第二课时 正弦函数的性质
1.已知a∈R，函数f（x）＝sin x＋｜a｜－1，x∈R为奇函数，则a＝（ ）
A.0 B.1
C.－1 D.±1
2.函数y＝4sin x＋3在[－π，π]上的单调递增区间为（ ）
A. B.
C. D.
3.已知M和m分别是函数y＝sin x－1的最大值和最小值，则M＋m＝（ ）
A. B.－
C.－ D.－2
4.已知函数y＝sin x，x∈，则y的取值范围是（ ）
A.[－1，1] B.
C. D.
5.（多选）已知关于x的方程1－sin2x－sin x＋2a＝0在（0，］上有解，那么a的值可以为（ ）
A.－ B.0
C. D.1
6.（多选）对于函数f（x）＝sin 2x，下列选项中正确的是（ ）
A.f（x）在上单调递减
B.f（x）的图象关于原点对称
C.f（x）的最小正周期为2π
D.f（x）的最大值为2
7.函数y＝3sin x－1的最大值为 ，取得最大值时对应的自变量x的取值范围为 .
8.函数f（x）＝x3＋sin x＋1，x∈R，若f（a）＝2，则f（－a）的值为 .
9.cos 10°，sin 11°，sin 168°从小到大的排列顺序是 .
10.已知函数y＝sin x＋｜sin x｜.
（1）画出这个函数的图象；
（2）这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期；
（3）指出这个函数的单调递增区间.
11.定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数.若f（x）的最小正周期是π，且当x∈时，f（x）＝sin x，则f＝（ ）
A.－ B. C.－ D.
12.已知函数f（x）＝f（π－x），且当x∈（－，）时，f（x）＝x＋sin x.设a＝f（1），b＝f（2），c＝f（3），则（ ）
A.a＜b＜c B.b＜c＜a
C.c＜b＜a D.c＜a＜b
13.关于函数f（x）＝sin x＋有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称；
②f（x）的图象关于原点对称；
③f（x）的图象关于直线x＝对称；
④f（x）的最小值为2.
其中所有真命题的序号是 .
14.函数y＝asin x＋1的最大值为1－a，最小值为－3.
（1）求实数a的值；
（2）求该函数的单调递增区间；
（3）若x∈[－π，π]，求该函数的单调递增区间.
15.（多选）关于函数f（x）＝｜sin x｜－sin｜x｜有下述四个结论，其中正确的结论是（ ）
A.f（x）是偶函数
B.f（x）在（0，2π）上有3个零点
C.f（x）在上单调递增
D.f（x）的最大值为2
16.已知函数f（x）＝sin（2x＋φ），其中φ为实数，且｜φ｜＜π.
（1）若f（x）≤对x∈R恒成立，且f＞f（π），求φ的值；
（2）在（1）的基础上，探究f（x）的单调递增区间；
（3）我们知道正弦函数是奇函数，f（x）＝sin（2x＋φ）是奇函数吗？若它是奇函数，写出φ满足的条件.（只写结论，不写推理过程）
第二课时 正弦函数的性质
1.D 由题意，得f（0）＝0，即｜a｜－1＝0，所以a＝±1，即当a＝±1时，f（x）＝sin x为R上的奇函数.
2.B y＝sin x的单调递增区间就是y＝4sin x＋3的单调递增区间.
3.D 因为M＝ymax＝－1＝－，m＝ymin＝－－1＝－，所以M＋m＝－－＝－2.
4.C y＝sin x在上单调递增，在上单调递减，∴当x＝时，ymax＝1，当x＝时，ymin＝，∴y∈.
5.BC 方程1－sin2x－sin x＋2a＝0在（0，］上有解，即2a＝sin2x＋sin x－1在（0，］上有解，令t＝sin x，t∈（0，1]，则y＝t2＋t－1＝（t＋）2－∈（－1，1]，即－1＜2a≤1，所以－＜a≤.故选B、C.
6.AB 因为函数y＝sin x在上单调递减，所以f（x）＝sin 2x在上单调递减，故A正确；因为x∈R且f（－x）＝sin 2（－x）＝sin（－2x）＝－sin 2x＝－f（x），所以f（x）为奇函数，图象关于原点对称，故B正确；f（x）的最小正周期为π，故C错误；f（x）的最大值为1，故D错误.
7.2 x｜x＝2kπ＋，k∈Z
解析：当sin x＝1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，ymax＝2.
8.0 解析：f（a）＝a3＋sin a＋1＝2，所以a3＋sin a＝1，
f（－a）＝（－a）3＋sin（－a）＋1＝－（a3＋sin a）＋1＝－1＋1＝0.
9.sin 11°＜sin 168°＜cos 10°
解析：因为sin 168°＝sin（180°－12°）＝sin 12°，cos 10°＝cos（90°－80°）＝sin 80°，当0°≤x≤90°时，正弦函数y＝sin x单调递增，因此sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.
10.解：（1）y＝sin x＋｜sin x｜
＝
其图象如图所示.
（2）由图象知函数是周期函数，且函数的最小正周期是2π.
（3）由图象知函数的单调递增区间为（k∈Z）.
11.D ∵f（x）的周期是π，∴f＝f＝f＝f＝f.又f（x）是偶函数，∴f＝f＝sin ＝，∴f＝.
12.D 由已知得，函数f（x）在（－，）上单调递增.因为π－2∈（－，），π－3∈（－，），π－3＜1＜π－2，所以f（π－3）＜f（1）＜f（π－2），即f（3）＜f（1）＜f（2），即c＜a＜b.故选D.
13.②③ 解析：由题意知f（x）的定义域为{x｜x≠kπ，k∈Z}，且关于原点对称.又f（－x）＝sin（－x）＋＝－＝－f（x），所以函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，所以①为假命题，②为真命题.因为f＝sin＋＝cos x＋，f＝sin＋＝cos x＋，所以f＝f，所以函数f（x）的图象关于直线x＝对称，③为真命题.当sin x＜0时，f（x）＜0，所以④为假命题.
14.解：（1）∵ymax＝1－a，∴a＜0，
故ymin＝1＋a＝－3，∴a＝－4.
（2）由（1）知，y＝－4sin x＋1，
当＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z时，函数y＝－4sin x＋1单调递增，
∴y＝－4sin x＋1的单调递增区间为［＋2kπ，＋2kπ］（k∈Z）.
（3）∵［＋2kπ，＋2kπ］（k∈Z）∩[－π，π]＝［－π，－］∪［，π］.
∴当x∈[－π，π]时，y＝－4sin x＋1的单调递增区间为［－π，－］，［，π］.
15.AD A项，f（－x）＝｜sin（－x）｜－sin｜－x｜＝｜sin x｜－sin｜x｜＝f（x）且x∈R，即f（x）是偶函数，正确；B项，f（x）＝零点有无数个，错误；C项，由B知：在上f（x）＝0为常数，不单调，错误；D项，由B知：在x∈R上，当x＝3kπ＋，k∈Z时最大值为2，正确.故选A、D.
16.解：（1）由f（x）≤对x∈R恒成立知2·＋φ＝2kπ±（k∈Z），
∴φ＝2kπ＋或φ＝2kπ－（k∈Z）.
∵｜φ｜＜π，∴φ＝或φ＝－，
又∵f＞f（π），∴φ＝－.
（2）由（1）知f（x）＝sin.
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋（k∈Z）.
得f（x）的单调递增区间是（k∈Z）.
（3）f（x）＝sin（2x＋φ）不一定是奇函数，
若f（x）＝sin（2x＋φ）是奇函数，则φ＝kπ（k∈Z）.
1 / 2第二课时 正弦函数的性质
过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷.过山车的运动包含了许多物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理.如果能亲身体验一下由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言.一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转（儿童过山车没有倒转）这几个循环路径.
【问题】 （1）函数y＝sin x图象也像过山车一样“爬升”“滑落”，这是函数y＝sin x的什么性质？
（2）过山车爬升到最高点，然后滑落到最低点，再爬升，对应函数y＝sin x的什么性质？
知识点 正弦函数的性质
函数 y＝sin x
定义域 R
最大值 与最小值 ymax＝1 x＝＋2kπ，k∈Z
ymin＝－1
值域 [－1，1]
周期性 2kπ（k∈Z且k≠0），2π为最小正周期
单调性 单调递增区间
单调递减区间
奇偶性
对称轴 x＝
对称中心
【想一想】
1.从图象的变化趋势来看，正弦函数的最大值、最小值点分别处在什么位置？
2.正弦函数y＝sin x在上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）正弦函数y＝sin x的定义域为R.（ ）
（2）正弦函数y＝sin x是增函数.（ ）
（3）正弦函数y＝sin x是周期函数.（ ）
（4）正弦函数y＝sin x的最大值为1，最小值为－1.（ ）
2.函数y＝的定义域为（ ）
A.R B.{x｜x≠kπ，k∈Z}
C.[－1，0）∪（0，1] D.{x｜x≠0}
3.若函数f（x）＝sin 2x＋a－1是奇函数，则a＝ .
题型一 正弦函数单调性的应用
角度1 求正弦函数的单调区间
【例1】 （1）函数y＝－3sin x＋1的单调递减区间为 ；
（2）若x∈[0，π]，则函数y＝－3sin x＋1的单调递减区间为 .
尝试解答
通性通法
1.结合y＝sin x的图象，熟记正弦函数的单调递增区间和单调递减区间.
2.对形如y＝asin x＋b的形式的函数，当a＞0时，其单调性与y＝sin x的单调性相同；当a＜0时，其单调性与y＝sin x的单调性相反.
【跟踪训练】
函数y＝sin x＋1的单调递增区间为 .
角度2 利用正弦函数单调性比较大小
【例2】 比较下列三角函数值的大小：
（1）sin 196°与sin 156°；
尝试解答
（2）sin（－）与sin（－）.
尝试解答
通性通法
1.比较sin α与sin β的大小，可利用诱导公式把sin α与sin β转化为同一单调区间上的正弦值，再借助于正弦函数的单调性来进行比较.
2.比较sin α与cos β的大小，常把cos β转化为sin（±β）后，再依据单调性来进行比较.
3.当不能将两角转化到同一单调区间上时，还可以借助于图象或值的符号来进行比较.
【跟踪训练】
比较sin 194°与cos 110°的大小.
题型二 正弦函数的周期性、奇偶性
【例3】 求y＝3sin 2x的周期并判断它的奇偶性.
尝试解答
通性通法
求正弦函数周期和判断奇偶性的方法
（1）求正弦函数周期的方法
①定义法：利用周期函数的定义求解；
②图象法：通过观察函数图象求其周期；
（2）判断函数的奇偶性，首先要看定义域是否关于原点对称，再看f（－x）与f（x）的关系.
【跟踪训练】
函数y＝cos（x－）是（ ）
A.周期为2π的奇函数
B.周期为2π的偶函数
C.周期为π的奇函数
D.周期为π的偶函数
题型三 与正弦函数有关的值域问题
【例4】 求下列函数的值域：
（1）y＝3－2sin x；
（2）y＝－sin2x＋sin x＋.
尝试解答
【母题探究】
1.（变条件）若将本例（1）的条件变为“函数y＝1＋2sin x，x∈”，求函数的最值.
2.（变条件）若将本例（1）中的函数变为“y＝3＋asin x（a≠0）”试求函数的值域.
通性通法
求与正弦函数有关的值域一般有两种方法
（1）将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求解；
（2）利用sin x的有界性.
【跟踪训练】
已知函数y＝－3sin x＋2，当x＝ 时，y有最大值等于 .
1.函数f（x）＝sin（－x）是（ ）
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数
2.正弦函数y＝sin x，x∈R的图象上的一条对称轴是（ ）
A.y轴 B.x轴
C.直线x＝ D.直线x＝π
3.函数y＝－sin2x＋sin x＋1的最大值为（ ）
A.2 B.
C.1 D.0
4.函数f（x）＝sin2x＋1的奇偶性是 .
5.比较下列各组数的大小.
（1）sin 2 024°和cos 160°；
（2）sin 和cos .
第二课时 正弦函数的性质
【基础知识·重落实】
知识点
x＝－＋2kπ，k∈Z
，，k∈Z
，k∈Z 奇函数 ＋kπ，k∈Z （kπ，0），k∈Z
想一想
1.提示：正弦函数的最大值、最小值点均处于图象拐弯的地方.
2.提示：观察图象可知：当x∈时，曲线逐渐上升，y＝sin x单调递增，sin x的值由－1增大到1；
当x∈时，曲线逐渐下降，y＝sin x单调递减，sin x的值由1减小到－1.
推广到整个定义域可得：
当x∈（k∈Z）时，正弦函数y＝sin x单调递增，函数值由－1增大到1；
当x∈（k∈Z）时，正弦函数y＝sin x单调递减，函数值由1减小到－1.
自我诊断
1.（1）√ （2）× （3）√ （4）√
2.B 要使函数有意义，应有sin x≠0，因此，x≠kπ（k∈Z）.故定义域为{x｜x≠kπ，k∈Z}.
3.1 解析：由奇函数的定义f（－x）＝－f（x）得a＝1.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）［－＋2kπ，＋2kπ］（k∈Z）
（2）［0，］
解析：（1）当－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z时，y＝－3sin x＋1单调递减，
∴y＝－3sin x＋1的单调递减区间为［－＋2kπ，＋2kπ］（k∈Z）.
（2）∵［－＋2kπ，＋2kπ］（k∈Z）∩[0，π]＝［0，］，∴当x∈[0，π]时，y＝－3sin x＋1的单调递减区间为［0，］.
跟踪训练
［－＋2kπ，＋2kπ］，k∈Z
解析：y＝sin x＋1的单调递增区间为［－＋2kπ，＋2kπ］，k∈Z.
【例2】 解：（1）sin 196°＝sin（180°＋16°）＝－sin 16°，
sin 156°＝sin（180°－24°）＝sin 24°，
又∵－sin 16°＜0，sin 24°＞0，
∴sin 24°＞－sin 16°，
∴sin 156°＞sin 196°.
（2）∵sin（－）＝－sin，
sin（－）＝－sin（2π＋）
＝－sin，
由于＜＜＜，
且y＝sin x在（，）上单调递减，
∴sin＞sin，∴－sin＜－sin，
即sin（－）＜sin（－）.
跟踪训练
解：∵sin 194°＝sin（180°＋14°）＝－sin 14°，cos 110°＝cos（180°－70°）＝－cos 70°＝－sin（90°－70°）＝－sin 20°，由于0°＜14°＜20°＜90°，
而y＝sin x在0°≤x≤90°时单调递增，∴sin 14°＜sin 20°，
∴－sin 14°＞－sin 20°，即sin 194°＞cos 110°.
【例3】 解：因为 x∈R，有3sin（2x＋2π）＝3sin [2（x＋π）]＝3sin 2x，
由周期函数的定义可知，函数y＝3sin 2x的周期为π，
又因为 x∈R，且－x∈R，
所以3sin[2（－x）]＝3sin[－（2x）]＝－3sin 2x，
即满足f（－x）＝－f（x），
故y＝3sin 2x为奇函数.
跟踪训练
A 因为y＝cos（x－）＝sin x，所以该函数是周期为2π的奇函数.
【例4】 解：（1）∵－1≤sin x≤1，
∴－1≤－sin x≤1，
1≤3－2sin x≤5，
∴函数y＝3－2sin x的值域为[1，5].
（2）令t＝sin x，则－1≤t≤1，
y＝－t2＋t＋＝－＋2，
∴当t＝时，ymax＝2.
此时sin x＝，
即x＝2kπ＋或x＝2kπ＋，k∈Z.
当t＝－1时，ymin＝－.
此时sin x＝－1，即x＝2kπ＋，k∈Z.
∴函数y＝－sin2x＋sin x＋的值域为.
母题探究
1.解：∵－≤x≤，∴－≤sin x≤.
∴0≤1＋2sin x≤2.
即y＝1＋2sin x，x∈的最大值为2，最小值为0.
2.解：∵－1≤sin x≤1.
当a＞0时，
－a≤asin x≤a，
3－a≤3＋asin x≤3＋a.
当a＜0时，a≤asin x≤－a，
3＋a≤3＋asin x≤3－a.
综上，当a＞0时函数的值域为[3－a，3＋a]；
当a＜0时，函数的值域为[3＋a，3－a].
跟踪训练
－＋2kπ，k∈Z 5
随堂检测
1.A 由于x∈R，且f（－x）＝sin x＝－sin（－x）＝－f（x），所以f（x）为奇函数.
2.C 结合函数y＝sin x，x∈R的图象可知直线x＝是函数的一条对称轴.
3.B 令t＝sin x，t∈[－1，1]，则y＝－t2＋t＋1＝－（t－）2＋，当t＝时，ymax＝.
4.偶函数 解析：f（－x）＝[sin（－x）]2＋1＝sin2x＋1＝f（x），所以f（x）为偶函数.
5.解：（1）sin 2 024°＝sin（360°×5＋224°）
＝sin 224°＝sin（180°＋44°）＝－sin 44°，
cos 160°＝cos（180°－20°）＝－cos 20°
＝－sin 70°.
∵sin 44°＜sin 70°，
∴－sin 44°＞－sin 70°，
即sin 2 024°＞cos 160°.
（2）cos ＝sin，
又＜＜＋＜，
y＝sin x在上单调递减，
∴sin ＞sin＝cos ，
即sin ＞cos .
3 / 4(共62张PPT)
第二课时 正弦函数的性质
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.那种风驰电掣、有惊无险
的快感令不少人着迷.过山车的运动包含了许多物理学原理，人们在
设计过山车时巧妙地运用了这些原理.如果能亲身体验一下由能量守
恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言.一个
基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转（儿童过山车没有倒
转）这几个循环路径.
【问题】 （1）函数y＝ sin x图象也像过山车一样“爬升”“滑
落”，这是函数y＝ sin x的什么性质？
（2）过山车爬升到最高点，然后滑落到最低点，再爬升，对应函数y
＝ sin x的什么性质？
知识点 正弦函数的性质
函数 y＝ sin x 定义域 R 最大值与最 小值 ymax＝1
ymin＝－1
值域 [－1，1] 周期性 2kπ（k∈Z且k≠0），2π为最小正周期 x＝－ ＋2kπ，k∈Z
单调性 单调递增
区间
单调递减
区间
奇偶性 对称轴 x＝ 对称中心 ， ，k∈Z
，k∈Z
奇函数
＋kπ，k∈Z
（kπ，0），k∈Z
【想一想】
1. 从图象的变化趋势来看，正弦函数的最大值、最小值点分别处在什
么位置？
提示：正弦函数的最大值、最小值点均处于图象拐弯的地方.
2. 正弦函数y＝ sin x在 上函数值的变化有什么特点？推广
到整个定义域呢？
提示：观察图象可知：
当x∈ 时，曲线逐渐上升，y＝ sin x单调递增， sin x的值
由－1增大到1；
当x∈ 时，曲线逐渐下降，y＝ sin x单调递减， sin x的值
由1减小到－1.
推广到整个定义域可得：
当x∈ （k∈Z）时，正弦函数y＝ sin x单调
递增，函数值由－1增大到1；
当x∈ （k∈Z）时，正弦函数y＝ sin x单调
递减，函数值由1减小到－1.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）正弦函数y＝ sin x的定义域为R. （ √ ）
（2）正弦函数y＝ sin x是增函数. （ × ）
（3）正弦函数y＝ sin x是周期函数. （ √ ）
（4）正弦函数y＝ sin x的最大值为1，最小值为－1. （ √ ）
√
×
√
√
2. 函数y＝ 的定义域为（ ）
A. R B. {x｜x≠kπ，k∈Z}
C. [－1，0）∪（0，1] D. {x｜x≠0}
解析： 要使函数有意义，应有 sin x≠0，因此，x≠kπ
（k∈Z）.故定义域为{x｜x≠kπ，k∈Z}.
3. 若函数f（x）＝ sin 2x＋a－1是奇函数，则a＝ .
解析：由奇函数的定义f（－x）＝－f（x）得a＝1.
1
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 正弦函数单调性的应用
角度1 求正弦函数的单调区间
【例1】 （1）函数y＝－3 sin x＋1的单调递减区间为
；
解析：当－ ＋2kπ≤x≤ ＋2kπ，k∈Z时，y＝－3 sin x＋1单调递减，
∴y＝－3 sin x＋1的单调递减区间为
［－ ＋2kπ， ＋2kπ］（k∈Z）.
［－ ＋
2kπ， ＋2kπ］（k∈Z）
（2）若x∈[0，π]，则函数y＝－3 sin x＋1的单调递减区间
为 .
解析：∵［－ ＋2kπ， ＋2kπ］（k∈Z）∩[0，π]＝
［0， ］，∴当x∈[0，π]时，y＝－3 sin x＋1的单调递减区间
为［0， ］.
［0， ］
通性通法
1. 结合y＝ sin x的图象，熟记正弦函数的单调递增区间和单调递
减区间.
2. 对形如y＝a sin x＋b的形式的函数，当a＞0时，其单调性与y＝
sin x的单调性相同；当a＜0时，其单调性与y＝ sin x的单调性 相反.
【跟踪训练】
函数y＝ sin x＋1的单调递增区间为 .
解析：y＝ sin x＋1的单调递增区间为
［－ ＋2kπ， ＋2kπ］，k∈Z.
［－ ＋2kπ， ＋2kπ］，k∈Z
角度2 利用正弦函数单调性比较大小
【例2】 比较下列三角函数值的大小：
（1） sin 196°与 sin 156°；
解： sin 196°＝ sin （180°＋16°）＝－ sin 16°，
sin 156°＝ sin （180°－24°）＝ sin 24°，
又∵－ sin 16°＜0， sin 24°＞0，
∴ sin 24°＞－ sin 16°，∴ sin 156°＞ sin 196°.
（2） sin （－ ）与 sin （－ ）.
解：∵ sin （－ ）＝－ sin ，
sin （－ ）＝－ sin （2π＋ ）＝－ sin ，
由于 ＜ ＜ ＜ ，
且y＝ sin x在（ ， ）上单调递减，
∴ sin ＞ sin ，∴－ sin ＜－ sin ，
即 sin （－ ）＜ sin （－ ）.
通性通法
1. 比较 sin α与 sin β的大小，可利用诱导公式把 sin α与 sin β
转化为同一单调区间上的正弦值，再借助于正弦函数的单调性
来进行比较.
2. 比较 sin α与 cos β的大小，常把 cos β转化为 sin （ ±β）后，
再依据单调性来进行比较.
3. 当不能将两角转化到同一单调区间上时，还可以借助于图象或值的
符号来进行比较.
【跟踪训练】
比较 sin 194°与 cos 110°的大小.
解：∵ sin 194°＝ sin （180°＋14°）＝－ sin 14°， cos 110°＝
cos （180°－70°）＝－ cos 70°＝－ sin （90°－70°）＝－ sin
20°，由于0°＜14°＜20°＜90°，而y＝ sin x在0°≤x≤90°时
单调递增，∴ sin 14°＜ sin 20°，∴－ sin 14°＞－ sin 20°，即 sin 194°＞ cos 110°.
题型二 正弦函数的周期性、奇偶性
【例3】 求y＝3 sin 2x的周期并判断它的奇偶性.
解：因为 x∈R，有3 sin （2x＋2π）＝3 sin [2（x＋π）]＝3 sin
2x，
由周期函数的定义可知，函数y＝3 sin 2x的周期为π，
又因为 x∈R，且－x∈R，
所以3 sin [2（－x）]＝3 sin [－（2x）]＝－3 sin 2x，
即满足f（－x）＝－f（x），故y＝3 sin 2x为奇函数.
通性通法
求正弦函数周期和判断奇偶性的方法
（1）求正弦函数周期的方法
①定义法：利用周期函数的定义求解；
②图象法：通过观察函数图象求其周期.
（2）判断函数的奇偶性，首先要看定义域是否关于原点对称，再看f
（－x）与f（x）的关系.
【跟踪训练】
函数y＝ cos （x－ ）是（ ）
A. 周期为2π的奇函数 B. 周期为2π的偶函数
C. 周期为π的奇函数 D. 周期为π的偶函数
解析： 因为y＝ cos （x－ ）＝ sin x，所以该函数是周期为2π的
奇函数.
题型三 与正弦函数有关的值域问题
【例4】 求下列函数的值域：
（1）y＝3－2 sin x；
解：∵－1≤ sin x≤1，
∴－1≤－ sin x≤1，1≤3－2 sin x≤5，
∴函数y＝3－2 sin x的值域为[1，5].
（2）y＝－ sin 2x＋ sin x＋ .
解：令t＝ sin x，则－1≤t≤1，
y＝－t2＋ t＋ ＝－ ＋2，
∴当t＝ 时，ymax＝2.此时 sin x＝ ，
即x＝2kπ＋ 或x＝2kπ＋ ，k∈Z.
当t＝－1时，ymin＝ － .
此时 sin x＝－1，即x＝2kπ＋ ，k∈Z. ∴函数y＝－ sin 2x＋ sin x＋ 的值域为 .
【母题探究】
1. （变条件）若将本例（1）的条件变为“函数y＝1＋2 sin x，
x∈ ”，求函数的最值.
解：∵－ ≤x≤ ，∴－ ≤ sin x≤ .
∴0≤1＋2 sin x≤2.即y＝1＋2 sin x，x∈ 的最大值为2，
最小值为0.
2. （变条件）若将本例（1）中的函数变为“y＝3＋a sin x
（a≠0）”试求函数的值域.
解：∵－1≤ sin x≤1.
当a＞0时，－a≤a sin x≤a，3－a≤3＋a sin x≤3＋a.
当a＜0时，a≤a sin x≤－a，3＋a≤3＋a sin x≤3－a.
综上，当a＞0时函数的值域为[3－a，3＋a]；
当a＜0时，函数的值域为[3＋a，3－a].
通性通法
求与正弦函数有关的值域一般有两种方法
（1）将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求解；
（2）利用 sin x的有界性.
【跟踪训练】
已知函数y＝－3 sin x＋2，当x＝ 时，y有最
大值等于 .
－ ＋2kπ，k∈Z
5
1. 函数f（x）＝ sin （－x）是（ ）
A. 奇函数 B. 偶函数
C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数
解析： 由于x∈R，且f（－x）＝ sin x＝－ sin （－x）＝－f
（x），所以f（x）为奇函数.
2. 正弦函数y＝ sin x，x∈R的图象上的一条对称轴是（ ）
A. y轴 B. x轴
D. 直线x＝π
解析： 结合函数y＝ sin x，x∈R的图象可知直线x＝ 是函数
的一条对称轴.
3. 函数y＝－ sin 2x＋ sin x＋1的最大值为（ ）
A. 2
C. 1 D. 0
解析： 令t＝ sin x，t∈[－1，1]，则y＝－t2＋t＋1＝－（t－
）2＋ ，当t＝ 时，ymax＝ .
4. 函数f（x）＝ sin 2x＋1的奇偶性是 .
解析：f（－x）＝[ sin （－x）]2＋1＝ sin 2x＋1＝f（x），所以
f（x）为偶函数.
偶函数
5. 比较下列各组数的大小.
（1） sin 2 024°和 cos 160°；
解：sin 2 024°＝ sin （360°×5＋224°）
＝ sin 224°＝ sin （180°＋44°）＝－ sin 44°，
cos 160°＝ cos （180°－20°）＝－ cos 20°＝－ sin 70°.
∵ sin 44°＜ sin 70°，∴－ sin 44°＞－ sin 70°，
即 sin 2 024°＞ cos 160°.
（2） sin 和 cos .
解： cos ＝ sin ，
又 ＜ ＜ ＋ ＜ ，
y＝ sin x在 上单调递减，
∴ sin ＞ sin ＝ cos ，
即 sin ＞ cos .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知a∈R，函数f（x）＝ sin x＋｜a｜－1，x∈R为奇函数，则
a＝（ ）
A. 0 B. 1
C. －1 D. ±1
解析： 由题意，得f（0）＝0，即｜a｜－1＝0，所以a＝
±1，即当a＝±1时，f（x）＝ sin x为R上的奇函数.
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2. 函数y＝4 sin x＋3在[－π，π]上的单调递增区间为（ ）
解析：y＝ sin x的单调递增区间就是y＝4 sin x＋3的单调递增区间.
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3. 已知M和m分别是函数y＝ sin x－1的最大值和最小值，则M＋m
＝（ ）
D. －2
解析： 因为M＝ymax＝ －1＝－ ，m＝ymin＝－ －1＝－ ，
所以M＋m＝－ － ＝－2.
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4. 已知函数y＝ sin x，x∈ ，则y的取值范围是（ ）
A. [－1，1]
解析： y＝ sin x在 上单调递增，在 上单调递
减，∴当x＝ 时，ymax＝1，当x＝ 时，ymin＝ ，∴y∈ .
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5. （多选）已知关于x的方程1－ sin 2x－ sin x＋2a＝0在（0， ］上
有解，那么a的值可以为（ ）
B. 0
解析： 方程1－ sin 2x－ sin x＋2a＝0在（0， ］上有解，即
2a＝ sin 2x＋ sin x－1在（0， ］上有解，令t＝ sin x，t∈（0，
1]，则y＝t2＋t－1＝（t＋ ）2－ ∈（－1，1]，即－1＜
2a≤1，所以－ ＜a≤ .故选B、C.
D. 1
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6. （多选）对于函数f（x）＝ sin 2x，下列选项中正确的是（ ）
B. f（x）的图象关于原点对称
C. f（x）的最小正周期为2π
D. f（x）的最大值为2
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解析： 因为函数y＝ sin x在 上单调递减，所以f（x）
＝ sin 2x在 上单调递减，故A正确；因为x∈R且f（－x）
＝ sin 2（－x）＝ sin （－2x）＝－ sin 2x＝－f（x），所以f
（x）为奇函数，图象关于原点对称，故B正确；f（x）的最小正
周期为π，故C错误；f（x）的最大值为1，故D错误.
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7. 函数y＝3 sin x－1的最大值为 ，取得最大值时对应的自变量x
的取值范围为 .
解析：当 sin x＝1，即x＝2kπ＋ ，k∈Z时，ymax＝2.
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{x｜x＝2kπ＋ ，k∈Z}
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8. 函数f（x）＝x3＋ sin x＋1，x∈R，若f（a）＝2，则f（－a）
的值为 .
解析：f（a）＝a3＋ sin a＋1＝2，所以a3＋ sin a＝1，
f（－a）＝（－a）3＋ sin （－a）＋1＝－（a3＋ sin a）＋1＝－
1＋1＝0.
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9. cos 10°， sin 11°， sin 168°从小到大的排列顺序是 .
解析：因为 sin 168°＝ sin （180°－12°）＝ sin 12°， cos 10°
＝ cos （90°－80°）＝ sin 80°，当0°≤x≤90°时，正弦函数
y＝ sin x单调递增，因此 sin 11°＜ sin 12°＜ sin 80°，即 sin
11°＜ sin 168°＜ cos 10°.
sin 11°＜ sin 168°＜ cos 10°
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10. 已知函数y＝ sin x＋ ｜ sin x｜.
（1）画出这个函数的图象；
解：y＝ sin x＋ ｜ sin x｜＝
其图象如图所示.
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（3）指出这个函数的单调递增区间.
（2）这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期；
解：由图象知函数是周期函数，且函数的最小正周期是2π.
解：由图象知函数的单调递增区间为［2kπ，2kπ＋ ］（k∈Z）.
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11. 定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数.若f（x）的
最小正周期是π，且当x∈ 时，f（x）＝ sin x，则f ＝
（ ）
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解析： ∵f（x）的周期是π，∴f ＝f ＝f ＝
f ＝f .又f（x）是偶函数，∴f ＝f ＝ sin
＝ ，∴f ＝ .
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12. 已知函数f（x）＝f（π－x），且当x∈（－ ， ）时，f（x）
＝x＋ sin x.设a＝f（1），b＝f（2），c＝f（3），则（ ）
A. a＜b＜c B. b＜c＜a
C. c＜b＜a D. c＜a＜b
解析： 由已知得，函数f（x）在（－ ， ）上单调递增.因
为π－2∈（－ ， ），π－3∈（－ ， ），π－3＜1＜π－2，所
以f（π－3）＜f（1）＜f（π－2），即f（3）＜f（1）＜f
（2），即c＜a＜b.故选D.
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13. 关于函数f（x）＝ sin x＋ 有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称；
②f（x）的图象关于原点对称；
③f（x）的图象关于直线x＝ 对称；
④f（x）的最小值为2.
其中所有真命题的序号是 .
②③
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解析：由题意知f（x）的定义域为{x｜x≠kπ，k∈Z}，且关于
原点对称.又f（－x）＝ sin （－x）＋ ＝－
＝－f（x），所以函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，
所以①为假命题，②为真命题.因为f ＝ sin ＋
＝ cos x＋ ，f ＝ sin ＋ ＝ cos x
＋ ，所以f ＝f ，所以函数f（x）的图象关于
直线x＝ 对称，③为真命题.当 sin x＜0时，f（x）＜0，所以④
为假命题.
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14. 函数y＝a sin x＋1的最大值为1－a，最小值为－3.
（1）求实数a的值；
解：∵ymax＝1－a，∴a＜0，
故ymin＝1＋a＝－3，∴a＝－4.
（2）求该函数的单调递增区间；
解：由（1）知，y＝－4 sin x＋1，
当 ＋2kπ≤x≤ ＋2kπ，k∈Z时，函数y＝－4 sin x＋1
单调递增，∴y＝－4 sin x＋1的单调递增区间为［ ＋
2kπ， ＋2kπ］（k∈Z）.
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（3）若x∈[－π，π]，求该函数的单调递增区间.
解：∵［ ＋2kπ， ＋2kπ］（k∈Z）∩[－π，π]
＝［－π，－ ］∪［ ，π］.
∴当x∈[－π，π]时，y＝－4 sin x＋1的单调递增区间为
［－π，－ ］，［ ，π］.
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15. （多选）关于函数f（x）＝｜ sin x｜－ sin ｜x｜有下述四个结
论，其中正确的结论是（ ）
A. f（x）是偶函数
B. f（x）在（0，2π）上有3个零点
D. f（x）的最大值为2
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解析： A项，f（－x）＝｜ sin （－x）｜－ sin ｜－x｜
＝｜ sin x｜－ sin ｜x｜＝f（x）且x∈R，即f（x）是偶函数，
正确；B项，f（x）＝零点有无数个，错
误；C项，由B知：在 上f（x）＝0为常数，不单调，错
误；D项，由B知：在x∈R上，当x＝3kπ＋ ，k∈Z时最大值
为2，正确.故选A、D.
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16. 已知函数f（x）＝ sin （2x＋φ），其中φ为实数，且｜φ｜＜π.
（1）若f（x）≤ 对x∈R恒成立，且f ＞f（π），求φ
的值；
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解：由f（x）≤ 对x∈R恒成立知2· ＋φ＝
2kπ± （k∈Z），
∴φ＝2kπ＋ 或φ＝2kπ－ （k∈Z）.
∵｜φ｜＜π，∴φ＝ 或φ＝－ ，
又∵f ＞f（π），
∴φ＝－ .
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（2）在（1）的基础上，探究f（x）的单调递增区间；
解：由（1）知f（x）＝ sin .
令2kπ－ ≤2x－ ≤2kπ＋ （k∈Z）.得f（x）的单调
递增区间是 （k∈Z）.
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（3）我们知道正弦函数是奇函数，f（x）＝ sin （2x＋φ）是奇
函数吗？若它是奇函数，写出φ满足的条件.（只写结论，
不写推理过程）
解：f（x）＝ sin （2x＋φ）不一定是奇函数，
若f（x）＝ sin （2x＋φ）是奇函数，
则φ＝kπ（k∈Z）.
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谢 谢 观 看！
