(共43张PPT)
拓 视 野 三角函数中有关ω的求解
类型一 三角函数的单调性与ω的关系
【例1】 已知函数f（x）＝ sin （ω＞0）在区间
上单调递增，则ω的取值范围为（ ）
解析： 法一 由题意得
则又ω＞0，所以k∈Z，
所以k＝0，则0＜ω≤ ，故选B.
法二 取ω＝1，则f（x）＝ sin ，令 ＋2kπ≤x＋ ≤ ＋
2kπ，k∈Z，得 ＋2kπ≤x≤ ＋2kπ，k∈Z，当k＝0时，函数f
（x）在区间 上单调递减，与函数f（x）在区间 上
单调递增矛盾，故ω≠1，结合四个选项可知选B.
方法总结
根据正弦函数的单调区间，确定函数f（x）的单调区间，根据函
数f（x）＝ sin （ω＞0）在区间 上单调递增，建
立不等式，即可求ω的取值范围.
类型二 三角函数的对称性与ω的关系
【例2】 已知函数f（x）＝ cos （ω＞0）的一条对称轴为
直线x＝ ，一个对称中心为点 ，则ω有（ ）
A. 最小值2 B. 最大值2
C. 最小值1 D. 最大值1
解析： ∵三角函数的对称中心到对称轴的最短距离是 ，两条对
称轴间的最短距离是 ，∴对称中心 到对称轴x＝ 间的距离
用周期可表示为 － ≥ ，又∵T＝ ，∴ ≤ ，∴ω≥2，∴ω有
最小值2，故选A.
三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间
隔”为 ，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为 ，这就
说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究
“ω”的取值.
方法总结
类型三 三角函数的最值与ω的关系
【例3】 已知函数f（x）＝2 sin ωx在区间 上的最小值为
－2，则ω的取值范围是 .
（－∞，－2]∪
解析：显然ω≠0.若ω＞0，当x∈ 时，－ ω≤ωx≤ ω，因
为函数f（x）＝2 sin ωx在区间 上的最小值为－2，所以－
ω≤－ ，解得ω≥ ；若ω＜0，当x∈ 时， ω≤ωx≤－
ω，因为函数f（x）＝2 sin ωx在区间 上的最小值为－2.所
以 ω≤－ ，解得ω≤－2.综上所述，符合条件的实数ω的取值范围
是（－∞，－2]∪ .
方法总结
利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的
不等式，进而求出ω的值或取值范围.
1. 为了使函数y＝ sin ωx（ω＞0）在区间[0，1]上至少有50个最大
值，则ω的最小值为（ ）
A. 98π
D. 100π
解析： 由题意，至少有50个最大值即至少需要49 个周期，所
以 T＝ · ≤1，所以ω≥ π.
【迁移应用】
2. 已知函数f（x）＝ sin （ωx＋ ）（ω＞0）在（0， ）上单调递
增，则ω的取值范围为（ ）
A. （0，2] B. （0，2）
C. （0，3] D. （0，3）
解析： 当x∈（0， ）时，ωx＋ ∈（ ， ＋ ），因为函
数f（x）＝ sin （ωx＋ ）在（0， ）上单调递增，所以 ＋
≤ ，解得0＜ω≤2，故ω的取值范围为（0，2]，故选A.
知能演练·扣课标
课后巩固 核心素养落地
1. 要得到函数y＝3 sin 的图象，只需将函数y＝3 sin 2x的图
象（ ）
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解析： 将y＝3 sin 2x向左移动 个单位长度得y＝3 sin 2
＝3 sin ，∴只需将函数y＝3 sin 2x的图象向左平移 个
单位长度，即可得y＝3 sin 的图象.故选C.
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2. 函数y＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，｜φ｜＜π，ω＞0）的部分图象
如图所示，则（ ）
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解析： 根据函数y＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，｜φ｜＜π，ω＞
0）的部分图象，可得A＝2， · ＝ － ，∴ω＝2，∴y＝2
sin （2x＋φ）.又函数图象过点 ，∴2 sin ＝2，
∴2· ＋φ＝ ＋2kπ，k∈Z，解得φ＝－ ＋2kπ，k∈Z. ∵｜φ｜
＜π，∴φ＝－ ，故函数的解析式为y＝2 sin .故选A.
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3. 函数f（x）＝ sin （2x＋φ） 的图象向左平移 个
单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则φ＝（ ）
解析： 函数f（x）＝ sin （2x＋φ） 的图象向
左平移 个单位长度后，得到函数y＝ sin （2x＋ ＋φ）
的图象.由于平移后的图象关于原点对称，∴ ＋φ＝
kπ（k∈Z），由｜φ｜＜ 得φ＝－ .
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4. 函数f（x）＝3 sin ＋1（x∈R）的图象向右平移 个单
位长度后得到y＝g（x）的图象，则函数g（x）（ ）
A. 最大值为3 B. 最小正周期为2π
C. 为奇函数 D. 图象关于y轴对称
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解析： 将函数f（x）＝3 sin （ 2x－ ）＋1（x∈R）的图象
向右平移 个单位长度后得到y＝g（x）的图象，则g（x）＝
f ＝3 sin ［2 － ］＋1＝3 sin ＋1＝1－3
cos 2x，可得g（x）的最大值为4，故A错误；g（x）的最小正周
期T＝π，故B错误；g（－x）＝1－3 cos （－2x）＝1－3 cos 2x
＝g（x），为偶函数，故C错误，D正确.故选D.
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5. （多选）函数y＝3 sin 的图象，可由函数y＝ sin x的图象
经过下列哪项变换而得到（ ）
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解析： ①将y＝ sin x的图象向左平移 个单位长度，得到函
数y＝ sin ，横坐标缩小到原来的 倍，纵坐标不变，得到
函数y＝ sin ，横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍得到y
＝3 sin 的图象.②将y＝ sin x的图象的横坐标缩小到原来
的 倍，纵坐标不变得到函数y＝ sin 2x，再向左平移 个单位长
度，得到函数y＝ sin ，横坐标不变，纵坐标变为原来的3
倍得到y＝3 sin 的图象.故选B、D.
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6. （多选）已知函数f（x）＝A sin ωx（A＞0，ω＞0）与g（x）＝
cos ωx的部分图象如图所示，则（ ）
A. A＝1 B. A＝2
解析：由题图可得过点（0，1）的图象对应的函数解析式为g（x）＝ cos ωx，即 ＝1，A＝2.过原点的图象对应函数f（x）＝A sin ωx.由f（x）的图象可知，T＝ ＝1.5×4，可得ω＝ .
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7. 当－ ≤x≤ 时，函数f（x）＝ sin 的最大值
是 ，最小值是 .
解析：∵－ ≤x≤ ，∴－ ≤x＋ ≤ π.当x＋ ＝－ ，即x＝
－ 时，f（x）min＝－ .当x＋ ＝ ，即x＝ 时，f（x）max＝
.
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8. 若函数f（x）＝2 sin 在 和[3m，π]上均单调递
增，则实数m的取值范围为 .
解析：由f（x）＝2 sin 知，当x∈[0，π]时，f（x）在
和 上单调递增，∵函数f（x）在 和[3m，
π]上均单调递增，∴解得 ≤m≤ ，∴实数m的
取值范围为 .
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9. 函数y＝－2 sin 的单调递减区间为 ［－ ＋kπ， ＋
.
解析：函数y＝－2 sin 的单调递减区间即为函数y＝2 sin
的单调递增区间，令－ ＋2kπ≤2x－ ≤ ＋2kπ，
k∈Z，得－ ＋kπ≤x≤ ＋kπ，k∈Z.
［－ ＋kπ， ＋
kπ］，k∈Z
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10. 已知函数y＝5 cos （其中k∈N），对任意实数a，
在区间[a，a＋3]上要使函数值 出现的次数不少于4次且不多于8
次，求k的值.
解：由5 cos ＝ ，
得 cos （ πx－ ）＝ .
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∵函数y＝ cos x在每个周期内有两次出现函数值为 ，区间[a，a
＋3]的长度为3，
∴为了使长度为3的区间内出现函数值 不少于4次且不多于8次，
必须使3不小于2个周期且不大于4个周期.
即2× ≤3，且4× ≥3.
解得 ≤k≤ .
又∵k∈N，∴k＝2，3.
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11. （多选）已知函数f（x）＝2 sin ，把函数f（x）的图象
沿x轴向左平移 个单位长度，得到函数g（x）的图象，关于函
数g（x），下列说法不正确的是（ ）
A. 函数g（x）是奇函数
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解析： 依题意得g（x）＝f ＝2 sin ＝2 cos
2x.g（x）是偶函数，A错误；又g ＝2 cos ＝
0≠±2，B错误；由0≤x≤ 得0≤2x≤ ，从而－1≤2 cos
2x≤2，C正确；由 ≤x≤ 得 ≤2x≤π，因此g（x）在
上单调递减，故D错误.故选A、B、D.
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12. 某同学利用描点法作函数y＝A sin （ωx＋φ） 的图象，列出的部分数据如表：
x 0 1 2 3 4
y 1 0 1 －1 －2
y＝2 sin
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解析：因为点（0，1），（2，1）关于直线x＝1对称，所以函数
图象的一条对称轴为直线x＝1，由三角函数的对称性可知，正弦
函数在对称轴处取得最值，即函数图象过点（1，A）或点（1，
－A），从而可得第二组（1，0）错误.由表格知函数的最小值是
－2，则A＝2.因为f（0）＝2 sin φ＝1，即 sin φ＝ ，又｜φ｜＜
，∴φ＝ ，则y＝2 sin .又点（2，1），（3，－1）关
于点 对称，0＜ω＜2，所以函数的周期T＝4× ＝
6，根据周期公式T＝ ＝6，得ω＝ ＝ ，则函数的解析式为y
＝2 sin .
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13. 已知方程 sin ＝k在x∈[0，π]上有两个解，则实数k的
取值范围为 .
解析：令y1＝ sin ，y2＝k，在同一直角坐标系内作出它
们的图象（0≤x≤π），由图象可知，当1≤k＜ 时，直线y2＝
k与曲线y1＝ sin 在0≤x≤π上有两个公共点，即当1≤k
＜ 时，原方程有两个解.
[1， ）
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14. 已知函数f（x）＝ sin （2x＋φ）（0＜φ＜π）.
（1）若函数f（x）＝ sin （2x＋φ）为偶函数，求φ的值；
解：因为f（x）为偶函数，
所以φ＝kπ＋ （k∈Z），
又φ∈（0，π），所以φ＝ .
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（2）若函数f（x）＝ sin （2x＋φ）关于x＝ 对称，求出φ的值
及f（x）的所有的对称轴方程及对称中心的坐标.
解：因为f（x）＝ sin （2x＋φ）关于x＝ 对称，
所以2× ＋φ＝ ＋kπ（k∈Z），
所以φ＝ ＋kπ（k∈Z），
又φ∈（0，π），
所以φ＝ ，
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所以f（x）＝ sin .
由2x＋ ＝kπ＋ （k∈Z），
得x＝ ＋ （k∈Z），
由2x＋ ＝kπ，得x＝ － （k∈Z），
所以f（x）的对称轴方程为x＝ ＋ （k∈Z），
对称中心的坐标为 （k∈Z）.
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15. （多选）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高精度、高定位的导航、授时服务.北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，可以用函数f（x）＝｜2 sin （2x－ ）｜近似模拟其信号，则下列结论中正确的是（ ）
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解析： 因为y＝2 sin （2x－ ）的最小正周期为T＝ ＝π，所以y＝｜2 sin （2x－ ）｜的最小正周期为 ，故A正确；因为f（ －x）＝｜2 sin （ －2x）｜＝f（x），所以函数f（x）图象的一条对称轴是x＝ ，故B正确；因为x∈（0， ）
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时，2x－ ∈（－ ，0），而y＝｜2 sinx｜在（－ ，0）上单调递减，故C不正确；函数g（x）＝f（x）－1的零点即方
程｜ sin （2x－ ）｜＝ 的根，x∈（－ ，π）时，2x－ ∈（－ ， ），由图象可知方程有4个根，故D正确.故选A、B、D.
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16. 已知函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜
π），在同一周期内，当x＝ 时，f（x）取得最大值3；当x＝
时，f（x）取得最小值－3.
（1）求函数f（x）的解析式；
解：由题意易知A＝3，T＝2× ＝π，
∴ω＝ ＝ ＝2，
由2× ＋φ＝ ＋2kπ，k∈Z，
得φ＝ ＋2kπ，k∈Z.
又∵｜φ｜＜π，∴φ＝ ，∴f（x）＝3 sin .
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（2）求函数f（x）的递减区间；
解：由 ＋2kπ≤2x＋ ≤ ＋2kπ，k∈Z，
得 ＋kπ≤x≤ ＋kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的递减区间为 ，k∈Z.
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解：由题意知方程 sin ＝ 在区间
上有两个实根.
∵x∈ ，∴2x＋ ∈ ，
∴ sin ∈ ，
又方程有两个实根，∴ ∈ ，
∴m∈[1＋3 ，7）.
（3）若x∈ 时，函数h（x）＝2f（x）＋1－m有两个
零点，求实数m的取值范围.
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谢 谢 观 看！拓 视 野 三角函数中有关ω的求解
类型一 三角函数的单调性与ω的关系
【例1】 已知函数f（x）＝sin（ω＞0）在区间上单调递增，则ω的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
尝试解答
方法总结
根据正弦函数的单调区间，确定函数f（x）的单调区间，根据函数f（x）＝sin（ω＞0）在区间上单调递增，建立不等式，即可求ω的取值范围.
类型二 三角函数的对称性与ω的关系
【例2】 已知函数f（x）＝cos（ω＞0）的一条对称轴为直线x＝，一个对称中心为点，则ω有（ ）
A.最小值2 B.最大值2
C.最小值1 D.最大值1
尝试解答
方法总结
三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究“ω”的取值.
类型三 三角函数的最值与ω的关系
【例3】 已知函数f（x）＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是 .
尝试解答
方法总结
利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的值或取值范围.
【迁移应用】
1.为了使函数y＝sin ωx（ω＞0）在区间[0，1]上至少有50个最大值，则ω的最小值为（ ）
A.98π B.π
C.π D.100π
2.已知函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω＞0）在（0，）上单调递增，则ω的取值范围为（ ）
A.（0，2] B.（0，2）
C.（0，3] D.（0，3）
拓视野 三角函数中有关ω的求解
【例1】 B 法一 由题意得
则
又ω＞0，所以k∈Z，
所以k＝0，则0＜ω≤，故选B.
法二 取ω＝1，则f（x）＝sin，令＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，当k＝0时，函数f（x）在区间上单调递减，与函数f（x）在区间上单调递增矛盾，故ω≠1，结合四个选项可知选B.
【例2】 A ∵三角函数的对称中心到对称轴的最短距离是，两条对称轴间的最短距离是，∴对称中心 到对称轴x＝间的距离用周期可表示为－≥，又∵T＝，∴≤，∴ω≥2，∴ω有最小值2，故选A.
【例3】 （－∞，－2]∪
解析：显然ω≠0.若ω＞0，当x∈时，－ω≤ωx≤ω，因为函数f（x）＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以－ω≤－，解得ω≥；若ω＜0，当x∈时，ω≤ωx≤－ω，因为函数f（x）＝2sin ωx在区间上的最小值为－2.所以ω≤－，解得ω≤－2.综上所述，符合条件的实数ω的取值范围是（－∞，－2]∪.
迁移应用
1.B 由题意，至少有50个最大值即至少需要49个周期，所以T＝·≤1，所以ω≥π.
2.A 当x∈（0，）时，ωx＋∈（，＋），因为函数f（x）＝sin（ωx＋）在（0，）上单调递增，所以＋≤，解得0＜ω≤2，故ω的取值范围为（0，2]，故选A.
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