小值为－4，故选D.
9.BC A选项，不妨设a＝0，b＝－1，满足a＞b，但a2＜b2，A错误；B选项，因a，b为正实数，且a2－b2＝（a＋b）（a－b）＝1，则a－b＞0，即a＞b＞0，由于a＋b＞a－b，则a＋b＞1＞a－b＞0，所以a－b＜1，B正确；C选项，因为a＜b＜0，所以ab＞0，不等式两边同除以ab得：＞，C正确；D选项，因为a，b∈R，故当a＝0或b＝0时，＋无意义，D错误，故选B、C.
10.AC 由题意知，－x2－x＋6≥0 －3≤x≤2，所以0≤x≤2，x∈{1，2}是－3≤x≤2的充分不必要条件，故选A、C.
11.ABD 对于A，m＝0时，方程为（x－2）（x－3）＝0，解得x1＝2，x2＝3，所以A正确.对于B，将方程整理可得x2－5x＋6－m＝0，由于方程有两个不同的实数根，所以Δ＝25－4（6－m）＞0，解得m＞－，所以B正确.对于C和D，当m＞0时，根据根与系数的关系可得x1＋x2＝5，x1x2＝6－m＜6，结合2＋3＝5，2×3＝6即可得出x1＜2，x2＞3，故选项C不符合题意，选项D符合题意.
12.ACD 选项A，因为m＞0，n＞0，3m＋n＝1≥2，所以mn≤，当且仅当3m＝n＝，即m＝，n＝时等号成立，故选项A正确；选项B，因为3m＋n＝1，所以＋＝＋＝3＋＋≥3＋2＝5，当且仅当m＝n，即m＝，n＝时等号成立，故选项B不正确；选项C，＋＝（＋）[（3m＋3）＋（n＋2）]＝［3＋2＋＋］≥（5＋2）＝（5＋2），当且仅当＝且3m＋n＝1，即m＝5－2，n＝6－14时等号成立，故选项C正确；选项D，9m2＋n2≥（3m＋n）2＝，当且仅当3m＝n＝，即m＝，n＝时等号成立，故选项D正确.故选A、C、D.
13.－2 解析：∵x＞0，∴2－x－＝2－（x＋）≤2－2＝－2，当且仅当x＝2时等号成立，∴2－x－的最大值是－2.
14.x2－4x＋3（2x2－4x＋1或4x2－8x＋3或2x2－4x＋3）
解析：第一种情况：f（x）具有①②③三个性质，由②③可设f（x）＝ax2－4x＋3（a≠0），则根据①可得：＝－1，解得a＝1，所以f（x）＝x2－4x＋3.第二种情况：f（x）具有①②④三个性质，由①④可设f（x）＝a（x－1）2－1（a＞0），则根据②可得：－2a＝－4，解得a＝2，所以f（x）＝2（x－1）2－1＝2x2－4x＋1.第三种情况：f（x）具有①③④三个性质，由①④可设f（x）＝a（x－1）2－1（a＞0），则根据③可得：f（0）＝a－1＝3，解得：a＝4，所以f（x）＝4（x－1）2－1＝4x2－8x＋3.第四种情况：f（x）具有②③④三个性质，由②③可设f（x）＝ax2－4x＋3（a≠0），则根据④可得：－＝1，解得a＝2，所以f（x）＝2x2－4x＋3.
15.{x｜－2≤x＜－1或≤x＜3} 解析：原不等式可化为≤0，即≤0，
则如图所示，则不等式的解集为{x｜－2≤x＜－1或≤x＜3}.
16.r2 解析：设BC＝x，x∈（0，r），连接OC，得OB＝，所以AB＝2，所以矩形ABCD面积S＝2x＝2≤x2＋r2－x2＝r2.当且仅当x2＝r2－x2，即x＝r时取等号，此时Smax＝r2.
17.解：（1）∵2＜a＜7，1＜b＜2，
∴4＜2a＜14，3＜3b＜6，－2＜－b＜－1，＜＜1，∴5＜a＋3b＜13，2＜2a－b＜13，1＜＜7.
（2）证明：由a＋b＋c＝1，两边平方得a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝1，
根据基本不等式有a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，
当且仅当a＝b＝c＝时等号成立，
将上述3个不等式相加得2（a2＋b2＋c2）≥2ab＋2bc＋2ac，
即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，
所以1＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac≥3ab＋3bc＋3ac，
整理得ab＋bc＋ca≤，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立.
18.解：（1）若y＋2＞0恒成立，则y＋2＞0 ax2－（2a＋3）x＋8＞0恒成立.
当a＝0时，ax2－（2a＋3）x＋8＝－3x＋8＞0不恒成立；
当a≠0时，解得＜a＜.
故实数a的取值范围为（，）.
（2）当a＝1时，y≤－（m＋5）x＋3＋m在[－2，2]有解，
即x2＋mx＋3－m≤0在[－2，2]有解，
因为y＝x2＋mx＋3－m的图象开口向上，对称轴x＝－，
①－≤－2即m≥4，x＝－2时，函数取得最小值，此时4－2m＋3－m≤0，
即m≥，∴m≥4.
②－2＜－＜2即－4＜m＜4时，当x＝－取得最小值，
此时－＋3－m≤0，解得2≤m＜4.
③当－≥2即m≤－4时，当x＝2时取得最小值，此时4＋2m＋3－m≤0，
解得m≤－7，综上，m≥2或m≤－7，所以m2＋3的范围为[7，＋∞）.
2 / 2培优课 不等式的综合问题
题型一 基本不等式的综合应用
【例1】 已知实数x，y满足x＞y＞0，且x＋y＝2，则＋的最小值为（ ）
A.3＋2 B.
C.3－2 D.
尝试解答
通性通法
在利用基本不等式求最大（小）值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.
【跟踪训练】
如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建为一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝4米，AD＝3米，当BM＝ 米时，矩形花坛AMPN的面积最小.
题型二 一元高次不等式的解法
角度1 不等式组法解一元高次不等式
【例2】 解不等式（x＋2）（x2－x－12）＞0.
尝试解答
通性通法
将高次不等式f（x）＞0（＜0）中的多项式f（x）分解成若干个不可约因式的乘积，然后利用不等式的性质将高次不等式等价转化为一个或多个一元一次或一元二次不等式组，原不等式的解集就是各不等式组解集的并集.
角度2 穿根引线法解一元高次不等式
【例3】 解不等式≤0.
尝试解答
通性通法
穿根引线法解一元高次不等式的步骤
（1）分解因式，将不等式转化为一端为0，另一端为若干个因式（一次或二次不可约因式）的乘积的形式，并将各因式中x最高次数的项的系数化为“＋”；
（2）求出相应方程的根，并在数轴上表示出来；
（3）由数轴右上方穿线，经过数轴上表示各根的点.穿线时要遵循“奇穿偶回”的原则（即某个因式是奇数次时，就从数轴的一侧穿到数轴的另一侧；某个因式是偶数次时，则不穿过数轴）.简称“奇过偶不过”；
（4）若不等式（x最高次数的项的系数符号化为“＋”后）“＞0”，则找“线”在数轴上方对应的x的取值范围；若不等式“＜0”，则找“线”在数轴下方对应的x的取值范围.
【跟踪训练】
已知不等式（ax2＋bx＋c）（x＋d）＞0的解集是{x｜x＜－3或1＜x＜4}.则不等式ax3－（b＋ad）x2＋（c＋bd）x－cd≤0的解集为 .
培优课 不等式的综合问题
【典型例题·精研析】
【例1】 B ∵x＋y＝2，＝＝1，∵x＞y＞0，∴x－y＞0，∴＋＝（＋）＝［3＋＋］≥［3＋2］＝.当且仅当x＋3y＝（x－y）时，等号成立，因此，＋的最小值为.
跟踪训练
4 解析：设BM＝x（x＞0），则由DC∥AM得＝，解得ND＝，∴矩形AMPN的面积为S＝（4＋x）（3＋）＝24＋3x＋≥24＋2＝48，当且仅当3x＝，即x＝4时等号成立.∴当BM＝4米时，矩形花坛AMPN的面积最小.
【例2】 解：原不等式可化为或即或解得x＞4或－3＜x＜－2.故原不等式的解集为{x｜x＞4或－3＜x＜－2}.
【例3】 解：原不等式可化为（x2－3x－4）（x2－1）＜0或即（x－1）·（x＋1）2（x－4）＜0或x＝4.令（x－1）（x＋1）2·（x－4）＝0，可得x＝1或x＝4或x＝－1（偶次根），结合图象可得不等式（x－1）（x＋1）2（x－4）＜0的解集为{x｜1＜x＜4}，故原不等式的解集为{x｜1＜x≤4}.
跟踪训练
{x｜－4≤x≤－1或x≥3} 解析：由穿根引线法可知－3，1，4为方程（ax2＋bx＋c）·（x＋d）＝0的根，且a＜0.而ax3－（b＋ad）x2＋（c＋bd）x－cd＝ax3－bx2＋cx－d（ax2－bx＋c）＝（ax2－bx＋c）（x－d）.∴原不等式可化为（ax2－bx＋c）（x－d）≤0.而（ax2－bx＋c）（x－d）＝－[a（－x）2＋b（－x）＋c][（－x）＋d].∴（ax2－bx＋c）（x－d）＝0的根与（ax2＋bx＋c）（x＋d）＝0的根互为相反数，所以（ax2－bx＋c）（x－d）＝0的根为3，－1，－4.由图可知，所求不等式的解集为{x｜－4≤x≤－1或x≥3}.
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