(共30张PPT)
3.4.3.2 空间中的距离问题
（第二课时）
学习目标
1.掌握点到直线的距离公式，体现数学抽象能力（重点）
2.经历点到直线距离公式的推导过程，会用公式解决空间内的距离问题，体现逻辑推理能力（难点）
新课导入
思考一下：如图，设点P是直线l外一定点，l0是直线l的单位方向向量，过点P作直线l的垂线，垂足为点P'，则垂线段PP'的长度就是点P到直线l的距离.如何求这个距离呢
按照前面的思路，若能求出垂线段PP'的方向向量，则可在直线l上任取一点A，求 在向量 方向上的投影向量的长度即可.
然而在空间中，求垂线段的方向向量较为困难.
但直线l的方向向量已知，所以可先求出 在l0方向上的投影数量，
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思考一下：如图，设点P是直线l外一定点，l0是直线l的单位方向向量，过点P作直线l的垂线，垂足为点P'，则垂线段PP'的长度就是点P到直线l的距离.如何求这个距离呢
然后在Rt△PP'A中运用勾股定理求得|PP'|即可.
在Rt△PP'A中，
于是，点P到直线l的距离为
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点到直线的距离的概念
若点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，点A是直线l上任意给定的一点，则点P到直线l的距离为
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下面给出点到直线距离的一种推导方法：
如图，设点P是直线l外一定点，l0是直线l的单位方向向量，点A是直线l上任意给定的一点，如何在直线l上找到一点Q，使得|PQ|最小
对于直线l上任意一点Q，总存在实数λ，使得
于是
因此只需求λ的值，使得|PQ|最小即可.因为
所以 是关于λ的二次函数.
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下面给出点到直线距离的一种推导方法：
当 时， 最小，
最小值为
所以点P到直线l的距离为
利用向量投影求解距离主要是运用距离的几何属性，而上述利用距离的最小性求解则主要是运用代数方法.
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例15：如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A'B'C'D'，AB=1，BC=2，AA=3. 用向量的方法求点B到直线A'C的距离.
依题意有A(0,0,3)，C(1,2,0)，B(1,0,0). 所以
在 方向上的投影数量为
所以点B到直线A'C的距离为
相互平行的两条直线间的距离可以转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离
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用向量法求点到直线的距离的一般步骤：
1.求直线的方向向量.
2.计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度.
3.利用勾股定理求解.另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.
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思考一下：如何求两个异面直线间的距离？
设直线a,b异面,向量a,b分别为它们的一个方向向量，如何求出这两条异面直线间的距离呢
如图,过直线a上任意一点A作b'//b，过直线b上任意一点B作a'//a，则a∩b'=A，a'∩b=B，于是a与b'，a与b均可确定一个平面，依次记作α,β.
α
n
b
a
A
β
b
a'
B
由立体几何的知识可以证明:平面α,β均由直线a,b唯一确定，与点A，B的位置无关，且α//β.
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于是,异面直线a,b的距离就转化为平行平面α,β的距离，故只需先求出这两个平行平面的法向量,再求 在此法向量上的投影向量的长度即可.
思考一下：如何求两个平面的法向量呢？
设n是平行平面α,β的一个法向量，显然有n⊥a,n⊥b. 因为向量a,b不共线,所以满足这个条件的所有向量都平行.也就是说,只需找到与向量a,b均垂直的向量即可.
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异面直线间的距离
如图，设点A,B分别是异面直线a,b上任意一点向量a,b分别是直线a,b的方向向量,向量n是与向量a,b均垂直的向量,则异面直线a,b的距离为
β
b
B
A
a
n
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练一练：如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点.
(1)求点B到直线AC1的距离；
以D1为原点，D1A1 ，D1C1 ，D1D 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如题图所示的空间直角坐标系，则
A(1,0,1),B(1,1,1),C(0,1,1),C1(0,1,0),
所以
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取
则 a2=1,a u=
所以，点B到直线AC1的距离为
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(2)求直线FC到平面AEC1的距离.
因为
所以FC//EC1，所以FC//平面AEC1 .
所以点F到平面AEC1的距离即为直线FC到平面AEC1的距离.
设平面AEC1的法向量为n(x,y,z)，则
所以
所以
取z=1 ，则x=1，y=2.
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(2)求直线FC到平面AEC1的距离.
所以,n(1,2,1) 是平面AEC1的一个法向量.
又因为
所以点F到平面AEC1的距离为
即直线FC到平面AEC1的距离为
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C
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D
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C
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C
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B
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课堂巩固
1
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课堂总结
1.点到直线的距离
2.用向量法求点到直线的距离的一般步骤
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3.4.3.2 空间中的距离问题
（第一课时）
学习目标
2.能用向量方法解决点到平面、平行于平面的直线到平面、相互平行的平面间的距离问题，体现逻辑推理能力（难点）
1.掌握点到平面的距离公式，体现数学抽象能力（重点）
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思考一下：几何学中,经常需要计算两个图形间的距离.一个图形内任一点与另一个图形内任一点的距离中的最小值,通常叫作这两个图形的距离.空间中常见的距离有:两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、相互平行的直线之间的距离、相互平行的平面之间的距离等.计算距离是空间度量最基本的问题,如何用向量方法求解这些距离呢？
回顾平面内直线l外一点P到直线的距离的几种求解方法.方法如下:
综合几何方法: 如图(1)， 过点P作直线l的垂线， 垂足为点D1，一般转化为求三角形的高，即PD1的长度.
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解析几何方法: 如图(2)，确定点P的坐标及直线l的方程，利用点到直线的距离公式即可得点P到直线l的距离PD2的长度.
平面向量方法: 如图，先求出直线l的单位法向量n0， 再求向量 在法向量n0方向上的投影向量的长度 即可.
点到直线的距离就等于过这点向直线所引垂线段的长度;点到平面的距离就等于过这点向平面所作垂线段的长度;如果一条直线和一个平面平行，它们之间的距离就等于过这条直线上任意一点向该平面所作垂线段的长度;两个平行平面间的距离就等于这两个平面的垂线夹在两个平行平面间的线段的长度.
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思考一下：用向量求距离的本质是什么？
垂直反映了距离的本质.用向量方法求解距离,也要抓住这一点.无论是对于平面还是直线,法向量都是反映垂直方向的最为直观的表达形式,因此可以通过一个向量在法向量方向上作投影向量的方法来求解距离.
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思考一下：设点P是平面α外一点，点A是平面α内的已知点，n0是平面α的单位法向量，如何求平面α外一点P到平面α的距离？
过点P作PP′⊥平面α，垂足为P′，则线段PP′的长度就是点P到平面α的距离，
而
所以向量 在法向量n0方向上的投影向量的长度 就等于线段PP′的长度.
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点到平面的距离的概念
点P到平面α的距离，等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量 ，在平面α的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度，即
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例12：如图，在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-A'B'C'D'.
(1)求证： 是平面A'BD的一个法向量；
依据题意有A'(0,0,1)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，C'(1,1,1).
因为
所以
从而
又A'B，A'D 平面A'BD，A'B∩A'D=A'，
所以 ⊥平面A'BD，即 是平面A'BD的一个法向量.
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(2)求点C'到平面A'BD的距离.
因为
所以点C'到平面A'BD的距离为
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例13:在单位正方体ABCD-A'B'C'D'中，点M是侧面ABB'A'的中心.判断直线C'M与平面ACD'是否平行.若平行，请证明你的结论，并求直线C'M到平面ACD'的距离；若不平行，请说明理由.
分析：平面ACD'截正方体得一个三角形，如图.点C'不在该三角形内，所以C'M 平面ACD'.进一步研究二者的位置关系可以考虑平面ACD'的法向量与 是否垂直.
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以点D为原点，DA，DC，DD'所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图).由正方体的棱长为1，得
所以
设n=(x,y,z)是平面ACD'的一个法向量，则
取x=1，得y=z=1，故n=(1,1,1).
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因为
所以
∥平面ACD'.
又C'M 平面ACD'，
C'M∥平面ACD'.
所以
所以直线C'M上任意一点到平面ACD'的距离都相等，都等于直线C'M到平面ACD'的距离.
因为
所以点C'到平面ACD'的距离为
即直线C'M到平面ACD'的距离为
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例14:已知向量 ，对任意的实数a，b，当向量 的长度最小时，求a，b的值.
分析：记向量 由平面向量基本定理可知，对任意的a，b，向量 都在 所确定的平面xOy内，反之，平面xOy内的任意向量 都可以用来表示.换句话说，当a，b变化时，点M是平面xOy内的动点.
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如图， 要使向量 的长度最小,也就是线段MY的长度最短.
由点到平面距离的定义，当且仅当n⊥平面xOy时，线段MY的长度最短.
这时
由
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解得
所以向量 的长度最小时，
得
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用向量方法求解点到平面的距离问题的一般步骤是:
1.确定一个法向量;
2.选择参考向量;
3.确定参考向量在法向量方向上的投影向量;
4.求投影向量的长度.
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思考交流：怎样用向量的方法求解平行于平面的直线到该平面的距离、相互平行的两个平面间的距离？
平行于平面的直线到该平面的距离，实质上就是直线上一点到平面的距离，可转化为点到平面的距离，利用向量法来求即可．相互平行的两个平面间的距离可转化为一个平面内的任意一点到另一个平面的距离，即转化为点到平面的距离，利用向量法来求即可．
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B
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D
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B
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C
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A
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课堂总结
1.点到平面的距离公式
2.用向量方法求解点到平面的距离问题的一般步骤
THANK YOU
