5.2.2 排列数公式 课件（共28张PPT）高一上学期数学 北师大版2019 选择性必修第一册

(共28张PPT)
5.2.2 排列数公式
学习目标
1.理解排列、排列数的概念，了解排列数公式的推导，体现逻辑推理能力（重点）
2.掌握排列数公式，并能运用排列数公式进行计算，体现逻辑推理能力（重点）
3.能应用排列及排列数公式解决某些实际问题，体现数学运算能力（难点）
新课导入
上一节课我们学习了排列与排列数的概念，学习了用分步乘法计数原理计算有关排列的问题，对于上一课的问题1-4，除了用分步乘法计数原理还可以用其他的方法吗？
这节课让我们继续研究排列问题吧.
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思考一下：如何计算从n个不同元素取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的排列数 呢？
我们把从n个不同元素中取出m（m≤n,且m,n∈N+）个元素的排列，看成从n个不同的球中取出m个球，放入排好的m个盒子中，每个盒子里放一个球，我们根据分步乘法计数原理排列这些球：
第1步，从全体n个球中任选一个放入第1个盒子，有n种方法；
第2步，从剩下(n-1)的个球中任选一个放入第2个盒子，有(n-1)种方法；
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思考一下：如何计算从n个不同元素取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的排列数 呢？
第3步，从剩下(n-2)的个球中任选一个放入第3个盒子，有(n-2)种方法；
……
第m步，从剩下[n-(m-1)]的个球中任选一个放入第m个盒子，有[n-(m-1)]种方法，如下表
盒子 1 2 3 …… m
方法数 n n-1 n-2 …… n-(m-1)
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思考一下：如何计算从n个不同元素取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的排列数 呢？
根据分步乘法计数原理，从n个不同的球中取出m个球的排列，共有
n(n-1)(n-2) [n-(m-1)]
种方法.
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排列数公式
我们就得到从n个不同元素中取出m（m≤n,且m,n∈N+）个元素的排列共有n(n-1)(n-2) [n-(m-1)]种，所以
上述这个公式，叫做排列数公式．
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n的阶乘
一般地，在 中，当m=n时，
通常将上式的右边，从n到1连续n个正整数的乘积简写成：n！(读作“n的阶乘”).即
为了使得上式对m=n时也成立，规定：0!=1 ,
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例1：计算下列排列数：
(1) ; (2) ; (3) ； (4) .
(1)
(2)
(3)
(4)
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例2：利用1，2，3，4这4个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
本题是从1，2，3，4这4个数字中，任意选出3个数字排成一排，有多少种排法的排列问题．
所以利用1，2，3，4这4个数字，可以组成24个没有重复数字的三位数．
因为
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例3:现有红、黄、蓝3种颜色的旗子各一面，如果用它们其中的若干面挂在一个旗杆上发出信号，那么一共可以组成多少种信号？
分析：旗杆上可以挂1面旗子，也可以挂2面、3面旗子，因此，需要分类计数．由于挂出的旗子顺序不同表示的信号也不同，因此，对每一类来说是一个排列问题．
根据分析，可知需要分3类进行：
第1类，旗杆上挂1面旗子，可以组成 种信号；
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例3:现有红、黄、蓝3种颜色的旗子各一面，如果用它们其中的若干面挂在一个旗杆上发出信号，那么一共可以组成多少种信号？
第2类，旗杆上挂2面旗子，可以组成 种信号；
第3类，旗杆上挂3面旗子，可以组成 种信号.
因此，根据分类加法计数原理，一共可以组成
种信号．
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拓展：求排列问题的方法可以归纳为以下几步：
1.判断排列问题；
2.根据计数原理给出用排列数符号表示的运算式子；
3.利用排列数公式求出结果．
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练一练：第三届“一带一路”国际高峰论坛于2023年10月在北京召开，某记者与参会的5名代表一起合影留念（6人站成一排）.若记者不站两端，且代表甲与代表乙相邻的不同排法方式有多少种？
只考虑代表甲与代表乙相邻，只需将这两人捆绑，与剩余4人进行排序，共有 种不同的排法，
若记者站两端中的某个位置，且代表甲与代表乙相邻，则记者有2种站法，
然后将代表甲与代表乙捆绑，与剩余3人进行排序，此时不同的站法种数为 种，因此，若记者不站两端，且代表甲与代表乙相邻的不同排法方式有240-96=144种.
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求解相邻问题的方法——捆绑法
"捆绑法"是求解相邻问题的有效方法，其模型为：将n个不同元素排成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，求不同的排法种数．通常分为两步．
第一步，将k个相邻元素"捆绑"并排列，有 种方法；
第二步，将k个相邻元素"捆绑"后视为一个元素，再与其余的(n-k)个元素进行排列，有 种方法．
根据分步乘法计数原理知符合条件的排列方法种数为
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C
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C
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C
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B
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B
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6
课堂总结
1.排列数公式
2.n的阶乘
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