5.1 基本计数原理 课件（共32张PPT）- 高一上学期数学 北师大版2019 选择性必修第一册

(共32张PPT)
5.1 基本计数原理
学习目标
1.理解基本计数原理，能正确区分“类”和“步”，体现逻辑推理能力（重点）
2.理解分类加法计数原理和分布乘法计数原理的区别和联系，体现逻辑推理能力（重点）
3.能够准确运用计数原理解决一些简单实际问题，体现数学计算能力（难点）
新课导入
在日常生活中，我们常常会遇到一些需要计数的问题，例如：
用8个数字：1,2,...,8,组成电话号码可以组成多少种不同的电话号码？
本节将介绍两个计数原理——分类加法计数原理与分布乘法计数原理.
思考下面的问题：
问题1：从甲地到乙地，可以乘飞机，可以乘火车，也可以乘轮船，还可以乘汽车.每天有2个班次的飞机，有4个班次的火车，有2个班次的轮船，有1个班次的汽车，那么，乘坐以上交通工具中的一种从甲地到乙地，在一天中共有多少种选择呢？
新课学习
分析一下上面的问题：
如图，要完成的一件事：从甲地到乙地共有多少种方法？
所有方法可以分为：乘飞机、火车、轮船、汽车4类办法；
每类办法中分别又有：2，4，2，1种方法.
于是，乘坐以上交通工具从甲地到乙地，共有2+4+2+1=9种方法.
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解决以上问题的步骤为：
（1）求完成一件事的所有方法数，这些方法数可以分成n类，且类与类之间两两不交；
（2）求每一类中的方法数；
（3）把各类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数.
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分类加法计数原理
完全一件事，可以有n类办法，在第1类办法中有m1种方法，在第2类办法中有m2种方法......在第n类办法中有mn种方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+...+mn种方法.（也称“加法原理”）
注意：完成这件事的若干种方法可以分成n类，且类与类之间两两不交.
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问题2：春节到了，某同学要与父母一起参加家庭聚会.
(1)她有3件不同的上衣，4条不同的裤子，如果把1件上衣和1条裤子看作一种搭配方法，那么共有多少种搭配方法？
分析：
我们先看裤子的选择数：
有4条不同的裤子，则有4种选择方法；
我们再看上衣的选择数：
每一条裤子对应3件不同的上衣.
裤子1
上衣A
上衣B
上衣C
裤子2
上衣A
上衣B
上衣C
裤子3
上衣A
上衣B
上衣C
裤子4
上衣A
上衣B
上衣C
如图，根据分类加法计数原理，共有N＝3+3+3+3=12种搭配方法.
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(2)她还有5双不同的鞋子，如果把1件上衣、1条裤子和1双鞋子看作一种搭配方法，那么共有多少种搭配方法？
分析：
先选鞋子：
有5双不同的鞋子，则有5种选择方法；
再选上衣、裤子：
每一双鞋子对应的裤子和上衣的搭配方法有12种.
鞋子甲
裤子1
裤子2
裤子3
裤子4
上衣A
上衣B
上衣C
上衣A
上衣B
上衣C
上衣A
上衣B
上衣C
上衣A
上衣B
上衣C
鞋子乙
裤子1
裤子2
裤子3
裤子4
上衣A
上衣B
上衣C
上衣A
上衣B
上衣C
上衣A
上衣B
上衣C
上衣A
上衣B
上衣C
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鞋子丙
裤子1
裤子2
裤子3
裤子4
上衣A
上衣B
上衣C
上衣A
上衣B
上衣C
上衣A
上衣B
上衣C
上衣A
上衣B
上衣C
鞋子丁
裤子1
裤子2
裤子3
裤子4
上衣A
上衣B
上衣C
上衣A
上衣B
上衣C
上衣A
上衣B
上衣C
上衣A
上衣B
上衣C
鞋子戊
裤子1
裤子2
裤子3
裤子4
上衣A
上衣B
上衣C
上衣A
上衣B
上衣C
上衣A
上衣B
上衣C
上衣A
上衣B
上衣C
因此，根据分类加法计数原则，共有N=12+12+12+12+12=12×5=3×4×5＝60种搭配方法.
新课学习
思考一下：如果再考虑围巾、帽子等因素，计数的思路应当如何呢？
问题（1）是分两步完成，第1步确定裤子有4种选择方法，第2步确定每一条裤子对应3件上衣； 问题（2）是在问题（1）的基础上确定每一双鞋子对应12种裤子和上衣的搭配方法，即需要分三步完成.
新课学习
思考一下：问题2有什么特点？
1.完成一件事需要经过n个步骤；
2.完成每一步有若干种方法，且每一步对其他步没有影响；
3.把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数.
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分步乘法计数原理
完全一件事，需要经过n个步骤，缺一不可，
做第1步有m1种不同的方法，
做第2步有m2种不同的方法
······
做第n步有mn种不同的方法，
那么完成这件事共有N=m1·m2·...·mn种方法.（也称“乘法原理”）
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加法原理与乘法原理的联系与区别：
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
区别 完成一件事，共有n类方法，关键词是“分类” ． 完成一件事，共有n个步骤，关键词是“分步” ．
每类方法都能独立完成这件事，且每类方法得到的都是最后结果，只需一种方法就可以完成这件事． 任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事．
各类方法之间是互斥的、并列的、独立的． 各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复．
联系 都是求完成一件事情的方法种数． 本质一样，乘法原理可以看成是加法原理的简化，类似于数的运算中乘法是加法的简化． 解决实际问题时常常需要两个原理结合应用．
新课学习
例1：在1，2，3，…，200中，能够被5整除的数共有多少个？
第1类，末位数字是0的数，共有20个；
第2类，末位数字是5的数，共有20个.
根据分类加法计数原理，在1，2，3...，200中，能够被5整除的数共有N=20+20=40个.
新课学习
例2:某班班委由2位女同学、3位男同学组成，现要从中选出2人去参加学校组织的培训活动，要求至少有1位女同学参加，则不同的选法共有多少种？
按照选择的女同学人数分为两类情况：
第一类：2位都是女同学，只有1种选法；
第二类：只有1位女同学，可以分为两步完成：
第一步，先从2位女同学中选出1人，共2种选法；
第二步，再从3位男同学中选出1人，共3种选法.
根据分步乘法计数原理：共有2×3=6种方法.
综上，根据分类加法计数原理：不同的选法共有1+6=7种.
新课学习
例3：有一项活动，需在3名教师、8名男学生和5名女学生中选人参加.
(1)若只需1名参加，共有多少种选法？
只要选出1名就可以完成这件事，而选出的1名有3种不同类型，即教师、男学生或女学生，因此要分3类相加：
第一类，选教师，3种选法；
第二类，选男生，8种选法；
第三类，选女生，5种选法.
据分类加法计数原理,共有N=3+8+5=16种选法.
课堂巩固
例3：有一项活动，需在3名教师、8名男学生和5名女学生中选人参加.
(2)若需教师、男学生、女学生各1名参加，共有多少种选法？
完成这件事，需要1名教师、1名男同学和1名女同学，可以先选教师，再选男同学，最后选女同学，因此要分3步相乘：
第一步，选1名教师，有3种选法；
第二步，选1名男生，有8种选法；
第三步，选1名女生，有5种选法
据分类加法计数原理,共有N=3×8×5=120种选法.
新课学习
拓展：利用两个计数原理解题时的三个注意点：
（1）当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法.
（2）分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树形图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律.
（3）混合问题一般是先分类再分步.
课堂巩固
A
课堂巩固
课堂巩固
C
课堂巩固
课堂巩固
B
课堂巩固
课堂巩固
D
课堂巩固
课堂巩固
B
课堂巩固
课堂巩固
8
课堂巩固
课堂总结
1.分类加法计数原理的概念
2.分步乘法计数原理的概念
THANK YOU