4.3 诱导公式与对称
1.sin＝（ ）
A. B.－
C. D.－
2.sin 240°＋cos（－150°）＝（ ）
A.－ B.－1
C.1 D.
3.若sin（θ＋2π）＜0，cos（θ－π）＞0，则θ为（ ）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
4.若600°角的终边上有一点（－4，a），则a的值是（ ）
A.4 B.±4
C.－4 D.
5.（多选）下列三角函数式的值为负的是（ ）
A.cos 210° B.sin
C.sin D.cos（－1 920°）
6.（多选）已知n∈Z，则下列三角函数中，与sin 的值相同的是（ ）
A.sin
B.cos
C.sin
D.cos
7.sin 750°＝ .
8.若cos（π＋α）＝－，π＜α＜2π，则cos（α－2π）＝ .
9.已知cos（π＋α）＝－，则cos（α＋3π）＋cos（α－π）＝ .
10.化简下列各式：
（1）sincos π；
（2）sin（－960°）cos 1 470°－cos 240°sin（－210°）.
11.设函数f（x）（x∈R）满足f（x＋π）＝f（x）＋sin x.当0≤x＜π时，f（x）＝0，则f（）＝（ ）
A. B.
C.0 D.－
12.（多选）在△ABC中，给出下列四个式子，其中为常数的是（ ）
A.sin（A＋B）＋sin C
B.cos（A＋B）＋cos C
C.sin（2A＋2B）＋sin 2C
D.cos（2A＋2B）＋cos 2C
13.已知函数f（x）＝sin 2x，若存在非零实数a，b，使得f（x＋a）＝bf（x）对任意x∈R都成立，则满足条件的一组值可以是a＝ ，b＝ .（只需写出一组）
14.在直角坐标系中，角α的终边与单位圆相交于点P，求的值.
15.黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来.数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串，重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”.若把这个数字设为a，则cos （＋）＝（ ）
A. B.－
C. D.－
16.已知f（x）＝（n∈Z）.
（1）化简f（x）的表达式；
（2）求f.
4.3 诱导公式与对称
1.D 由题意可得sin＝－sin ＝－.
2.A sin 240°＋cos（－150°）＝sin（180°＋60°）＋cos（180°－30°）＝－sin 60°－cos 30°＝－－＝－.
3.C ∵sin（θ＋2π）＝sin θ＜0，cos（θ－π）＝cos（π－θ）＝－cos θ＞0，∴cos θ＜0，∴θ为第三象限角.
4.C sin 600°＝sin（720°－120°）＝sin（－120°）＝－sin（180°－60°）＝－sin 60°＝－，∴＝－，则a＜0.∴4a2＝48＋3a2，∴a2＝48，又a＜0，∴a＝－4.
5.AD A.cos 210°＝cos（180°＋30°）＝－cos 30°＝－＜0.B.sin ＝sin＝sin ＝sin＝sin ＝＞0.C.sin＝－sin＝－sin ＝－sin（π＋）＝sin ＝＞0.D.cos（－1 920°）＝cos 1 920°＝cos（5×360°＋120°）＝cos 120°＝cos（180°－60°）＝－cos 60°＝－＜0.
6.BC 对于A，当n＝2k，k∈Z时，sin＝sin＝sin π＝sin＝－sin ，所以A错误，对于B，cos＝cos ＝＝sin ，所以B正确，对于C，sin＝sin ，所以C正确，对于D，cos＝cos＝cos＝－cos ＝－＝－sin ，所以D错误，故选B、C.
7. 解析：sin 750°＝sin（720°＋30°）＝sin 30°＝.
8. 解析：由cos（π＋α）＝－，得cos α＝，故cos（α－2π）＝cos α＝.
9.－ 解析：∵cos（π＋α）＝－，∴cos α＝.∴cos（α＋3π）＋cos（α－π）＝－cos α－cos α＝－2cos α＝－.
10.解：（1）sincos π
＝－sincos
＝sin cos ＝.
（2）sin（－960°）cos 1 470°－cos 240°·sin（－210°）＝－sin（180°＋60°＋2×360°）·cos（30°＋4×360°）＋cos（180°＋60°）·sin（180°＋30°）＝sin 60°cos 30°＋cos 60°·sin 30°＝1.
11.A 由题意可得f（）＝f（）＋sin＝f（）＋sin ＋sin＝f（）＋sin＋sin ＋sin ＝0＋sin（π－）＋sin（2π－）＋sin（2π＋π－）＝0＋－＋＝.故选A.
12.BC A项，sin（A＋B）＋sin C＝2sin C；B项，cos（A＋B）＋cos C＝－cos C＋cos C＝0；C项，sin（2A＋2B）＋sin 2C＝sin[2（A＋B）]＋sin 2C＝sin[2（π－C）]＋sin 2C＝sin（2π－2C）＋sin 2C＝－sin 2C＋sin 2C＝0；D项，cos（2A＋2B）＋cos 2C＝cos[2（A＋B）]＋cos 2C＝cos[2（π－C）]＋cos 2C＝cos（2π－2C）＋cos 2C＝cos 2C＋cos 2C＝2cos 2C.故选B、C.
13. －1（答案不唯一） 解析：当a＝时，f＝sin（2x＋π）＝－sin 2x，即b＝－1，故当a＝，b＝－1时，f（x＋a）＝bf（x）对任意x∈R都成立.
14.解：∵在直角坐标系中，角α的终边与单位圆相交于点P，由正弦函数、余弦函数的定义得cos α＝，sin α＝－，
＝
＝＝.
15.B 根据“数字黑洞”的定义，任取数字0，第一步之后变为101，第二步之后变为123，接着变为123，再变为123，所以数字黑洞为123，即a＝123，故cos（＋）＝cos（＋）＝cos（π＋）＝－cos ＝－.故选B.
16.解：（1）当n为偶数，即n＝2k（k∈Z）时，
f（x）＝
＝
＝
＝sin2x；
当n为奇数，即n＝2k＋1（k∈Z）时，
f（x）＝
＝
＝
＝sin2x.
综上得f（x）＝sin2x.
（2）由（1）知f＝sin2π
＝sin2（675π＋）＝sin2＝.
2 / 24.3 诱导公式与对称
新课程标准解读 核心素养
1.能借助单位圆的对称性，利用定义推导出正弦函数、余弦函数的诱导公式 数学抽象
2.能够运用诱导公式，把任意角的正弦函数、余弦函数的化简、求值问题转化为锐角正弦函数、余弦函数的化简、求值问题 数学运算、逻辑推理
“南京眼”和辽宁的“生命之环”均利用完美的对称展现自己的和谐之美.而三角函数与圆（单位圆）是紧密联系的，它的基本性质是圆的几何性质的代数表示，圆有很好的对称性：既是以圆心为对称中心的中心对称图形，又是以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形.
【问题】 你能否利用这些对称性，借助单位圆，讨论任意角α的终边与π±α，－α有什么样的对称关系？
知识点 诱导公式
终边关系 角－α与角α的终边关于x轴对称 角α±π与角α的终边关于原点对称 角π－α与角α的终边关于y轴对称
图示
公式 sin（－α）＝ ； cos（－α）＝ sin（π＋α）＝ ； cos（π＋α）＝ ； sin（α－π）＝ ； cos（α－π）＝ sin（π－α）＝ ； cos（π－α）＝
特点 （1）公式两边的函数名称一致； （2）将α看作锐角时，原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号，即为等号右边的符号
提醒 诱导公式的记忆口诀：“函数名不变，符号看象限”.“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）诱导公式中角α是任意角.（ ）
（2）点P（x，y）关于x轴的对称点是P'（－x，y）.（ ）
（3）诱导公式中的符号是由角α的象限决定的.（ ）
（4）cos（－α－β）＝cos（α＋β）.（ ）
2.cos 300°＋sin 450°＝（ ）
A.－1＋ B. C.－1－ D.
3.若cos（π－α）＝，则cos α＝ .
题型一 给角求值问题
【例1】 求下列三角函数式的值：
（1）sin 495°·cos（－675°）；
（2）sin＋cos .
尝试解答
通性通法
利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤
（1）“负化正”——用sin（－α）＝－sin α，cos（－α）＝cos α转化；
（2）“大化小”——用终边相同的角的三角函数值相等化为0到2π之间的角；
（3）“小化锐”——用α±π与π－α相应的公式将大于的角转化为锐角；
（4）“求值”——得锐角三角函数后求值.
【跟踪训练】
求下列各三角函数式的值：
（1）sin 1 320°；（2）cos.
题型二 给值（式）求值问题
【例2】 （1）已知sin（π＋α）＝－0.3，则sin（2π－α）＝ ；
（2）已知cos＝，则cos＝ .
尝试解答
通性通法
解决条件求值问题的策略
（1）解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系；
（2）将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.
【跟踪训练】
已知sin β＝，cos（α＋β）＝－1，则sin（α＋2β）＝ .
题型三 三角函数式的化简
【例3】 化简下列各式：
（1）·sin（π＋α）cos（－α）；
（2）.
尝试解答
通性通法
利用诱导公式化简应注意的问题
（1）利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；
（2）利用诱导公式化简三角函数式的一般原则是负化正、大化小、异角化同角等.
【跟踪训练】
化简下列各式：
（1）；
（2）.
1.cos（－780°）＝（ ）
A.－ B.－
C. D.
2.已知角α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是（ ）
A.sin α＝sin β B.sin（α－2π）＝sin β
C.cos α＝cos β D.cos（2π－α）＝－cos β
3.如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P，则cos（π－θ）的值为（ ）
A.－ B.－
C. D.
4.若k为整数，则sincos＝ .
4.3 诱导公式与对称
【基础知识·重落实】
知识点
－sin α cos α －sin α －cos α －sin α
－cos α sin α －cos α
自我诊断
1.（1）√ （2）× （3）× （4）√
2.D 原式＝cos（360°－60°）＋sin（360°＋90°）＝cos（－60°）＋sin 90°＝cos 60°＋1＝.
3.－ 解析：∵cos（π－α）＝－cos α，∴－cos α＝，即cos α＝－.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）sin 495°·cos（－675°）
＝sin（135°＋360°）·cos 675°
＝sin 135°·cos 315°
＝sin（180°－45°）·cos（360°－45°）
＝sin 45°·cos 45°
＝×＝.
（2）sin＋cos
＝－sin ＋cos
＝－sin＋cos
＝－sin ＋cos
＝－sin－cos
＝sin －cos
＝－＝0.
跟踪训练
解：（1）法一 sin 1 320°＝sin（3×360°＋240°）＝sin 240°＝sin（180°＋60°）＝－sin 60°＝－.
法二 sin 1 320°＝sin（4×360°－120°）＝sin（－120°）＝－sin（180°－60°）＝－sin 60°＝－.
（2）法一 cos＝cos
＝cos＝cos
＝－cos ＝－.
法二 cos＝cos＝cos＝－cos ＝－.
【例2】 （1）－0.3 （2）－
解析：（1）∵sin（π＋α）＝－0.3，
sin（π＋α）＝－sin α，
∴sin α＝0.3.∴sin（2π－α）＝－sin α＝－0.3.
（2）∵＋α＝π－，
∴cos＝cos＝－cos（－α）＝－.
跟踪训练
－ 解析：∵cos（α＋β）＝－1，
∴α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，
∴α＋2β＝（α＋β）＋β＝2kπ＋π＋β.
∴sin（α＋2β）＝sin（2kπ＋π＋β）＝sin（π＋β）＝－sin β＝－.
【例3】 解：（1）原式＝·（－sin α）cos α
＝·（－sin α）cos α
＝sin2 α.
（2）原式＝
＝＝cos α.
跟踪训练
解：（1）原式＝
＝＝1.
（2）原式
＝
＝
＝＝＝－.
随堂检测
1.C 因为cos（－780°）＝cos 780°＝cos（2×360°＋60°）＝cos 60°＝，故选C.
2.C 由角α和β的终边关于x轴对称，可知β＝－α＋2kπ（k∈Z），故sin α＝－sin β，cos α＝cos β.故选C.
3.C ∵角θ的终边与单位圆交于点P（－，），∴cos θ＝－.
∴cos（π－θ）＝－cos θ＝.
4.－ 解析：分k为奇数和k为偶数两种情况进行讨论.当k＝2n（n∈Z）时，原式＝sin·cos＝－sin ·cos ＝－×＝－；当k＝2n＋1（n∈Z）时，原式＝sin·cos＝sin ·cos＝sin ＝×＝－.综上，sincos（kπ＋）＝－.
3 / 3(共55张PPT)
4.3 诱导公式与对称
新课程标准解读 核心素养
1.能借助单位圆的对称性，利用定义推导出正弦函
数、余弦函数的诱导公式 数学抽象
2.能够运用诱导公式，把任意角的正弦函数、余弦函
数的化简、求值问题转化为锐角正弦函数、余弦函数
的化简、求值问题 数学运算、
逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
“南京眼”和辽宁的“生命之环”均利用完美的对称展现自
己的和谐之美.而三角函数与圆（单位圆）是紧密联系的，它的基
本性质是圆的几何性质的代数表示，圆有很好的对称性：既是以
圆心为对称中心的中心对称图形，又是以任意直径所在直线为对
称轴的轴对称图形.
【问题】 你能否利用这些对称性，借助单位圆，讨论任意角α的终
边与π±α，－α有什么样的对称关系？
知识点 诱导公式
终边
关系 角－α与角α的终
边关于x轴对称 角α±π与角α的终
边关于原点对称 角π－α与角α的终
边关于y轴对称
图示
公
式 sin （－α）＝ ； cos （－α）＝ sin （π＋α）＝ ； cos （π＋α）＝ ； sin （α－π）＝ ； cos （α－π）＝ sin （π－α）
＝ ；
cos （π－α）
＝
特
点 （1）公式两边的函数名称一致； （2）将α看作锐角时，原角所在象限的正弦函数、余弦函数值
的符号，即为等号右边的符号 －sin α
cosα
－ sin α
－ cos α
－ sin α
－ cos α
sin α
－ cos α
提醒 诱导公式的记忆口诀：“函数名不变，符号看象限”.“函数
名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正
号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式
中角的终边所在象限是取正值还是负值.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）诱导公式中角α是任意角. （ √ ）
（2）点P（x，y）关于x轴的对称点是P'（－x，y）.
（ × ）
（3）诱导公式中的符号是由角α的象限决定的. （ × ）
（4） cos （－α－β）＝ cos （α＋β）. （ √ ）
√
×
×
√
2. cos 300°＋ sin 450°＝（ ）
解析： 原式＝ cos （360°－60°）＋ sin （360°＋90°）＝
cos （－60°）＋ sin 90°＝ cos 60°＋1＝ .
3. 若 cos （π－α）＝ ，则 cos α＝ .
解析：∵ cos （π－α）＝－ cos α，
∴－ cos α＝ ，即 cos α＝－ .
－
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 给角求值问题
【例1】 求下列三角函数式的值：
（1） sin 495°· cos （－675°）；
解： sin 495°· cos （－675°）
＝ sin （135°＋360°）· cos 675°
＝ sin 135°· cos 315°
＝ sin （180°－45°）· cos （360°－45°）
＝ sin 45°· cos 45°
＝ × ＝ .
（2） sin ＋ cos .
解： sin ＋ cos ＝－ sin ＋ cos
＝－ sin ＋ cos ＝－ sin ＋ cos
＝－ sin － cos ＝ sin － cos
＝ － ＝0.
通性通法
利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤
（1）“负化正”——用 sin （－α）＝－ sin α， cos （－α）＝ cos
α转化；
（2）“大化小”——用终边相同的角的三角函数值相等化为0到2π之
间的角；
（3）“小化锐”——用α±π与π－α相应的公式将大于 的角转化为
锐角；
（4）“求值”——得锐角三角函数后求值.
【跟踪训练】
求下列各三角函数式的值：
（1） sin 1 320°；
解：法一 sin 1 320°＝ sin （3×360°＋240°）＝ sin
240°＝ sin （180°＋60°）＝－ sin 60°＝－ .
法二 sin 1 320°＝ sin （4×360°－120°）＝ sin （－120°）＝－ sin （180°－60°）＝－ sin 60°＝－ .
解：法一 cos ＝ cos ＝ cos ＝ cos ＝－ cos ＝－ .
（2） cos .
法二 cos ＝ cos
＝ cos ＝－ cos ＝－ .
题型二 给值（式）求值问题
【例2】 （1）已知 sin （π＋α）＝－0.3，则 sin （2π－α）
＝ ；
解析：∵ sin （π＋α）＝－0.3， sin （π＋α）＝－ sin α，
∴ sin α＝0.3.∴ sin （2π－α）＝－ sin α＝－0.3.
－0.3
（2）已知 cos ＝ ，则 cos ＝ .
解析：∵ ＋α＝π－ ，∴ cos ＝ cos
＝－ cos （ －α）＝－ .
－
通性通法
解决条件求值问题的策略
（1）解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、
函数名称及有关运算之间的差异及联系；
（2）将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知
式转化.
【跟踪训练】
已知 sin β＝ ， cos （α＋β）＝－1，则 sin （α＋2β）＝ .
解析：∵ cos （α＋β）＝－1，∴α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，∴α＋
2β＝（α＋β）＋β＝2kπ＋π＋β.∴ sin （α＋2β）＝ sin （2kπ
＋π＋β）＝ sin （π＋β）＝－ sin β＝－ .
－
题型三 三角函数式的化简
【例3】 化简下列各式：
（1） · sin （π＋α） cos （－α）；
解：原式＝ ·（－ sin α） cos α
＝ ·（－ sin α） cos α＝ sin 2 α.
（2） .
解：原式＝
＝ ＝ cos α.
通性通法
利用诱导公式化简应注意的问题
（1）利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；
（2）利用诱导公式化简三角函数式的一般原则是负化正、大化小、
异角化同角等.
【跟踪训练】
化简下列各式：
（1） ；
解：原式＝
＝ ＝1.
（2） .
解：原式＝
＝ ＝ ＝ ＝－ .
1. cos （－780°）＝（ ）
解析： 因为 cos （－780°）＝ cos 780°＝ cos （2×360°＋
60°）＝ cos 60°＝ ，故选C.
2. 已知角α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是（ ）
A. sin α＝ sin β
B. sin （α－2π）＝ sin β
C. cos α＝ cos β
D. cos （2π－α）＝－ cos β
解析： 由角α和β的终边关于x轴对称，可知β＝－α＋2kπ
（k∈Z），故 sin α＝－ sin β， cos α＝ cos β.故选C.
3. 如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P ，则 cos （π
－θ）的值为（ ）
解析： ∵角θ的终边与单位圆交于点P（－ ， ），∴ cos
θ＝－ .∴ cos （π－θ）＝－ cos θ＝ .
4. 若k为整数，则 sin cos ＝ － .
解析：分k为奇数和k为偶数两种情况进行讨论.当k＝2n
（n∈Z）时，原式＝ sin · cos ＝－ sin · cos
＝－ × ＝－ ；当k＝2n＋1（n∈Z）时，原式＝ sin
· cos ＝ sin · cos ＝ sin
＝ × ＝－ .综上， sin cos
＝－ .
－
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. sin ＝（ ）
解析： 由题意可得 sin ＝－ sin ＝－ .
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16
2. sin 240°＋ cos （－150°）＝（ ）
B. －1 C. 1
解析： sin 240°＋ cos （－150°）＝ sin （180°＋60°）＋
cos （180°－30°）＝－ sin 60°－ cos 30°＝－ － ＝－ .
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16
3. 若 sin （θ＋2π）＜0， cos （θ－π）＞0，则θ为（ ）
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
解析： ∵ sin （θ＋2π）＝ sin θ＜0， cos （θ－π）＝ cos
（π－θ）＝－ cos θ＞0，∴ cos θ＜0，∴θ为第三象限角.
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4. 若600°角的终边上有一点（－4，a），则a的值是（ ）
解析： sin 600°＝ sin （720°－120°）＝ sin （－120°）＝
－ sin （180°－60°）＝－ sin 60°＝－ ，∴ ＝－
，则a＜0.∴4a2＝48＋3a2，∴a2＝48，又a＜0，∴a＝－4 .
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5. （多选）下列三角函数式的值为负的是（ ）
A. cos 210°
D. cos （－1 920°）
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解析： A. cos 210°＝ cos （180°＋30°）＝－ cos 30°＝
－ ＜0.B. sin ＝ sin ＝ sin ＝ sin ＝ sin ＝
＞0.C. sin ＝－ sin ＝－ sin ＝－ sin
＝ sin ＝ ＞0.D. cos （－1 920°）＝ cos 1 920°＝ cos
（5×360°＋120°）＝ cos 120°＝ cos （180°－60°）＝－ cos
60°＝－ ＜0.
1
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6. （多选）已知n∈Z，则下列三角函数中，与 sin 的值相同的是
（ ）
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解析： 对于A，当n＝2k，k∈Z时， sin ＝ sin
＝ sin π＝ sin ＝－ sin ，所以A错误，对于
B， cos ＝ cos ＝ ＝ sin ，所以B正确，对于C， sin
＝ sin ，所以C正确，对于D， cos ＝
cos ＝ cos ＝－ cos ＝－ ＝－ sin ，所以D
错误，故选B、C.
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7. sin 750°＝ .
解析： sin 750°＝ sin （720°＋30°）＝ sin 30°＝ .
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8. 若 cos （π＋α）＝－ ， π＜α＜2π，则 cos （α－2π）＝ .
解析：由 cos （π＋α）＝－ ，得 cos α＝ ，故 cos （α－2π）
＝ cos α＝ .
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9. 已知 cos （π＋α）＝－ ，则 cos （α＋3π）＋ cos （α－π）
＝ .
解析：∵ cos （π＋α）＝－ ，∴ cos α＝ .∴ cos （α＋3π）＋
cos （α－π）＝－ cos α－ cos α＝－2 cos α＝－ .
－
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10. 化简下列各式：
（1） sin cos π；
解：sin cos π
＝－ sin cos
＝ sin cos ＝ .
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（2） sin （－960°） cos 1 470°－ cos 240° sin （－210°）.
解： sin （－960°） cos 1 470°－ cos 240°· sin （－210°）
＝－ sin （180°＋60°＋2×360°）· cos （30°＋
4×360°）＋ cos （180°＋60°）· sin （180°＋30°）
＝ sin 60° cos 30°＋ cos 60°· sin 30°＝1.
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11. 设函数f（x）（x∈R）满足f（x＋π）＝f（x）＋ sin x.当0≤x
＜π时，f（x）＝0，则f（ ）＝（ ）
C. 0
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解析： 由题意可得f（ ）＝f（ ）＋ sin ＝f（ ）＋ sin ＋ sin ＝f（ ）＋ sin ＋ sin ＋ sin ＝0＋ sin （π－ ）＋ sin （2π－ ）＋ sin （2π＋π－ ）＝0＋ － ＋ ＝ .故选A.
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12. （多选）在△ABC中，给出下列四个式子，其中为常数的是（ ）
A. sin （A＋B）＋ sin C
B. cos （A＋B）＋ cos C
C. sin （2A＋2B）＋ sin 2C
D. cos （2A＋2B）＋ cos 2C
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解析： A项， sin （A＋B）＋ sin C＝2 sin C；B项， cos
（A＋B）＋ cos C＝－ cos C＋ cos C＝0；C项， sin （2A＋
2B）＋ sin 2C＝ sin [2（A＋B）]＋ sin 2C＝ sin [2（π－C）]
＋ sin 2C＝ sin （2π－2C）＋ sin 2C＝－ sin 2C＋ sin 2C＝0；
D项， cos （2A＋2B）＋ cos 2C＝ cos [2（A＋B）]＋ cos 2C
＝ cos [2（π－C）]＋ cos 2C＝ cos （2π－2C）＋ cos 2C＝ cos
2C＋ cos 2C＝2 cos 2C. 故选B、C.
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13. 已知函数f（x）＝ sin 2x，若存在非零实数a，b，使得f（x＋
a）＝bf（x）对任意x∈R都成立，则满足条件的一组值可以是a
＝ ，b＝ .（只需写出一组）
解析：当a＝ 时，f ＝ sin （2x＋π）＝－ sin 2x，即b＝
－1，故当a＝ ，b＝－1时，f（x＋a）＝bf（x）对任意x∈R
都成立.
－1（答案不唯一）
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解：∵在直角坐标系中，角α的终边与单位圆相交于点
P ，由正弦函数、余弦函数的定义得 cos α＝ ， sin α
＝－ ，
＝ ＝ ＝ .
14. 在直角坐标系中，角α的终边与单位圆相交于点P ，求
的值.
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15. 黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何
物体到了它那里都别想再出来.数字中也有类似的“黑洞”，任意
取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇
数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数
字串，重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称
它为“数字黑洞”.若把这个数字设为a，则 cos （ ＋ ）＝（ ）
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解析： 根据“数字黑洞”的定义，任取数字0，第一步之后变
为101，第二步之后变为123，接着变为123，再变为123，所以数
字黑洞为123，即a＝123，故 cos （ ＋ ）＝ cos （ ＋ ）
＝ cos （π＋ ）＝－ cos ＝－ .故选B.
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16. 已知f（x）＝ （n∈Z）.
（1）化简f（x）的表达式；
解：当n为偶数，即n＝2k（k∈Z）时，
f（x）＝
＝ ＝
＝ sin 2x；
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当n为奇数，即n＝2k＋1（k∈Z）时，
f（x）＝
＝ ＝
＝ sin 2x.
综上得f（x）＝ sin 2x.
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（2）求f .
解：由（1）知f ＝ sin 2 π
＝ sin 2（675π＋ ）＝ sin 2 ＝ .
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