一、数学抽象
数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养.主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法和思想，认识数学结构与体系.在本章中，主要表现在集合概念的理解及应用中.
培优一 集合的基本概念
【例1】 （1）设集合A＝{1，2，4}，集合B＝{x｜x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中元素的个数是（ ）
A.4 B.5
C.6 D.7
（2）已知集合M＝{a，｜a｜，a－2}.若2∈M，则实数a的值为（ ）
A.－2 B.±2
C.2或4 D.±2或4
尝试解答
二、数学运算
数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养，主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果.在本章中，主要表现在集合的交、并、补运算及一元二次不等式的求解问题中.
培优二 集合的运算
【例2】 （1）（2022·新高考Ⅱ卷1题）已知集合A＝{－1，1，2，4}，B＝{x｜｜x－1｜≤1}，则A∩B＝（ ）
A.{－1，2} B.{1，2}
C.{1，4} D.{－1，4}
（2）（2022·北京高考1题）已知全集U＝{x｜－3＜x＜3}，集合A＝{x｜－2＜x≤1}，则 UA＝（ ）
A.（－2，1] B.（－3，－2）∪[1，3）
C.[－2，1） D.（－3，－2]∪（1，3）
尝试解答
培优三 解一元二次不等式
【例3】 解下列关于x的不等式：
（1）－1＜x2＋2x－1≤2；
（2）m2x2＋2mx－3＜0.
尝试解答
三、逻辑推理
逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养，主要表现为：掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出问题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流.本章主要表现在集合的基本关系、充要条件及全称量词命题和存在量词命题、不等式的证明及应用中.
培优四 集合间的关系
【例4】 （1）已知集合A＝{0，1}，B＝{x｜x A}，则下列关于集合A与B的关系正确的是（ ）
A.A B B.A B
C.B A D.A∈B
（2）已知集合A＝{x｜0＜x＜4}，B＝{x｜x＜a}，若A B，则实数a的取值范围是（ ）
A.{a｜0＜a＜4} B.{a｜－8＜a＜4}
C.{a｜a≥4} D.{a｜a＞4}
尝试解答
培优五 充分条件与必要条件的判断
【例5】 （1）设集合M＝{x｜x＞2}，P＝{x｜x＜3}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈（M∩P）”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
（2）已知a∈R，则“a＞6”是“a2＞36”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
尝试解答
培优六 全称量词命题与存在量词命题
【例6】 （1）命题：“ x＞1，2x＋1＞5”的否定为（ ）
A. x＞1，2x＋1＜5 B. x＜1，2x＋1＜5
C. x＞1，2x＋1≤5 D. x＜1，2x＋1≤5
（2）命题p： x∈R，x＋2≤0，则命题p的否定是（ ）
A. x∈R，x＋2＞0 B. x∈R，x＋2≤0
C. x∈R，x＋2≥0 D. x∈R，x＋2＞0
尝试解答
培优七 不等式的性质及应用
【例7】 已知a＋b＜0，且a＞0，则（ ）
A.a2＜－ab＜b2 B.b2＜－ab＜a2
C.a2＜b2＜－ab D.－ab＜b2＜a2
尝试解答
培优八 不等式的证明
【例8】 已知x＞0，y＞0，z＞0，求证：·≥8.
尝试解答
培优九 利用基本不等式求最值
【例9】 （1）（2021·天津高考13题）若a＞0，b＞0，则＋＋b的最小值为 ；
（2）已知a∈R，b＞0，且（a＋b）b＝1，则a＋的最小值是 .
尝试解答
四、数学建模
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养，主要表现在：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题，在本章主要表现在集合、不等式的实际应用中.
培优十 集合的应用
【例10】 现有100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是（ ）
A.最多人数是55 B.最少人数是55
C.最少人数是75 D.最多人数是80
尝试解答
培优十一 不等式的实际应用
【例11】 为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，处理成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨）之间满足y＝x2－40x＋1 600，其中30≤x≤50.已知每处理1吨的二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品.
（1）判断该技术改进能否获利.如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则政府至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？
（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？
尝试解答
章末复习与总结
【例1】 （1）C （2）A 解析：（1）∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，∴x＝2，3，4，5，6，8，∴B中有6个元素，故选C.
（2）由2∈M得a＝2或｜a｜＝2或a－2＝2，解得a＝±2或4，又由集合中元素的互异性，经检验得a＝－2.故选A.
【例2】 （1）B （2）D 解析：（1）法一 由｜x－1｜≤1，得－1≤x－1≤1，解得0≤x≤2，所以B＝{x｜0≤x≤2}，所以A∩B＝{1，2}，故选B.
法二 因为4 B，所以4 A∩B，故排除C、D；又－1 B，所以－1 A∩B，故排除A.故选B.
（2）因为全集U＝（－3，3），A＝（－2，1]，所以 UA＝（－3，－2]∪（1，3），故选D.
【例3】 解：（1）原不等式等价于
即
由①得x（x＋2）＞0，所以x＜－2或x＞0.
由②得（x＋3）（x－1）≤0，
所以－3≤x≤1.
将①②的解集在数轴上表示出来，如图.
求其交集得原不等式的解集为{x｜－3≤x＜－2或0＜x≤1}.
（2）当m＝0时，－3＜0恒成立，解集为R.
当m≠0时，二次项系数m2＞0，Δ＝16m2＞0，不等式化为（mx＋3）（mx－1）＜0.
当m＞0时，解集为；
当m＜0时，解集为.
【例4】 （1）D （2）C 解析：（1）因为x A，所以B＝{ ，{0}，{1}，{0，1}}，则集合A＝{0，1}是集合B中的元素，所以A∈B.
（2）在数轴上标出A，B两集合如图所示，结合数轴知，若A B，则a≥4.
【例5】 （1）B （2）A 解析：（1）由x∈M或x∈P可得x∈（M∪P），而（M∩P） （M∪P），所以“x∈M或x∈P”是“x∈（M∩P）”的必要不充分条件.故选B.
（2）a2＞36等价于｜a｜＞6 a＞6或a＜－6，故a＞6 ｜a｜＞6，即a2＞36，但｜a｜＞6 / a＞6，因此“a＞6”是“a2＞36”的充分不必要条件.
【例6】 （1）C （2）D 解析：（1）由全称量词命题的否定为存在量词命题得“ x＞1，2x＋1＞5”的否定为： x＞1，2x＋1≤5.故选C.
（2）因为命题p： x∈R，x＋2≤0是存在量词命题，所以其否定是全称量词命题，即 x∈R，x＋2＞0，故选D.
【例7】 A 法一 令a＝1，b＝－2，则a2＝1，－ab＝2，b2＝4，从而a2＜－ab＜b2，故选A.
法二 由a＋b＜0，且a＞0可得b＜0，且a＜－b，因为a2－（－ab）＝a（a＋b）＜0，所以0＜a2＜－ab，又0＜a＜－b，所以0＜－ab＜（－b）2，所以0＜a2＜－ab＜b2，故选A.
【例8】 证明：∵x＞0，y＞0，z＞0，
∴＋≥＞0，＋≥＞0，＋≥＞0，
当且仅当x＝y＝z时，以上三个不等式等号同时成立.
∴≥＝8.当且仅当x＝y＝z时等号成立.
【例9】 （1）2 （2）2 解析：（1）法一 ∵≥，
∴＋＋b＝＋＋＋≥4＝2，当且仅当＝＝＝时等号成立，即a＝b＝时＋＋b取得最小值.
法二 ∵a＞0，b＞0，∴＋＋b≥2＋b＝＋b≥2＝2.当且仅当＝和＝b同时成立，即a＝b＝时等号成立.
（2）法一 ∵b＞0，且（a＋b）b＝1，∴a＝－b，∴a＋＝－b＋＝－b＋2b＝＋b≥2＝2，当且仅当＝b，即b＝1时等号成立，故a＋的最小值为2.
法二 ∵（a＋b）b＝1，∴a＋＝a＋2b＝（a＋b）＋b≥2＝2，当且仅当a＝0，b＝1时等号成立.
【例10】 B 设100名携带药品出国的旅游者组成全集I，其中带感冒药的人组成集合A，带胃药的人组成集合B.设所携带药品既非感冒药又非胃药的人数为x，则0≤x≤20.设以上两种药都带的人数为y.作出Venn图，由图可知，x＋card（A）＋card（B）－y＝100.∴x＋75＋80－y＝100，∴y＝55＋x.∵0≤x≤20，∴55≤y≤75，故最少人数是55.
【例11】 解：（1）该技术改进不能获利.
当30≤x≤50时，设该工厂获利S万元，
则S＝20x－（x2－40x＋1 600）＝－（x－30）2－700，
所以当30≤x≤50时，S的最大值为－700，－700＜0，
因此该工厂不会获利，政府至少需要补贴700万元该工厂才不会亏损.
（2）由题意，知二氧化碳每吨的平均处理成本P＝＝x＋－40，
因为当30≤x≤50时，P＝x＋－40≥2－40＝40，当且仅当x＝，即x＝40时等号成立，所以当处理量为40吨时，每吨的平均处理成本最少.
3 / 3(共30张PPT)
章末复习与总结
一、数学抽象
数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究
对象的素养.主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模
型，形成数学方法和思想，认识数学结构与体系.在本章中，主要表
现在集合概念的理解及应用中.
培优一 集合的基本概念
【例1】 （1）设集合 A ＝{1，2，4}，集合 B ＝{ x ｜ x ＝ a ＋ b ， a
∈ A ， b ∈ A }，则集合 B 中元素的个数是（ C ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
解析：∵ a ∈ A ， b ∈ A ， x ＝ a ＋ b ，∴ x ＝2，3，4，5，6，8，∴ B
中有6个元素，故选C.
C
（2）已知集合 M ＝{ a ，｜ a ｜， a －2}.若2∈ M ，则实数 a 的值为
（ A ）
A. －2 B. ±2 C. 2或4 D. ±2或4
A
解析：由2∈ M 得 a ＝2或｜ a ｜＝2或 a －2＝2，解得 a ＝±2或
4，又由集合中元素的互异性，经检验得 a ＝－2.故选A.
二、数学运算
数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学
问题的素养，主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算
思路，求得运算结果.在本章中，主要表现在集合的交、并、补运算
及一元二次不等式的求解问题中.
培优二 集合的运算
【例2】 （1）（2022·新高考Ⅱ卷1题）已知集合 A ＝{－1，1，2，
4}， B ＝{ x ｜｜ x －1｜≤1}，则 A ∩ B ＝（ B ）
A. {－1，2} B. {1，2}
C. {1，4} D. {－1，4}
解析：法一 由｜ x －1｜≤1，得－1≤ x －1≤1，解得0≤ x ≤2，所
以 B ＝{ x ｜0≤ x ≤2}，所以 A ∩ B ＝{1，2}，故选B.
B
法二 因为4 B ，所以4 A ∩ B ，故排除C、D；又－1 B ，所以－1
A ∩ B ，故排除A. 故选B.
（2）（2022·北京高考1题）已知全集 U ＝{ x ｜－3＜ x ＜3}，集合 A
＝{ x ｜－2＜ x ≤1}，则 UA ＝（ D ）
A. （－2，1] B. （－3，－2）∪[1，3）
C. [－2，1） D. （－3，－2]∪（1，3）
解析：因为全集 U ＝（－3，3）， A ＝（－2，1]，所以 UA ＝
（－3，－2]∪（1，3），故选D.
D
培优三 解一元二次不等式
【例3】 解下列关于 x 的不等式：
（1）－1＜ x2＋2 x －1≤2；
解：原不等式等价于
即
由①得 x （ x ＋2）＞0，所以 x ＜－2或 x ＞0.
由②得（ x ＋3）（ x －1）≤0，所以－3≤ x ≤1.
将①②的解集在数轴上表示出来，如图.
求其交集得原不等式的解集为{ x ｜－3≤ x
＜－2或0＜ x ≤1}.
（2） m2 x2＋2 mx －3＜0.
解：当 m ＝0时，－3＜0恒成立，解集为R.
当 m ≠0时，二次项系数 m2＞0，Δ＝16 m2＞0，不等式化为（ mx
＋3）（ mx －1）＜0.
当 m ＞0时，解集为 ；
当 m ＜0时，解集为 .
三、逻辑推理
逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的
素养，主要表现为：掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出问
题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流.本
章主要表现在集合的基本关系、充要条件及全称量词命题和存在量词
命题、不等式的证明及应用中.
培优四 集合间的关系
【例4】 （1）已知集合 A ＝{0，1}， B ＝{ x ｜ x A }，则下列关于
集合 A 与 B 的关系正确的是（ D ）
A. A B B. A B C. B A D. A ∈ B
解析：因为 x A ，所以 B ＝{ ，{0}，{1}，{0，1}}，则集合 A ＝
{0，1}是集合 B 中的元素，所以 A ∈ B .
D
（2）已知集合 A ＝{ x ｜0＜ x ＜4}， B ＝{ x ｜ x ＜ a }，若 A B ，则
实数 a 的取值范围是（ C ）
A. { a ｜0＜ a ＜4} B. { a ｜－8＜ a ＜4}
C. { a ｜ a ≥4} D. { a ｜ a ＞4}
C
解析：在数轴上标出 A ， B 两集合如图所
示，结合数轴知，若 A B ，则 a ≥4.
培优五 充分条件与必要条件的判断
【例5】 （1）设集合 M ＝{ x ｜ x ＞2}， P ＝{ x ｜ x ＜3}，那么“ x
∈ M 或 x ∈ P ”是“ x ∈（ M ∩ P ）”的（ B ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
B
解析：由 x ∈ M 或 x ∈ P 可得 x ∈（ M ∪ P ），而（ M ∩ P ） （ M ∪
P ），所以“ x ∈ M 或 x ∈ P ”是“ x ∈（ M ∩ P ）”的必要不充分条
件.故选B.
（2）已知 a ∈R，则“ a ＞6”是“ a2＞36”的（ A ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析： a2＞36等价于｜ a ｜＞6 a ＞6或 a ＜－6，故 a ＞6 ｜
a ｜＞6，即 a2＞36，但｜ a ｜＞6 / a ＞6，因此“ a ＞6”是
“ a2＞36”的充分不必要条件.
A
培优六 全称量词命题与存在量词命题
【例6】 （1）命题：“ x ＞1，2 x ＋1＞5”的否定为（ C ）
A. x ＞1，2 x ＋1＜5 B. x ＜1，2 x ＋1＜5
C. x ＞1，2 x ＋1≤5 D. x ＜1，2 x ＋1≤5
解析：由全称量词命题的否定为存在量词命题得“ x ＞1，2 x ＋1＞
5”的否定为： x ＞1，2 x ＋1≤5.故选C.
C
（2）命题 p ： x ∈R， x ＋2≤0，则命题 p 的否定是（ D ）
A. x ∈R， x ＋2＞0 B. x ∈R， x ＋2≤0
C. x ∈R， x ＋2≥0 D. x ∈R， x ＋2＞0
D
解析：因为命题 p ： x ∈R， x ＋2≤0是存在量词命题，所以其
否定是全称量词命题，即 x ∈R， x ＋2＞0，故选D.
培优七 不等式的性质及应用
【例7】 已知 a ＋ b ＜0，且 a ＞0，则（ ）
A. a2＜－ ab ＜ b2 B. b2＜－ ab ＜ a2
C. a2＜ b2＜－ ab D. － ab ＜ b2＜ a2
解析： 法一 令 a ＝1， b ＝－2，则 a2＝1，－ ab ＝2， b2＝4，从
而 a2＜－ ab ＜ b2，故选A.
法二 由 a ＋ b ＜0，且 a ＞0可得 b ＜0，且 a ＜－ b ，因为 a2－（－
ab ）＝ a （ a ＋ b ）＜0，所以0＜ a2＜－ ab ，又0＜ a ＜－ b ，所以0＜
－ ab ＜（－ b ）2，所以0＜ a2＜－ ab ＜ b2，故选A.
培优八 不等式的证明
【例8】 已知 x ＞0， y ＞0， z ＞0，求证： ·
≥8.
证明：∵ x ＞0， y ＞0， z ＞0，
∴ ＋ ≥ ＞0， ＋ ≥ ＞0， ＋ ≥ ＞0，
当且仅当 x ＝ y ＝ z 时，以上三个不等式等号同时成立.
∴ ≥ ＝8.当且仅当 x ＝ y ＝ z 时等
号成立.
培优九 利用基本不等式求最值
【例9】 （1）（2021·天津高考13题）若 a ＞0， b ＞0，则 ＋ ＋ b
的最小值为 ；
解析：法一 ∵ ≥ ，
∴ ＋ ＋ b ＝ ＋ ＋ ＋ ≥4 ＝2 ，当且仅当 ＝
＝ ＝ 时等号成立，即 a ＝ b ＝ 时 ＋ ＋ b 取得最小值.
2
法二 ∵ a ＞0， b ＞0，∴ ＋ ＋ b ≥2 ＋ b ＝ ＋ b ≥2
＝2 .当且仅当 ＝ 和 ＝ b 同时成立，即 a ＝ b ＝ 时等
号成立.
解析：法一 ∵ b ＞0，且（ a ＋ b ） b ＝1，∴ a ＝ － b ，∴ a
＋ ＝ － b ＋ ＝ － b ＋2 b ＝ ＋ b ≥2 ＝2，当
且仅当 ＝ b ，即 b ＝1时等号成立，故 a ＋ 的最小值为2.
（2）已知 a ∈R， b ＞0，且（ a ＋ b ） b ＝1，则 a ＋ 的最小值
是 .
2
法二 ∵（ a ＋ b ） b ＝1，∴ a ＋ ＝ a ＋2 b ＝（ a ＋ b ）＋ b ≥2
＝2，当且仅当 a ＝0， b ＝1时等号成立.
四、数学建模
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用
数学方法构建模型解决问题的素养，主要表现在：发现和提出问题，
建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题，在本章主要表
现在集合、不等式的实际应用中.
培优十 集合的应用
【例10】 现有100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒
药，80人带有胃药，那么对既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列
说法正确的是（ ）
A. 最多人数是55 B. 最少人数是55
C. 最少人数是75 D. 最多人数是80
解析： 设100名携带药品出国的旅游者组成全集 I ，其中带感冒药
的人组成集合 A ，带胃药的人组成集合 B . 设所携带药品既非感冒药
又非胃药的人数为 x ，则0≤ x ≤20.设以上两种药都带的人数为 y .作
出Venn图，由图可知， x ＋card（ A ）＋card（ B ）－ y ＝100.∴ x ＋
75＋80－ y ＝100，∴ y ＝55＋ x .∵0≤ x ≤20，∴55≤ y ≤75，故最少
人数是55.
培优十一 不等式的实际应用
【例11】 为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改
进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，处理成本 y （单位：
万元）与处理量 x （单位：吨）之间满足 y ＝ x2－40 x ＋1 600，其中
30≤ x ≤50.已知每处理1吨的二氧化碳可获得价值20万元的某种化工
产品.
（1）判断该技术改进能否获利.如果能获利，求出最大利润；如果不
能获利，则政府至少需要补贴多少万元该工
厂才不会亏损？
解：该技术改进不能获利.
当30≤ x ≤50时，设该工厂获利 S 万元，
则 S ＝20 x －（ x2－40 x ＋1 600）＝－（ x －30）2－700，
所以当30≤ x ≤50时， S 的最大值为－700，－700＜0，
因此该工厂不会获利，政府至少需要补贴700万元该工厂才不会
亏损.
（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？
解：由题意，知二氧化碳每吨的平均处理成本 P ＝ ＝ x ＋
－40，
因为当30≤ x ≤50时， P ＝ x ＋ －40≥2 －40＝40，
当且仅当 x ＝ ，即 x ＝40时等号成立，所以当处理量为40吨
时，每吨的平均处理成本最少.
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