培优课 解三角形的综合问题
1.已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且A＝B，sin B＝2sin C，则cos B＝（ ）
A. B. C. D.
2.已知△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＋＝1，则B的大小为（ ）
A.30° B.60°
C.120° D.150°
3.如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，则山CD的高度为（ ）
A. B.
C. D.
4.在锐角△ABC中，AB＝2，sin C＝2sin A，则△ABC面积的取值范围是（ ）
A.（，1） B.（，1）
C.（，） D.（1，）
5.在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A＝（ ）
A. B. C.－ D.－
6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin A＋b（sin A＋sin B）－csin C＝0，c＝2，则a＋b的取值范围是（ ）
A.（2，4] B.（，4］
C.（2，］ D.［，4］
7.（多选）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足1－≤，则角C的可能取值是（ ）
A. B. C. D.
8.（多选）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的有（ ）
A.若＝＝，则△ABC一定是等边三角形
B.若acos A＝bcos B，则△ABC一定是等腰三角形
C.若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC一定是等腰三角形
D.若a2＋b2－c2＞0，则△ABC一定是锐角三角形
9.（多选）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（a＋b）∶（a＋c）∶（b＋c）＝9∶10∶11，则下列结论正确的是（ ）
A.sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6
B.cos A＝
C.△ABC是钝角三角形
D.若c＝6，则△ABC的外接圆直径为
10.如图，已知两座灯塔A，B与C的距离都是 km，灯塔A在C的北偏东20°，灯塔B在C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为 km.
11.张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边.已知b＝2，A＝45°，求边c.显然缺少条件，若他打算补充a的大小，并使得c有两个解，则a的取值范围是 .
12.（2022·全国甲卷16题）已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当取得最小值时，BD＝ .
13.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c＝1，A＝，且△ABC的面积为.
（1）求a的值；
（2）若D为BC上一点，且 ，求sin∠ADB的值.
从①AD＝1；②∠CAD＝.这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.
14.已知在四边形ABCD中，BC⊥CD，AC＝BC，∠ABC＝.
（1）求∠ACB的值；
（2）若BC＝，AD＝，求BD的长.
15.为迎接第十五届全运会，规划修建公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图所示的五边形ABCDE，运动员的公路自行车在比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器材车或收容车上获得帮助.比赛期间，修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点进行，另外还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料、工具和配件，所以项目设计需要预留出BD，BE为赛道内的两条服务通道（不考虑宽度），ED，DC，CB，BA，AE为赛道，∠BCD＝∠BAE＝，∠CBD＝，CD＝ km，DE＝4 km.
（1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE的长度；
①∠CDE＝；②cos∠DBE＝；
（2）在（1）的条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道BAE最长（即BA＋AE最大）？最长为多少？
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.
培优课 三角函数的综合问题
1.B cos（α－）＝cos（α＋－）＝sin（α＋）＝.故选B.
2.B 因为点P在第一象限，所以即由tan α＞0可知角α为第一或第三象限角，画出单位圆如图.又sin α＞cos α，用正弦线、余弦线得满足条件的角α的终边在如图所示的阴影部分（不包括边界），即角α的取值范围是∪.
3.D 由cos θ＝，得θ＝±＋2kπ，k∈Z，则tan θ＝±1，故p /q，p不是q的充分条件；由tan θ＝1，得θ＝＋kπ，k∈Z，则cos θ＝±，故q /p，p不是q的必要条件，所以p是q的既不充分也不必要条件.故选D.
4.A 由解析式知f（x）＝ln｜x｜·sin x定义域为{x｜x≠0}，关于原点对称，且f（－x）＝ln｜－x｜·sin（－x）＝－ln｜x｜·sin x＝－f（x），所以f（x）为奇函数，排除B、D，当0＜x＜1时，ln｜x｜＜0，sin x＞0，可得f（x）＝ln｜x｜·sin x＜0，排除C，故选A.
5.D 由题意得f（a）＝sin（2a＋φ）＝1，则2a＋φ＝2kπ＋，k∈Z，所以f（x＋a）＝sin（2x＋2a＋φ）＝sin（2x＋2kπ＋）＝cos 2x，此时函数为偶函数.
6.A 因为f（x）是奇函数，所以φ＝0，所以f（x）＝sin ωx.又由已知得T＝，所以＝，所以ω＝4，所以f（x）＝sin 4x.由函数的解析式可知f（x）在上单调递减.故选A.
7.B ∵f（x）是偶函数，∴f（x）＝f（－x）对任意x都成立.当x＞0时，－x＜0，∴cos（x＋b）＝sin（－x＋a），当x＝时，可得cos（＋b）＝sin（－＋a），经检验各选项，只有B成立.
8.C 由题意可得只考虑ω＞0即可，设ωx＋＝t，则当x∈（0，π）时，t∈（，πω＋），y＝sin t在（，＋∞）上的图象如图所示.
若f（x）在（0，π）有两个零点，则由图知2π＜πω＋≤3π，即＜ω≤.故ω的取值范围是（，］.
9.AD 因为sin（π＋θ）＝－cos（2π－θ），即－sin θ＝－cos θ，所以tan θ＝.又｜θ｜＜π且｜θ｜≠，所以θ的值可能为－或，故选A、D.
10.AD 由题可得T＝＝2，f（x）的最小正周期为2，A正确；f（）＝4sin（－）＝4≠0，所以f（x）的图象不关于点（，0）中心对称，B错误；令πx－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋k，k∈Z，离y轴最近的对称轴为x＝－，所以若f（a－x）＝f（a＋x），则函数关于x＝a对称，｜a｜的最小值为，C错误；在y轴右边离y最近的对称轴为x＝，f（）＝4，而＝＜4，y＝在（0，＋∞）上单调递减，因此f（x）的图象在第一象限每个周期内与y＝的图象都有两个交点，在区间（，）上有两个交点，在区间（，）上有两个交点，从而在区间（0，）上共有4个交点，D正确.故选A、D.
11.ACD 将函数f（x）＝cos（2x＋）的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）＝cos（2x＋＋）＝cos（2x＋）的图象.g（x）的最小正周期为＝π，故A正确；在区间［0，］上，2x＋∈［，］，函数g（x）没有单调性，故B错误；当x＝时，g（x）＝0，故直线x＝不是函数g（x）图象的对称轴，故C正确；在［－，］上，2x＋∈［0，］，函数g（x）的最小值为g（）＝－，故D正确，故选A、C、D.
12.BC 因为f（）≤f（x）≤f（）对任意的x∈R都成立，所以ω＋φ＝2k1π－，ω＋φ＝2k2π＋，k1，k2∈Z且k2≥k1，所以ω＝（2k＋1）π，ω＝2（2k＋1），其中k＝k2－k1，k1，k2∈Z，又ω＞0，所以f（x）的最小正周期T＝＝，k∈Z，故A错误；易知ωmin＝2，此时φ＝2k2π－，k2∈Z，因为｜φ｜≤π，所以φ＝－，B正确；易知x＝和x＝是f（x）的两个极值点，所以（，0）是f（x）图象的一个对称中心，故C正确；当k＞1时，f（x）的最小正周期T≤，而－＝＞，故D错误.故选B、C.
13.偶 解析：y＝f（x）＝x2sin（x＋）＝x2cos x的定义域为R，关于原点对称，f（－x）＝（－x）2cos（－x）＝x2cos x＝f（x），故y＝x2sin（x＋）为偶函数.
14.［，1］ 解析：因为x∈［0，］，所以≤x＋≤，所以≤sin（x＋）≤1，即原函数的值域为［，1］.
15. 解析：由题图可知，此函数的半周期等于－＝＝，故最小正周期为，所以ω＝2.又图象过点（，0），所以0＝Atan（2×＋φ），即＋φ＝kπ（k∈Z），所以φ＝kπ－（k∈Z），又｜φ｜＜，所以φ＝.由图象过点（0，1）可知A＝1.综上，f（x）＝tan（2x＋）.故f（）＝tan（2×＋）＝tan＝.
16.②④ 解析：函数f（x）＝cos（2x－）的最小正周期是π，所以若f（x1）＝f（x2）＝0，则x1－x2＝（k∈Z），①错误；当x∈［，］时，2x－∈[0，π]，函数f（x）＝cos（2x－）单调递减，②正确；将f（x）＝cos（2x－）的图象向左平移个单位长度，得到f（x）＝cos［2（x＋）－］＝cos 2x的图象，则图象关于y轴对称，③错误；f（x）＝cos（2x－）＝sin（2x＋），④正确.所以正确命题为②④.
17.解：（1）由f（x）＝0得a＝sin2x－sin x－1＝（sin x－）2－.∵－1≤sin x≤1，∴实数a的取值范围是［－，1］.
（2）f（x）＝－（sin x－）2＋＋a.
由题意得
2≤a≤3，
即实数a的取值范围是[2，3].
18.解：（1）由题意知，函数f（x）图象的一条对称轴为直线x＝＝.设函数f（x）的最小正周期为T，则＝－＝，所以T＝π，即函数f（x）的最小正周期是π.
（2）由题图可知A＝2.因为T＝π，所以ω＝＝2.又因为f（）＝－2，
所以2sin（＋φ）＝－2，
即sin（＋φ）＝－1，所以＋φ＝2k1π－，k1∈Z，即φ＝2k1π－，k1∈Z.
又因为0＜φ＜2π，所以φ＝.
所以函数f（x）的解析式为f（x）＝2sin（2x＋）.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ－≤x≤kπ－，k∈Z，
所以函数f（x）的单调递增区间为
［kπ－，kπ－］，k∈Z.
3 / 3(共54张PPT)
培优课 三角函数的综合问题
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 三角函数的对称性
【例1】 已知函数y＝ sin （2x＋φ）（－ ＜φ＜ ）的图象关于直
线x＝ 对称，则φ的值为 .
－
解析：由题意可得 sin （ ＋φ）＝±1，解得 ＋φ＝ ＋kπ
（k∈Z），即φ＝－ ＋kπ（k∈Z）.因为－ ＜φ＜ ，所以k＝0，
φ＝－ .
通性通法
正弦函数、余弦函数图象的对称轴和对称中心的求解方法
求正弦函数、余弦函数图象的对称轴及对称中心，须先把所给正
弦函数、余弦函数式化为y＝A sin （ωx＋φ）或y＝A cos （ωx＋φ）
的形式，再把（ωx＋φ）整体看成一个变量.若求函数f（x）＝A sin
（ωx＋φ）（ω≠0）图象的对称轴，则只需令ωx＋φ＝ ＋kπ，
k∈Z，求x.若求函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）（ω≠0）图象的对称
中心的横坐标，则只需令ωx＋φ＝kπ，k∈Z，求x.
【跟踪训练】
已知函数f（x）＝ sin （ωx＋ ）（ω＞0）的最小正周期为π，则该
函数的图象（ ）
解析： 由T＝π知ω＝ ＝ ＝2，所以函数f（x）＝ sin （2x＋
）.函数f（x）的对称轴满足2x＋ ＝ ＋kπ（k∈Z），解得x＝
＋ （k∈Z）；函数f（x）的对称中心的横坐标满足2x＋ ＝kπ
（k∈Z），解得x＝－ ＋ （k∈Z）.故选A.
题型二 三角函数中的参数问题
角度1 已知定义域或最值求参数
【例2】 若函数y＝a－b cos x（b＞0）的最大值为 ，最小值为－
，求函数y＝－4a cos bx的最值和最小正周期.
解：∵y＝a－b cos x（b＞0），
∴ymax＝a＋b＝ ，ymin＝a－b＝－ .
由解得
∴y＝－4a cos bx＝－2 cos x，
∴函数y＝－4a cos bx的最大值为2，最小值为－2，最小正周期为2π.
通性通法
已知函数的定义域或最值求参数是逆向问题，通常利用化归与转
化思想，将问题转化为解含参数的不等式（组）问题、不等式恒成立
问题或方程（不等式）有（无）解问题等进行求解.
角度2 由三角函数的图象求参数
【例3】 已知函数f（x）＝Atan（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜
＜ ）的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为（ ，0）和（ ，
0），且过点（0，－3）.求函数f（x）的解析式.
解：由题意可得f（x）的周期为T＝ － ＝ ＝ ，所以ω＝ ，
得f（x）＝Atan（ x＋φ），
它的图象过点（ ，0），
所以tan（ × ＋φ）＝0，即tan（ ＋φ）＝0，
所以 ＋φ＝kπ（k∈Z），得φ＝kπ－ ，k∈Z，
又｜φ｜＜ ，所以φ＝－ ，
于是f（x）＝Atan（ x－ ），
它的图象过点（0，－3），
所以Atan（－ ）＝－3，得A＝3.
所以f（x）＝3tan（ x－ ）.
通性通法
由三角函数图象求参数的一般思路
由三角函数的图象可观察出该函数的周期，零点及单调性、奇偶
性等性质，结合ω与T的关系，φ与零点（或奇偶性）的关系，A与最
值（对称轴）的关系求参数A，ω，φ的值或范围.
角度3 根据单调性求参数
【例4】 已知函数y＝ sin （ωx＋ ）（ω＞0）在区间（－ ， ）
上单调递增，则ω的取值范围是 .
（0， ］
解析：函数f（x）＝ sin （ωx＋ ）（ω＞0）在区间（－ ， ）上
单调递增，当－ ＜x＜ 时，－ ＋ ＜ωx＋ ＜ ＋ ，∵当x＝
0时，ωx＋ ＝ ，由于函数y＝ sin （ωx＋ ）（ω＞0）在区间（－
， ）上单调递增，∴解得ω≤ ，∵ω＞0，∴0
＜ω≤ ，因此ω的取值范围是（0， ］.
通性通法
利用函数的单调性求参数的解题思路
（1）视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的
单调区间，与已知单调区间比较求参；
（2）根据函数单调性的定义建立关于参数的不等式（组），通过解
不等式（组）求出参数的取值范围.
【跟踪训练】
1. 函数f（x）＝a sin x＋ cos x关于直线 x＝ 对称，则a的取值集合
为（ ）
A. {1} B. {－1，1}
C. {－1} D. {0}
解析： 由条件可知，f ＝ a＋ ＝± ，即 ＝a2＋1，解得a＝1，所以a的取值集合为{1}.
2. 若函数f（x）＝ sin （φ∈[0，2π]）是偶函数，则φ＝（ ）
解析： ∵f（x）＝ sin 是偶函数，∴f（0）＝±1.∴ sin
＝±1.∴ ＝kπ＋ （k∈Z），∴φ＝3kπ＋ （k∈Z）.又
∵φ∈[0，2π]，∴当k＝0时，φ＝ .故选C.
3. 若函数f（x）＝2tan（kx＋ ）的最小正周期T满足1＜T＜2，则
自然数k的值为 .
解析：由题意得1＜ ＜2，k∈N，∴ ＜k＜π，∵k∈N，∴k＝2
或k＝3.
2或3
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 已知 sin （α＋ ）＝ ，则 cos （α－ ）的值为（ ）
解析： cos （α－ ）＝ cos （α＋ － ）＝ sin （α＋ ）
＝ .故选B.
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2. 已知点P（ sin α－ cos α，tan α）在第一象限，且α∈[0，
2π），则角α的取值范围是（ ）
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解析： 因为点P在第一象限，所以即
由tan α＞0可知角α为第一或第三象限角，画出单
位圆如图.又 sin α＞ cos α，用正弦线、余弦线得满足条件的角α
的终边在如图所示的阴影部分（不包括边界），即角α的取值范围
是 ∪ .
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3. 命题p： cos θ＝ ，命题q：tan θ＝1，则p是q的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
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解析： 由 cos θ＝ ，得θ＝± ＋2kπ，k∈Z，则tan θ＝
±1，故p / q，p不是q的充分条件；由tan θ＝1，得θ＝ ＋
kπ，k∈Z，则 cos θ＝± ，故q / p，p不是q的必要条件，所
以p是q的既不充分也不必要条件.故选D.
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4. 函数f（x）＝ln｜x｜· sin x的部分图象大致为（ ）
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解析： 由解析式知f（x）＝ln｜x｜· sin x定义域为{x｜x≠0}，关于原点对称，且f（－x）＝ln｜－x｜· sin （－x）＝－ln｜x｜· sin x＝－f（x），所以f（x）为奇函数，排除B、D，当0＜x＜1时，ln｜x｜＜0， sin x＞0，可得f（x）＝ln｜x｜· sin x＜0，排除C，故选A.
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5. 已知函数f（x）＝ sin （2x＋φ）满足f（x）≤f（a）对x∈R恒
成立，则函数（ ）
A. f（x－a）一定为奇函数
B. f（x－a）一定为偶函数
C. f（x＋a）一定为奇函数
D. f（x＋a）一定为偶函数
解析： 由题意得f（a）＝ sin （2a＋φ）＝1，则2a＋φ＝2kπ
＋ ，k∈Z，所以f（x＋a）＝ sin （2x＋2a＋φ）＝ sin （2x＋
2kπ＋ ）＝ cos 2x，此时函数为偶函数.
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6. 已知f（x）＝ sin ，ω＞0，｜φ｜＜ ，f（x）是奇函
数，直线y＝1与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差
的绝对值为 ，则（ ）
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解析： 因为f（x）是奇函数，所以φ＝0，所以f（x）＝ sin
ωx.又由已知得T＝ ，所以 ＝ ，所以ω＝4，所以f（x）＝
sin 4x.由函数的解析式可知f（x）在 上单调递减.故选A.
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7. 已知函数f（x）＝是偶函数，则下列结论可能
成立的是（ ）
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解析： ∵f（x）是偶函数，∴f（x）＝f（－x）对任意x都成
立.当x＞0时，－x＜0，∴ cos （x＋b）＝ sin （－x＋a），当x
＝ 时，可得 cos （ ＋b）＝ sin （－ ＋a），经检验各选项，
只有B成立.
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8. 设函数f（x）＝ sin （ωx＋ ）在区间（0，π）恰有两个零点，则
ω的取值范围是（ ）
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解析： 由题意可得只考虑ω＞0即可，设ωx＋ ＝t，则当x∈（0，π）时，t∈（ ，πω＋ ），y＝ sin t在（ ，＋∞）上的图象如图所示.
若f（x）在（0，π）有两个零点，则由图知2π＜πω＋ ≤3π，即 ＜ω≤ .故ω的取值范围是（ ， ］.
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9. （多选）已知 sin （π＋θ）＝－ cos （2π－θ），｜θ｜＜π，
且｜θ｜≠ ，则θ的值可能为（ ）
解析： 因为 sin （π＋θ）＝－ cos （2π－θ），即－ sin
θ＝－ cos θ，所以tan θ＝ .又｜θ｜＜π且｜θ｜≠ ，所
以θ的值可能为－ 或 ，故选A、D.
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10. （多选）关于函数f（x）＝4 sin （πx－ ），下列说法正确的是
（ ）
A. f（x）的最小正周期为2
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解析： 由题可得T＝ ＝2，f（x）的最小正周期为2，A正
确；f（ ）＝4 sin （ － ）＝4≠0，所以f（x）的图象不关于
点（ ，0）中心对称，B错误；令πx－ ＝ ＋kπ，k∈Z，得x
＝ ＋k，k∈Z，离y轴最近的对称轴为x＝－ ，所以若f（a－
x）＝f（a＋x），则函数关于x＝a对称，｜a｜的最小值为 ，
C错误；
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在y轴右边离y最近的对称轴为x＝ ，f（ ）＝4，而 ＝ ＜4，y＝
在（0，＋∞）上单调递减，因此f（x）的图象在第一象限每个周期
内与y＝ 的图象都有两个交点，在区间（ ， ）上有两个交点，在
区间（ ， ）上有两个交点，从而在区间（0， ）上共有4个交点，
D正确.故选A、D.
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11. （多选）若将函数f（x）＝ cos （2x＋ ）的图象向左平移 个
单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列说法正确的是（ ）
A. g（x）的最小正周期为π
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解析： 将函数f（x）＝ cos （2x＋ ）的图象向左平移
个单位长度，得到函数g（x）＝ cos （2x＋ ＋ ）＝ cos （2x
＋ ）的图象.g（x）的最小正周期为 ＝π，故A正确；在区间
［0， ］上，2x＋ ∈［ ， ］，函数g（x）没有单调性，故
B错误；当x＝ 时，g（x）＝0，故直线x＝ 不是函数g
（x）图象的对称轴，故C正确；在［－ ， ］上，2x＋ ∈［0， ］，函数g（x）的最小值为g（ ）＝－ ，故D正确，故选A、C、D.
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12. （多选）已知函数f（x）＝ sin （ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜
≤π），且f（ ）≤f（x）≤f（ ）对任意的x∈R都成立，则
（ ）
A. f（x）的最小正周期为π
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解析： 因为f（ ）≤f（x）≤f（ ）对任意的x∈R都成立，所以 ω＋φ＝2k1π－ ， ω＋φ＝2k2π＋ ，k1，k2∈Z且k2≥k1，所以 ω＝（2k＋1）π，ω＝2（2k＋1），其中k＝k2－k1，k1，k2∈Z，又ω＞0，所以f（x）的最小正周期T＝ ＝ ，k∈Z，故A错误；易知ωmin＝2，此时φ＝2k2π－ ，k2∈Z，因为｜φ｜≤π，所以φ＝－ ，B正确；易知x＝ 和x＝ 是f（x）的两个极值点，所以（ ，0）是f（x）图象的一个对称中心，故C正确；当k＞1时，f（x）的最小正周期T≤ ，而 － ＝ ＞ ，故D错误.故选B、C.
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13. 函数y＝x2 sin （x＋ ）是 函数（填“奇”或“偶”）.
解析：y＝f（x）＝x2 sin （x＋ ）＝x2 cos x的定义域为R，关
于原点对称，f（－x）＝（－x）2 cos （－x）＝x2 cos x＝f
（x），故y＝x2 sin （x＋ ）为偶函数.
偶
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14. 函数y＝ sin （x＋ ），x∈［0， ］的值域是 .
解析：因为x∈［0， ］，所以 ≤x＋ ≤ ，所以 ≤ sin （x
＋ ）≤1，即原函数的值域为［ ，1］.
［ ，1］
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15. 已知函数f（x）＝Atan（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜ ），y＝f
（x）的部分图象如图，则f（ ）＝ .
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解析：由题图可知，此函数的半周期等于 － ＝ ＝ ，故最
小正周期为 ，所以ω＝2.又图象过点（ ，0），所以0＝Atan
（2× ＋φ），即 ＋φ＝kπ（k∈Z），所以φ＝kπ－
（k∈Z），又｜φ｜＜ ，所以φ＝ .由图象过点（0，1）可知A
＝1.综上，f（x）＝tan（2x＋ ）.故f（ ）＝tan（2× ＋
）＝tan ＝ .
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16. 关于函数f（x）＝ cos （2x－ ）有以下命题：
①若f（x1）＝f（x2）＝0，则x1－x2＝kπ（k∈Z）；
②函数f（x）在［ ， ］上单调递减；
③将函数f（x）的图象向左平移 个单位长度，得到的图象关于
原点对称；
④函数f（x）的图象与函数g（x）＝ sin （2x＋ ）的图象相
同.
其中正确命题为 （填上所有正确命题的序号）.
②④
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解析：函数f（x）＝ cos （2x－ ）的最小正周期是π，所以若f
（x1）＝f（x2）＝0，则x1－x2＝ （k∈Z），①错误；当x∈
［ ， ］时，2x－ ∈[0，π]，函数f（x）＝ cos （2x－ ）
单调递减，②正确；将f（x）＝ cos （2x－ ）的图象向左平移
个单位长度，得到f（x）＝ cos ［2（x＋ ）－ ］＝ cos 2x的
图象，则图象关于y轴对称，③错误；f（x）＝ cos （2x－ ）
＝ sin （2x＋ ），④正确.所以正确命题为②④.
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17. 已知函数f（x）＝－ sin 2x＋ sin x＋1＋a.
（1）当f（x）＝0有实数解时，求实数a的取值范围；
解：由f（x）＝0得a＝ sin 2x－ sin x－1＝（ sin x－ ）2－ .∵－1≤ sin x≤1，∴实数a的取值范围是［－ ，1］.
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（2）若1≤f（x）≤ 对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围.
解：f（x）＝－（ sin x－ ）2＋ ＋a.
由题意得 2≤a≤3，
即实数a的取值范围是[2，3].
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18. 已知函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π）
的部分图象如图所示，且f（0）＝f（ ）.
（1）求函数f（x）的最小正周期；
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解：由题意知，函数f（x）图象的一条对称轴为直线x＝ ＝ .设函数f（x）的最小正周期为T，则 ＝ － ＝ ，
所以T＝π，即函数f（x）的最小正周期是π.
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（2）求f（x）的解析式，并写出它的单调递增区间.
解：由题图可知A＝2.因为T＝π，
所以ω＝ ＝2.
又因为f（ ）＝－2，
所以2 sin （ ＋φ）＝－2，
即 sin （ ＋φ）＝－1，
所以 ＋φ＝2k1π－ ，k1∈Z，
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即φ＝2k1π－ ，k1∈Z.
又因为0＜φ＜2π，
所以φ＝ .
所以函数f（x）的解析式为f（x）＝2 sin （2x＋ ）.
由2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋ ，k∈Z，
解得kπ－ ≤x≤kπ－ ，k∈Z，
所以函数f（x）的单调递增区间为
［kπ－ ，kπ－ ］，k∈Z.
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谢 谢 观 看！培优课 三角恒等变换的综合问题
题型一 三角恒等变换与解三角形
【例1】 （2024·新高考Ⅱ卷15题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2.
（1）求A；
（2）若a＝2，bsin C＝csin 2B，求△ABC的周长.
尝试解答
通性通法
解三角形与三角恒等变换综合问题的一般步骤
【跟踪训练】
（2022·新高考Ⅰ卷18题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.
（1）若C＝，求B；
（2）求的最小值.
题型二 三角恒等变换与三角函数
【例2】 已知函数f（x）＝sin（2ωx－）－4sin2ωx＋a（ω＞0），其图象相邻两个最高点之间的距离为π.
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）设函数f（x）在［0，］上的最小值为－，求函数f（x）（x∈R）的值域.
尝试解答
通性通法
解决三角恒等变换与三角函数的综合问题的关键在于熟练地运用基本的三角恒等变换思想方法，对其解析式进行变形、化简，尽量使其化为只有一个角为自变量的三角函数，再解决与图象和性质有关的问题.在进行恒等变换时，既要注意三角恒等思想（切化弦、常值代换、降幂与升幂、收缩变换、和差与积的互化、角的变换）的运用，还要注意一般的数学思想方法（如换元法等）的运用.
【跟踪训练】
已知函数f（x）＝asin（2x－）－2cos2（x＋）（a＞0），且满足f（x）的图象过点（，0）.
（1）求函数f（x）的解析式及最小正周期；
（2）若关于x的方程f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解，求实数m的取值范围.
题型三 三角恒等变换与向量
【例3】 已知向量a＝（sin θ，－2）与b＝（1，cos θ）互相垂直，其中θ∈（ 0，）.
（1）求sin θ和cos θ的值；
（2）若5cos（θ－φ）＝3cos φ，0＜φ＜，求cos φ的值.
尝试解答
通性通法
向量坐标运算中的数量积、向量的平行与垂直、向量的模等与三角恒等变换知识交汇的一类题，是常考的一种重要题型.解题时通常应用向量的坐标运算及三角恒等变换等运算最终化为y＝Asin（ωx＋φ）＋k或y＝Acos（ωx＋φ）＋k的形式，再进一步研究其性质.通过解决此类问题，有利于提升学生数学运算能力.
【跟踪训练】
已知向量a＝（cos α，sin α），b＝（cos β，sin β），｜a－b｜＝.
（1）求cos（α－β）的值；
（2）若－＜β＜0＜α＜，且sin β＝－，求sin α的值.
培优课 三角函数的综合问题
【典型例题·精研析】
【例1】 － 解析：由题意可得sin（＋φ）＝±1，解得＋φ＝＋kπ（k∈Z），即φ＝－＋kπ（k∈Z）.因为－＜φ＜，所以k＝0，φ＝－.
跟踪训练
A 由T＝π知ω＝＝＝2，所以函数f（x）＝sin（2x＋）.函数f（x）的对称轴满足2x＋＝＋kπ（k∈Z），解得x＝＋（k∈Z）；函数f（x）的对称中心的横坐标满足2x＋＝kπ（k∈Z），解得x＝－＋（k∈Z）.故选A.
【例2】 解：∵y＝a－bcos x（b＞0），
∴ymax＝a＋b＝，ymin＝a－b＝－.
由解得
∴y＝－4acos bx＝－2cos x，
∴函数y＝－4acos bx的最大值为2，最小值为－2，最小正周期为2π.
【例3】 解：由题意可得f（x）的周期为T＝－＝＝，所以ω＝，
得f（x）＝Atan（x＋φ），
它的图象过点（，0），
所以tan（×＋φ）＝0，
即tan（＋φ）＝0，
所以＋φ＝kπ（k∈Z），得φ＝kπ－，k∈Z，又｜φ｜＜，
所以φ＝－，
于是f（x）＝Atan（x－），
它的图象过点（0，－3），
所以Atan（－）＝－3，
得A＝3.
所以f（x）＝3tan（x－）.
【例4】 （0，］ 解析：函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω＞0）在区间（－，）上单调递增，当－＜x＜时，－＋＜ωx＋＜＋，∵当x＝0时，ωx＋＝，由于函数y＝sin（ωx＋）（ω＞0）在区间（－，）上单调递增，∴解得ω≤，∵ω＞0，∴0＜ω≤，因此ω的取值范围是（0，］.
跟踪训练
1.A 由条件可知，f＝a＋＝±，即＝a2＋1，解得a＝1，所以a的取值集合为{1}.
2.C ∵f（x）＝sin是偶函数，∴f（0）＝±1.∴sin＝±1.∴＝kπ＋（k∈Z），∴φ＝3kπ＋（k∈Z）.又∵φ∈[0，2π]，∴当k＝0时，φ＝.故选C.
3.2或3 解析：由题意得1＜＜2，k∈N，∴＜k＜π，∵k∈N，∴k＝2或k＝3.
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