4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
1.已知角α的终边与单位圆相交于点M，则sin α＝（ ）
A. B.
C.－ D.－
2.如果α的终边过点（2sin 30°，－2cos 30°），那么cos α＝（ ）
A. B.－
C. D.－
3.若sin α＝，cos α＝－，则在角α终边上的点为（ ）
A.（－4，3） B.（3，－4）
C.（4，－3） D.（－3，4）
4.已知角α的终边经过点P（m，－6），且cos α＝－，则m＝（ ）
A.8 B.－8
C.4 D.－4
5.（多选）若角α的终边过点P（－3，－2），则（ ）
A.sin α＜0 B.cos α＜0
C.sin αcos α＞0 D.sin αcos α＜0
6.（多选）若角α的终边在直线y＝－2x上，则sin α的可能取值为（ ）
A. B.－
C. D.－
7.已知角α的终边与单位圆相交于一点P（－，－），则cos α＝ .
8.在单位圆中，下列三角函数值小于0的序号是 .
①cos 151°；②sin π；③cos（－）；④sin 270°.
9.若角α终边上一点P（a，9）在函数y＝3x的图象上，则a＝ ，sin α＋cos α＝ .
10.已知角α的终边上一点P（－，y），y≠0，且sin α＝y，求cos α的值.
11.设a＜0，角α的终边与单位圆的交点为P（－3a，4a），则sin α＋2cos α＝（ ）
A. B.－
C. D.－
12.以原点为圆心的单位圆上一点P从（1，0）出发，沿逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
13.若角α的终边与直线y＝3x重合且sin α＜0，又P（m，n）是α终边上一点，且｜OP｜＝，则m－n＝ .
14.在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y＝－x上，求sin α－3cos α的值.
15.设A是△ABC的一个内角，且sin A＋cos A＝，则△ABC是（ ）
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.非等腰的直角三角形 D.等腰直角三角形
16.函数y＝logax（a＞0且a≠1）的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后所得的图象过定点P，且角α的终边过点P，求sin α＋2cos α的值.
4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
1.B 由任意角三角函数的定义知sin α＝y＝.
2.A 依题意可知点（2sin 30°，－2cos 30°），即（1，－），则r＝＝2，因此cos α＝＝，故选A.
3.A 由三角函数的定义知x＝－4，y＝3，r＝5时，选项A满足题意.
4.B 由题意得r＝｜OP｜＝＝，故cos α＝＝－，解得m＝－8.
5.ABC 由P（－3，－2），可得r＝，sin α＝－＜0，cos α＝＜0，所以sin αcos α＞0.故A、B、C正确.
6.CD 设角α的终边y＝－2x上一点（a，－2a），当a＞0时，则r＝a，此时sin α＝＝－，当a＜0时，则r＝－a，此时sin α＝＝，故选C、D.
7.－ 解析：由三角函数的定义可知，cos α＝x＝－.
8.①②④ 解析：在直角坐标系中设角的终边与单位圆交点为P（x，y），角151°的终边与单位圆的交点在第二象限，则x＜0，故cos 151°＜0；角π的终边与单位圆交点在第三象限，则y＜0，故sin π＜0； 角－的终边与单位圆交点在第四象限，则x＞0，故cos（－）＞0；角270°的终边与单位圆交于y轴的负半轴上，则x＝0，y＝－1，故sin 270°＝－1＜0.
9.2 解析：由题意知，3a＝9，∴a＝2，
∴r＝＝，
∴sin α＝＝＝，
cos α＝＝＝，
∴sin α＋cos α＝＋＝.
10.解：由sin α＝＝y，得y2＝5，所以y＝±.
当y＝时，cos α＝＝－，当y＝－时，cos α＝＝－.
所以cos α＝－.
11.A ∵点P在单位圆上，则｜OP｜＝1.即＝1，解得a＝±.∵a＜0，∴a＝－.∴P点的坐标为.∴sin α＝－，cos α＝.∴sin α＋2cos α＝－＋2×＝.
12.D 设单位圆的半径为r，点P运动所形成的圆弧的长为l，则r＝1，l＝，所以对应的圆心角α＝＝＝2π＋.所以点Q在第一象限，设Q（x，y），由任意角的三角函数定义，可得x＝cos＝，y＝sin＝.所以点Q的坐标为.
13.2 解析：∵y＝3x且sin α＜0，∴点P（m，n）位于y＝3x在第三象限的图象上，∴m＜0，n＜0，n＝3m.∴｜OP｜＝＝｜m｜＝－m＝，∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.
14.解：当角α的终边在射线y＝－x（x＞0）上时，取终边上一点P（4，－3），
所以点P到坐标原点的距离r＝｜OP｜＝5，
所以sin α＝＝＝－，cos α＝＝，
所以sin α－3cos α＝－－＝－3，
当角α的终边在射线y＝－x（x＜0）上时，取终边上一点P'（－4，3），
所以点P'到坐标原点的距离r＝｜OP'｜＝5，
所以sin α＝＝，cos α＝＝－，
所以sin α－3cos α＝－3×＝3.
所以sin α－3cos α＝±3.
15.B 由正弦函数和余弦函数的定义及单位圆的性质易知，若A为锐角，则sin A＋cos A＞1；若A为直角，则sin A＋cos A＝1.而本题中sin A＋cos A＝＜1，从而A必为钝角.故△ABC是钝角三角形.
16.解：∵函数y＝logax（a＞0且a≠1）的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到y＝loga（x－3）＋2（a＞0且a≠1）的图象，∴P（4，2）.又角α的终边过点P，∴sin α＝＝，cos α＝＝，则sin α＋2cos α＝＋2×＝.
1 / 24.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
新课程标准解读 核心素养
1.借助单位圆理解任意角的三角函数定义 数学抽象、直观想象
2.能利用定义解决相关问题 数学运算、直观想象
如图所示是某游乐场的一个摩天轮示意图，它的中心离地面的高度为h0，它的直径为2R，按逆时针方向匀速运动，转动一周需要360秒.
【问题】 若现在你坐在座舱中，从初始位置OA出发，过了30秒后，你离地面的高度h为多少？过了45秒呢？过了t秒呢？
知识点一 锐角的正弦函数和余弦函数
对于锐角α，角α的终边与单位圆交于点P（u，v），过点P向x轴作垂线，垂足为M.在Rt△OMP中，OP＝1，OM＝u，MP＝v，有sin α＝＝＝v，cos α＝＝＝u.
由此可知，对于锐角α来说，点P的 是该角的正弦值；点P的 是该角的余弦值.对于每一个锐角α，都有唯一的坐标（u，v）与之对应，在弧度意义下，α∈（ 0，），称v＝ 为锐角α的正弦函数，u＝cos α为锐角α的余弦函数.
知识点二 任意角的正弦函数和余弦函数
1.单位圆中的任意角的正弦与余弦函数定义：如图，给定任意角α，作单位圆，角α的终边与单位圆的交点为P（u，v），点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的.仿照上述定义，把点P的纵坐标v叫作角α的正弦值，把点P的横坐标u叫作角α的余弦值，于是在弧度意义下，对于α∈R，称 为任意角α的正弦函数， 为任意角α的余弦函数.
2.任意角的终边上任一点的正弦和余弦函数的定义：设角α终边上除原点外的一点Q（x，y），则sin α＝ ，cos α＝ ，其中r＝.
【想一想】
1.什么是单位圆？
2.对于确定的角α，其正弦值与余弦值会随点P在α终边上的位置的改变而改变吗？
3.根据任意角正弦函数、余弦函数的定义，终边相同的角的正弦函数、余弦函数有何关系？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若α是第二象限角，且P（u，v）是其终边与单位圆的交点，则cos α＝－u.（ ）
（2）sin α表示sin 与α的乘积.（ ）
（3）同一个正弦函数值和余弦函数值分别能找到无数个角与之对应.（ ）
（4）设角α终边上的点P（x，y），r＝｜OP｜≠0，则sin α＝，且y越大，sin α的值越大.（ ）
2.已知角α的终边与单位圆的交点为P，则cos α＝（ ）
A. B.－ C.－ D.
3.已知角α的终边经过点，则sin α＝ ，cos α＝ .
题型一 单位圆中三角函数定义的应用
【例1】 在平面直角坐标系内的单位圆中，α＝.
（1）画出角α；
（2）求出角α的终边与单位圆的交点坐标；
尝试解答
（3）求出角α的正弦函数值、余弦函数值.
尝试解答
通性通法
首先求出角的终边与单位圆交点的坐标，然后利用任意角的三角函数的定义求解.
【跟踪训练】
在直角坐标系的单位圆中，已知α＝－π.
（1）画出角α；
（2）求出角α的终边与单位圆的交点坐标；
（3）求出角α的正弦函数值、余弦函数值.
题型二 已知角的终边上一点求正、余弦函数值
【例2】 若角θ的终边过点P（－4a，3a）（a≠0），则sin θ＋cos θ＝ .
尝试解答
通性通法
已知角α终边上一点求正、余弦函数值的方法
（1）若已知角α终边上一点P（x，y）是以坐标原点为圆心的单位圆上的点，则sin α＝y，cos α＝x；
（2）若已知角α终边上一点P（x，y）（x2＋y2≠0）不是以坐标原点为圆心的单位圆上的点，先求r＝，则sin α＝，cos α＝.
【跟踪训练】
1.已知角α的终边上一点P0（－3，－4），则sin α＝ ，cos α＝ .
2.已知角α的终边上一点P（m，），且cos α＝，则m＝ ，sin α＝ .
题型三 已知角的终边在某一直线上，求正、余弦函数值
【例3】 已知角α的终边落在直线y＝－x上，求sin α，cos α的值.
尝试解答
通性通法
在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，应分两种情况处理.
【跟踪训练】
已知角α的终边落在射线y＝2x（x≥0）上，求sin α，cos α的值.
1.已知角α的终边与单位圆交于点（－，－），则sin α＝（ ）
A.－ B.－
C. D.
2.已知角α的终边上有一点P（－7，24），则sin α＝（ ）
A. B.－
C. D.－
3.若cos α＝－，且角α的终边经过点P（x，2），则P点的横坐标x＝（ ）
A.2 B.±2 C.－2 D.－2
4.已知角α的终边在直线y＝x上，则sin α＝ .
4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
【基础知识·重落实】
知识点一
纵坐标v 横坐标u sin α
知识点二
1.v＝sin α u＝cos α 2.
想一想
1.提示：单位圆是指圆心在原点，半径为单位长度的圆.
2.提示：不会.正弦函数、余弦函数也是函数，是以角为自变量，以单位圆上点的坐标（坐标的比值）为函数值的函数；正弦函数值和余弦函数值只与角α的大小有关，即由角α的终边位置决定.
3.提示：终边相同的角的同一三角函数值相等.
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）√ （4）×
2.A
3. －
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）因为α＝＝2π＋，所以角α的终边与角的终边相同.以原点为角的顶点，以x轴的非负半轴为角的始边，逆时针旋转，与单位圆交于点P，则角α如图所示.
（2）由（1）知，点P在第二象限，且在角的终边上，所以点P的坐标为.
（3）由（2）及正、余弦函数的定义可得sin ＝，cos ＝－.
跟踪训练
解：（1）因为α＝－π＝－2π－，所以角α的终边与－的终边相同，如图，以原点为角的顶点，以x轴的非负半轴为角的始边，顺时针旋转π，与单位圆交于点P，则角α如图所示.
（2）因为α＝－π，所以点P在第四象限.由（1）知，∠AOP＝，过点P作PM⊥x轴于点M，
则在Rt△MOP中，∠OMP＝，∠MOP＝，OP＝1，由直角三角形的边角关系，得OM＝，MP＝，
所以得点P的坐标为.
（3）根据正弦、余弦函数的定义，得
sin＝－，cos＝.
【例2】 ± 解析：∵角θ的终边过点P（－4a，3a）（a≠0），∴x＝－4a，y＝3a，r＝5｜a｜.当a＞0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝＋＝－；当a＜0时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝＋＝.故sin θ＋cos θ＝±.
跟踪训练
1.－ － 解析：因为点P0（－3，－4）在角α的终边上，所以x＝－3，y＝－4，则r＝｜OP0｜＝＝5（O为坐标原点），则sin α＝＝－，cos α＝＝－.
2. 解析：由题意得x＝m，y＝，∴r＝｜OP｜＝，∴cos α＝＝＝，显然m＞0，解得m＝，∴sin α＝＝＝.
【例3】 解：因y＝－x经过第二、第四象限.在第二象限取直线上的一点P0（－1，），则r＝｜OP0｜＝＝2（O为坐标原点），所以sin α＝，cos α＝－；
在第四象限取直线上的一点P1（1，－），则r＝｜OP1｜＝＝2，所以sin α＝－，cos α＝.
综上，sin α＝，cos α＝－或sin α＝－，cos α＝.
跟踪训练
解：设点P（a，2a）是角α终边上任意一点，其中a＞0.因为r＝｜OP｜＝＝a（O为坐标原点），所以sin α＝＝＝，cos α＝＝＝.
随堂检测
1.B 根据三角函数的定义可知sin α＝y＝－.
2.C 因为角α的终边上有一点P（－7，24），所以sin α＝＝.故选C.
3.D r＝，由题意得x＜0且＝－，所以x＝－2.故选D.
4.或－ 解析：由已知得角α的终边在第一或第三象限，当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取一点P（1，1），则x＝1，y＝1，r＝，所以sin α＝＝＝；当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取一点P1（－1，－1），则x＝－1，y＝－1，r＝，所以sin α＝＝＝－.综上可知，sin α＝或sin α＝－.
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4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
新课程标准解读 核心素养
1.借助单位圆理解任意角的三角函数定义 数学抽象、直观想象
2.能利用定义解决相关问题 数学运算、直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图所示是某游乐场的一个摩天轮示意图，它的中心离地面
的高度为h0，它的直径为2R，按逆时针方向匀速运动，转动一周
需要360秒.
【问题】 若现在你坐在座舱中，从初始位置OA出发，过了30秒
后，你离地面的高度h为多少？过了45秒呢？过了t秒呢？
知识点一 锐角的正弦函数和余弦函数
对于锐角α，角α的终边与单位圆交于点P（u，v），过点P向x轴
作垂线，垂足为M. 在Rt△OMP中，OP＝1，OM＝u，MP＝v，有
sin α＝ ＝ ＝v， cos α＝ ＝ ＝u.
由此可知，对于锐角α来说，点P的 是该角的正弦值；
点P的 是该角的余弦值.
对于每一个锐角α，都有唯一的坐标（u，v）与之对应，在弧度意
义下，α∈（ 0， ），称v＝ 为锐角α的正弦函数，u＝
cos α为锐角α的余弦函数.
纵坐标v
横坐标u
sin α
知识点二 任意角的正弦函数和余弦函数
1. 单位圆中的任意角的正弦与余弦函数定义：如图，给定任意角α，
作单位圆，角α的终边与单位圆的交点为P（u，v），点P的纵
坐标v、横坐标u都是唯一确定的.仿照上述定义，把点P的纵坐标
v叫作角α的正弦值，把点P的横坐标u叫作角α的余弦值，于是
在弧度意义下，对于α∈R，称 为任意角α的正弦
函数， 为任意角α的余弦函数.
v＝ sin α
u＝ cos α
2. 任意角的终边上任一点的正弦和余弦函数的定义：设角α终边上除
原点外的一点Q（x，y），则 sin α＝ ， cos α＝ ，
其中r＝ .
【想一想】
1. 什么是单位圆？
提示：单位圆是指圆心在原点，半径为单位长度的圆.
2. 对于确定的角α，其正弦值与余弦值会随点P在α终边上的位置的
改变而改变吗？
提示：不会.正弦函数、余弦函数也是函数，是以角为自变量，以
单位圆上点的坐标（坐标的比值）为函数值的函数；正弦函数值和
余弦函数值只与角α的大小有关，即由角α的终边位置决定.
3. 根据任意角正弦函数、余弦函数的定义，终边相同的角的正弦函
数、余弦函数有何关系？
提示：终边相同的角的同一三角函数值相等.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若α是第二象限角，且P（u，v）是其终边与单位圆的交
点，则 cos α＝－u. （ × ）
（2） sin α表示 sin 与α的乘积. （ × ）
（3）同一个正弦函数值和余弦函数值分别能找到无数个角与之对
应. （ √ ）
（4）设角α终边上的点P（x，y），r＝｜OP｜≠0，则 sin α
＝ ，且y越大， sin α的值越大. （ × ）
×
×
√
×
2. 已知角α的终边与单位圆的交点为P ，则 cos α＝（ ）
3. 已知角α的终边经过点 ，则 sin α＝ ， cos α
＝ .
－
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 单位圆中三角函数定义的应用
【例1】 在平面直角坐标系内的单位圆中，α＝ .
（1）画出角α；
解：因为α＝ ＝2π＋ ，所以角α的终边与角 的终边相同.以原点为角的顶点，以x轴的非负半轴为角的始边，逆时针旋转 ，与单位圆交于点P，则角α如图所示.
（2）求出角α的终边与单位圆的交点坐标；
解：由（1）知，点P在第二象限，且在角 的终边上，
所以点P的坐标为 .
（3）求出角α的正弦函数值、余弦函数值.
解：由（2）及正、余弦函数的定义可得
sin ＝ ， cos ＝－ .
通性通法
首先求出角的终边与单位圆交点的坐标，然后利用任意角的三角
函数的定义求解.
【跟踪训练】
在直角坐标系的单位圆中，已知α＝－ π.
（1）画出角α；
解：因为α＝－ π＝－2π－ ，所以角α的终边与－ 的终边相同，如图，以原点为角的顶点，以x轴的非负半轴为角的始边，顺时针旋转 π，与单位圆交于点P，则角α如图所示.
（2）求出角α的终边与单位圆的交点坐标；
解：因为α＝－ π，所以点P在第四象限.由（1）知，
∠AOP＝ ，过点P作PM⊥x轴于点M，
则在Rt△MOP中，∠OMP＝ ，∠MOP＝ ，OP＝1，
由直角三角形的边角关系，得OM＝ ，MP＝ ，
所以得点P的坐标为 .
（3）求出角α的正弦函数值、余弦函数值.
解：根据正弦、余弦函数的定义，得 sin ＝－ ，
cos ＝ .
题型二 已知角的终边上一点求正、余弦函数值
【例2】 若角θ的终边过点P（－4a，3a）（a≠0），则 sin θ＋
cos θ＝ .
解析：∵角θ的终边过点P（－4a，3a）（a≠0），∴x＝－4a，y
＝3a，r＝5｜a｜.当a＞0时，r＝5a， sin θ＋ cos θ＝ ＋ ＝－
；当a＜0时，r＝－5a， sin θ＋ cos θ＝ ＋ ＝ .故 sin θ＋ cos
θ＝± .
±
通性通法
已知角α终边上一点求正、余弦函数值的方法
（1）若已知角α终边上一点P（x，y）是以坐标原点为圆心的单位
圆上的点，则 sin α＝y， cos α＝x；
（2）若已知角α终边上一点P（x，y）（x2＋y2≠0）不是以坐标原
点为圆心的单位圆上的点，先求r＝ ，则 sin α＝ ，
cos α＝ .
【跟踪训练】
1. 已知角α的终边上一点P0（－3，－4），则 sin α＝ ， cos
α＝ .
解析：因为点P0（－3，－4）在角α的终边上，所以x＝－3，y＝
－4，则r＝｜OP0｜＝ ＝5（O为坐标原点），
则 sin α＝ ＝－ ， cos α＝ ＝－ .
－
－
2. 已知角α的终边上一点P（m， ），且 cos α＝ ，则m
＝ ， sin α＝ .
解析：由题意得x＝m，y＝ ，∴r＝｜OP｜＝ ，
∴ cos α＝ ＝ ＝ ，显然m＞0，解得m＝ ，∴ sin α
＝ ＝ ＝ .
题型三 已知角的终边在某一直线上，求正、余弦函数值
【例3】 已知角α的终边落在直线y＝－ x上，求 sin α， cos α
的值.
解：因y＝－ x经过第二、第四象限.在第二象限取直线上的一点P0
（－1， ），则r＝｜OP0｜＝ ＝2（O为坐标
原点），
所以 sin α＝ ， cos α＝－ ；
在第四象限取直线上的一点P1（1，－ ），
则r＝｜OP1｜＝ ＝2，
所以 sin α＝－ ， cos α＝ .
综上， sin α＝ ， cos α＝－ 或 sin α＝－ ，
cos α＝ .
通性通法
在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射
线，应分两种情况处理.
【跟踪训练】
已知角α的终边落在射线y＝2x（x≥0）上，求 sin α， cos α的值.
解：设点P（a，2a）是角α终边上任意一点，其中a＞0.因为r
＝｜OP｜＝ ＝ a（O为坐标原点），所以 sin α＝ ＝
＝ ， cos α＝ ＝ ＝ .
1. 已知角α的终边与单位圆交于点（－ ，－ ），则 sin α＝（ ）
解析： 根据三角函数的定义可知 sin α＝y＝－ .
2. 已知角α的终边上有一点P（－7，24），则 sin α＝（ ）
解析： 因为角α的终边上有一点P（－7，24），所以 sin α＝
＝ .故选C.
3. 若 cos α＝－ ，且角α的终边经过点P（x，2），则P点的横坐
标x＝（ ）
解析： r＝ ，由题意得x＜0且 ＝－ ，所以x
＝－2 .故选D.
4. 已知角α的终边在直线y＝x上，则 sin α＝ .
解析：由已知得角α的终边在第一或第三象限，当角α的终边在第
一象限时，在角α的终边上取一点P（1，1），则x＝1，y＝1，r
＝ ，所以 sin α＝ ＝ ＝ ；当角α的终边在第三象限时，
在角α的终边上取一点P1（－1，－1），则x＝－1，y＝－1，r
＝ ，所以 sin α＝ ＝ ＝－ .综上可知， sin α＝ 或 sin
α＝－ .
或－
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知角α的终边与单位圆相交于点M ，则 sin α＝（ ）
解析： 由任意角三角函数的定义知 sin α＝y＝ .
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2. 如果α的终边过点（2 sin 30°，－2 cos 30°），那么 cos α＝
（ ）
解析： 依题意可知点（2 sin 30°，－2 cos 30°），即（1，－
），则r＝ ＝2，因此 cos α＝ ＝ ，故选A.
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3. 若 sin α＝ ， cos α＝－ ，则在角α终边上的点为（ ）
A. （－4，3） B. （3，－4）
C. （4，－3） D. （－3，4）
解析： 由三角函数的定义知x＝－4，y＝3，r＝5时，选项A满
足题意.
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4. 已知角α的终边经过点P（m，－6），且 cos α＝－ ，则m＝
（ ）
A. 8 B. －8
C. 4 D. －4
解析： 由题意得r＝｜OP｜＝ ＝ ，故
cos α＝ ＝－ ，解得m＝－8.
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5. （多选）若角α的终边过点P（－3，－2），则（ ）
A. sin α＜0
B. cos α＜0
C. sin α cos α＞0
D. sin α cos α＜0
解析： 由P（－3，－2），可得r＝ ， sin α＝－ ＜0， cos α＝ ＜0，所以 sin α cos α＞0.故A、B、C正确.
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6. （多选）若角α的终边在直线y＝－2x上，则 sin α的可能取值为
（ ）
解析： 设角α的终边y＝－2x上一点（a，－2a），当a＞0
时，则r＝ a，此时 sin α＝ ＝－ ，当a＜0时，则r＝－
a，此时 sin α＝ ＝ ，故选C、D.
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7. 已知角α的终边与单位圆相交于一点P（－ ，－ ），则 cos α
＝ .
解析：由三角函数的定义可知， cos α＝x＝－ .
－
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8. 在单位圆中，下列三角函数值小于0的序号是 .
① cos 151°；② sin π；③ cos （－ ）；④ sin 270°.
解析：在直角坐标系中设角的终边与单位圆交点为P（x，y），
角151°的终边与单位圆的交点在第二象限，则x＜0，故 cos 151°
＜0；角 π的终边与单位圆交点在第三象限，则y＜0，故 sin π
＜0； 角－ 的终边与单位圆交点在第四象限，则x＞0，故 cos
（－ ）＞0；角270°的终边与单位圆交于y轴的负半轴上，则x
＝0，y＝－1，故 sin 270°＝－1＜0.
①②④
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9. 若角α终边上一点P（a，9）在函数y＝3x的图象上，则a
＝ ， sin α＋ cos α＝ .
解析：由题意知，3a＝9，∴a＝2，∴r＝ ＝ ，∴ sin
α＝ ＝ ＝ ， cos α＝ ＝ ＝ ，∴ sin α＋ cos α＝
＋ ＝ .
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解：由 sin α＝ ＝ y，得y2＝5，所以y＝± .
当y＝ 时， cos α＝ ＝－ ，
当y＝－ 时， cos α＝ ＝－ .
所以 cos α＝－ .
10. 已知角α的终边上一点P（－ ，y），y≠0，且 sin α＝
y，求 cos α的值.
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11. 设a＜0，角α的终边与单位圆的交点为P（－3a，4a），则 sin
α＋2 cos α＝（ ）
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解析： ∵点P在单位圆上，则｜OP｜＝1.即
＝1，解得a＝± .∵a＜0，∴a＝－
.∴P点的坐标为 .∴ sin α＝－ ， cos α＝ .∴ sin α
＋2 cos α＝－ ＋2× ＝ .
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12. 以原点为圆心的单位圆上一点P从（1，0）出发，沿逆时针方向
运动 弧长到达点Q，则点Q的坐标为（ ）
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解析： 设单位圆的半径为r，点P运动所形成的圆弧 的长
为l，则r＝1，l＝ ，所以 对应的圆心角α＝ ＝ ＝2π＋
.所以点Q在第一象限，设Q（x，y），由任意角的三角函数定
义，可得x＝ cos ＝ ，y＝ sin ＝ .所以点Q的坐标为 .
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13. 若角α的终边与直线y＝3x重合且 sin α＜0，又P（m，n）是
α终边上一点，且｜OP｜＝ ，则m－n＝ .
解析：∵y＝3x且 sin α＜0，∴点P（m，n）位于y＝3x在第三
象限的图象上，∴m＜0，n＜0，n＝3m.∴｜OP｜＝
＝ ｜m｜＝－ m＝ ，∴m＝－1，n＝－3，∴m－n
＝2.
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解：当角α的终边在射线y＝－ x（x＞0）上时，取终边上一点
P（4，－3），
所以点P到坐标原点的距离r＝｜OP｜＝5，
所以 sin α＝ ＝ ＝－ ， cos α＝ ＝ ，
所以 sin α－3 cos α＝－ － ＝－3，
14. 在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y＝－ x上，求 sin α
－3 cos α的值.
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当角α的终边在射线y＝－ x（x＜0）上时，取终边上一点P'
（－4，3），
所以点P'到坐标原点的距离r＝｜OP'｜＝5，
所以 sin α＝ ＝ ， cos α＝ ＝－ ，
所以 sin α－3 cos α＝ －3× ＝3.
所以 sin α－3 cos α＝±3.
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15. 设A是△ABC的一个内角，且 sin A＋ cos A＝ ，则△ABC是（ ）
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形
C. 非等腰的直角三角形 D. 等腰直角三角形
解析： 由正弦函数和余弦函数的定义及单位圆的性质易知，
若A为锐角，则 sin A＋ cos A＞1；若A为直角，则 sin A＋ cos A
＝1.而本题中 sin A＋ cos A＝ ＜1，从而A必为钝角.故△ABC是
钝角三角形.
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16. 函数y＝logax（a＞0且a≠1）的图象先向右平移3个单位长度，
再向上平移2个单位长度后所得的图象过定点P，且角α的终边过
点P，求 sin α＋2 cos α的值.
解：∵函数y＝logax（a＞0且a≠1）的图象先向右平移3个单位
长度，再向上平移2个单位长度后，得到y＝loga（x－3）＋2（a
＞0且a≠1）的图象，∴P（4，2）.又角α的终边过点P，∴ sin
α＝ ＝ ， cos α＝ ＝ ，则 sin α＋2 cos α＝
＋2× ＝ .
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