5.2.1 排列与排列数 课件（共29张PPT） 高一上学期数学 北师大版2019 选择性必修第一册

(共29张PPT)
5.2.1 排列与排列数
学习目标
1.理解排列、排列数的意义，体现数学抽象能力（重点）
2.能利用列举法和分步乘法计数原理求排列数，体现数学运算能力（难点）
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上面我们学习了两种计数方法——分类加法计数原理和分步乘法计数原理，那么，除了这两种方法，还有其他的方法吗？思考下面的问题：
问题1: 3名同学排成一行照相，共有多少种排法？
分析：设3名同学分别为A,B,C.将3名同学排成一行，可以看作将字母A,B,C放入如图的方格中.
位置1
位置2
位置3
第1步：第一个位置可以从A，B，C三人中任选1人，有3种方法；
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问题1: 3名同学排成一行照相，共有多少种排法？
第2步：第二个位置可以从除了已经排在第一个位置的人之外的2个人中任选1人，有2种方法，即第一个位置的每一种方法都对应2种方法；
第3步：第三个位置只能是除了已经排在第一个位置和第二个位置的2个人之外剩下的1人，有1种方法，即第一个位置和第二个位置确定的每一种方法都对应1种方法，如图：
A
B
C
B
C
A
C
A
B
C
B
A
C
A
B
根据分步乘法计数原理，3名同学排成一行照相，共有3×2×1=6种排法．
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问题2：北京、广州、南京、武汉4个城市相互通航，请列举出所有机票的情况，并指出共有多少种机票？
分析：北京、广州、南京、武汉4个城市间有多少种机票，是指起点和终点不同的机票共有多少种.
第1步：确定可以作为起点的城市，有4种方法；
第2步：作为终点的城市可以从起点城市之外的3个城市中任选1个，有3种方法．如图：
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北京
广州
南京
武汉
起点
终点
广州
南京
武汉
北京
南京
武汉
北京
广州
武汉
北京
广州
南京
根据分步乘法计数原理，北京、广州、南京、武汉4个城市之间，共有：4×3=12种机票.
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问题3：从4面不同颜色(红、黄、蓝、绿)的旗子中，选出3面排成排作为一种信号，共能组成多少种信号？
分析：从4面不同颜色(红、黄、蓝、绿)的旗子中，选出3面排成一排作为信号,相当于从4面不同颜色(红、黄、蓝、绿)的旗子中取出3面旗子放人如图的3个方格中.
位置1
位置2
位置3
第1步：可以从4面不同颜色的旗子中任选1面排在第一位，有4种方法；
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第2步：从除了确定在第一位的那面旗子之外的3面中任选1面排在第二位，有3种方法，即第一位的每一种方法都对应3种方法；
第3步：从除了确定在第一个位和第二个位的2面之外剩下的2面中任选1面排在第三位，有2种方法，即第一位和第二位确定的每一种方法都对应2种方法，如图：
黄
蓝
绿
蓝
绿
黄绿
黄绿
红
红蓝
绿
蓝
绿
红绿
红蓝
黄
红黄
绿
蓝
黄绿
红绿
红黄
绿
红黄
蓝
黄蓝
红蓝
红黄
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问题3：从4面不同颜色(红、黄、蓝、绿)的旗子中，选出3面排成排作为一种信号，共能组成多少种信号？
根据分步乘法计数原理，从4面不同颜色（红、黄、蓝、绿）的旗子中， 选出3面排成一排作为一种信号，共有4×3×2=24种排法.
每一种排法对应一种信号，故能组成24种信号．
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思考一下：前面的三个问题有什么共同特征？
第一个问题是将给定的3个元素，按照一定的顺序进行排列．
第二个问题是在给定的4个元素中，选出2个元素，按照一定的顺序进行排列．
第三个问题是在给定的4个元素中，选出3个元素，按照一定的顺序进行排列．
这些问题都是对给定的n个元素或者其中的一些元素，按照一定的顺序进行排列．
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排列的概念
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
举个例子：
问题2中，北京、广州就是从4个不同元素中取出2个元素的一个排列.
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排列数与排列问题的概念
排列数的概念：从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的所有不同排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作 .
有关求排列的个数的问题叫作排列问题.
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思考一下：问题2中，北京、广州、南京、武汉4个城市相互通航，其机票种类数就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数，记为 .根据上面的分析，知道 =12.那么，如何计算 呢？
分析：可将上述问题模拟为：从n个不同元素中选出2个元素放入如图的方格中，有多少种不同的排列方法？
位置1
位置2
n种
n-1种
第1步：第一个位置可以从n个不同元素中任选一个，有n个方法，
第2步，填第2个位置的元素，可以从剩下的个元素中任选1个，有种选法．如图：
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思考一下：问题2中，北京、广州、南京、武汉4个城市相互通航，其机票种类数就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数，记为 .根据上面的分析，知道 =12.那么，如何计算 呢？
a2
a1
a3
an
a4
...
a2
a3
a3
an
a4
...
a2
a2
a3
an
a4
...
a2
an-1
a3
an
a4
...
...
a2
an
a3
an
a4
...
因此，根据分步乘法计数原理，从n个不同元素中取出2个元素的一个排列，共有n(n-1) 种方法，即 .
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例1：(1)请列出从5个不同元素中取出2个元素的所有排列，并计算 ．
设5个不同元素分别为a，b，c，d，e.
从5个不同元素中取出2个元素的所有排列，相当于从5个不同元素中选出2个元素放入下图的方格中．
第1步：第一个位置可以从5个不同元素中任选1个，有5种方法；
第2步：第二个位置可以从除了确定在第一个位置的元素之外的4个中任选1个，有4种方法，如图．
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例1：(1)请列出从5个不同元素中取出2个元素的所有排列，并计算 ．
b
a
c
e
d
a
c
b
e
d
a
b
c
e
d
a
d
b
e
c
a
e
b
d
c
因此，根据分步乘法计数原理，
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例1：(2)计算排列数
是指从n个不同元素中取出3个元素的排列数．
从n个不同元素中取出3个元素的排列数相当于从n个不同元素中取出3个元素放入如图所示的方格中．
第1步：第一个位置可以从n个不同元素中任选1个，有n种方法；
第2步：第二个位置可以从除了已经排在第一个位置的那个元素之外(n-1)的个中任选1个，有(n-1)种方法，即第一个位置的每一种方法都对应种方法；
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例1：(2)计算排列数
第3步：第三个位置可以从除了已经排在第一个位置和第二个位置的2个元素之外余下的(n-2)个不同元素中任选1个，有(n-2)种方法，即第一个位置和第二个位置确定的每一种方法都对应(n-2)种方法．如图：
a2
a1
a3
an
...
a1
a2
a3
an
...
...
a1
an
a2
an
...
a3
a4
...
an
a2
a4
...
an
a2
a3
...
an
a3
a4
...
an
a3
a4
...
an
a3
a4
an
...
a2
a3
...
an
a2
a3
an
...
a2
a3
...
an
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例1：(2)计算排列数
因此，根据分步乘法计数原理，从n个不同的元素中取出3个元素的排列，共有n(n-1)(n-2)种，即
排列是分步乘法计数原理的重要应用，其特征如下：
一是“取出元素”，
二是“按照一定的顺序进行排列”．“一定的顺序"与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志．
课堂巩固
A
课堂巩固
课堂巩固
B
课堂巩固
课堂巩固
C
课堂巩固
课堂巩固
A
课堂巩固
课堂总结
1.排列的概念
2.排列数的概念
3.排列问题的概念
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