(共46张PPT)
6.3 探究A对y＝Asin（ωx＋φ）的图象的影响
新课程标准解读 核心素养
理解y＝A sin （ωx＋φ）中A对图象的影响；掌
握y＝ sin x与y＝A sin （ωx＋φ）图象间的变换
关系 数学抽象、数学
运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
前面两节课分别研究了ω和φ对函数y＝ sin （ωx＋φ）的图象的
影响，以及如何由y＝ sin x变化得到y＝ sin （ωx＋φ）的图象.
【问题】 你知道参数A对函数y＝A sin x的图象有怎样的影响吗？如
何由y＝ sin x的图象变换得到y＝A sin （ωx＋φ）的图象？
知识点 A对y＝A sin （ωx＋φ）的图象的影响
1. y＝A sin （ωx＋φ）（A＞0）的图象是将y＝ sin （ωx＋φ）的图
象上的每个点的纵坐标 （当A＞1时）或 （当0＜
A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）得到的. 决定了函数
y＝A sin （ωx＋φ）的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A
为 .
伸长
缩短
A
振幅
定义域 R
值域
周期 T＝
奇偶性 当φ＝ ，k∈Z时，y＝A sin （ωx＋φ）是奇函数；
当φ＝ ，k∈Z时，y＝A sin （ωx＋φ）是偶函数
[－A，A]
kπ
kπ＋
2. 函数y＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的性质
定义域 R
对称轴方
程 由ωx＋φ＝ （k∈Z）求得
对称中心 由ωx＋φ＝ （k∈Z）求得
单调性
kπ＋
kπ
提醒 探究函数y＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，x∈R）性质的
一般步骤：第1步，确定周期T＝ ；第2步，在y＝ sin x五个关键点
（0，0）， ，（π，0）， ，（2π，0）的基础上确定
该函数的五个关键点；第3步，用光滑曲线顺次连接五个关键点，即
可画出函数y＝A sin （ωx＋φ）在一个周期上的图象，再利用其周期
性把图象延拓到R，就可以得到它在R上的图象；第4步，借助图象讨
论性质.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数y＝3 sin x的图象可由函数y＝ sin x的图象上所有点的纵
坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变得到. （ √ ）
（2）函数y＝－3 sin 的振幅为－3. （ × ）
（3）函数y＝4 sin x，x∈R的周期和值域分别是6π和[－4，4].
（ √ ）
√
×
√
2. 若函数f（x）＝2 sin （ωx＋φ），x∈R（其中ω＞0，｜φ｜＜
）的最小正周期为π，且f（0）＝ ，则ω＝ ，φ
＝ ，振幅A＝ .
解析：由题意知 ＝π，所以ω＝2，所以f（x）＝2 sin （2x＋
φ），又由f（0）＝ 得2 sin φ＝ ，
由｜φ｜＜ 知φ＝ .
2
2
3. 已知函数y＝ sin （ωx＋φ） ，且此函数的图
象如图所示，则点（ω，φ）的坐标是 .
解析：由 ＝ － ＝ ，∴T＝π，由T＝ （ω＞0）得ω＝2.由
2× ＋φ＝π得φ＝ .∴点（ω，φ）的坐标为 .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 作y＝A sin （ωx＋φ）的图象
【例1】 用“五点法”画出函数y＝2 sin 的图象，并指出函
数的单调区间.
解：由五点法列表：
x
0 π 2π
y 0 2 0 －2 0
描点、连线，如图所示为函数在一个周期内的图象，
利用三角函数的周期性，我们可以把上面所得的简
图向左、向右扩展，得到y＝2 sin ，x∈R
的简图（图略）.
可见一个周期内，函数在 上单调递减.又因为函数的周期为
π，所以函数的单调递减区间为［kπ＋ ，kπ＋ ］（k∈Z）.同
理，函数的单调递增区间为［kπ－ ，kπ＋ ］（k∈Z）.
通性通法
作y＝A sin （ωx＋φ）图象的一般方法
一般利用“五点法”通过列表求值、描点、连线、扩展得到所求
函数图象.列表求值时要特别注意：（1）应取使ωx＋φ为一个周期内
的五个关键点，求对应的x的值；（2）求y值时注意倍数A.
【跟踪训练】
用“五点法”作出函数y＝2 sin ＋3的图象，并指出它的周
期、频率、相位、初相、最值及单调区间.
解：（1）列表：
x
0 π 2π
y 3 5 3 1 3
（2）作出图象，如图所示.将函数在一个周期内
的图象向左、向右两边扩展即得y＝2 sin （x－
）＋3的图象.
周期T＝2π，频率为 ＝ ，相位为x－ ，初相
为－ ，最大值为5，最小值为1，函数的单调递
减区间为［2kπ＋ π，2kπ＋ π］（k∈Z），单
调递增区间为［2kπ－ ，2kπ＋ π］（k∈Z）.
题型二 函数图象的变换
【例2】 如何由y＝ sin x的图象得到函数y＝3 sin 的图象.
解：法一 y＝ sin x
y＝ sin
y＝ sin （2x－ ）
y＝3 sin .
法二 y＝ sin x y＝ sin
2x
y＝ sin 2
y＝3 sin 2 ＝3 sin .
通性通法
三角函数图象变换的方法
由y＝ sin x的图象变换到y＝A sin （ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0）的图象的常用方法有两种：
【跟踪训练】
由函数y＝ sin x的图象经过怎样的变换，可以得到函数y＝－2 sin
＋1的图象.
解：y＝ sin x的图象 y＝2 sin x的图象
y＝－2 sin x的图象 y＝－2 sin 2x的图象 y＝－2 sin 的图象 y＝－2 sin ＋1 的图象.
题型三 由图象求函数y＝A sin （ωx＋φ）的解析式
【例3】 如图是函数y＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜
）的图象，求A，ω，φ的值，并确定其函数解析式.
解：法一（逐一定参法） 由图象知振幅A＝3，
又T＝ － ＝π，
∴ω＝ ＝2.
由图象过点 可知，－ ×2＋φ＝0，
得φ＝ ，∴y＝3 sin .
法二（待定系数法） 由图象知A＝3，又图象过点 和
，根据五点画图法原理（以上两点可判为“五点法”中的第
三点和第五点），有
解得
∴y＝3 sin .
法三（图象变换法） 由题意得，T＝π，A＝3，点 在函数
图象上，
易知图象是由y＝3 sin 2x向左平移 个单位长度而得到的，
∴y＝3 sin ，
即y＝3 sin ，φ＝ .
通性通法
若设所求解析式为y＝A sin （ωx＋φ），则在观察函数图象的基
础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.
（1）由函数图象上的最大值、最小值来确定｜A｜；
（2）由函数图象与x轴的交点确定T，由T＝ ，确定ω；
（3）确定函数y＝A sin （ωx＋φ）的初相φ的值的两种方法：
①代入法：把图象上的一个最高点或最低点代入（此时A，ω已
知）或代入图象与x轴的交点求解（此时要注意交点在上升区间
上还是在下降区间上）；
②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个
零点 作为突破口.
“五点法”的ωx＋φ的值具体如下：
“第一点”（即图象上升时与x轴的交点）为ωx＋φ＝0；
“第二点”（即图象的“峰点”）为ωx＋φ＝ ；
“第三点”（即图象下降时与x轴的交点）为ωx＋φ＝π；
“第四点”（即图象的“谷点”）为ωx＋φ＝ ；
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
y＝ sin （答案不
唯一）
解析：法一 由图象知函数的最大值为 ，最小值为－ ，又A＞
0，∴A＝ .
由图象知 ＝ － ＝ ，∴T＝π＝ ，∴ω＝2.
又 × ＝ ，
∴图象上的最高点为 ，
∴ ＝ sin （2× ＋φ），
即 sin ＝1，可取φ＝－ .
故函数的一个解析式为y＝ sin .
法二（五点对应法） 由图象知A＝ .又图象过点 ，
，根据“五点法”原理（以上两点可判断为“五点法”中的
第一点与第三点）得
解得
故函数的一个解析式为y＝ sin .
法三（图象变换法） 由图可知A＝ ， ＝ － ＝ ，∴T＝π＝
，∴ω＝2.∴该函数的图象可由y＝ sin 2x的图象向右平移 个单
位长度得到.故所求函数的一个解析式为y＝ sin 2 ，即y＝
sin .
题型四 函数y＝A sin （ωx＋φ）的性质及应用
【例4】 已知函数f（x）＝3 sin .
（1）求函数f（x）的周期、振幅、初相；
解：周期T＝ ＝ ＝4π，振幅A＝3，初相是－ .
（2）求函数f（x）的对称轴、对称中心、递增区间.
解：由于y＝3 sin 是周期函数，通过观察图象（图略）可知，所有与x轴垂直并且通过图象的最值点的直线都是此函数的对称轴，即令 x－ ＝ ＋kπ，k∈Z，解得对称轴方程为x＝ ＋2kπ，k∈Z.
因为所有图象与x轴的交点都是函数的对称中心，令 x－ ＝kπ，所以x＝ ＋2kπ，k∈Z，所以对称中心为点 ，k∈Z.
又因为x的系数为正数，所以把 x－ 视为一个整体，令－ ＋
2kπ≤ x－ ≤ ＋2kπ，解得－ ＋4kπ≤x≤ ＋4kπ，k∈Z，所以［－ ＋4kπ， ＋4kπ］，k∈Z为此函数的递增区间.
通性通法
对于函数单调性、对称性的研究，运用整体处理，只要熟练掌握
y＝ sin x的性质，就可以“以不变应万变”.
【跟踪训练】
已知曲线y＝A sin （ωx＋φ） 上最高点为
（2， ），该最高点与相邻的最低点间的曲线与x轴交于点（6，0）.
（1）求函数的解析式；
解：由题意可知A＝ ， ＝6－2＝4，∴T＝16，
即 ＝16，∴ω＝ ，∴y＝ sin .
又图象过最高点（2， ），∴ sin ＝1，
故 ＋φ＝ ＋2kπ，k∈Z，φ＝ ＋2kπ，k∈Z，
由｜φ｜≤ ，得φ＝ ，∴y＝ sin .
（2）求函数在x∈[－6，0]上的值域.
解：∵－6≤x≤0，∴－ ≤ x＋ ≤ ，
∴－ ≤ sin ≤1.
即函数在[－6，0]上的值域为[－ ，1].
1. 函数y＝2 sin 的最小正周期、振幅、初相分别是（ ）
解析： 由函数解析式知，最小正周期T＝ ＝4π，函数的振幅
为2，在 x＋ 中，令x＝0，求得初相为 .故选C.
2. 函数f（x）＝ sin （x∈R）的图象的一条对称轴方程是
（ ）
A. x＝0
解析： ∵f（x）＝ sin 的图象的对称轴方程为x－ ＝
kπ＋ （k∈Z），得x＝kπ＋ （k∈Z），∴当k＝－1时，x＝
－ 为其一条对称轴的方程，故选B.
3. 将函数y＝ cos 的图象上各点向右平移 个单位长度，再
把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到
的图象的函数解析式是（ ）
解析： y＝ cos （2x＋ ）
y＝ cos ［2 ＋ ］＝ cos （2x－ ）
y＝ cos
y＝4 cos .
4. 函数y＝2 sin 的单调递减区间为 .
解析：令2kπ＋ ≤2x－ ≤2kπ＋ （k∈Z），解得函数的单调
递减区间为［kπ＋ ，kπ＋ ］（k∈Z）.
［kπ＋ ，kπ＋ ］（k∈Z）
5. 将函数y＝ sin 的图象上各点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，则函数g（x）在
［0， ］上的最大值和最小值分别为 和 .
－
解析：依据图象变换可得函数g（x）＝ sin .
因为x∈［0， ］，
所以4x＋ ∈［ ， ］，
所以当4x＋ ＝ 时，g（x）取最大值 ，
当4x＋ ＝ 时，g（x）取最小值－ .
谢 谢 观 看！6.3 探究A对y＝Asin（ωx＋φ）的图象的影响
1.要得到函数y＝3sin的图象，只需将函数y＝3sin 2x的图象（ ）
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
2.函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，｜φ｜＜π，ω＞0）的部分图象如图所示，则（ ）
A.y＝2sin B.y＝2sin
C.y＝2sin D.y＝2sin
3.函数f（x）＝sin（2x＋φ）的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则φ＝（ ）
A. B.－ C. D.－
4.函数f（x）＝3sin＋1（x∈R）的图象向右平移个单位长度后得到y＝g（x）的图象，则函数g（x）（ ）
A.最大值为3 B.最小正周期为2π
C.为奇函数 D.图象关于y轴对称
5.（多选）函数y＝3sin的图象，可由函数y＝sin x的图象经过下列哪项变换而得到（ ）
A.向左平移个单位长度，横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的3倍
B.向左平移个单位长度，横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的3倍
C.横坐标缩短到原来的，向左平移个单位长度，纵坐标伸长到原来的3倍
D.横坐标缩短到原来的，向左平移个单位长度，纵坐标伸长到原来的3倍
6.（多选）已知函数f（x）＝Asin ωx（A＞0，ω＞0）与g（x）＝cos ωx的部分图象如图所示，则（ ）
A.A＝1 B.A＝2
C.ω＝ D.ω＝
7.当－≤x≤时，函数f（x）＝sin的最大值是 ，最小值是 .
8.若函数f（x）＝2sin在和[3m，π]上均单调递增，则实数m的取值范围为 .
9.函数y＝－2sin的单调递减区间为 .
10.已知函数y＝5cos（其中k∈N），对任意实数a，在区间[a，a＋3]上要使函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，求k的值.
11.（多选）已知函数f（x）＝2sin，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，关于函数g（x），下列说法不正确的是（ ）
A.函数g（x）是奇函数
B.函数g（x）的图象关于直线x＝－对称
C.当x∈时，函数g（x）的值域是[－1，2]
D.函数g（x）在上单调递增
12.某同学利用描点法作函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象，列出的部分数据如表：
x 0 1 2 3 4
y 1 0 1 －1 －2
经检查发现表格中恰有一组数据计算错误，请你推断该函数的解析式是 .
13.已知方程sin＝k在x∈[0，π]上有两个解，则实数k的取值范围为 .
14.已知函数f（x）＝sin（2x＋φ）（0＜φ＜π）.
（1）若函数f（x）＝sin（2x＋φ）为偶函数，求φ的值；
（2）若函数f（x）＝sin（2x＋φ）关于x＝ 对称，求出φ的值及f（x）的所有的对称轴方程及对称中心的坐标.
15.（多选）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高精度、高定位的导航、授时服务.北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，可以用函数f（x）＝｜2sin（2x－）｜近似模拟其信号，则下列结论中正确的是（ ）
A.函数f（x）的最小正周期为
B.函数f（x）图象的一条对称轴是x＝
C.函数f（x）在（0，）上单调递增
D.函数g（x）＝f（x）－1在（－，π）上有4个零点
16.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜π），在同一周期内，当x＝时，f（x）取得最大值3；当x＝时，f（x）取得最小值－3.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的递减区间；
（3）若x∈时，函数h（x）＝2f（x）＋1－m有两个零点，求实数m的取值范围.
6.3 探究A对y＝Asin（ωx＋φ）的图象的影响
1.C 将y＝3sin 2x向左移动个单位长度得y＝3sin 2＝3sin，∴只需将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度，即可得y＝3sin的图象.故选C.
2.A 根据函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，｜φ｜＜π，ω＞0）的部分图象，可得A＝2，·＝－，∴ω＝2，∴y＝2sin（2x＋φ）.又函数图象过点，∴2sin＝2，∴2·＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝－＋2kπ，k∈Z.∵｜φ｜＜π，∴φ＝－，故函数的解析式为y＝2sin.故选A.
3.D 函数f（x）＝sin（2x＋φ）的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝sin（2x＋＋φ）的图象.由于平移后的图象关于原点对称，∴＋φ＝kπ（k∈Z），由｜φ｜＜得φ＝－.
4.D 将函数f（x）＝3sin（ 2x－）＋1（x∈R）的图象向右平移个单位长度后得到y＝g（x）的图象，则g（x）＝f＝3sin［2－］＋1＝3sin＋1＝1－3cos 2x，可得g（x）的最大值为4，故A错误；g（x）的最小正周期T＝π，故B错误；g（－x）＝1－3cos（－2x）＝1－3cos 2x＝g（x），为偶函数，故C错误，D正确.故选D.
5.BD ①将y＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin，横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin，横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍得到y＝3sin的图象.②将y＝sin x的图象的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变得到函数y＝sin 2x，再向左平移个单位长度，得到函数y＝sin，横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍得到y＝3sin的图象.故选B、D.
6.BC 由题图可得过点（0，1）的图象对应的函数解析式为g（x）＝cos ωx，即＝1，A＝2.过原点的图象对应函数f（x）＝Asin ωx.由f（x）的图象可知，T＝＝1.5×4，可得ω＝.
7. － 解析：∵－≤x≤，∴－≤x＋≤π.当x＋＝－，即x＝－时，f（x）min＝－.当x＋＝，即x＝时，f（x）max＝.
8. 解析：由f（x）＝2sin知，当x∈[0，π]时，f（x）在和上单调递增，∵函数f（x）在和[3m，π]上均单调递增，∴解得≤m≤，∴实数m的取值范围为.
9.［－＋kπ，＋kπ］，k∈Z
解析：函数y＝－2sin的单调递减区间即为函数y＝2sin的单调递增区间，令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
10.解：由5cos＝，得cos（πx－）＝.
∵函数y＝cos x在每个周期内有两次出现函数值为，区间[a，a＋3]的长度为3，
∴为了使长度为3的区间内出现函数值不少于4次且不多于8次，必须使3不小于2个周期且不大于4个周期.
即2×≤3，且4×≥3.
解得≤k≤.
又∵k∈N，∴k＝2，3.
11.ABD 依题意得g（x）＝f＝2sin＝2cos 2x.g（x）是偶函数，A错误；又g＝2cos＝0≠±2，B错误；由0≤x≤得0≤2x≤，从而－1≤2cos 2x≤2，C正确；由≤x≤得≤2x≤π，因此g（x）在上单调递减，故D错误.故选A、B、D.
12.y＝2sin
解析：因为点（0，1），（2，1）关于直线x＝1对称，所以函数图象的一条对称轴为直线x＝1，由三角函数的对称性可知，正弦函数在对称轴处取得最值，即函数图象过点（1，A）或点（1，－A），从而可得第二组（1，0）错误.由表格知函数的最小值是－2，则A＝2.因为f（0）＝2sin φ＝1，即sin φ＝，又｜φ｜＜，∴φ＝，则y＝2sin.又点（2，1），（3，－1）关于点对称，0＜ω＜2，所以函数的周期T＝4×＝6，根据周期公式T＝＝6，得ω＝＝，则函数的解析式为y＝2sin.
13.[1，） 解析：令y1＝sin，y2＝k，在同一直角坐标系内作出它们的图象（0≤x≤π），由图象可知，当1≤k＜时，直线y2＝k与曲线y1＝sin在0≤x≤π上有两个公共点，即当1≤k＜时，原方程有两个解.
14.解：（1）因为f（x）为偶函数，所以φ＝kπ＋（k∈Z），
又φ∈（0，π），所以φ＝.
（2）因为f（x）＝sin（2x＋φ）关于x＝ 对称，
所以2×＋φ＝＋kπ（k∈Z），
所以φ＝＋kπ（k∈Z），
又φ∈（0，π），所以φ＝，
所以f（x）＝sin.
由2x＋＝kπ＋（k∈Z），
得x＝＋（k∈Z），
由2x＋＝kπ，得x＝－（k∈Z），
所以f（x）的对称轴方程为x＝＋（k∈Z），
对称中心的坐标为（k∈Z）.
15.ABD 因为y＝2sin（2x－）的最小正周期为T＝＝π，所以y＝｜2sin（2x－）｜的最小正周期为，故A正确；因为f（－x）＝｜2sin（－2x）｜＝f（x），所以函数f（x）图象的一条对称轴是x＝，故B正确；因为x∈（0，）时，2x－∈（－，0），而y＝｜2sin x｜在（－，0）上单调递减，故C不正确；函数g（x）＝f（x）－1的零点即方程｜sin（2x－）｜＝的根，x∈（－，π）时，2x－∈（－，），由图象可知方程有4个根，
故D正确.故选A、B、D.
16.解：（1）由题意易知A＝3，T＝2×＝π，∴ω＝＝＝2，
由2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
得φ＝＋2kπ，k∈Z.
又∵｜φ｜＜π，∴φ＝，
∴f（x）＝3sin.
（2）由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的递减区间为
，k∈Z.
（3）由题意知方程sin＝在区间上有两个实根.
∵x∈，
∴2x＋∈，
∴sin∈，
又方程有两个实根，∴∈，
∴m∈[1＋3，7）.
2 / 26.3 探究A对y＝Asin（ωx＋φ）的图象的影响
新课程标准解读 核心素养
理解y＝Asin（ωx＋φ）中A对图象的影响；掌握y＝sin x与y＝Asin（ωx＋φ）图象间的变换关系 数学抽象、数学运算
前面两节课分别研究了ω和φ对函数y＝sin（ωx＋φ）的图象的影响，以及如何由y＝sin x变化得到y＝sin（ωx＋φ）的图象.
【问题】 你知道参数A对函数y＝Asin x的图象有怎样的影响吗？如何由y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx＋φ）的图象？
知识点 A对y＝Asin（ωx＋φ）的图象的影响
1.y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0）的图象是将y＝sin（ωx＋φ）的图象上的每个点的纵坐标 （当A＞1时）或 （当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）得到的. 决定了函数y＝Asin（ωx＋φ）的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为 .
2.函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的性质
定义域 R
值域
周期 T＝
奇偶性 当φ＝ ，k∈Z时，y＝Asin（ωx＋φ）是奇函数；当φ＝ ，k∈Z时，y＝Asin（ωx＋φ）是偶函数
对称轴方程 由ωx＋φ＝ （k∈Z）求得
对称中心 由ωx＋φ＝ （k∈Z）求得
单调性 递增区间由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋（k∈Z）求得；递减区间由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋（k∈Z）求得
提醒 探究函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，x∈R）性质的一般步骤：第1步，确定周期T＝；第2步，在y＝sin x五个关键点（0，0），，（π，0），，（2π，0）的基础上确定该函数的五个关键点；第3步，用光滑曲线顺次连接五个关键点，即可画出函数y＝Asin（ωx＋φ）在一个周期上的图象，再利用其周期性把图象延拓到R，就可以得到它在R上的图象；第4步，借助图象讨论性质.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数y＝3sin x的图象可由函数y＝sin x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变得到.（ ）
（2）函数y＝－3sin的振幅为－3.（ ）
（3）函数y＝4sin x，x∈R的周期和值域分别是6π和[－4，4].（ ）
2.若函数f（x）＝2sin（ωx＋φ），x∈R（其中ω＞0，｜φ｜＜）的最小正周期为π，且f（0）＝，则ω＝ ，φ＝ ，振幅A＝ .
3.已知函数y＝sin（ωx＋φ），且此函数的图象如图所示，则点（ω，φ）的坐标是 .
题型一 作y＝Asin（ωx＋φ）的图象
【例1】 用“五点法”画出函数y＝2sin的图象，并指出函数的单调区间.
尝试解答
通性通法
作y＝Asin（ωx＋φ）图象的一般方法
一般利用“五点法”通过列表求值、描点、连线、扩展得到所求函数图象.列表求值时要特别注意：（1）应取使ωx＋φ为一个周期内的五个关键点，求对应的x的值；（2）求y值时注意倍数A.
【跟踪训练】
用“五点法”作出函数y＝2sin＋3的图象，并指出它的周期、频率、相位、初相、最值及单调区间.
题型二 函数图象的变换
【例2】 如何由y＝sin x的图象得到函数y＝3sin的图象.
尝试解答
通性通法
三角函数图象变换的方法
由y＝sin x的图象变换到y＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0）的图象的常用方法有两种：
【跟踪训练】
由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换，可以得到函数y＝－2sin＋1的图象.
题型三 由图象求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式
【例3】 如图是函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的图象，求A，ω，φ的值，并确定其函数解析式.
尝试解答
通性通法
若设所求解析式为y＝Asin（ωx＋φ），则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.
（1）由函数图象上的最大值、最小值来确定｜A｜；
（2）由函数图象与x轴的交点确定T，由T＝，确定ω；
（3）确定函数y＝Asin（ωx＋φ）的初相φ的值的两种方法：
①代入法：把图象上的一个最高点或最低点代入（此时A，ω已知）或代入图象与x轴的交点求解（此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上）；②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口.
“五点法”的ωx＋φ的值具体如下：
“第一点”（即图象上升时与x轴的交点）为ωx＋φ＝0；
“第二点”（即图象的“峰点”）为ωx＋φ＝；
“第三点”（即图象下降时与x轴的交点）为ωx＋φ＝π；
“第四点”（即图象的“谷点”）为ωx＋φ＝；
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
【跟踪训练】
已知函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，则该函数的一个解析式为 .
题型四 函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质及应用
【例4】 已知函数f（x）＝3sin.
（1）求函数f（x）的周期、振幅、初相；
（2）求函数f（x）的对称轴、对称中心、递增区间.
尝试解答
通性通法
对于函数单调性、对称性的研究，运用整体处理，只要熟练掌握y＝sin x的性质，就可以“以不变应万变”.
【跟踪训练】
已知曲线y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜≤）上最高点为（2，），该最高点与相邻的最低点间的曲线与x轴交于点（6，0）.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在x∈[－6，0]上的值域.
1.函数y＝2sin的最小正周期、振幅、初相分别是（ ）
A.，2， B.4π，－2，－
C.4π，2， D.2π，2，
2.函数f（x）＝sin（x∈R）的图象的一条对称轴方程是（ ）
A.x＝0 B.x＝－
C.x＝ D.x＝
3.将函数y＝cos的图象上各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是（ ）
A.y＝4cos
B.y＝4cos
C.y＝4sin
D.y＝－4sin
4.函数y＝2sin的单调递减区间为 .
5.将函数y＝sin的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，则函数g（x）在［0，］上的最大值和最小值分别为 和 .
6.3 探究A对y＝Asin（ωx＋φ）的图象的影响
【基础知识·重落实】
知识点
1.伸长 缩短 A 振幅 2.[－A，A]
kπ kπ＋ kπ＋ kπ
自我诊断
1.（1）√ （2）× （3）√
2.2 2 解析：由题意知＝π，所以ω＝2，所以f（x）＝2sin（2x＋φ），又由f（0）＝得2sin φ＝，由｜φ｜＜知φ＝.
3. 解析：由＝－＝，∴T＝π，由T＝（ω＞0）得ω＝2.由2×＋φ＝π得φ＝.∴点（ω，φ）的坐标为.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：由五点法列表：
x －
2x＋ 0 π 2π
y 0 2 0 －2 0
描点、连线，如图所示为函数在一个周期内的图象，
利用三角函数的周期性，我们可以把上面所得的简图向左、向右扩展，得到y＝2sin，x∈R的简图（图略）.
可见一个周期内，函数在上单调递减.又因为函数的周期为π，所以函数的单调递减区间为［kπ＋，kπ＋］（k∈Z）.同理，函数的单调递增区间为［kπ－，kπ＋］（k∈Z）.
跟踪训练
解：（1）列表：
x π π π π
x－ 0 π π 2π
y 3 5 3 1 3
（2）作出图象，如图所示.将函数在一个周期内的图象向左、向右两边扩展即得y＝2sin（x－）＋3的图象.
周期T＝2π，频率为＝，相位为x－，初相为－，最大值为5，最小值为1，函数的单调递减区间为［2kπ＋π，2kπ＋π］（k∈Z），单调递增区间为［2kπ－，2kπ＋π］（k∈Z）.
【例2】 解：法一 y＝sin xy＝sin
y＝sin（2x－）
y＝3sin.
法二 y＝sin xy＝sin 2xy＝sin 2
y＝3sin 2＝3sin.
跟踪训练
解：y＝sin x的图象
y＝2sin x的图象
y＝－2sin x的图象
y＝－2sin 2x的图象y＝－2sin的图象
y＝－2sin（2x－）＋1的图象.
【例3】 解：法一（逐一定参法） 由图象知振幅A＝3，
又T＝－＝π，∴ω＝＝2.
由图象过点可知，－×2＋φ＝0，得φ＝，∴y＝3sin.
法二（待定系数法） 由图象知A＝3，又图象过点和，根据五点画图法原理（以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点），有解得∴y＝3sin.
法三（图象变换法） 由题意得，T＝π，A＝3，点在函数图象上，易知图象是由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得到的，∴y＝3sin，
即y＝3sin，φ＝.
跟踪训练
y＝sin（答案不唯一）
解析：法一 由图象知函数的最大值为，最小值为－，又A＞0，∴A＝.由图象知＝－＝，∴T＝π＝，∴ω＝2.又×＝，∴图象上的最高点为，∴＝sin，即sin＝1，可取φ＝－.故函数的一个解析式为y＝sin.
法二（五点对应法） 由图象知A＝.又图象过点，，根据“五点法”原理（以上两点可判断为“五点法”中的第一点与第三点）得解得故函数的一个解析式为y＝sin.
法三（图象变换法） 由图可知A＝，＝－＝，∴T＝π＝，∴ω＝2.∴该函数的图象可由y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度得到.故所求函数的一个解析式为y＝sin 2，即y＝sin.
【例4】 解：（1）周期T＝＝＝4π，振幅A＝3，初相是－.
（2）由于y＝3sin是周期函数，通过观察图象（图略）可知，所有与x轴垂直并且通过图象的最值点的直线都是此函数的对称轴，即令x－＝＋kπ，k∈Z，解得对称轴方程为x＝＋2kπ，k∈Z.
因为所有图象与x轴的交点都是函数的对称中心，令x－＝kπ，所以x＝＋2kπ，k∈Z，所以对称中心为点，k∈Z.
又因为x的系数为正数，所以把x－视为一个整体，令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，解得－＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z，所以［－＋4kπ，＋4kπ］，k∈Z为此函数的递增区间.
跟踪训练
解：（1）由题意可知A＝，＝6－2＝4，
∴T＝16，即＝16，∴ω＝，∴y＝sin.
又图象过最高点（2，），
∴sin＝1，
故＋φ＝＋2kπ，k∈Z，φ＝＋2kπ，k∈Z，
由｜φ｜≤，得φ＝，
∴y＝sin.
（2）∵－6≤x≤0，
∴－≤x＋≤，
∴－≤sin≤1.
即函数在[－6，0]上的值域为[－，1].
随堂检测
1.C 由函数解析式知，最小正周期T＝＝4π，函数的振幅为2，在x＋中，令x＝0，求得初相为.故选C.
2.B ∵f（x）＝sin的图象的对称轴方程为x－＝kπ＋（k∈Z），得x＝kπ＋（k∈Z），∴当k＝－1时，x＝－为其一条对称轴的方程，故选B.
3.A y＝cos（2x＋）
y＝cos［2＋］＝cos（2x－）
y＝cos
y＝4cos.
4.［kπ＋，kπ＋］（k∈Z）
解析：令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋（k∈Z），解得函数的单调递减区间为［kπ＋，kπ＋］（k∈Z）.
5. － 解析：依据图象变换可得函数g（x）＝sin.因为x∈［0，］，所以4x＋∈［，］，所以当4x＋＝时，g（x）取最大值，当4x＋＝时，g（x）取最小值－.
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