5.2 余弦函数的图象与性质再认识
1.下列函数中，周期为的是（ ）
A.y＝cos 4x B.y＝sin 2x
C.y＝cos D.y＝sin
2.函数y＝－cos x（x＞0）的图象中与y轴最近的最高点的坐标为（ ）
A. B.（π，1）
C.（0，1） D.（2π，1）
3.从函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象来看，满足cos x＝－的x的个数是（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
4.函数y＝｜cos x｜－1的最小正周期是（ ）
A.2kπ（k∈Z） B.3π
C.π D.2π
5.函数y＝｜cos x｜的一个单调减区间是（ ）
A. B.
C. D.
6.（多选）关于三角函数的图象，下列命题正确的是（ ）
A.y＝sin｜x｜与y＝sin x的图象关于y轴对称
B.y＝cos（－x）与y＝cos｜x｜的图象相同
C.y＝｜sin x｜与y＝sin（－x）的图象关于x轴对称
D.y＝cos x与y＝cos（－x）的图象关于y轴对称
7.已知函数y＝3cos（π－x），则当x＝ 时，函数取得最大值，当x＝ 时，函数取得最小值.
8.方程2x＝cos x的实根的个数为 .
9.若函数y＝2cos x（0≤x≤2π）的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是 .
10.求函数y＝3cos2x－4cos x＋1，x∈的值域.
11.（多选）已知函数f（x）＝sin（x＋）（x∈R），下面结论正确的是（ ）
A.函数f（x）的最小正周期为2π
B.函数f（x）在区间［0，］上单调递增
C.函数f（x）的图象关于直线x＝0对称
D.函数f（x）是偶函数
12.（多选）对于函数f（x）＝下列说法正确的是（ ）
A.该函数是以π为最小正周期的周期函数
B.当且仅当x＝π＋2kπ（k∈Z）时，该函数取得最小值－1
C.该函数的图象关于直线x＝π＋2kπ（k∈Z）对称
D.当且仅当2kπ＜x＜＋2kπ（k∈Z）时，0＜f（x）≤
13.若函数f（x）＝cos x，x∈[－2π，2π]，则不等式xf（x）＞0的解集为 .
14.画出函数y＝3＋2cos x的简图.
（1）求使此函数取得最大值、最小值的自变量x的集合，并分别写出最大值、最小值；
（2）讨论此函数的单调性.
15.已知函数f（x）＝－cos2x＋cos x＋a＋1，a∈R，若对区间上任意x，都有f（x）≤1成立，则实数a的最大值为（ ）
A.－ B.0
C.2 D.
16.已知函数y＝cos x＋｜cos x｜.
（1）画出函数的图象；
（2）这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期；
（3）求出这个函数的单调递增区间.
5.2 余弦函数的图象与性质再认识
1.A 对于A，周期为；对于B，周期为π；对于C，周期为8π；对于D，周期为4π.故选A.
2.B 用五点作图法作出函数y＝－cos x在（0，2π]上的图象如图所示，由图易知与y轴最近的最高点的坐标为（π，1）.
3.B 先画出函数y＝cos x，x∈[0，2π]的简图，再画出直线y＝－（图略），可得有两个交点，即满足cos x＝－，x∈[0，2π]的x有2个.
4.C ∵函数y＝｜cos x｜－1的周期同函数y＝｜cos x｜的周期一致，由函数y＝｜cos x｜的图象知其最小正周期为π，∴y＝｜cos x｜－1的最小正周期也是π，故选C.
5.C 函数y＝｜cos x｜的图象如图所示，由图象知在上y＝｜cos x｜单调递减.
6.BD 对B，y＝cos（－x）＝cos x，y＝cos｜x｜＝cos x，故其图象相同；对D，y＝cos（－x）＝cos x，故其图象关于y轴对称，由作图（图略）可知A、C均不正确.
7.2kπ＋π，k∈Z 2kπ，k∈Z
解析：y＝3cos（π－x）＝－3cos x，当cos x＝－1，即x＝2kπ＋π，k∈Z时，y有最大值3；当cos x＝1，即x＝2kπ，k∈Z时，y有最小值－3.
8.无数个 解析：在同一平面直角坐标系中分别画出y＝2x与y＝cos x的图象（图略），可知两图象有无数个交点，即方程2x＝cos x有无数个实数根.
9.4π 解析：如图，在同一直角坐标系中作出函数y＝2cos x（0≤x≤2π）的图象和直线y＝2，由图可知，图形S1与S2，S3与S4都是对称图形，有S1＝S2，S3＝S4，因此函数y＝2cos x的图象与直线y＝2所围成的图形面积等于矩形OABC的面积.因为｜OA｜＝2，｜OC｜＝2π，所以S矩形＝2×2π＝4π.
10.解：y＝3cos2x－4cos x＋1
＝3－.
∵x∈，∴cos x∈.
从而当cos x＝－，即x＝时，
ymax＝；当cos x＝时，
即x＝时，ymin＝－.
∴函数y＝3cos2x－4cos x＋1，x∈［，π］的值域为.
11.ACD 对于函数f（x）＝sin（x＋）＝cos x（x∈R），最小正周期为2π，故A正确；显然，函数f（x）在区间［0，］上单调递减，故B错误；由于f（x）为偶函数，故图象关于直线 x＝0对称，故C、D正确.故选A、C、D.
12.CD 画出f（x）在[0，2π]上的图象如图所示.由图象知，函数f（x）的最小正周期为2π，当x＝π＋2kπ（k∈Z）和x＝π＋2kπ（k∈Z）时，该函数都取得最小值－1，故A、B错误.由图象知，函数图象关于直线x＝π＋2kπ（k∈Z）对称，当2kπ＜x＜＋2kπ（k∈Z）时，0＜f（x）≤，故C、D正确.
13.∪∪
解析：当x＞0时，cos x＞0，且x∈[－2π，2π]，解得0＜x＜或＜x≤2π；当x＜0时，cos x＜0，且x∈[－2π，2π]，解得－＜x＜－，故不等式xf（x）＞0的解集为∪∪.
14.解：按五个关键点列表如下，
x 0 π 2π
y＝cos x 1 0 －1 0 1
y＝3＋2cos x 5 3 1 3 5
描点画出图象（如图）.
（1）当cos x＝1，即x∈{x｜x＝2kπ，k∈Z}时，ymax＝3＋2＝5，当cos x＝－1，即x∈{x｜x＝2kπ＋π，k∈Z}时，ymin＝3－2＝1.
（2）令t＝cos x，则y＝3＋2t，
因为函数y＝3＋2t，当t∈R时是增函数，
所以当x∈[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）时，函数y＝cos x单调递增，y＝3＋2cos x也单调递增，当x∈[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z）时，函数y＝cos x单调递减，y＝3＋2cos x也单调递减.综上，函数y＝3＋2cos x在区间[2kπ－π，2kπ]，k∈Z上单调递增；在区间[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z上单调递减.
15.A 由f（x）≤1在上恒成立，∴a≤cos2x－cos x＝－在上恒成立.∵x∈，∴cos x∈[0，1]，∴－≥－，
当且仅当cos x＝，即x＝时取等号，
∴a≤－，则实数a的最大值为－.
16.解：（1）y＝cos x＋｜cos x｜＝
函数图象如图所示.
（2）由图象知这个函数是周期函数，且最小正周期是2π.
（3）由图象知函数的单调递增区间为［2kπ－，2kπ］（k∈Z）.
2 / 25.2 余弦函数的图象与性质再认识
新课程标准解读 核心素养
1.会用“五点法”画余弦函数的图象 数学抽象、直观想象
2.掌握余弦函数的图象与性质及应用 数学运算、直观想象
某港口的水深y（单位：m）是时间t（0≤t≤24，单位：h）的函数，根据有关数据描出曲线，经拟合，该曲线可近似地看作函数y＝cos t的图象.
【问题】 你能类比正弦函数的性质，总结出余弦函数的相关性质吗？
知识点一 余弦函数的图象
知识点二 余弦函数的性质
函数 y＝cos x
定义域
最大值与最小值 当x＝ （k∈Z）时，最大值为1； 当x＝ （k∈Z）时，最小值为－1
值域
周期性 以2kπ为周期（k∈Z，k≠0）， 为最小正周期
单调性 在区间 （k∈Z）上单调递增； 在区间 （k∈Z）上单调递减
奇偶性
对称轴 x＝
对称中心
提醒 （1）余弦函数有单调区间，但不是定义域上的单调函数，即余弦函数在整个定义域内不单调；
（2）余弦函数图象的对称轴一定过余弦函数图象的最高点或最低点，即此时的余弦值取最大值或最小值；
（3）利用余弦函数的单调性比较两个余弦函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间，若不属于，先化至同一单调区间内，再比较大小.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数y＝cos x的图象与y轴只有一个交点.（ ）
（2）将余弦曲线向右平移个单位长度就得到正弦曲线.（ ）
（3）函数y＝2cos x是偶函数.（ ）
（4）函数y＝cos x的最小正周期是π.（ ）
2.在同一平面直角坐标系内，函数y＝cos x，x∈[0，2π]与y＝cos x，x∈[2π，4π]的图象（ ）
A.重合 B.形状相同，位置不同
C.关于y轴对称 D.形状不同，位置不同
3.函数y＝－cos x在区间上是（ ）
A.单调递增 B.单调递减
C.先减后增 D.先增后减
题型一 余弦函数的图象及应用
角度1 “五点法”作余弦函数的图象
【例1】 画函数y＝2cos x＋3，x∈[0，2π]的图象.
尝试解答
通性通法
用五点法画函数y＝Acos x＋b（A≠0），x∈[0，2π]的图象的步骤
（1）列表：
x 0 π 2π
y＝cos x 1 0 －1 0 1
y＝Acos x＋b A＋b b －A＋b b A＋b
（2）描点：在平面直角坐标系中描出（0，A＋b），，（π，－A＋b），，（2π，A＋b）五个点；
（3）连线：用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来.
角度2 根据余弦函数的图象求角的范围
【例2】 利用余弦函数的图象，求满足cos x≤的x的集合.
尝试解答
通性通法
用余弦函数图象解不等式的步骤
（1）作出余弦函数在区间[0，2π]上的图象；
（2）写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集；
（3）根据余弦函数周期确定取值范围.
【跟踪训练】
1.满足cos x＞0，x∈[0，2π]的x的取值范围为 .
2.作出函数y＝－cos x＋1，x∈[0，2π]的图象.
题型二 余弦函数的单调性及应用
【例3】 （1）求函数y＝1－cos x的单调区间；
（2）比较大小：cos 与cos .
尝试解答
通性通法
1.对于余弦函数的性质，要善于结合余弦函数图象并类比正弦函数的相关性质进行记忆，其解题方法与正弦函数的对应性质解题方法一致.
2.单调性是对一个函数的某个区间而言的，不在同一单调区间内时，应先用诱导公式进行适当转化，转化到同一单调区间内，再利用函数的单调性比较大小.
【跟踪训练】
1.函数y＝1－2cos x的单调递增区间是 .
2.比较大小cos π cos .
题型三 与余弦函数有关的奇偶性及周期性
角度1 奇偶性的判断
【例4】 判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝xcos x；
（2）f（x）＝sincos.
尝试解答
通性通法
判断与余弦函数有关奇偶性的方法
（1）判断函数的奇偶性时，必须先检查其定义域是否关于原点对称.如果是，再验证f（－x）是否等于－f（x）或f（x），进而判断函数的奇偶性；如果不是，那么该函数既不是奇函数，也不是偶函数；
（2）判断与余弦函数有关的函数的奇偶性时，需注意诱导公式的合理运用.
角度2 求函数的周期
【例5】 函数f（x）＝3cos πx的最小正周期是 .
尝试解答
通性通法
求周期函数的最小正周期的注意事项
（1）周期函数的周期不唯一.如果T是函数f（x）的周期，那么kT（k∈Z且k≠0）也是函数的周期，若周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么该最小正数叫作f（x）的最小正周期；
（2）不是所有周期函数都有最小正周期，如f（x）＝c（c为常数）就不存在最小正周期.
【跟踪训练】
1.函数y＝－xcos x的部分图象是下图中的（ ）
2.若函数f（x）的定义域为R，最小正周期为，且满足f（x）＝则f（－）＝ .
题型四 与余弦函数有关的最值问题
【例6】 （1）设M和m分别是函数y＝cos x－1的最大值和最小值，则M＋m＝ ；
（2）函数y＝cos2x－4cos x＋5的值域为 .
尝试解答
通性通法
求余弦函数值域的常用方法
（1）求解形如y＝acos x＋b的函数的最值或值域问题时，利用余弦函数的有界性（－1≤cos x≤1）求解.求余弦函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑余弦函数的周期性；
（2）求解形如y＝acos2x＋bcos x＋c，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝cos x，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可.求解过程中要注意t＝cos x的有界性.
【跟踪训练】
函数y＝cos x的最小值、最大值分别为（ ）
A.0，1 B.－1，1
C.－，1 D.－1，
1.用“五点法”作y＝3cos 2x的简图时，五个关键点的横坐标是（ ）
A.0，，π，π，2π B.0，，，π，π
C.0，π，2π，3π，4π D.0，，，，
2.函数y＝cos x－2在x∈[－π，π]上的图象是（ ）
3.函数y＝sin的奇偶性是（ ）
A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.既是奇函数也是偶函数
4.函数y＝cos（－x），x∈[0，2π]的单调递减区间是 .
5.函数y＝cos x＋4，x∈[0，2π]的图象与直线y＝4的交点坐标为 .
5.2 余弦函数的图象与性质再认识
【基础知识·重落实】
知识点一
左 （0，1） （ ，0） （π，－1） （ ，0） （2π，1）
知识点二
R 2kπ 2kπ＋π [－1，1] 2π [2kπ－π，2kπ] [2kπ，2kπ＋π] 偶函数 kπ，k∈Z ，k∈Z
自我诊断
1.（1）√ （2）√ （3）√ （4）×
2.B 根据余弦曲线的作法可知函数y＝cos x，x∈[0，2π]与y＝cos x，x∈[2π，4π]的图象位置不同，形状相同.
3.C 因为y＝cos x在区间上先增后减，所以y＝－cos x在区间上先减后增.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）列表：
x 0 π 2π
y＝cos x 1 0 －1 0 1
y＝2cos x＋3 5 3 1 3 5
（2）描点：在平面直角坐标系中描出（0，5），，（π，1），，（2π，5）五个点.
（3）连线：用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来，如图所示.
【例2】 解：作出余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为
［＋2kπ，＋2kπ］，k∈Z.
跟踪训练
1.［0，）∪（，2π］
解析：画出函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象，如图所示.由图象，可知满足cos x＞0，x∈[0，2π]的x的取值范围为［0，）∪（，2π］.
2.解：（1）列表：
x 0 π 2π
y＝cos x 1 0 －1 0 1
y＝－cos x＋1 0 1 2 1 0
（2）描点：在坐标系中描出点（0，0），，（π，2），，（2π，0）.
（3）连线：用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来，如图所示.
【例3】 解：（1）因为y＝cos x在[（2k－1）π，2kπ]（k∈Z）上单调递增，在[2kπ，（2k＋1）π]（k∈Z）上单调递减，
所以y＝1－cos x的单调递减区间是[（2k－1）π，2kπ]（k∈Z），单调递增区间是[2kπ，（2k＋1）π]（k∈Z）.
（2）cos ＝cos＝cos ，
cos ＝cos＝cos .
因为函数y＝cos x在[0，π]上单调递减，且0＜＜＜π，所以cos ＞cos ，即cos ＞cos .
跟踪训练
1.[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z） 解析：由于y＝cos x的单调递减区间为[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z），所以函数y＝1－2cos x的单调递增区间为[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z）.
2.＜ 解析：由于cosπ＝cos＝cos，cos＝cos＝cos（4π＋）＝cos，y＝cos x在[0，π]上单调递减.由＜知cos＞cos ，即cosπ＜cos.
【例4】 解：（1）定义域为R，且f（－x）＝－x·cos（－x）＝－xcos x＝－f（x），因此函数f（x）是奇函数.
（2）定义域为R，且f（－x）＝sin·cos＝－sincos＝－f（x），因此函数f（x）是奇函数.
【例5】 2 解析： x∈R，存在一个非零常数2，使得f（x＋2）＝3cos[π（x＋2）]＝3cos（πx＋2π）＝3cos πx＝f（x），故T＝2为f（x）的一个周期，那么2k（k∈Z）是f（x）的周期，则当k＝1时，T＝2为f（x）的最小正周期.
跟踪训练
1.D 因为函数y＝－xcos x是奇函数，图象关于原点对称，所以排除A、C；当x∈（0，）时，y＝－xcos x＜0，故排除B，选D.
2.－ 解析：f（－）＝f（－＋×3）＝f（）＝cos＝－.
【例6】 （1）－2 （2）[2，10] 解析：（1）因为cos x∈[－1，1]，
所以M＝×1－1＝－，
m＝×（－1）－1＝－，
所以M＋m＝－－＝－2.
（2）令t＝cos x，则－1≤t≤1.所以y＝t2－4t＋5＝（t－2）2＋1，所以t＝－1时，y取得最大值10，t＝1时，y取得最小值2.所以函数y＝cos2x－4cos x＋5的值域为[2，10].
跟踪训练
D 由y＝cos x的图象（如图）可知，当x＝时，y＝cos x有最大值；当x＝π时，y＝cos x有最小值－1.故选D.
随堂检测
1.B 令 2x＝0，，π，π，2π，得x＝0，，，π，π，故选B.
2.A 把y＝cos x，x∈[－π，π]的图象向下平移2个单位长度即可.
3.B 因为y＝sin＝cos x，所以该函数是偶函数.
4.[0，π] 解析：y＝cos（－x）＝cos x，当x∈[0，2π]时，其单调递减区间为[0，π].
5.， 解析：作出函数y＝cos x＋4，x∈[0，2π]的图象（图略），容易发现它与直线y＝4的交点坐标为，.
4 / 5(共65张PPT)
5.2 余弦函数的图象与性质再认识
新课程标准解读 核心素养
1.会用“五点法”画余弦函数的图象 数学抽象、直观想象
2.掌握余弦函数的图象与性质及应用 数学运算、直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
某港口的水深y（单位：m）是时间t（0≤t≤24，单位：h）的
函数，根据有关数据描出曲线，经拟合，该曲线可近似地看作函数y
＝ cos t的图象.
【问题】 你能类比正弦函数的性质，总结出余弦函数的相关性
质吗？
知识点一 余弦函数的图象
知识点二 余弦函数的性质
函数 y＝ cos x
定义域
最大值与最
小值 当x＝ （k∈Z）时，最大值为1；
当x＝ （k∈Z）时，最小值为－1
值域
R
2kπ
2kπ＋π
[－1，1]
函数 y＝ cos x
周期性 以2kπ为周期（k∈Z，k≠0）， 为最小正周期
单调性 在区间 （k∈Z）上单调递增；
在区间 （k∈Z）上单调递减
奇偶性
对称轴 x＝
对称中心
2π
[2kπ－π，2kπ]
[2kπ，2kπ＋π]
偶函数
kπ，k∈Z
，k∈Z
提醒 （1）余弦函数有单调区间，但不是定义域上的单调函数，即
余弦函数在整个定义域内不单调；（2）余弦函数图象的对称轴一定
过余弦函数图象的最高点或最低点，即此时的余弦值取最大值或最小
值；（3）利用余弦函数的单调性比较两个余弦函数值的大小，必须
先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间，若不属于，先化至同
一单调区间内，再比较大小.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数y＝ cos x的图象与y轴只有一个交点. （ √ ）
（2）将余弦曲线向右平移 个单位长度就得到正弦曲线.
（ √ ）
（3）函数y＝2 cos x是偶函数. （ √ ）
（4）函数y＝ cos x的最小正周期是π. （ × ）
√
√
√
×
2. 在同一平面直角坐标系内，函数y＝ cos x，x∈[0，2π]与y＝ cos
x，x∈[2π，4π]的图象（ ）
A. 重合 B. 形状相同，位置不同
C. 关于y轴对称 D. 形状不同，位置不同
解析： 根据余弦曲线的作法可知函数y＝ cos x，x∈[0，2π]与
y＝ cos x，x∈[2π，4π]的图象位置不同，形状相同.
3. 函数y＝－ cos x在区间 上是（ ）
A. 单调递增 B. 单调递减
C. 先减后增 D. 先增后减
解析： 因为y＝ cos x在区间 上先增后减，所以y＝－
cos x在区间 上先减后增.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 余弦函数的图象及应用
角度1 “五点法”作余弦函数的图象
【例1】 画函数y＝2 cos x＋3，x∈[0，2π]的图象.
解：（1）列表：
x 0 π 2π
y＝ cos x 1 0 －1 0 1
y＝2 cos x＋3 5 3 1 3 5
（2）描点：在平面直角坐标系中描出（0，5）， ，（π，
1）， ，（2π，5）五个点.
（3）连线：用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来，如图所示.
通性通法
用五点法画函数y＝A cos x＋b（A≠0），x∈[0，2π]的图象的
步骤
（1）列表：
x 0 π 2π
y＝ cos x 1 0 －1 0 1
y＝A cos x＋b A＋b b －A＋b b A＋b
（2）描点：在平面直角坐标系中描出（0，A＋b）， ，
（π，－A＋b）， ，（2π，A＋b）五个点；
（3）连线：用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来.
角度2 根据余弦函数的图象求角的范围
【例2】 利用余弦函数的图象，求满足 cos x≤ 的x的集合.
解：作出余弦函数y＝ cos x，x∈[0，2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为［ ＋2kπ， ＋2kπ］，k∈Z.
通性通法
用余弦函数图象解不等式的步骤
（1）作出余弦函数在区间[0，2π]上的图象；
（2）写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集；
（3）根据余弦函数周期确定取值范围.
【跟踪训练】
1. 满足 cos x＞0，x∈[0，2π]的x的取值范围为
.
解析：画出函数y＝ cos x，x∈[0，2π]的图
象，如图所示.由图象，可知满足 cos x＞0，
x∈[0，2π]的x的取值范围为［0， ）∪
（ ，2π］.
［0， ）∪
（ ，2π］
2. 作出函数y＝－ cos x＋1，x∈[0，2π]的图象.
解：（1）列表：
x 0 π 2π
y＝ cos x 1 0 －1 0 1
y＝－ cos x＋1 0 1 2 1 0
（2）描点：在坐标系中描出点（0，0）， ，（π，2），
，（2π，0）.
（3）连线：用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来，如图所示.
题型二 余弦函数的单调性及应用
【例3】 （1）求函数y＝1－ cos x的单调区间；
解：因为y＝ cos x在[（2k－1）π，2kπ]（k∈Z）上单调
递增，在[2kπ，（2k＋1）π]（k∈Z）上单调递减，
所以y＝1－ cos x的单调递减区间是[（2k－1）π，2kπ]
（k∈Z），单调递增区间是[2kπ，（2k＋1）π]（k∈Z）.
（2）比较大小： cos 与 cos .
解： cos ＝ cos ＝ cos ，
cos ＝ cos ＝ cos .
因为函数y＝ cos x在[0，π]上单调递减，
且0＜ ＜ ＜π，所以 cos ＞ cos ，
即 cos ＞ cos .
通性通法
1. 对于余弦函数的性质，要善于结合余弦函数图象并类比正弦函
数的相关性质进行记忆，其解题方法与正弦函数的对应性质解
题方法一致.
2. 单调性是对一个函数的某个区间而言的，不在同一单调区间内时，
应先用诱导公式进行适当转化，转化到同一单调区间内，再利用函
数的单调性比较大小.
【跟踪训练】
1. 函数y＝1－2 cos x的单调递增区间是 .
解析：由于y＝ cos x的单调递减区间为[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z），所以函数y＝1－2 cos x的单调递增区间为[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z）.
[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z）
2. 比较大小 cos π cos .
解析：由于 cos π＝ cos ＝ cos ，
cos ＝ cos ＝ cos ＝ cos ，
y＝ cos x在[0，π]上单调递减.
由 ＜ 知 cos ＞ cos ，
即 cos π＜ cos .
＜
题型三 与余弦函数有关的奇偶性及周期性
角度1 奇偶性的判断
【例4】 判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝x cos x；
解：定义域为R，且f（－x）＝－x· cos （－x）＝－x cos x＝－f（x），因此函数f（x）是奇函数.
（2）f（x）＝ sin cos .
解：定义域为R，且f（－x）＝ sin · cos ＝－ sin cos ＝－f（x），因此函数f（x）是奇函数.
通性通法
判断与余弦函数有关奇偶性的方法
（1）判断函数的奇偶性时，必须先检查其定义域是否关于原点对称.
如果是，再验证f（－x）是否等于－f（x）或f（x），进而判
断函数的奇偶性；如果不是，那么该函数既不是奇函数，也不
是偶函数.
（2）判断与余弦函数有关的函数的奇偶性时，需注意诱导公式的合
理运用.
角度2 求函数的周期
【例5】 函数f（x）＝3 cos πx的最小正周期是 .
解析： x∈R，存在一个非零常数2，使得f（x＋2）＝3 cos [π（x＋
2）]＝3 cos （πx＋2π）＝3 cos πx＝f（x），故T＝2为f（x）的一
个周期，那么2k（k∈Z）是f（x）的周期，则当k＝1时，T＝2为f
（x）的最小正周期.
2
通性通法
求周期函数的最小正周期的注意事项
（1）周期函数的周期不唯一.如果T是函数f（x）的周期，那么kT
（k∈Z且k≠0）也是函数的周期，若周期函数f（x）的所有周
期中存在一个最小的正数，那么该最小正数叫作f（x）的最小
正周期；
（2）不是所有周期函数都有最小正周期，如f（x）＝c（c为常数）
就不存在最小正周期.
【跟踪训练】
1. 函数y＝－x cos x的部分图象是如图中的（ ）
解析：因为函数y＝－x cos x是奇函数，图象关于原点对称，所以排除A、C；当x∈（0， ）时，y＝－x cos x＜0，故排除B，选D.
2. 若函数f（x）的定义域为R，最小正周期为 ，且满足f（x）＝
则f（－ ）＝ .
解析：f（－ ）＝f（－ ＋ ×3）＝f（ ）＝ cos ＝－
.
－
题型四 与余弦函数有关的最值问题
【例6】 （1）设M和m分别是函数y＝ cos x－1的最大值和最小
值，则M＋m＝ ；
解析：因为 cos x∈[－1，1]，所以M＝ ×1－1＝－ ，
m＝ ×（－1）－1＝－ ，
所以M＋m＝－ － ＝－2.
－2
（2）函数y＝ cos 2x－4 cos x＋5的值域为 .
解析：令t＝ cos x，则－1≤t≤1.
所以y＝t2－4t＋5＝（t－2）2＋1，
所以t＝－1时，y取得最大值10，t＝1时，y取得最小值2.
所以函数y＝ cos 2x－4 cos x＋5的值域为[2，10].
[2，10]
通性通法
求余弦函数值域的常用方法
（1）求解形如y＝a cos x＋b的函数的最值或值域问题时，利用余弦
函数的有界性（－1≤ cos x≤1）求解.求余弦函数取最值时相应
自变量x的集合时，要注意考虑余弦函数的周期性；
（2）求解形如y＝a cos 2x＋b cos x＋c，x∈D的函数的值域或最值
时，通过换元，令t＝ cos x，将原函数转化为关于t的二次函
数，利用配方法求值域或最值即可.求解过程中要注意t＝ cos x
的有界性.
【跟踪训练】
函数y＝ cos x 的最小值、最大值分别为（ ）
A. 0，1 B. －1，1
C. － ，1 D. －1，
解析：由y＝ cos x 的图象（如图）可知，当x＝ 时，y＝ cos x有最大值 ；当x＝π时，y＝ cos x有最小值－1.故选D.
1. 用“五点法”作y＝3 cos 2x的简图时，五个关键点的横坐标是
（ ）
A. 0， ，π， π，2π B. 0， ， ， π，π
C. 0，π，2π，3π，4π D. 0， ， ， ，
解析： 令 2x＝0， ，π， π，2π，得x＝0， ， ， π，π，
故选B.
2. 函数y＝ cos x－2在x∈[－π，π]上的图象是（ ）
解析：把y＝ cos x，x∈[－π，π]的图象向下平移2个单位长度即可.
3. 函数y＝ sin 的奇偶性是（ ）
A. 奇函数 B. 偶函数
C. 非奇非偶函数 D. 既是奇函数也是偶函数
解析： 因为y＝ sin ＝ cos x，所以该函数是偶函数.
4. 函数y＝ cos （－x），x∈[0，2π]的单调递减区间是 .
解析：y＝ cos （－x）＝ cos x，当x∈[0，2π]时，其单调递减区
间为[0，π].
[0，π]
5. 函数y＝ cos x＋4，x∈[0，2π]的图象与直线y＝4的交点坐标
为 .
解析：作出函数y＝ cos x＋4，x∈[0，2π]的图象（图略），容易
发现它与直线y＝4的交点坐标为 ， .
，
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列函数中，周期为 的是（ ）
A. y＝ cos 4x B. y＝ sin 2x
C. y＝ cos D. y＝ sin
解析： 对于A，周期为 ；对于B，周期为π；对于C，周期为
8π；对于D，周期为4π.故选A.
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2. 函数y＝－ cos x（x＞0）的图象中与y轴最近的最高点的坐标为
（ ）
A. B. （π，1）
C. （0，1） D. （2π，1）
解析： 用五点作图法作出函数y＝－cos x在（0，2π]上的图象如图所示，由图易知与y轴最近的最高点的坐标为（π，1）.
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3. 从函数y＝ cos x，x∈[0，2π]的图象来看，满足 cos x＝－ 的x
的个数是（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： 先画出函数y＝ cos x，x∈[0，2π]的简图，再画出直线
y＝－ （图略），可得有两个交点，即满足 cos x＝－ ，
x∈[0，2π]的x有2个.
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4. 函数y＝｜ cos x｜－1的最小正周期是（ ）
A. 2kπ（k∈Z） B. 3π
C. π D. 2π
解析： ∵函数y＝｜ cos x｜－1的周期同函数y＝｜ cos x｜的
周期一致，由函数y＝｜ cos x｜的图象知其最小正周期为π，∴y
＝｜ cos x｜－1的最小正周期也是π，故选C.
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5. 函数y＝｜ cos x｜的一个单调减区间是（ ）
A. B.
C. D.
解析： 函数y＝｜ cos x｜的图象如图所示，由图象知在 上y＝｜ cos x｜单调递减.
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6. （多选）关于三角函数的图象，下列命题正确的是（ ）
A. y＝ sin ｜x｜与y＝ sin x的图象关于y轴对称
B. y＝ cos （－x）与y＝ cos ｜x｜的图象相同
C. y＝｜ sin x｜与y＝ sin （－x）的图象关于x轴对称
D. y＝ cos x与y＝ cos （－x）的图象关于y轴对称
解析： 对B，y＝ cos （－x）＝ cos x，y＝ cos ｜x｜＝ cos x，故其图象相同；对D，y＝ cos （－x）＝ cos x，故其图象关于y轴对称，由作图（图略）可知A、C均不正确.
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7. 已知函数y＝3 cos （π－x），则当x＝ 时，函
数取得最大值，当x＝ 时，函数取得最小值.
解析：y＝3 cos （π－x）＝－3 cos x，当 cos x＝－1，即x＝2kπ
＋π，k∈Z时，y有最大值3；当 cos x＝1，即x＝2kπ，k∈Z时，
y有最小值－3.
2kπ＋π，k∈Z
2kπ，k∈Z
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8. 方程2x＝ cos x的实根的个数为 .
解析：在同一平面直角坐标系中分别画出y＝2x与y＝ cos x的图象
（图略），可知两图象有无数个交点，即方程2x＝ cos x有无数个
实数根.
无数个
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9. 若函数y＝2 cos x（0≤x≤2π）的图象和直线y＝2围成一个封闭的
平面图形，则这个封闭图形的面积是 .
解析：如图，在同一直角坐标系中作出函数y＝2 cos x（0≤x≤2π）的图象和直线y＝2，由图可知，图形S1与S2，S3与S4都是对称图形，有S1＝S2，S3＝S4，因此函数y＝2 cos x的图象与直线y＝2所围成的图形面积等于矩形OABC的面积.因为｜OA｜＝2，｜OC｜＝2π，所以S矩形＝2×2π＝4π.
4π
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10. 求函数y＝3 cos 2x－4 cos x＋1，x∈ 的值域.
解：y＝3 cos 2x－4 cos x＋1＝3 － .
∵x∈ ，∴ cos x∈ .
从而当 cos x＝－ ，即x＝ 时，ymax＝ ；
当 cos x＝ 时，即x＝ 时，ymin＝－ .
∴函数y＝3 cos 2x－4 cos x＋1，x∈［ ， π］的值域为 .
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11. （多选）已知函数f（x）＝ sin （x＋ ）（x∈R），下面结论
正确的是（ ）
A. 函数f（x）的最小正周期为2π
B. 函数f（x）在区间［0， ］上单调递增
C. 函数f（x）的图象关于直线x＝0对称
D. 函数f（x）是偶函数
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解析： 对于函数f（x）＝ sin （x＋ ）＝ cos x（x∈R），最小正周期为2π，故A正确；显然，函数f（x）在区间［0， ］上单调递减，故B错误；由于f（x）为偶函数，故图象关于直线 x＝0对称，故C、D正确.故选A、C、D.
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12. （多选）对于函数f（x）＝下列说法正确
的是（ ）
A. 该函数是以π为最小正周期的周期函数
B. 当且仅当x＝π＋2kπ（k∈Z）时，该函数取得最小值－1
C. 该函数的图象关于直线x＝ π＋2kπ（k∈Z）对称
D. 当且仅当2kπ＜x＜ ＋2kπ（k∈Z）时，0＜f（x）≤
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解析： 画出f（x）在[0，2π]上的图象
如图所示.由图象知，函数f（x）的最小正周
期为2π，当x＝π＋2kπ（k∈Z）和x＝ π＋
2kπ（k∈Z）时，该函数都取得最小值－1，故A、B错误.由图象知，函数图象关于直线x＝ π＋2kπ（k∈Z）对称，当2kπ＜x＜ ＋2kπ（k∈Z）时，0＜f（x）≤ ，故C、D正确.
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13. 若函数f（x）＝ cos x，x∈[－2π，2π]，则不等式xf（x）＞0的
解集为 .
解析：当x＞0时， cos x＞0，且x∈[－2π，2π]，解得0＜x＜
或 ＜x≤2π；当x＜0时， cos x＜0，且x∈[－2π，2π]，解得
－ ＜x＜－ ，故不等式xf（x）＞0的解集为
∪ ∪ .
∪ ∪
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14. 画出函数y＝3＋2 cos x的简图.
（1）求使此函数取得最大值、最小值的自变量x的集合，并分别
写出最大值、最小值；
解：按五个关键点列表如下，
x 0 π 2π
y＝ cos x 1 0 －1 0 1
y＝3＋2 cos x 5 3 1 3 5
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描点画出图象（如图）.
（1）当 cos x＝1，即x∈{x｜x＝2kπ，k∈Z}时，ymax＝3＋2＝5，当 cos x＝－1，即x∈{x｜x＝2kπ＋π，k∈Z}时，ymin＝3－2＝1.
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（2）讨论此函数的单调性.
解：令t＝ cos x，则y＝3＋2t，
因为函数y＝3＋2t，当t∈R时是增函数，
所以当x∈[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）时，函数y＝ cos x单
调递增，y＝3＋2 cos x也单调递增，当x∈[2kπ，2kπ＋
π]（k∈Z）时，函数y＝ cos x单调递减，y＝3＋2 cos x
也单调递减.综上，函数y＝3＋2 cos x在区间[2kπ－π，
2kπ]，k∈Z上单调递增；在区间[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z
上单调递减.
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15. 已知函数f（x）＝－ cos 2x＋ cos x＋a＋1，a∈R，若对区间
上任意x，都有f（x）≤1成立，则实数a的最大值为（ ）
A. － B. 0
C. 2 D.
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解析： 由f（x）≤1在 上恒成立，∴a≤ cos 2x－ cos x
＝ － 在 上恒成立.∵x∈ ，∴ cos
x∈[0，1]，∴ － ≥－ ，当且仅当 cos x＝ ，即x
＝ 时取等号，∴a≤－ ，则实数a的最大值为－ .
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16. 已知函数y＝ cos x＋ ｜ cos x｜.
（1）画出函数的图象；
解：y＝ cos x＋ ｜ cos x｜＝
函数图象如图所示.
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（2）这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期；
解：由图象知这个函数是周期函数，且最小正周期是2π.
（3）求出这个函数的单调递增区间.
解：由图象知函数的单调递增区间为［2kπ－ ，2kπ］（k∈Z）.
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谢 谢 观 看！
