2024-2025学年内蒙古农大附属学校九年级（下）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年内蒙古农大附属学校九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共8小题，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于预定区域，工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回.下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.下列随机事件的概率，既可以用例举法求得，又可以用频率估计获得的是（　　）
A. 某运动员在某种条件下“射中9环以上”的概率
B. 投掷一枚均匀的骰子，朝上一面点数为奇数的概率
C. 某种柑橘在某运输过程中的损坏率
D. 某种幼苗在一定条件的移植成活率
3.关于二次函数y=2（x-1）2+3的图象与性质，下列说法正确的是（　　）
A. 抛物线开口向下 B. 抛物线的顶点坐标是（-1，3）
C. 该函数有最大值，最大值是3 D. 当x＜0时，y随x的增大而减小
4.下列说法：
①三点确定一个圆；
②相等的圆心角所对的弧相等；
③同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；
④三角形的外心到三角形各顶点距离相等其中，正确的个数共有（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患.数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）.下列结论中错误的是（　　）
A. 当P=440W时，I=2A B. Q随I的增大而增大
C. I每增加1A，Q的增加量相同 D. P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
6.如图，BC是⊙O的直径，A、D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠D=64°，则∠ABC的度数是（　　）
A. 20°
B. 36°
C. 32°
D. 26°
7.如图，一张矩形报纸ABCD的长AB=a,宽BC=b、E、F分别是AB、CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD与矩形ABCD相似，则α：b等于（　　）
A.
B.
C.
D.
8.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，其对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（-1，0），有以下结论：①abc＞0；②4a-2b+c＜0；③4a+b=0；④抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）⑤若点（-3，y1）（-6，y2）都在抛物线上，则y1＜y2．其中正确结论的个数是（　　）
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
二、填空题：本题共8小题，共22分。
9.函数中，自变量x的取值范围是 .
10.如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形，又是关于坐标原点O成中心对称的图形．若点A的坐标为（1，3），则点M和点N的坐标分别为M ，N ．
11.某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产144台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是______．
12.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶.如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，2.5m为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦AB长为4m,当筒车工作时，则盛水桶在水面以下的最大深度为______m.
13.已知m,n是方程x2+x-3=0的两个实数根，则m2-n+2025的值是 .
14.若反比例函数y1=-，y2=，当1≤x≤2时，函数y1的最大值是a,函数y2的最大值是b,则ba= ______.
15.如图，以扇形OAB的顶点为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（4，0）.若抛物线与OA只有一个公共点，则k= ；若抛物线与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是 .
16.下列结论中：①△ABC的内切圆半径为r,△ABC的周长为L，则△ABC的面积是；②同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面向上的概率为；③圆内接平行四边形是矩形；④无论p取何值，方程（x-3）（x-2）-p2=0总有两个不等的实数根.其中正确的结论有（填序号） .
三、计算题：本大题共1小题，共7分。
17.某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AC，BD和AB的长度（结果保留小数点后两位）．
四、解答题：本题共6小题，共51分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题10分)
（1）解方程：（2x+1）2-9=0；
（2）计算：.
19.(本小题7分)
已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）.（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）
（1）作出△ABC绕点A顺时针方向旋转90°后得到的△A1B1C1，并写出C1点的坐标______；
（2）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，并求出△ABC的面积.
20.(本小题8分)
某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成A，B，C，D，E五个等级，并绘制了如下不完整的统计图.请结合统计图，解答下列问题：
等级 成绩x
A 50≤x＜60
B 60≤x＜70
C 70≤x＜80
D 80≤x＜90
E 90≤x＜100
（1）本次调查一共随机抽取了______名学生的成绩，补全学生成绩频数分布直方图；
（2）若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少人？
（3）本次成绩前四名有2名女生和2名男生，若从这四人中随机抽取2名同学代表学校参加比赛，请用画树状图或列表法求出全是女学生的概率.
21.(本小题7分)
请根据以下素材，完成探究任务.
制定加工方案
生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式.
◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件.
◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等.
背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为：
①“风”服装：24元/件；
②“正”服装：48元/件；
③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元.
信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类加工人数（人）每人每天加工量（件）平均每件获利（元）风y224雅x1正148
探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系.
任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式.
任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案.
22.(本小题9分)
如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，且D为弧BC中点，过点D的直线DE⊥AC交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接AD.
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠DAB=30°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积；
（3）若sin∠EAF=，DF=4，求AE的长.
23.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点和点A（4，0）.经过点A的直线与该二次函数图象交于点B（1，3），与y轴交于点C.
（1）求二次函数的解析式及点C的坐标；
（2）点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m.
①m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点P，使得△BPD与△AOC相似.若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】x＞-2
10.【答案】（-1，-3）
（1，-3）

11.【答案】100（1+x）2=144
12.【答案】1
13.【答案】2029
14.【答案】
15.【答案】1
-4＜k＜1

16.【答案】①③④
17.【答案】解：如图，
在Rt△CEA中，∵cos∠ECA=，
∴CA=≈7.07（m）；
在Rt△BDF中，∵cos∠BDF=，
∴DB=≈5.77（m），
∴BF=BD≈2.89，
∵AB+AE=EF+BF，
∴AB=3.40+2.89-5=1.29（m）．
答：AC，BD和AB的长度分别为7.07米，5.77米，1.29米．
18.【答案】x1=1，x2=-2；
-4
19.【答案】图见解析，（-1，1）；
图见解析，2.5
20.【答案】200，图见解析；
940人；

21.【答案】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装，
∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，
∴加工“正”服装的有（70-x-y）人，
∵“正”服装总件数和“风”服装相等，
∴（70-x-y）×1=2y,
整理得：；
任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：x[100-2（x-10）]，
∴w=2y×24+（70-x-y）×48+x[100-2（x-10）]，
整理得：w=（-16x+1120）+（-32x+2240）+（-2x2+120x），
∴w=-2x2+72x+3360（x＞10），
任务3：由任务2得w=-2x2+72x+3360=-2（x-18）2+4008，
∴当x=18时，获得最大利润，
，
∴x≠18，
∵开口向下，
∴取x=17或x=19，
当x=17时，，不符合题意；
当x=19时，，符合题意；
∴70-x-y=34，
综上：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润．
22.【答案】解：（1）证明：连接OD，
∵DE⊥AC，
∴∠E=90°，
∵D为弧BC中点，
∴=，
∴∠CAD=∠BAD，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ADO，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∴∠E=∠ODF=90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵∠DAB=30°，
∴∠DOF=2∠DAB=60°，
在RtODF中，DO=2，
∴DF=OD·tan60°=2，
∴阴影部分的面积=ODF的面积-扇形BOD的面积
=OD·DF-
=×2×2-π
=2-π，
∴阴影部分的面积为2-π；
（3）∵AC∥OD，
∴∠EAF=∠DOF，
∴sin∠EAF=sin∠DOF=，
在RtODF中，sin∠DOF==，
∴OF=5，
∴OD===3，
∴OA=OD=3，
∴AF=OA+OF=3+5=8，
∵∠F=∠F，
∴AEF∽ODF，
∴=，
∴=，
∴AE=，
∴AE的长为．
23.【答案】解：（1）∵抛二次函数经过O（0，0），A（4，0），B（1，3），
∴将三点坐标代入解析式得，
解得：a=-1，b=4，c=0，
∴二次函数的解析式为：y=-x2+4x；
∵直线经过A、B两点，设直线AB解析式为：y=kx+n,
∴将A、B两点代入得，
解得：k=-1，n=4，
∴直线AB解析式为：y=-x+4，
∵点C是直线与y轴交点，
∴令x=0，则y=4，
∴C（0，4）．
（2）①∵点P在直线AB上方，
∴0≤m≤4，
由题知P（m,-m2+4m），D（m,-m+4），
∴PD=yP-yD=-m2+4m+m-4=-m2+5m-4=-（m-）+，
∵-1＜0
∴当m=时，PD=是最大值．
②存在，理由如下：
∵∠PDB=∠ADE，∠ADE=∠ACO，
∴∠BDP=∠ACO，
∵△AOC是直角三角形，
∴要使△BPD与△AOC相似，只有保证△BPD是直角三角形就可以．
（Ⅰ）当△BPD∽△AOC时，
∵∠AOC=90°，
∴∠BPD=90°，
此时BP∥x轴，B、P关于对称轴对称，
∴P（3，3）；
（Ⅱ）当△PBD∽△AOC时，
∴∠PBD=∠AOC=90°，
∴AB⊥PB，
∵kAC=-1，
∴kBP=1，
∴直线BP的解析式为：y=x+2，
联立方程组得，
解得：或，
∴P（2，4）
综上，存在点P使△BPD与△AOC相似，此时P的坐标为（3，3）或（2，4）．
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