章末检测（一） 三角函数
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.sin 600°＋tan 240°＝（ ）
A.－ B.
C.－＋ D.＋
2.直角坐标系内，角β的终边过点P（sin 2，cos 2），则与角β的终边重合的角可表示成（ ）
A.－2＋2kπ，k∈Z B.＋2＋kπ，k∈Z
C.2＋2kπ，k∈Z D.－2＋2kπ，k∈Z
3.已知sin（θ＋π）＜0，cos（θ－π）＞0，则θ的终边所在象限是（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，P为其终边上一点，则sin＝（ ）
A.－ B.－ C. D.
5.设函数f（x）＝sin，x∈R，则f（x）是（ ）
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为的奇函数
D.最小正周期为的偶函数
6.智能主动降噪耳机工作的原理如图①所示，是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向声波抵消噪声.已知某噪声的声波曲线y＝Asin（ωx＋）（A＞0，ω＞0）在［－，］上的大致图象如图②所示，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向声波曲线可以为（ ）
A.y＝2sin（πx＋）
B.y＝sin（x＋）
C.y＝sin（x－）
D.y＝2sin（πx－）
7.已知函数f（x）＝sin（ω＞0），将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位长度后，得到函数y＝g（x）的图象，若g（－x）＝g（x），则ω的最小值为（ ）
A. B. C.5 D.
8.若f（x）＝则f（x）的值域为（ ）
A.（－，） B.［－，］
C.[－1，1] D.［－，0）∪（0，］
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.函数y＝sin的图象是由函数y＝sin x的图象经过变换得到，则这个变换可以是（ ）
A.先将图象向左平移个单位长度再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍
B.先将图象向右平移个单位长度再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍
C.先将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，再将图象向左平移个单位长度
D.先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将图象向左平移个单位长度
10.已知点A（0，2），B（，0）是函数f（x）＝4sin（ωx＋φ）（0＜ω＜6，＜φ＜π）的图象上的两个点，若将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的图象的一条对称轴的方程为（ ）
A.x＝ B.x＝ C.x＝ D.x＝
11.下列关于函数y＝tan的说法正确的是（ ）
A.在区间上单调递增
B.最小正周期是π
C.图象关于成中心对称
D.图象关于成中心对称
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.已知cos（＋φ）＝，且｜φ｜＜，则tan φ＝ .
13.工艺扇面是中国书画一种常见的表现形式.高一某班学生想用布料制作一面如图所示的扇面参加元旦晚会.已知此扇面的圆心角为60°，外圆半径为60 cm，内圆半径为30 cm，则制作这样一面扇面需要的布料面积为 cm2.
14.如图为函数f（x）＝Asin（2x＋φ）的部分图象，对于任意的x1，x2∈[a，b]，若f（x1）＝f（x2），都有f（x1＋x2）＝，则φ＝ .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）化简与求值：
（1）化简：；
（2）求值：.
16.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝.
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）用定义判断函数f（x）的奇偶性；
（3）在[－π，π]上作出函数f（x）的图象.
17.（本小题满分15分）已知某地一天4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4，16].
（1）求该地区这一段时间内温度的最大温差；
（2）若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？
18.（本小题满分17分）在①函数f为奇函数；②当x＝时，f（x）＝；③是函数f（x）的一个零点，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答，已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ），f（x）的图象相邻两条对称轴间的距离为π， .
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
19.（本小题满分17分）对于分别定义在D1，D2上的函数f（x），g（x）以及实数k，若存在x1∈D1，x2∈D2，使得f（x1）－g（x2）＝k，则称函数f（x）与g（x）具有关系M（k）.
（1）若f（x）＝cos x，x∈[0，π]；g（x）＝sin x，x∈[0，π]，判断f（x）与g（x）是否具有关系M（－2），并说明理由；
（2）若f（x）＝cos x－1与g（x）＝－2sin2x＋sin x＋1具有关系M（k），求实数k的取值范围；
（3）已知a＞0，h（x）为定义在R上的奇函数，且满足：①在[0，2a]上，当且仅当x＝时，h（x）取得最大值1；②对任意x∈R，有h（a＋x）＋h（a－x）＝0.
判断是否存在实数a（a＞0），使得f（x）＝sin 2πx＋h（x）与g（x）＝h（x）－cos 2πx具有关系M（4），若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
章末检测（一） 三角函数
1.B 2.A 3.B 4.A 5.B
6.D 易知Asin（0＋）＝1，∴A＝2.再根据五点作图法，可得ω×＋＝π，∴ω＝π，故噪声声波曲线的解析式为y＝2sin（πx＋）.由于在平面直角坐标系中，反向声波曲线与噪声声波曲线关于x轴对称，设反向声波曲线为y1＝2sin（πx＋φ），则有2sin（πx＋）＋2sin（πx＋φ）＝0，可令πx＋－（πx＋φ）＝π，得φ的一个值为－.故选D.
7.A 由题可得y＝g（x）＝sin＝sin，又g（－x）＝g（x），∴函数y＝g（x）为偶函数，∴－ω＋＝kπ＋，k∈Z，即ω＝－3k－，k∈Z，∴k＝－1时，ω有最小值为.故选A.
8.B 由题意，作出函数y＝sin x，y＝cos x的图象，如图所示，
当｜tan x｜≥1时，可得x∈（－＋kπ，－＋kπ］∪［＋kπ，＋kπ），k∈Z，则cos x∈［－，0）∪（0，］.当｜tan x｜＜1时，可得x∈（－＋kπ，＋kπ），k∈Z，则sin x∈（－，），所以函数f（x）的值域为［－，］.故选B.
9.ABC A选项：y＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象，再将图象上所有的点横坐标变为原来的倍，得到y＝sin的图象，正确；B选项：y＝sin x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象，再将图象上所有的点横坐标变为原来的倍，得到y＝sin＝sin的图象，正确；C选项：y＝sin x的图象上所有的点横坐标变为原来的倍，得到y＝sin 2x的图象，再将图象向左平移个单位长度，得到y＝sin 2＝sin的图象，正确；D选项：y＝sin x的图象上所有的点横坐标变为原来的2倍，得到y＝sin x的图象，再将图象向左平移个单位长度，得到y＝sin ＝sin的图象，错误.故选A、B、C.
10.AD ∵f（0）＝4sin φ＝2，＜φ＜π，∴φ＝.则f（）＝4sin（ω＋）＝0，得ω＋＝kπ，k∈Z，∴ω＝6k－4（k∈Z），又0＜ω＜6，∴ω＝2，故f（x）＝4sin（2x＋）.将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，得到g（x）＝4sin［2（x－）＋］＝4sin（2x＋）的图象.令2x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，当k＝0时，x＝，当k＝1时，x＝.
11.ACD 当x∈时，2x－∈，所以y＝tan在区间上单调递增，故A正确；函数y＝tan的最小正周期是，故B错误；当x＝时2x－＝，所以函数y＝tan的图象关于成中心对称，故C正确；当x＝时2x－＝0，所以函数y＝tan的图象关于成中心对称，故D正确；故选A、C、D.
12.－ 解析：由cos（＋φ）＝，得sin φ＝－.又｜φ｜＜，
∴φ＝－，∴cos φ＝，∴tan φ＝－.
13.450π 解析：由扇形的面积公式，可得制作这样一面扇面需要的布料为××60×60－××30×30＝450π（cm2）.
14. 解析：由题图可知A＝2.不妨设＝m，则x1＋x2＝2m，由三角函数的性质可知2m＋φ＝2kπ＋（k∈Z），则f（x1＋x2）＝2sin[2（x1＋x2）＋φ]＝2sin（2×2m＋φ）＝2sin[2×（2m＋φ）－φ]＝2sin［2×－φ］＝2sin（4kπ＋π－φ）＝2sin φ＝，则sin φ＝，结合｜φ｜≤，可得φ＝.
15.解：（1）原式＝
＝＝－cos α.
（2）原式＝＝＝＝2－.
16.解：（1）由cos x≠0，得x≠kπ＋（k∈Z），所以函数f（x）的定义域是{x｜x∈R且x≠kπ＋，k∈Z}.
（2）由（1）知函数f（x）的定义域关于原点对称.
因为f（－x）＝＝＝－f（x），所以f（x）是奇函数.
（3）因为f（x）＝
所以f（x）在[－π，π]上的图象如图所示.
17.解：（1）由函数易知，当x＝14时函数取最大值，此时最高温度为30 ℃，当x＝6时函数取最小值，此时最低温度为10 ℃，所以最大温差为30－10＝20（℃）.
（2）令10sin＋20＝15，可得sin＝－，而x∈[4，16]，所以x＝.令10sin＋20＝25，可得sin＝，而x∈[4，16]，所以x＝.
故该细菌能存活的最长时间为－＝（小时）.
18.解：∵函数f（x）的图象相邻两条对称轴间的距离为π，
∴T＝＝2π，∴ω＝1，
∴f（x）＝2sin（x＋φ）.
选条件①.
∵f＝2sin为奇函数，
∴φ－＝kπ，k∈Z，解得φ＝＋kπ，k∈Z.
（1）∵0＜φ＜，∴φ＝，∴f（x）＝2sin.
（2）由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
∴令k＝0，得－≤x≤，令k＝1，得≤x≤，
∴函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间为，.
选条件②.
f＝2sin＝，∴sin＝，
∴φ＝2kπ，k∈Z或φ＝＋2kπ，k∈Z.
（1）∵0＜φ＜，∴φ＝，∴f（x）＝2sin.
（2）由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
∴令k＝0，得－≤x≤，令k＝1，得≤x≤，
∴函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间为，.
选条件③.
∵是函数f（x）的一个零点，
∴f＝2sin＝0，∴φ＝kπ－，k∈Z.
（1）∵0＜φ＜，∴φ＝，∴f（x）＝2sin.
（2）由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
∴令k＝0，得－≤x≤，令k＝1，得≤x≤，
∴函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间为，.
19.解：（1）f（x）与g（x）具有关系M（－2），理由如下：
当x∈[0，π]时，f（x）＝cos x∈[－1，1]，g（x）＝sin x∈[0，1]，
当x1＝π时，f（x1）＝f（π）＝－1，当x2＝时，g（x2）＝g（）＝1，
此时f（π）－g（）＝－2，则f（x）与g（x）具有关系M（－2）.
（2）由函数f（x）＝cos x－1∈[－2，0]，
且g（x）＝－2sin2x＋sin x＋1＝－2（sin x－）2＋，
因为sin x∈[－1，1]，所以当sin x＝－1时，g（x）min＝－2×（－1－）2＋＝－2，当sin x＝时，g（x）max＝，
所以g（x）∈［－2，］，
所以[f（x1）－g（x2）]∈［－，2］，所以k∈［－，2］，即实数k的取值范围为［－，2］.
（3）不存在实数a使得f（x）与g（x）具有关系M（4）.理由如下：
因为在[0，2a]上，当且仅当x＝时，h（x）取得最大值1，且h（x）为定义在R上的奇函数，
所以在[－2a，0]上，当且仅当x＝－时，h（x）取得最小值－1，故h（x）的值域为[－1，1]，
由对任意x∈R有h（a＋x）＋h（a－x）＝0，可得y＝h（x）关于点（a，0）对称，
又h（a＋x）＝－h（a－x）＝h（x－a），故h（x）的周期为2a，
又sin 2πx∈[－1，1]，cos 2πx∈[－1，1]，
所以当h（x1）＝1时，x1＝＋2na，n∈Z，sin 2πx1＝1时，x1＝＋k，k∈Z，
若＋2na＝＋k，即a＝，k，n∈Z，此时有f（x1）＝sin 2πx1＋h（x1）＝2；
当h（x2）＝－1时，x2＝－＋2ma，m∈Z，cos 2πx2＝1时，x2＝t，t∈Z，
若－＋2ma＝t，则a＝，t，m∈Z时，有g（x2）＝h（x2）－cos 2πx2＝－2，
因为≠，所以sin 2πx1＋h（x1）＋cos 2πx2－h（x2）＜4，
所以不存在x1∈R，x2∈R使得sin 2πx1＋f（x1）＋cos 2πx2－f（x2）＝4，
故不存在实数a使得f（x）＝sin 2πx＋h（x）与g（x）＝h（x）－cos 2πx具有关系M（4）.
3 / 3(共49张PPT)
章末检测（一） 三角函数
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. sin 600°＋tan 240°＝（ ）
A. － B.
C. － ＋ D. ＋
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解析： sin 600°＝ sin （360°＋240°）＝ sin 240°＝ sin （180°＋60°）＝－ sin 60°＝－ ，tan 240°＝tan（180°＋60°）＝tan 60°＝ ，所以 sin 600°＋tan 240°＝－ ＋ ＝ .
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2. 直角坐标系内，角β的终边过点P（ sin 2， cos 2），则与角β的
终边重合的角可表示成（ ）
A. －2＋2kπ，k∈Z
B. ＋2＋kπ，k∈Z
C. 2＋2kπ，k∈Z
D. －2＋2kπ，k∈Z
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解析： ∵角β的终边过点P（ sin 2， cos 2），即P（ cos （
－2）， sin （ －2）），∴与角β的终边重合的角可表示成 －2
＋2kπ，k∈Z.
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3. 已知 sin （θ＋π）＜0， cos （θ－π）＞0，则θ的终边所在象限
是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析： 由 sin （θ＋π）＝－ sin θ＜0 sin θ＞0， cos
（θ－π）＝－ cos θ＞0 cos θ＜0，由可知θ
是第二象限角.
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4. 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，
P 为其终边上一点，则 sin ＝（ ）
A. － B. －
C. D.
解析： 因为P 在角α的终边上，所以 cos α＝－ .
所以 sin ＝ cos α＝－ ，故选A.
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5. 设函数f（x）＝ sin ，x∈R，则f（x）是（ ）
A. 最小正周期为π的奇函数
B. 最小正周期为π的偶函数
C. 最小正周期为 的奇函数
D. 最小正周期为 的偶函数
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解析： f（x）的最小正周期为T＝ ＝π.∵ sin （2x－ ）＝
－ sin ＝－ cos 2x，∴f（x）＝－ cos 2x.又f（－x）＝
－ cos （－2x）＝－ cos 2x＝f（x），∴f（x）是最小正周期为π
的偶函数.
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6. 智能主动降噪耳机工作的原理如图①所示，是通过耳机两端的噪声
采集器采集周围的噪声，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反
向声波抵消噪声.已知某噪声的声波曲线y＝A sin （ωx＋ ）（A
＞0，ω＞0）在［－ ， ］上的大致图象如图②所示，则通过听
感主动降噪芯片生成相等的反向声波曲线可以为（ ）
A. y＝2 sin （πx＋ ） B. y＝ sin （ x＋ ）
C. y＝ sin （ x－ ） D. y＝2 sin （πx－ ）
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解析： 易知A sin （0＋ ）＝1，∴A＝2.再根据五点作图法，
可得ω× ＋ ＝π，∴ω＝π，故噪声声波曲线的解析式为y＝2 sin
（πx＋ ）.由于在平面直角坐标系中，反向声波曲线与噪声声波
曲线关于x轴对称，设反向声波曲线为y1＝2 sin （πx＋φ），则有2
sin （πx＋ ）＋2 sin （πx＋φ）＝0，可令πx＋ －（πx＋φ）＝
π，得φ的一个值为－ .故选D.
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7. 已知函数f（x）＝ sin （ω＞0），将函数y＝f（x）的图
象向右平移 个单位长度后，得到函数y＝g（x）的图象，若g
（－x）＝g（x），则ω的最小值为（ ）
A. B.
C. 5 D.
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解析： 由题可得y＝g（x）＝ sin ［ω ＋ ］＝ sin
，又g（－x）＝g（x），∴函数y＝g（x）为偶
函数，∴－ ω＋ ＝kπ＋ ，k∈Z，即ω＝－3k－ ，k∈Z，∴k
＝－1时，ω有最小值为 .故选A.
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8. 若f（x）＝则f（x）的值域为（ ）
A. （－ ， ） B. ［－ ， ］
C. [－1，1] D. ［－ ，0）∪（0， ］
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解析： 由题意，作出函数y＝sin x，y＝ cos x的图象，如图所示，当｜tan x｜≥1时，可得x∈（－ ＋kπ，－ ＋kπ］∪［ ＋kπ， ＋kπ），k∈Z，则 cos x∈［－ ，0）∪（0， ］.
当｜tan x｜＜1时，可得x∈（－ ＋kπ， ＋kπ），k∈Z，则 sin x∈（－ ， ），所以函数f（x）的值域为［－ ， ］.故选B.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选
对的得部分分，有选错的得0分）
9. 函数y＝ sin 的图象是由函数y＝ sin x的图象经过变换得
到，则这个变换可以是（ ）
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A. 先将图象向左平移 个单位长度再将图象上所有点的横坐标变为
原来的 倍
B. 先将图象向右平移 个单位长度再将图象上所有点的横坐标变为
原来的 倍
C. 先将图象上所有点的横坐标变为原来的 倍，再将图象向左平移
个单位长度
D. 先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将图象向左平移
个单位长度
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解析： A选项：y＝ sin x的图象向左平移 个单位长度，得
到y＝ sin 的图象，再将图象上所有的点横坐标变为原来
的 倍，得到y＝ sin 的图象，正确；B选项：y＝ sin x的
图象向右平移 个单位长度，得到y＝ sin 的图象，再将
图象上所有的点横坐标变为原来的 倍，得到y＝ sin ＝
sin 的图象，正确；
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C选项：y＝ sin x的图象上所有的点横坐标变为原来的 倍，得到y＝
sin 2x的图象，再将图象向左平移 个单位长度，得到y＝ sin 2 ＝ sin 的图象，正确；D选项：y＝ sin x的图象上所有的
点横坐标变为原来的2倍，得到y＝ sin x的图象，再将图象向左平移
个单位长度，得到y＝ sin ＝ sin 的图象，错误.
故选A、B、C.
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10. 已知点A（0，2 ），B（ ，0）是函数f（x）＝4 sin （ωx＋
φ）（0＜ω＜6， ＜φ＜π）的图象上的两个点，若将函数f（x）
的图象向右平移 个单位长度，得到函数g（x）的图象，则函数
g（x）的图象的一条对称轴的方程为（ ）
A. x＝ B. x＝
C. x＝ D. x＝
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解析： ∵f（0）＝4 sin φ＝2 ， ＜φ＜π，∴φ＝ .则f
（ ）＝4 sin （ ω＋ ）＝0，得 ω＋ ＝kπ，k∈Z，∴ω＝
6k－4（k∈Z），又0＜ω＜6，∴ω＝2，故f（x）＝4 sin （2x
＋ ）.将函数f（x）的图象向右平移 个单位长度，得到g
（x）＝4 sin ［2（x－ ）＋ ］＝4 sin （2x＋ ）的图象.令
2x＋ ＝ ＋kπ，k∈Z，得x＝ ＋ ，k∈Z，当k＝0时，x
＝ ，当k＝1时，x＝ .
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11. 下列关于函数y＝tan 的说法正确的是（ ）
A. 在区间 上单调递增
B. 最小正周期是π
C. 图象关于 成中心对称
D. 图象关于 成中心对称
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解析： 当x∈ 时，2x－ ∈ ，所以y
＝tan 在区间 上单调递增，故A正确；函数y＝
tan 的最小正周期是 ，故B错误；当x＝ 时2x－ ＝
，所以函数y＝tan 的图象关于 成中心对称，故
C正确；当x＝ 时2x－ ＝0，所以函数y＝tan 的图象
关于 成中心对称，故D正确；故选A、C、D.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中
横线上）
12. 已知 cos （ ＋φ）＝ ，且｜φ｜＜ ，则tan φ＝ .
解析：由 cos （ ＋φ）＝ ，得 sin φ＝－ .又｜φ｜＜ ，∴φ
＝－ ，∴ cos φ＝ ，∴tan φ＝－ .
－
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13. 工艺扇面是中国书画一种常见的表现形式.高一某班学生想用布料
制作一面如图所示的扇面参加元旦晚会.已知此扇面的圆心角为
60°，外圆半径为60 cm，内圆半径为30 cm，则制作这样一面扇
面需要的布料面积为 cm2.
450π
解析：由扇形的面积公式，可得制作这样一面扇面需要的布料为
× ×60×60－ × ×30×30＝450π（cm2）.
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14. 如图为函数f（x）＝A sin （2x＋φ） 的部分图
象，对于任意的x1，x2∈[a，b]，若f（x1）＝f（x2），都有f
（x1＋x2）＝ ，则φ＝ .
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解析：由题图可知A＝2.不妨设 ＝m，则x1＋x2＝2m，由
三角函数的性质可知2m＋φ＝2kπ＋ （k∈Z），则f（x1＋x2）
＝2 sin [2（x1＋x2）＋φ]＝2 sin （2×2m＋φ）＝2 sin [2×（2m
＋φ）－φ]＝2 sin ［2× －φ］＝2 sin （4kπ＋π－φ）＝
2 sin φ＝ ，则 sin φ＝ ，结合｜φ｜≤ ，可得φ＝ .
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）化简与求值：
（1）化简： ；
解：原式＝
＝
＝－ cos α.
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（2）求值： .
解：原式＝
＝
＝ ＝2－ .
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16. （本小题满分15分）已知函数f（x）＝ .
（1）求函数f（x）的定义域；
解：由 cos x≠0，得x≠kπ＋ （k∈Z），所以函数f
（x）的定义域是{x｜x∈R且x≠kπ＋ ，k∈Z}.
（2）用定义判断函数f（x）的奇偶性；
解：由（1）知函数f（x）的定义域关于原点对称.
因为f（－x）＝ ＝ ＝－f（x），
所以f（x）是奇函数.
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（3）在[－π，π]上作出函数f（x）的图象.
解：因为f（x）＝
所以f（x）在[－π，π]上的图象如图所示.
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17. （本小题满分15分）已知某地一天4～16时的温度变化曲线近似满
足函数y＝10 sin ＋20，x∈[4，16].
（1）求该地区这一段时间内温度的最大温差；
解：由函数易知，当x＝14时函数取最大值，此时最高温度为30 ℃，当x＝6时函数取最小值，此时最低温度为10 ℃，所以最大温差为30－10＝20（℃）.
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（2）若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时
间内，该细菌最多能生存多长时间？
解：令10 sin ＋20＝15，
可得 sin ＝－ ，
而x∈[4，16]，所以x＝ .
令10 sin ＋20＝25，
可得 sin ＝ ，
而x∈[4，16]，所以x＝ .
故该细菌能存活的最长时间为 － ＝ （小时）.
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18. （本小题满分17分）在①函数f 为奇函数；②当x＝ 时，
f（x）＝ ；③ 是函数f（x）的一个零点，这三个条件中任
选一个，补充在下面问题中，并解答，已知函数f（x）＝2 sin
（ωx＋φ） ，f（x）的图象相邻两条对称轴
间的距离为π， .
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
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解：∵函数f（x）的图象相邻两条对称轴间的距离为π，
∴T＝ ＝2π，∴ω＝1，∴f（x）＝2 sin （x＋φ）.
选条件①.
∵f ＝2 sin 为奇函数，
∴φ－ ＝kπ，k∈Z，解得φ＝ ＋kπ，k∈Z.
（1）∵0＜φ＜ ，∴φ＝ ，
∴f（x）＝2 sin .
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（2）由－ ＋2kπ≤x＋ ≤ ＋2kπ，k∈Z，
得－ ＋2kπ≤x≤ ＋2kπ，k∈Z，
∴令k＝0，得－ ≤x≤ ，
令k＝1，得 ≤x≤ ，
∴函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间为 ，
.
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选条件②.
f ＝2 sin ＝ ，
∴ sin ＝ ，
∴φ＝2kπ，k∈Z或φ＝ ＋2kπ，k∈Z.
（1）∵0＜φ＜ ，∴φ＝ ，
∴f（x）＝2 sin .
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（2）由－ ＋2kπ≤x＋ ≤ ＋2kπ，k∈Z，
得－ ＋2kπ≤x≤ ＋2kπ，k∈Z，
∴令k＝0，得－ ≤x≤ ，
令k＝1，得 ≤x≤ ，
∴函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间为 ， .
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选条件③.
∵ 是函数f（x）的一个零点，
∴f ＝2 sin ＝0，∴φ＝kπ－ ，k∈Z.
（1）∵0＜φ＜ ，∴φ＝ ，∴f（x）＝2 sin .
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∴函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间为 ， .
（2）由－ ＋2kπ≤x＋ ≤ ＋2kπ，k∈Z，
得－ ＋2kπ≤x≤ ＋2kπ，k∈Z，
∴令k＝0，得－ ≤x≤ ，
令k＝1，得 ≤x≤ ，
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19. （本小题满分17分）对于分别定义在D1，D2上的函数f（x），g
（x）以及实数k，若存在x1∈D1，x2∈D2，使得f（x1）－g
（x2）＝k，则称函数f（x）与g（x）具有关系M（k）.
（1）若f（x）＝ cos x，x∈[0，π]；g（x）＝ sin x，x∈[0，
π]，判断f（x）与g（x）是否具有关系M（－2），并说
明理由；
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解：f（x）与g（x）具有关系M（－2），理由如下：
当x∈[0，π]时，f（x）＝ cos x∈[－1，1]，g（x）＝
sin x∈[0，1]，
当x1＝π时，f（x1）＝f（π）＝－1，当x2＝ 时，g（x2）
＝g（ ）＝1，
此时f（π）－g（ ）＝－2，则f（x）与g（x）具有关系
M（－2）.
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（2）若f（x）＝ cos x－1与g（x）＝－2 sin 2x＋ sin x＋1具有
关系M（k），求实数k的取值范围；
解： 由函数f（x）＝ cos x－1∈[－2，0]，
且g（x）＝－2 sin 2x＋ sin x＋1＝－2（ sin x－ ）2＋ ，
因为 sin x∈[－1，1]，所以当 sin x＝－1时，g（x）min＝
－2×（－1－ ）2＋ ＝－2，当 sin x＝ 时，g（x）max＝ ，
所以g（x）∈［－2， ］，
所以[f（x1）－g（x2）]∈［－ ，2］，所以k∈［－ ，2］，即
实数k的取值范围为［－ ，2］.
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（3）已知a＞0，h（x）为定义在R上的奇函数，且满足：①在
[0，2a]上，当且仅当x＝ 时，h（x）取得最大值1；②
对任意x∈R，有h（a＋x）＋h（a－x）＝0.
判断是否存在实数a（a＞0），使得f（x）＝ sin 2πx＋h
（x）与g（x）＝h（x）－ cos 2πx具有关系M（4），若
存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
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解：不存在实数a使得f（x）与g（x）具有关系M（4）.
理由如下：
因为在[0，2a]上，当且仅当x＝ 时，h（x）取得最大值
1，且h（x）为定义在R上的奇函数，
所以在[－2a，0]上，当且仅当x＝－ 时，h（x）取得最
小值－1，故h（x）的值域为[－1，1]，
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由对任意x∈R有h（a＋x）＋h（a－x）＝0，可得y＝h
（x）关于点（a，0）对称，
又h（a＋x）＝－h（a－x）＝h（x－a），故h（x）的
周期为2a，
又 sin 2πx∈[－1，1]， cos 2πx∈[－1，1]，
所以当h（x1）＝1时，x1＝ ＋2na，n∈Z， sin 2πx1＝1
时，x1＝ ＋k，k∈Z，
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若 ＋2na＝ ＋k，即a＝ ，k，n∈Z，此时有f（x1）＝ sin 2πx1＋h（x1）＝2；
当h（x2）＝－1时，x2＝－ ＋2ma，m∈Z， cos 2πx2＝1时，x2＝t，t∈Z，
若－ ＋2ma＝t，则a＝ ，t，m∈Z时，有g（x2）＝h（x2）－ cos 2πx2＝－2，
因为 ≠ ，所以 sin 2πx1＋h（x1）＋ cos 2πx2－h（x2）＜4，
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所以不存在x1∈R，x2∈R使得 sin 2πx1＋f（x1）＋ cos 2πx2
－f（x2）＝4，
故不存在实数a使得f（x）＝ sin 2πx＋h（x）与g（x）
＝h（x）－ cos 2πx具有关系M（4）.
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谢 谢 观 看！
