(共27张PPT)
1.6 平面直角坐标系中的距离公式
一、两点间的距离公式
第一章
直线与圆
北师大版2019选择性必修第一册·高二
前情回顾
直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们
可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究。
两点之间的距离
两条直线的交点
点到直线的距离
两平行直线的距离
两条直线的交点坐标
所在直线二元一次方程组的解
点在直线上
点的坐标满足直线方程
一起来探讨这个简单的问题吧！
章节导读
1.2直线的倾斜角、 斜率及其关系
1.3 直线
的方程
1.4两条直线的平行与垂直
1.5两条直线的交点坐标
直线的倾斜角
斜率
倾斜角与方向向量间的关系
一般式
、点法式
点斜式
、斜截式
、两点式
两条直线平行
两条直线垂直
1.6距离公式
两条直线的交点坐标
两点间的距离公式
点到直线的距离公式
两条平行直线间的距离公式
学 习 目 标
1
2
3
理解两点间距离公式的代数含义与几何含义.
会运用公式在直角坐标系中求两点间的距离.
能灵活应用公式解决两点间距离的最值问题和参数问题.
读教材
阅读课本P21-P22，5分钟后完成下列问题：
我们一起来探究“两点间的距离公式”吧！
1.平面直角坐标系中两点间的距离公式是什么？
2.斜率为k的直线上任意两点的距离公式还能怎么表示？
今天，我们一起来探讨上面的问题？
新课引入
对于数轴上的任意两点A、B，我们可以如何计算A、B间的距离？
数轴上
在平面直角坐标系中，若两点为，又该如何
计算A、B之间的距离呢？
学习过程
01
03
02
目录
1 两点间的距离公式
2 题型训练
新知探究1
探究1 如图, 已知平面内两点P1(x1, y1), P2(x2, y2), 如何求P1, P2间的距离| P1P2 |
O
y
x
P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
解：由点，，得.
于是，
.
由此得到两点间的距离公式
.
新知探究1
探究1 你能利用 P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2) 构造直角三角形，再用
勾股定理推导两点间的距离公式吗？
x
y
O
P2 (x2，y2)
P1 (x1，y1)
x
y
O
P1 (x1，y1)
P2 (x2，y2)
x
y
O
P1 (x1，y1)
P2 (x2，y2)
Q (x2，y1)
|| = ||
|| = ||
两点间的距离公式：
新知探究1
解k＝，得于是，
＝＝.
＝＝.
新知1
两点间的距离公式
1.两点间的距离公式:
注：
原点与任一点间的距离.
两点间的距离公式：
典例分析
例1 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l:y=2x+b上的两点，
若|x2-x1|=3，求|AB|？
解：∵A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线l:y=2x+b上，
∴y1=2x1+b ， y2=2x2+b，
由已知|x2-x1|=3，得|y2-y1|=|(2x2+b)-(2x1+b)|=2|x2-x1|=6.
根据两点间的距离公式，得
课本第21页
典例分析
例2 已知 ABC的顶点A(2,3)，B(－1,0)，C(2,0)，求 ABC的周长？
典例分析
例3 如图， ABC的三个顶点分别为A(4，3)，B(1，2)，C(3，－4).
(1)试判断 ABC的形状；
(2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长？
课本第22页
解：(1)根据两点间的距离公式，得：
因为： 即：
∴ ABC是直角三角形.
典例分析
例3 如图， ABC的三个顶点分别为A(4，3)，B(1，2)，C(3，－4).
(1)试判断 ABC的形状；
(2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长？
课本第22页
解：(2)∵BC的中点D的横坐标： ，纵坐标：
∴BC边上中线的长
典例分析
例4 两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，
求|AB|的值？
典例分析
例5 已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为________.
1或－5
解：由两点间距离公式得(－2－a)2＋(－1－3)2＝52，
所以(a＋2)2＝32，所以a＋2＝±3，即a＝1或a＝－5.
典例分析
例6 求直线x＋y－1＝0上与点P(－2,3)的距离等于 的点的坐标？
解：设所求点的坐标为(x0，y0)，有
坐标为(－3,4)和(－1,2)
典例分析
例7 已知点，，在轴上求一点，使，
并求的值
解：设所求点为，则
.
由，得.解得.
所以，所求点为，且.
学习过程
01
03
02
目录
1 两点间的距离公式
2 题型训练
两点间距离公式的应用
题型1
题型探究
例1 已知 ABC的顶点坐标为A(－1,5)，B(－2，－1)，C(2,3)，
则BC边上 的中线长为______.
解：BC的中点坐标为(0,1)，
两点间距离公式的应用
题型1
题型探究
例2 在x轴上找一点Q，使点Q与A(5,12)间的距离为13，求Q点的坐标？
(10,0)或(0,0)
解：设Q(x0,0)，则有
所以Q点的坐标为(10,0)或(0,0)
两点间距离公式的应用
题型1
题型探究
例3 已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l 与已知
直线l1相交于B点，且使|AB|＝5，求直线l 的方程？
解：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－1)，
当直线的斜率不存在时，方程为x＝1.此时，与l1的交点为(1,4)，也满足题意.
综上所述，直线l的方程为3x＋4y＋1＝0或x＝1.
即l:3x＋4y＋1＝0.
题型探究
例4 (多选)对于 ,下列说法正确的是( )
A.可看作点(，0)与点(1,2)的距离
B.可看作点(，0)与点(－1，－2)的距离
C.可看作点(，0)与点(－1,2)的距离
D.可看作点(，－1)与点(－1,1)的距离
两点间距离的最值
题型2
BCD
可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离，可看作点(x，0)与点(－1,2)的距离，
可看作点(x，－1)与点(－1,1)的距离，故选项A不正确.
题型探究
例5 已知A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，求实数a的值？
两点间距离的最值
题型2
解： ∵A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，
题型探究
两点间距离的最值
题型2
课堂小结
1.两点间的距离公式:
注：
原点与任一点间的距离.
两点间的距离公式：(共26张PPT)
1.6 平面直角坐标系中的距离公式
二、点到直线的距离公式
第一章
直线与圆
北师大版2019选择性必修第一册·高二
前情回顾
两点之间的距离
两条直线的交点
点到直线的距离
两平行直线的距离
一起来探讨这个简单的问题吧！
两点间的距离公式：
直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们
可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究。
章节导读
1.2直线的倾斜角、 斜率及其关系
1.3 直线
的方程
1.4两条直线的平行与垂直
1.5两条直线的交点坐标
直线的倾斜角
斜率
倾斜角与方向向量间的关系
一般式
、点法式
点斜式
、斜截式
、两点式
两条直线平行
两条直线垂直
1.6距离公式
两条直线的交点坐标
两点间的距离公式
点到直线的距离公式
两条平行直线间的距离公式
学 习 目 标
1
2
3
理解点到直线的距离公式的几何含义和推导过程.
会运用点到直线的距离公式求点线距和直线方程.
能灵活应用公式解决两点间距离的最值问题.
读教材
阅读课本P22-P23，5分钟后完成下列问题：
我们一起来探究“点到直线的距离公式”吧！
1.平面直角坐标系中点到直线的距离公式是什么？
2.点到直线和到直线的距离怎么表示？
怎么求已知点到确定直线的距离呢？
新课引入
思考1 如图什么是点到直线的距离？
到直线的距离是从到直线的垂线段的长度
思考2 点到轴,轴的距离？到直线,直线的距离呢？
x0
y0
|y0|
|x0|
x
y
P0 (x0,y0)
O
x1
y1
x
y
P0 (x0,y0)
O
|x1－x0|
|y1－y0|
学习过程
01
03
02
目录
1 点到直线的距离公式
2 题型训练
新知探究1
探究1 如何求点到直线的距离？
思考1：如何求PQ ？
思考2：如何求出点Q的坐标？
找Q的坐标，然后由两点距离公式
Q为直线l与直线PQ的交点
思考3：如何求PQ的方程？
点斜式：已知点P的坐标，kPQ·k=－1求直线PQ的斜率
代数法
新知探究1
探究1 已知点，直线, 如何求点到直线的距离？
找Q的坐标，然后由两点距离公式
Q为直线l与
直线PQ的交点
点斜式：已知点P的坐标，
kPQ·k=－1求直线PQ的斜率
代数法
新知探究1
思考1：如何求PQ ？
思考2：如何求出的坐标？
的方向向量为则与垂直的向量为
向量法
P1
P2
l
O
y
x
探究1 如何求点到直线的距离？
新知探究1
向量法
P1
P2
l
O
y
x
探究1 已知点，直线, 如何求点到直线的距离？
解：的方向向量为
所以与的方向向量垂直的向量为
从而
因为点在直线上，所以，
所以，代入上式得
因此=
新知1
点到直线的距离公式
1.点到直线的距离公式:
点到直线的距离公式：
注：(1)用此公式时直线方程必须先化成一般式，分子含有绝对值；
(2)此公式是在的前提下推导的，可以验证，
如果或，此公式也成立.
分子是点坐标代入直线方程左边后的绝对值
分母是直线方程中未知数的系数平方和的算术根
典例分析
例1 求点P(－2，1)到下列直线的距离：
(1)3x+4y－1=0； (2)y=2x+3； (3)2x+5=0.
解：(1)点P(－2，1)到直线3x＋4y－1＝0的距离为:
(2)点P(－2，1)到直线2x－y＋3＝0的距离为:
(3)点P(－2，1)到直线2x＋5＝0的距离为:
课本第23页
典例分析
例2 已知坐标平面内两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的
距离相等，求实数m的值？
∴|3m＋5|＝|m－7|，∴3m＋5＝m－7或3m＋5＝7－m，
典例分析
典例分析
例4 已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，
求实数a的值？
化简得|3a＋3|＝|6a＋4|，
学习过程
01
03
02
目录
1 两点间的距离公式
2 题型训练
点线距求直线方程
题型1
题型探究
例1 已知点P(2，－1)，求过点P且与原点距离为2的直线l 的方程？
解：当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x＝2，符合题意.
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0，
所以直线l 的方程为3x－4y－10＝0.
综上所述：直线l 的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
点线距求直线方程
题型1
题型探究
例2 直线l 经过点(－2,3)，且原点到直线l 的距离等于2，求直线l 的方程？
解：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－2，符合原点到直线l的距离等于2；
当直线l的斜率存在时，设所求直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，
综上所述，直线l的方程为x＋2＝0或5x＋12y－26＝0.
点线距求直线方程
题型1
题型探究
例3 求与直线3x－4y＋1＝0垂直，且与点(－1，－1)距离为2的直线方程？
解：设所求直线方程为4x＋3y＋C＝0，
即|C－7|＝10，解得C＝－3或C＝17.
故所求直线方程为4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0.
点线距求直线方程
题型1
题型探究
例4 经过两直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点距离为1
的直线的条数为____？
2
解：设所求直线l的方程为x＋3y－10＋λ(3x－y)＝0，
即(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0，
所以λ＝±3，即直线方程为x＝1或4x－3y＋5＝0，
所以和原点相距为1的直线的条数为2.
题型探究
例5 求直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标
点线距的最值问题
题型2
解:由题意知过点P作直线3x－4y－27＝0的垂线，设垂足为M，则|MP|最小，
故所求点的坐标为(5，－3).
题型探究
点线距的最值问题
题型2
解：设P(x，y)，A(2，－1)，则点P在直线x＋y－3＝0上，
题型探究
两线距的最值问题
题型2
例7 当点P(2,3)到直线ax＋(a－1)y＋3＝0的距离d最大时，求d与a的值？
解：直线l恒过点A(－3,3)，根据已知条件可知，
当直线ax＋(a－1)y＋3＝0与AP垂直时，距离最大，
最大值为5，此时a＝1.
题型探究
两线距的最值问题
题型2
例8 点M(1,2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，求|MP|的最小值？
解：点M到直线2x＋y－1＝0的距离，即为|MP|的最小值，
课堂小结
1.点到直线的距离公式:
点到直线的距离公式：
分子是点坐标代入直线方程左边后的绝对值
分母是直线方程中未知数的系数平方和的算术根
到直线的距离是从到直线的垂线段的长度(共26张PPT)
1.6 平面直角坐标系中的距离公式
三、两条平行直线间的距离公式
第一章
直线与圆
北师大版2019选择性必修第一册·高二
前情回顾
两点之间的距离
两条直线的交点
直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们
可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究。
最后来探讨这个简单的问题吧！
两点间的距离公式：
点到直线的距离公式：
点到直线的距离
两平行直线的距离
章节导读
1.2直线的倾斜角、 斜率及其关系
1.3 直线
的方程
1.4两条直线的平行与垂直
1.5两条直线的交点坐标
直线的倾斜角
斜率
倾斜角与方向向量间的关系
一般式
、点法式
点斜式
、斜截式
、两点式
两条直线平行
两条直线垂直
1.6距离公式
两条直线的交点坐标
两点间的距离公式
点到直线的距离公式
两条平行直线间的距离公式
学 习 目 标
1
2
3
理解两条平行直线间的距离与点线距的联系.
会运用两条直线间的距离公式求线线距和直线方程.
能灵活应用公式解决两条直线间距离的最值问题.
读教材
阅读课本P23-P24，5分钟后完成下列问题：
我们一起来探究“两条平行直线间的距离公式”吧！
1.两条平行直线间的距离的定义是什么？
2.平面直角坐标系中两条平行直线间的距离公式是什么？
怎么求两条直线间的距离呢？
新课引入
思考1 什么是两条平行直线间的距离？
Q
P
y
x
O
l2
l1
两条平行直线间的距离是指：
夹在这两条平行直线间的公垂线段的长.
两平行线间的距离处处相等
思考2 如何求两条平行直线间的距离？
求两条平行直线间的距离
点到直线的距离
转化
学习过程
01
03
02
目录
1 两条平行直线间的距离公式
2 题型训练
新知探究1
探究1 两条平行直线，，
求与间的距离.
解：与轴的交点的坐标为
点到直线的距离，
所以与间的距离为.
思考：能否推导出两平行直线间距离的一般公式呢？
Q
P
y
x
O
l2
l1
A(4,0)
新知探究1
探究1 直线,直线,
如何求直线与直线间的距离？
Q
P
y
x
O
l2
l1
解析：在直线上任取一点，点到直线的距离就是这两条平行直线间的距离，即
因为点在直线上，
所以，即
因此.
平行直线间的距离
转化
点到直线的距离
新知1
两条平行直线间的距离公式
1.两条平行直线间的距离公式:
两条平行直线与间的距离公式为：
注：(1)用此公式时直线方程必须先化成一般式，分子含有绝对值；
(2)两条直线方程中的系数必须分别相等.
分子是直线一般式方程的常数项之差左边后的绝对值
分母是直线方程中未知数的系数平方和的算术根
典例分析
例1 求下列各对平行直线间的距离：
(1)l1:3x+4y－1=0， l2:3x+4y+3=0;
(2)l1:y=3x+2， l2:y=3x－3;
(3)l1:x－2y－1=0， l2:2x－4y+3=0.
两条直线方程中的系数必须分别相等.
课本第24页
解：(1)根据两条平行直线间的距离公式，得：
(2)根据两条平行直线间的距离公式，得：
(3)根据两条平行直线间的距离公式，得：
典例分析
例2 求两平行直线l1：3x＋5y＋1＝0和l2：6x＋10y＋5＝0间的距离？
两条直线方程中的系数必须分别相等.
典例分析
例3 直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，求两直线的距离？
则直线10x＋24y＋20＝0，即5x＋12y＋10＝0，
两条直线方程中的系数必须分别相等.
典例分析
例4 若直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为
求实数c的值？
解得c＝11或c＝－9.
典例分析
例5 直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，求它们之间的距离
解:因为3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，所以3∶2＝6∶m，
所以m＝4.
两条直线方程中的系数必须分别相等.
学习过程
01
03
02
目录
1 两条平行直线间的距离公式
2 题型训练
线线距求直线方程
题型1
题型探究
例1 已知直线l 与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，
则l 的方程是 _____________.
2x－y＋1＝0
解：由题意可设l的方程为2x－y＋c＝0，
即|c－3|＝|c＋1|，解得c＝1，则直线l的方程为2x－y＋1＝0.
线线距求直线方程
题型1
题型探究
例2 求平行于直线3x＋4y－2＝0，且与它的距离是1的直线方程？
解：设所求直线方程为3x＋4y＋m＝0，
解得m＝3或－7，
所以所求直线方程为3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0.
线线距求直线方程
题型1
题型探究
解得c＝9或c＝－3，即所求直线方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.
题型探究
例4 若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，
求l1与l2间的距离？
求平行直线间的距离
题型2
解：由题意知，直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，
则3＝a(a－2)，即a2－2a－3＝0，解得a＝3或a＝－1，
当a＝3时，直线l1：x＋3y＋6＝0与l2：x＋3y＋6＝0重合；
题型探究
例5 已知直线l1：mx＋2y－4－m＝0(m>0)在x轴、y轴上的截距相等，
求直线l1与直线l2：x＋y－1＝0间的距离？
求平行直线间的距离
题型2
解：∵直线l1：mx＋2y－4－m＝0(m>0)在x轴、y轴上的截距相等，
∴直线l1：2x＋2y－4－2＝0，即x＋y－3＝0，
题型探究
线线距的最值问题
题型3
例6 两条平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3,－1)，且各自绕着A，B旋转：
(1)求两条平行直线间的距离d的变化范围？
解：(1)如图，显然有0题型探究
线线距的最值问题
题型3
例6 两条平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3,－1)，且各自绕着A，B旋转：
(2)当d取最大值时，两条直线的方程？
解：(2)由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直，
所以所求直线的斜率为－3，故所求的直线方程分别为
y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
题型探究
线线距的最值问题
题型3
例7 设直线l1：x－2y－1＝0与l2：(3－m)x＋my＋m2－3m＝0，若直线
l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线l2的方程？
直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积：
此时直线l2的方程为2x＋2y－3＝0.
题型探究
线线距的最值问题
题型3
例8 直线l1，l2分别过点M(1,4)，N(－3,1)，它们分别绕点M 和N 旋转，
但必须保持平行，求它们之间的距离d 的最大值？
解：根据题意画出图象，如图所示，根据图象可得当l1∥l2，且l1⊥MN，l2⊥MN时，
l1与l2之间的距离为|MN|；
当l1∥l2，但是l1与MN不垂直，l2与MN不垂直时，
过M点向l2引垂线，垂足为P，则l1与l2之间的距离为|MP|；
因为|MN|>|MP|，
课堂小结
Q
P
y
x
O
l2
l1
两条平行直线间的距离是指：
夹在这两条平行直线间的公垂线段的长.两平行线间的距离处处相等
1.两条平行直线间的距离公式:
两条平行直线与间的距离公式为：
分子是直线一般式方程的常数项之差左边后的绝对值
分母是直线方程中未知数的系数平方和的算术根
