3.1 弧度概念 3.2 弧度与角度的换算
1.－120°化为弧度为（ ）
A.－π B.－ C.－π D.－π
2.角终边所在的象限是（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.集合中角所表示的范围（阴影部分）是（ ）
4.如图，曲线段AB是一段半径为R的圆弧，若圆弧的长度为，则A，B两点间的距离为（ ）
A.R B.R
C.R D.2R
5.（多选）下列说法正确的是（ ）
A.－135°化成弧度是－π
B.－化成角度是－300°
C.若角α＝3 rad，则角α为第二象限角
D.若一扇形的圆心角为30°，半径为3 cm，则扇形面积为 cm2
6.（多选）若2π＜α＜4π，且角α的终边与角－π的终边垂直，则α＝（ ）
A.π B.π C.π D.π
7.－105°化为弧度为 ，化为角度为 .
8.如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的倍，则该弧所对的圆心角是原来的 倍.
9.已知集合A＝{x｜2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，B＝{x｜－4≤x≤4}，则A∩B＝ .
10.设角α1＝－570°，α2＝750°，β1＝，β2＝－.
（1）将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；
（2）将β1，β2用角度制表示出来.
11.在如图所示的单位圆O中，当∠BOC的取值范围为（0，π）时，∠BOC的“古典正弦”为弦BC的长.根据以上信息，当∠BOC所对的的长为时，∠BOC的“古典正弦”为（ ）
A.2 B.
C.2sin D.sin 2
12.（多选）设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，面积为S，周长为L，则（ ）
A.若α，r确定，则L，S唯一确定
B.若α，l确定，则L，S唯一确定
C.若S，L确定，则α，r唯一确定
D.若S，l确定，则α，r唯一确定
13.扇形圆心角为，半径为a，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为 .
14.在一块顶角为，腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB中裁剪扇形，现有如图所示的两种方案.
（1）求两种方案中扇形的周长之差的绝对值；
（2）比较两种方案中扇形面积的大小.
15.斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形ABCD（＝）中作正方形ABFE，以F为圆心，AB长为半径作；然后在矩形CDEF中作正方形DEHG，以H为圆心，DE长为半径作；…；如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线.记，，的长度分别为l，m，n，则l m＋n（填“＞”“＜”或“＝”）.
16.已知一扇形的圆心角为α（α＞0），所在圆的半径为r.
（1）若α＝90°，r＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；
（2）若扇形的周长是一定值C（C＞0），当圆心角的弧度数α为多少时，该扇形有最大面积.
3.1 弧度概念
3.2 弧度与角度的换算
1.C 由于1°＝ rad，所以－120°＝－120×＝－，故选C.
2.A ＝2π＋，是第一象限角，故是第一象限角.
3.C k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y＝x左上部分（包含边界），k为奇数时集合对应的区域为第三象限内直线y＝x的右下部分（包含边界）.故选C.
4.C 设所对的圆心角为α.则由题意，得αR＝，所以α＝，所以AB＝2Rsin＝2Rsin ＝2R×＝R，故选C.
5.BC 对于A选项，－135°＝－135×＝－，A错；对于B选项，－＝－×＝－300°，B对；对于C选项，∵＜3＜π，故角α为第二象限角，C对；对于D选项，∵30°＝，故扇形的面积为××32＝π cm2，D错.故选B、C.
6.AC 与角－π的终边垂直的角可分为两类：一类是与角的终边相同，其表示形式为＋2kπ（k∈Z）；另一类是与角的终边相同，其表示形式为＋2kπ（k∈Z）.故当α∈（2π，4π）时，满足条件的角α可以是π或π，故选A、C.
7.－π 660° 解析：－105°＝－105×＝－π，π＝π×＝660°.
8.3 解析：设圆的半径为r，弧长为l，其弧度数为.将半径变为原来的一半，弧长变为原来的倍，则弧度数变为＝3·，即弧度数变为原来的3倍.
9.[－4，－π]∪[0，π] 解析：当k＝0时，A＝{x｜0≤x≤π}，此时A∩B＝{x｜0≤x≤π}；当k＝－1时，A＝{x｜－2π≤x≤－π}，此时A∩B＝{x｜－4≤x≤－π}；当k≤－2或k≥1时，A∩B＝ .综上可得A∩B＝{x｜－4≤x≤－π}∪{x｜0≤x≤π}.
10.解：（1）因为180°＝π，
所以－570°＝－570×＝－.
所以α1＝－＝－2×2π＋.
因为750°＝750×＝，所以α2＝＝2×2π＋.
所以α1是第二象限角，α2是第一象限角.
（2）β1＝＝×＝108°.
β2＝－＝－×＝－420°.
11.B 由题意可得OB＝OC＝1，由弧长与半径的比值等于圆心角，可得当∠BOC所对的的长为时，∠BOC＝，所以由勾股定理可得BC＝，即当∠BOC所对的的长为时，∠BOC的“古典正弦”为，故选B.
12.ABD 依题意可得l＝αr，L＝2r＋αr，S＝αr2＝lr.对于A，若α，r确定，显然L＝2r＋αr，S＝αr2唯一确定，故A正确；对于B，若α，l确定，由l＝αr可确定r，所以L＝2r＋αr，S＝αr2唯一确定，故B正确；对于C，若S，L确定，则α与r需要解二元二次方程组，所以α，r不能唯一确定，故C错误；对于D，若S，l确定，则即可求出唯一的α与r，所以α，r唯一确定，故D正确.故选A、B、D.
13.2∶3 解析：如图，设内切圆半径为r，则r＝，所以S圆＝π·＝，S扇＝a2·＝，所以＝.
14.解：（1）∵△OAB是顶角为，腰长为2的等腰三角形，
∴A＝B＝，OM＝ON＝1.
方案一中扇形的周长L1＝2＋2＋2×＝4＋，
方案二中扇形的周长L2＝1＋1＋1×＝2＋，
∴两种方案中扇形的周长之差的绝对值为＝2－.
（2）方案一中扇形的面积S1＝××22＝，
方案二中扇形的面积S2＝××12＝，
∴S1＝S2，即两种方案中扇形的面积相等.
15.＝ 解析：不妨设AB＝－1，则BC＝2，所以l＝＝×（－1），ED＝2－（－1）＝3－，所以m＝＝×（3－），CG＝－1－（3－）＝2－4，所以n＝＝×（2－4）＝（－2）π，所以m＋n＝×（3－）＋×（2－4）＝×（－1）＝l.
16.解：（1）设扇形的弧长为l，弓形的面积为S弓.
因为α＝90°＝，r＝10，
所以l＝｜α｜·r＝5π（cm），
S弓＝S扇形－S△＝×5π×10－×102＝25π－50（cm2）.
（2）因为扇形周长C＝2r＋l＝2r＋αr，
则r＝，
所以S扇形＝α·r2＝α·（）2
＝·
＝·≤，
当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形的面积有最大值为.
1 / 2§3 弧度制
3.1 弧度概念 3.2 弧度与角度的换算
新课程标准解读 核心素养
1.了解弧度制的概念，能进行角度与弧度之间的互化 数学抽象、数学运算
2.理解1弧度的角的定义，体会引入弧度制的必要性 数学抽象
3.掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式 数学运算
公元6世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念.欧拉是明确提出弧度制思想的数学家.1748年，在他的一部划时代著作《无穷小分析概论》中，提出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一个圆周角等于2π弧度，1弧度等于周角的.这一思想将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角公式及计算.
【问题】 按照上述定义30°是多少弧度？
知识点一 弧度制与角度制
1.度量角的两种制度
角度制 定义 用度作为单位来度量角的方法
1度的角 1度的角等于周角的 ，记作1°
弧度制 定义 以 作为单位来度量角的方法
1弧度的角 在单位圆中，把 的弧所对的圆心角称为1弧度的角，1弧度记作1 rad（rad可省略不写）
2.弧度数的计算
3.弧度与角度的换算
提醒 （1）用弧度作为单位表示角的大小时，“弧度”或 “rad”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可；（2）不管是以弧度还是以度为单位度量角的大小，都是一个与半径大小无关的定值.
【想一想】
1.一个角的度数是否对应一个弧度数？
2.在半径大小不同的圆中，长度为1的弧所对的圆心角相等吗？
知识点二 扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则
（1）弧长公式：l＝ ；
（2）扇形面积公式：S＝ ＝ .
提醒 在应用弧长公式、扇形面积公式时，要注意α的单位是“弧度”，而不是“度”，若已知角是以“度”为单位的，则应先化成“弧度”，再代入计算.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位.（ ）
（2）1°的角是周角的，1 rad的角是周角的.（ ）
（3）扇形的半径为1 cm，圆心角为30°，则扇形的弧长l＝rα＝1×30＝30（cm）.（ ）
2.（多选）下列转化结果正确的是（ ）
A.60°化成弧度是
B.－π化成度是－600°
C.－150°化成弧度是－π
D.化成度是15°
3.圆心角为弧度，半径为6的扇形的面积为 .
题型一 角度制与弧度制的互化
【例1】 将下列角度与弧度进行互化：
（1）π；（2）－；（3）10°；（4）－855°.
尝试解答
通性通法
角度制与弧度制互化的原则和方法
（1）原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝进行换算；
（2）方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n°，则α rad＝α·；n°＝n· rad.
【跟踪训练】
1.把下列角度化为弧度：
（1）－300°＝ ；
（2）22°30'＝ .
2.把下列弧度化为角度：
（1）＝ ；
（2）－＝ .
题型二 用弧度制表示角的集合
【例2】 把下列角化成2kπ＋α（0≤α＜2π，k∈Z）的形式，指出它是第几象限角并写出与α终边相同的角的集合.
（1）－；（2）－1 485°.
尝试解答
通性通法
弧度制下与角α终边相同的角的表示
在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β｜β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍.
注意 （1）角度与弧度不能混用；
（2）在任意角范围内，表示终边相同的角需加2kπ，k∈Z.
【跟踪训练】
用弧度制表示与150°角终边相同的角α的集合为 .
题型三 扇形的弧长及面积公式的应用
【例3】 已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数.
尝试解答
【母题探究】
（变条件、变设问）已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？
通性通法
扇形的弧长和面积的求解策略
（1）记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝lR＝αR2（其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0＜α＜2π）；
（2）找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程（组）求解.
【跟踪训练】
已知扇形的半径为10 cm，圆心角为60°，求扇形的弧长和面积.
1.1 920°转化为弧度数是（ ）
A. B.
C. D.
2.将弧度化成角度为（ ）
A.30° B.60°
C.120° D.150°
3.若α＝－2 rad，则α的终边在（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为（ ）
A.π B.－π
C.π D.－π
5.周长为9，圆心角为1 rad的扇形面积为 .
3.1 弧度概念
3.2 弧度与角度的换算
【基础知识·重落实】
知识点一
1. 弧度 长度等于1 2.正数 负数 0
想一想
1.提示：是.一个给定的角，其度数和弧度数都是唯一确定的.
2.提示：不相等.这是因为长度为1的弧是指弧的长度为1，在半径大小不同的圆中，由于半径不同，所以圆心角也不同.
知识点二
（1）αr （2）lr αr2
自我诊断
1.（1）√ （2）√ （3）×
2.ABD
3.6π 解析：扇形的面积为S＝αr2＝×62×＝6π.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）π＝×180°＝15 330°.
（2）－＝－×180°＝－105°.
（3）10°＝10×＝.
（4）－855°＝－855×＝－.
跟踪训练
1.（1）－ （2）
解析：（1）－300°＝－300×＝－.
（2）22°30'＝22.5°＝22.5×＝.
2.（1）690° （2）－40°
解析：（1）＝×＝690°.
（2）－＝－×＝－40°.
【例2】 解：（1）－＝－8×2π＋，它是第二象限角，与终边相同的角的集合为.
（2）－1 485°＝－5×360°＋315°＝－10π＋，
它是第四象限角，与终边相同的角的集合为.
跟踪训练
解析：150°＝150×＝，故与150°角终边相同的角的集合为.
【例3】 解：设扇形圆心角的弧度数为θ（0＜θ＜2π），弧长为l cm，半径为R cm，
依题意有
①代入②得R2－5R＋4＝0，解得R1＝1，R2＝4.
当R＝1时，l＝8，此时，θ＝8 rad＞2π rad舍去.
当R＝4时，l＝2，此时，θ＝＝（rad）.
综上可知，扇形圆心角的弧度数为 rad.
母题探究
解：设扇形圆心角的弧度数为θ（0＜θ＜2π），弧长为l，半径为r，面积为S，
则l＋2r＝4，所以l＝4－2r，
所以S＝l·r＝×（4－2r）×r＝－r2＋2r＝－（r－1）2＋1，
所以当r＝1时，S最大，且Smax＝1，
因此，θ＝＝＝2（rad）.
跟踪训练
解：已知扇形的圆心角α＝60°＝，半径r＝10 cm，
则弧长l＝α·r＝×10＝（cm），
于是面积S＝lr＝××10＝（cm2）.
随堂检测
1.D 1 920°＝1 920×＝.
2.C rad＝×＝120°.故选C.
3.C
4.B 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了周，转过的弧度为－×2π＝－π.
5. 解析：由题意可知
所以所以S＝lr＝.
4 / 4(共57张PPT)
3.1 弧度概念
3.2 弧度与角度的换算
新课程标准解读 核心素养
1.了解弧度制的概念，能进行角度与弧度之间的互化 数学抽象、
数学运算
2.理解1弧度的角的定义，体会引入弧度制的必要性 数学抽象
3.掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
公元6世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一单位度量半径和
圆周，孕育着最早的弧度制概念.欧拉是明确提出弧度制思想的数学
家.1748年，在他的一部划时代著作《无穷小分析概
论》中，提出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一
个圆周角等于2π弧度，1弧度等于周角的 .这一思
想将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角公
式及计算.
【问题】 按照上述定义30°是多少弧度？
知识点一 弧度制与角度制
1. 度量角的两种制度
角度制 定义 用度作为单位来度量角的方法
1度的角 1度的角等于周角的 ，记作1°
弧度制 定义 以 作为单位来度量角的方法
1弧度 的角 在单位圆中，把 的弧所对的圆心角称为1弧度的角，1弧度记作1 rad（rad可省略不写）
弧度
长度等于1
2. 弧度数的计算
3. 弧度与角度的换算
提醒 （1）用弧度作为单位表示角的大小时，“弧度”或
“rad”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可；（2）
不管是以弧度还是以度为单位度量角的大小，都是一个与半径
大小无关的定值.
【想一想】
1. 一个角的度数是否对应一个弧度数？
提示：是.一个给定的角，其度数和弧度数都是唯一确定的.
2. 在半径大小不同的圆中，长度为1的弧所对的圆心角相等吗？
提示：不相等.这是因为长度为1的弧是指弧的长度为1，在半径大
小不同的圆中，由于半径不同，所以圆心角也不同.
知识点二 扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则
（1）弧长公式：l＝ ；
（2）扇形面积公式：S＝ lr ＝ αr2 .
提醒 在应用弧长公式、扇形面积公式时，要注意α的单位是
“弧度”，而不是“度”，若已知角是以“度”为单位的，则
应先化成“弧度”，再代入计算.
αr
lr
αr2
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位.
（ √ ）
（2）1°的角是周角的 ，1 rad的角是周角的 . （ √ ）
（3）扇形的半径为1 cm，圆心角为30°，则扇形的弧长l＝rα＝
1×30＝30（cm）. （ × ）
√
√
×
2. （多选）下列转化结果正确的是（ ）
3. 圆心角为 弧度，半径为6的扇形的面积为 .
解析：扇形的面积为S＝ αr2＝ ×62× ＝6π.
6π
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 角度制与弧度制的互化
【例1】 将下列角度与弧度进行互化：
（1） π；（2）－ ；（3）10°；（4）－855°.
解：（1） π＝ ×180°＝15 330°.
（2）－ ＝－ ×180°＝－105°.
（3）10°＝10× ＝ .
（4）－855°＝－855× ＝－ .
通性通法
角度制与弧度制互化的原则和方法
（1）原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝
进行换算；
（2）方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n°，则α rad＝
α· ；n°＝n· rad.
【跟踪训练】
1. 把下列角度化为弧度：
解析：－300°＝－300× ＝－ .
解析：22°30'＝22.5°＝22.5× ＝ .
－
2. 把下列弧度化为角度：
（1） ＝ ；
解析： ＝ × ＝690°.
（2）－ ＝ .
解析：－ ＝－ × ＝－40°.
690°
－40°
题型二 用弧度制表示角的集合
【例2】 把下列角化成2kπ＋α（0≤α＜2π，k∈Z）的形式，指出
它是第几象限角并写出与α终边相同的角的集合.
（1）－ ；
解：－ ＝－8×2π＋ ，它是第二象限角，与 终边
相同的角的集合为 .
解： －1 485°＝－5×360°＋315°＝－10π＋ ，
它是第四象限角，与 终边相同的角的集合为 .
（2）－1 485°.
通性通法
弧度制下与角α终边相同的角的表示
在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β｜β＝2kπ＋
α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍.
注意 （1）角度与弧度不能混用；
（2）在任意角范围内，表示终边相同的角需加2kπ，k∈Z.
【跟踪训练】
用弧度制表示与150°角终边相同的角α的集合为 .
解析：150°＝150× ＝ ，故与150°角终边相同的角的集合为
.
题型三 扇形的弧长及面积公式的应用
【例3】 已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧
度数.
解：设扇形圆心角的弧度数为θ（0＜θ＜2π），弧长为l cm，半径
为R cm，
依题意有
①代入②得R2－5R＋4＝0，解得R1＝1，R2＝4.
当R＝1时，l＝8，此时，θ＝8 rad＞2π rad舍去.
当R＝4时，l＝2，此时，θ＝ ＝ （rad）.
综上可知，扇形圆心角的弧度数为 rad.
【母题探究】
（变条件、变设问）已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取
何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？
解：设扇形圆心角的弧度数为θ（0＜θ＜2π），弧长为l，半径为
r，面积为S，
则l＋2r＝4，所以l＝4－2r ，
所以S＝ l·r＝ ×（4－2r）×r＝－r2＋2r＝－（r－1）2＋1，所
以当r＝1时，S最大，且Smax＝1，
因此，θ＝ ＝ ＝2（rad）.
通性通法
扇形的弧长和面积的求解策略
（1）记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝ lR＝ αR2（其中l是
扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0＜
α＜2π）；
（2）找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计
算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活
运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程（组）求解.
【跟踪训练】
已知扇形的半径为10 cm，圆心角为60°，求扇形的弧长和面积.
解：已知扇形的圆心角α＝60°＝ ，半径r＝10 cm，
则弧长l＝α·r＝ ×10＝ （cm），
于是面积S＝ lr＝ × ×10＝ （cm2）.
1.1 920°转化为弧度数是（ ）
解析： 1 920°＝1 920× ＝ .
2. 将 弧度化成角度为（ ）
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
解析： rad＝ × ＝120°.故选C.
3. 若α＝－2 rad，则α的终边在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
4. 时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为（ ）
解析： 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了
周，转过的弧度为－ ×2π＝－ π.
5. 周长为9，圆心角为1 rad的扇形面积为 .
解析：由题意可知所以
所以S＝ lr＝ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. －120°化为弧度为（ ）
解析： 由于1°＝ rad，所以－120°＝－120× ＝－ ，
故选C.
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16
2. 角 终边所在的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析： ＝2π＋ ， 是第一象限角，故 是第一象限角.
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3. 集合 中角所表示的范围（阴影部
分）是（ ）
解析： k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y＝x左
上部分（包含边界），k为奇数时集合对应的区域为第三象限内直
线y＝x的右下部分（包含边界）.故选C.
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4. 如图，曲线段AB是一段半径为R的圆弧，若圆弧的长度为 ，则A，B两点间的距离为（ ）
A. R
D. 2R
解析：设 所对的圆心角为α.则由题意，得αR＝ ，所以α＝ ，所以AB＝2R sin ＝2R sin ＝2R× ＝ R，故选C.
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5. （多选）下列说法正确的是（ ）
C. 若角α＝3 rad，则角α为第二象限角
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解析： 对于A选项，－135°＝－135× ＝－ ，A错；对
于B选项，－ ＝－ × ＝－300°，B对；对于C选项，∵
＜3＜π，故角α为第二象限角，C对；对于D选项，∵30°＝ ，
故扇形的面积为 × ×32＝ π cm2，D错.故选B、C.
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6. （多选）若2π＜α＜4π，且角α的终边与角－ π的终边垂直，则
α＝（ ）
解析： 与角－ π的终边垂直的角可分为两类：一类是与角
的终边相同，其表示形式为 ＋2kπ（k∈Z）；另一类是与角 的
终边相同，其表示形式为 ＋2kπ（k∈Z）.故当α∈（2π，4π）
时，满足条件的角α可以是 π或 π，故选A、C.
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7. －105°化为弧度为 － π ， 化为角度为 660° .
解析：－105°＝－105× ＝－ π， π＝ π× ＝660°.
－ π
660°
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8. 如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的 倍，则该
弧所对的圆心角是原来的 倍.
解析：设圆的半径为r，弧长为l，其弧度数为 .将半径变为原来
的一半，弧长变为原来的 倍，则弧度数变为 ＝3· ，即弧度数
变为原来的3倍.
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9. 已知集合A＝{x｜2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，B＝{x｜－
4≤x≤4}，则A∩B＝ .
解析：当k＝0时，A＝{x｜0≤x≤π}，此时A∩B＝{x｜
0≤x≤π}；当k＝－1时，A＝{x｜－2π≤x≤－π}，此时A∩B＝
{x｜－4≤x≤－π}；当k≤－2或k≥1时，A∩B＝ .综上可得
A∩B＝{x｜－4≤x≤－π}∪{x｜0≤x≤π}.
[－4，－π]∪[0，π]
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10. 设角α1＝－570°，α2＝750°，β1＝ ，β2＝－ .
（1）将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的
象限；
解：因为180°＝π，
所以－570°＝－570× ＝－ .
所以α1＝－ ＝－2×2π＋ .
因为750°＝750× ＝ ，
所以α2＝ ＝2×2π＋ .
所以α1是第二象限角，α2是第一象限角.
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（2）将β1，β2用角度制表示出来.
解：β1＝ ＝ × ＝108°.
β2＝－ ＝－ × ＝－420°.
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11. 在如图所示的单位圆O中，当∠BOC的取值范围为（0，π）时，
∠BOC的“古典正弦”为弦BC的长.根据以上信息，当∠BOC所
对的 的长为 时，∠BOC的“古典正弦”为（ ）
A. 2
D. sin 2
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解析： 由题意可得OB＝OC＝1，由弧长与半径的比值等于圆
心角，可得当∠BOC所对的 的长为 时，∠BOC＝ ，所以由
勾股定理可得BC＝ ，即当∠BOC所对的 的长为 时，
∠BOC的“古典正弦”为 ，故选B.
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12. （多选）设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，面积为S，
周长为L，则（ ）
A. 若α，r确定，则L，S唯一确定
B. 若α，l确定，则L，S唯一确定
C. 若S，L确定，则α，r唯一确定
D. 若S，l确定，则α，r唯一确定
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解析： 依题意可得l＝αr，L＝2r＋αr，S＝ αr2＝ lr.对于A，若α，r确定，显然L＝2r＋αr，S＝ αr2唯一确定，故A正确；对于B，若α，l确定，由l＝αr可确定r，所以L＝2r＋αr，S＝ αr2唯一确定，故B正确；对于C，若S，L确定，则α与r需要解二元二次方程组，所以α，r不能唯一确定，故C错误；对于D，若S，l确定，则即可求出唯一的α与r，所以α，r唯一确定，故D正确.故选A、B、D.
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13. 扇形圆心角为 ，半径为a，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比
为 .
解析：如图，设内切圆半径为r，则r＝ ，所以S圆
＝π· ＝ ，S扇＝ a2· ＝ ，所以 ＝ .
2∶3
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14. 在一块顶角为 ，腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB中裁剪扇
形，现有如图所示的两种方案.
（1）求两种方案中扇形的周长之差的绝对值；
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解：∵△OAB是顶角为 ，腰长为2的等腰三角形，
∴A＝B＝ ，OM＝ON＝1.
方案一中扇形的周长L1＝2＋2＋2× ＝4＋ ，
方案二中扇形的周长L2＝1＋1＋1× ＝2＋ ，
∴两种方案中扇形的周长之差的绝对值为
＝2－ .
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（2）比较两种方案中扇形面积的大小.
解：方案一中扇形的面积S1＝ × ×22＝ ，
方案二中扇形的面积S2＝ × ×12＝ ，
∴S1＝S2，即两种方案中扇形的面积相等.
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15. 斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺
线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形ABCD（ ＝ ）
中作正方形ABFE，以F为圆心，AB长为半径作 ；然后在矩
形CDEF中作正方形DEHG，以H为圆心，DE长为半径作
；…；如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线.记
， ， 的长度分别为l，m，n，
则l m＋n（填“＞”“＜”或“＝”）.
＝
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解析：不妨设AB＝ －1，则BC＝2，所以l＝ ＝ ×（
－1），ED＝2－（ －1）＝3－ ，所以m＝ ＝ ×（3－
），CG＝ －1－（3－ ）＝
2 －4，所以n＝ ＝ ×（2 －4）＝（ －2）π，所以m
＋n＝ ×（3－ ）＋ ×（2 －4）＝ ×（ －1）＝l.
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16. 已知一扇形的圆心角为α（α＞0），所在圆的半径为r.
（1）若α＝90°，r＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在弓形的
面积；
解：设扇形的弧长为l，弓形的面积为S弓.
因为α＝90°＝ ，r＝10，所以l＝｜α｜·r＝5π（cm），
S弓＝S扇形－S△＝ ×5π×10－ ×102＝25π－50（cm2）.
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（2）若扇形的周长是一定值C（C＞0），当圆心角的弧度数α
为多少时，该扇形有最大面积.
解：因为扇形周长C＝2r＋l＝2r＋αr，
则r＝ ，所以S扇形＝ α·r2＝ α·（ ）2
＝ · ＝ · ≤ ，当且仅当α2＝4，即α
＝2时，扇形的面积有最大值为 .
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谢 谢 观 看！
