2024-2025学年北京市九年级下学期中考模拟数学试题（含解析）

2025年北京市中考数学模拟试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．“探秘古蜀文明——三星堆与金沙”展览于2024年6月27日至10月13日在北京大运河博物馆举办．展览期间共接待游客153万余人次，客流高峰期间更是创下了单日接待客流量近3万人次．将用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．下列各运算中，计算正确的是（ ）．
A． B． C． D．
3．一个不透明的袋子中装有3个白球和2个黄球，它们除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．小明将含的三角板和一把直尺如图放置，测得，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．若则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，要测量楼高，在距为的点处竖立一根长为的直杆，恰好使得观测点、直杆顶点和高楼顶点在同一条直线上．若，，则楼高是（ ）
A． B． C． D．
7．小江去商店购买签字笔和笔记本（其中签字笔和笔记本的单价相同）．若购买20支签字笔和15本笔记本，则他身上的钱还缺25元；若购买19支签字笔和12本笔记本，则他身上的钱会剩下15元．若小江购买17支签字笔和9本笔记本，则（ ）
A．他身上的钱还缺65元 B．他身上的钱会剩下65元
C．他身上的钱还缺115元 D．他身上的钱会剩下115元
8．如图，在中，，于点，设，，，给出下面三个结论：①；②；③若，则．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题
9．要使代数式有意义，则x的取值范围为 ．
10．正五边形的内角和为 度．
11．分解因式：3x2+6xy+3y2＝ ．
12．由电源、开关、滑动变阻器及若干导线组成的串联电路中，已知电源电压为定值，闭合开关后，改变滑动变阻器的阻值R（始终保持），发现通过滑动变阻器的电流I与滑动变阻器的电阻R成反比例函数关系，它的图象如图所示，若使得通过滑动变阻器的电流不超过，则滑动变阻器阻值的范围是 ．
13．如图，将矩形纸片折叠，使点与边的中点重合，折痕恰好为，则的值为 ．
14．图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为6cm，其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图2所示，此时液面宽度为 cm．
图1 图2
15．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提出了著名的“割圆术”．所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率的方法，刘徽指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．例如，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积估计的面积，，所以的面积近似为，由此可得的估计值为，若用圆内接正十二边形估计的面积，可得的估计值为 ．

16．某公司筹备一场展览会，现列出筹备展览会的各项工作．具体筹备工作包含以下内容（见下表）．其中，“前期工作”是指相对于某项工作，排在该工作之前需完成的工作称为该工作的前期工作．
工作代码 工作名称 持续时间（天） 前期工作
A 张贴海报、收集作品 7 无
B 购买展览用品 3 无
C 打扫展厅 1 无
D 展厅装饰 3 C
E 展位设计与布置 3 ABD
F 展品布置 2 E
G 宣传语与环境布置 2 ABD
H 展前检查 1 FG
（1）在前期工作结束后，完成“展厅装饰 ”最短需要 天；
（2）完成本次展览会所有筹备工作的最短总工期需要 天．
三、解答题
17．计算：.
18．解不等式组：．
19．已知，求代数式的值．
20．如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD交CD的延长线于点E，过点C作CFEB交AB的延长线于点F．
(1)求证：四边形BFCE是矩形；
(2)连接AC，若AB=BE=2，，求AC的长
21．某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作8小时，共完成了340亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的6倍．请问一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成960亩的打药任务，并说明理由．
22．在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点，且与函数的图象交于点．
(1)求a的值及函数的表达式；
(2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出m的取值范围．
23．为庆祝中国共产党建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，继承革命先烈的优良传统，某中学开展了建党100周年知识测试．该校七、八年级各有300名学生参加，从中各随机抽取了50名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息：
a．八年级的频数分布直方图如下（数据分为5组：50≤x<60﹐60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100）；
b．八年级学生成绩在80≤x<90的这一组是：
80 81 82 83 83 83.5 83.5 84 84 85 86 86.5 87 88 89 89
c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 87.2 85 91
八年级 85.3 m 90
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表中m的值为_______________________；
(2)在随机抽样的学生中，建党知识成绩为84分的学生，在___________年级抽样学生中排名更靠前，理由是_______________________；
(3)若成绩85分及以上为“优秀”，请估计八年级达到“优秀”的人数．
24．如图，为的内接三角形，是的直径，D为中点，的延长线交于点E．
(1)求证：；
(2)连接交于点F，过点E作切线，交延长线于点Q，若，，求半径．
25．如图，已知，点D是边上一点，且，点P是线段上的动点，过点P作的垂线，垂足为E，连接，设．
通过分析发现可以用函数来刻画y与x之向的关系，请将以下过程补充完整：
(1)选点、画图、测量，得到x与y的几组数值，数据如下：
0 1 2 3 4 5 6

（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）；
(2)自变量x的取值范围是_______；
(3)在平面直角坐标系中，画出此函数的图象：
(4)结合函数图象解决问题：当时，的长约为________（结果精确到）．
26．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)已知点，在抛物线上．对于，，都有，求a的取值范围．
27．在中，，为边上一点，点与点关于直线对称，过点作的垂线，交线段的延长线于点，连接交直线于，连接，，设．
(1)如图，当时．
①求的大小（用含的式子表示）；
②请用等式表示线段之间的数量关系，并证明；
(2)当时，请直接写出线段之间的数量关系．
28．在平面直角坐标系中，的半径为．对于的弦和不在直线上的点C，给出如下规定：若外存在一点C，使得，则称点C是弦的“外联点”．
(1)已知，点，．
①在点，，，中，点______是弦的“外联点”；
②已知点P是直线上一点，若P是弦的“外联点”，则点P的横坐标是______；
(2)已知M，N是上任意两点，若直线上存在一点Q，使得点Q是弦的“外联点”，直接写出b的取值范围．
试卷第1页，共3页
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《2025年北京市中考数学模拟试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A C C C B D
1．C
【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解：．
故选C．
2．B
【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方法则，单项式乘以单项式法则及完全平方公式分别计算并判断．
【详解】解：A、，故原计算错误；
B、，故原计算正确；
C、，故原计算错误；
D、，故原计算错误；
故选：B．
【点睛】此题考查了正式的计算，正确掌握合并同类项法则，幂的乘方法则，单项式乘以单项式法则及完全平方公式是解题的关键．
3．A
【分析】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．
根据概率计算公式进行求解即可．
【详解】解：∵不透明的袋子里装有3个白球和2个黄球，
∴从袋子中随机摸出一个，摸到黄球的概率为．
故选：A．
4．C
【分析】如图，根据平行线的性质，得．根据三角形外角的性质，得，推断出，进而解决此题．
【详解】解：如图．
由题意得，，．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质、三角形外角的性质是解决本题的关键．
5．C
【分析】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
根据不等式的性质逐个判断即可．
【详解】解：∵
∴A、，原结论错误，故此选项不符合题意；
B、，原结论错误，故此选项不符合题意；
C、，正确，故此选项符合题意；
D、，原结论错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
6．C
【分析】依题意，四边形都是矩形，，，，证明，进而根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：依题意，四边形都是矩形，
∴，，，
∵
∴,
∵
∴
∴
即
解得：
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
7．B
【分析】设签字笔的单价为x元，则笔记本的单价为x元，根据小江身上的钱不变得出方程20x+15x﹣25＝19x+12x+15，整理得x＝10，由小江购买17支签字笔和9本笔记本的钱为17x+9x，得出19x+12x +15﹣（17x+9x）＝5x+15，代入计算即可．
【详解】解：设签字笔的单价为x元，则笔记本的单价为x元，
根据题意得：20x+15x﹣25＝19x+12x+15，
整理得：4x＝40，
解得：x＝10，
∵小江购买17支签字笔和9本笔记本的钱为17x+9x＝26x，
∴19x+12 x +15﹣26x
＝5x+15
∵x＝10，
∴5x+15＝5×10+15
＝65，
即小江身上的钱会剩下65元；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，得出方程是解题的关键．
8．D
【分析】由，，得到，，将，，代入，即可判断①正确，由，，将代入，整理后即可判断②正确，将，代入，即可判断③正确，
本题考查了，相似三角形的性质与判定，完全平方公式的应用，解不等式，解题的关键是：熟练掌握完全平方公式的变形及应用．
【详解】解：∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∴即：，整理得：，故①正确，
∵，即：，
∴，
∵，
∴，
∵、、，
∴，故②正确，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确，
综上所述，①②③正确，
故选：．
9．
【分析】根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数大于等于0，列式求解即可．
【详解】解：由题意，得：，解得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查代数式有意义的条件．熟练掌握分式的分母不为0，二次根式的被开方数大于等于0，是解题的关键．
10．540
【分析】本题主要考察了多边形内角和定理，根据多边形内角和公式计算即可得出答案．
【详解】解：，
即正五边形的内角和为540度，
故答案为：540
11．3（x+y）2．
【分析】先利用提取公因式法提取数字3，再利用完全平方公式继续进行分解．
【详解】3x2+6xy+3y2=3（x2+2xy+y2）=3（x+y）2．
故答案为3（x+y）2．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12．
【分析】根据反比例函数的性质，进行求解即可．
【详解】解：由图象可知，随着的增大而减小，当时，，
∴若使得通过滑动变阻器的电流不超过，则滑动变阻器阻值的范围是；
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数的实际应用．熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．
13．/
【分析】根据矩形的性质，，根据折叠可得，进而得出，则，进而得出，即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵将矩形纸片折叠，使点与边的中点重合，
∴
∴，即，
∴
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，正弦的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
14．3
【分析】本题考查了相似三角形的应用．过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据，得出，再根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
∵，
，
，
，，
，
解得：，
故答案为：3．
15．3
【分析】过作于，求得的度数，根据直角三角形的性质得到，求出三角形的面积，于是得到正十二边形的面积，根据圆的面积公式即可得到结论．
本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
【详解】如图，是正十二边形的一条边，点是正十二边形的中心，设的半径为1，
过作于，

在正十二边形中，
，
∴正十二边形的面积为,
，
,
的近似值为3，
故答案为：3．
16． 4 13
【分析】本题考查了优化问题，即如何在最短的时间内完成工作，实现最优效果．
（1）根据表格知，完成“展厅装饰 ”要完成C、D两项工作，故可得到至少需要的天数；
（2）由表格知，完成A的时间里，可同时完成B、C、D的工作，可进行E的工作，则可进行G、H的工作，从而完成整个工作，从而可得最短总工作时间．
【详解】解：（1）由表格知，在前期工作结束后，完成“展厅装饰 ”最短需要（天）；
故答案为：4；
（2）完成本次展览会所有筹备工作的路径为：，最短总工期需要的天数为：（天）；
故答案为为：13．
17．6
【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式利用负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，二次根式的性质以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【详解】解：
．
18．
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，不等式组解集的原则“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”，先求出两个不等式的解集，再找出两个不等式的公共解集即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式①得：，
∴不等式组的解集为：．
19．，
【分析】此题考查了分式的化简求值，关键是熟练掌握分式的运算法则．先将分式进行化简，再将变形后，代入进行求解．
【详解】解：
，
，
，
，
原式．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明四边形BFCE是平行四边形，再根据即可求证；
（2）利用矩形的性质得到，根据得到，根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形
∵
∴
∴四边形是矩形．
（2）解：∵四边形是矩形
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理以及三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
21．无人机和人工共同作业8小时不能完成960亩的打药任务，理由见解析
【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设人工每小时作业面积是亩，无人机每小时作业面积是亩，根据题意列出方程组并接方程组即可．
【详解】解：设人工每小时作业面积是亩，无人机每小时作业面积是亩，
根据题意得：，
解得：，
所以无人机和人工共同作业8小时不能完成960亩的打药任务．
22．(1)
(2)
【分析】（1）把点代入中，即可确定点，把点，代入中，利用待定系数法即可确定函数解析式；
（2）根据题意得：，再由当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值，得出不等式求解即可．
【详解】（1）解：把点代入中，
∴
∴，
把点，代入中，
解得
∴一次函数的表达式为；
（2）根据题意得：，即，
∵当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值，
∴，
∴．
【点睛】题目主要考查利用待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的基本性质是解题关键．
23．(1)83
(2)八，该学生的成绩大于八年级样本数据的中位数83，在八年级成绩中排名21名；该学生成绩小于七年级样本数据的中位数，在七年级排名在后25名
(3)120人
【分析】(1)根据八年级共有50名学生，第25， 26名学生的成绩为83分，83分，即可求出m的值；
(2)根据八年级的中位数是83分，七年级的中位数是85分，可得该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数，进而可得结论；
(3)用样本的优秀率估计总体的优秀率，根据总人数和优秀率求得优秀人数．
【详解】（1）解：八年级共有50名学生，第25， 26名学生的成绩为83分，83分，
∴ (分)；
故答案为： 83；
（2）解：在八年级排名更靠前，理由如下：
∵八年级的中位数是83分，七年级的中位数是85分，
根据已知条件，该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，在八年级成绩中排名21名；小于七年级成绩的中位数，在七年级排名在后25名，
∴在八年级排名更靠前．
故答案为：八，该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，在八年级成绩中排名21名；小于七年级成绩的中位数，在七年级排名在后25名．
（3）解：∵八年级50名随机抽样的学生中，成绩85分及以上有20人，八年级共有300人，
(人)，
∴估计八年级达到优秀的人数为120人．
【点睛】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键．
24．(1)见解析
(2)3
【分析】（1）根据是的直径，D为中点，得到是的中位线，于是得到，根据的延长线交于点E，得到D，O，E三点共线，继而得到．
（2）根据，证明三角形相似，设，，结合切线性质，平行线的性质，利用等角的余弦值相等，建立等式解答即可．
【详解】（1）证明：∵是的直径，D为中点，
∴是的中位线，
∴，
∵的延长线交于点E，
∴D，O，E三点共线，
∴．
（2）解：，
，．
．
，
．
．
设，，
∵是的切线，
．
，
．
．
．
．
即的半径长是3．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，三角形相似的判定和性质，切线性质，余弦函数的应用，熟练掌握切线性质，三角形相似的判定和性质，三角函数的应用是解题的关键．
25．(1)
(2)
(3)见解析
(4)
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，能从图象中得到有用的条件，并判断动点位置进行计算是本题的解题关键．
（1）当时，点运动到点处，此时点与点重合，即可求出长；
（2）由，可得的取值；
（3）描点，连线即可；
（4）做出的图形，利求出交点纵坐标即的长．
【详解】（1）解：当时，点运动到点处，此时点与点重合，
，
；
（2）∵，
即当点在点处时，，
当点在点处时，，
∴自变量的取值范围是，
故答案为：；
（3）如图所示，
（4）当时，，如图，
作的图象，与之前函数交于点，经测量点纵坐标约为，
∴长约为，
故答案为：．
26．(1)直线
(2)或
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质成为解题的关键．
（1）根据函数解析式确定对称轴即可；
（2）根据题意得出，再分两种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：根据抛物线的解析式可得抛物线对称轴为直线．
（2）解：∵点，是抛物线上的两点，，
，
又 ∵，
，
当时，
又 ∵，
，
，
，
又 ∵，
，
；
当时，
又 ∵，
，
，
，
又 ∵，
∴；
综上所述，a的取值范围是或．
27．(1)①；②，证明见解析；
(2)．
【分析】（1）①连接，，利用等腰直角三角形的性质求得，，再利用四边形内角和来求解；②过点作交于,易得，利用全等三角形的性质得到，再利用对称性来求解；
（2）利用②的方法来求解．
【详解】（1）解：①连接，，如下图
为边上一点，点与点关于直线对称，
，，，
．
在中，，
，，
．
，
，
，
．
②
证明：过点作交于,
∴.
∵
∴,
．
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，，
∴点在以点为圆心，的长为半径的圆上，
∴，
，
∴．
在和中
，
∴，
∴．
∵点与点关于直线对称，
∴，
，
，
，
，
．
（2）
证明：同②的方法．
【点睛】本题考查了对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，四点共圆，四边形内角和度数，理解相关知识，作出辅助线是解答关键．
28．(1)①，②
(2)
【分析】（1）①过点A作轴，过点B作轴，两线交于点D，则四边形是正方形，得到，，，以点D为圆心，以为半径作，只需计算已知各点与点D的距离等于半径即可．
②作直线，交于点P，则点P为所求弦的“外联点”，过点P作轴于点F，则，，且，利用特殊角的三角函数解答即可．
（2）根据前面的解答，不难发现，弦的“外联点”都在以点O为圆心，以为半径的圆上，作出函数的图象，由，得到直线与x轴的正半轴的夹角为，当于点O时，弦的“外联点”到直线的距离最大，作直线，分别与最外层圆交于点Q，，利用特殊角的三角函数，待定系数法中心对称性质解答即可．
【详解】（1）解：①∵的半径为，点，，
∴，
∴点都是上的点，弦是的弦，
过点A作轴，过点B作轴，两线交于点D，
则四边形是正方形，
∴，，，
以点D为圆心，以为半径作，
∵，
∴点C一定在外的的优弧上，
∴，
∵点，，，，
∴，
，
，
，
∴，是弦的“外联点”
故答案为：，．
②作直线，交于点P，则点P为所求弦的“外联点”，过点P作轴于点F，
则，
∴，
∵，
∴，
故点P的横坐标是，
故答案为：．
（2）解：根据前面的解答，不难发现，弦的“外联点”都在以点O为圆心，以为半径的圆上，
作出函数的图象，由，
得到直线与x轴的正半轴的夹角为，
当于点O时，弦的“外联点”到直线的距离最大，
作直线，分别与最外层圆交于点Q，，
过点Q，，分别作，，分别交y轴于点P，点G，
过点Q作轴于点R，
根据题意，得，
∴，，
∴，
把点代入解析式，得，
解得，
根据中心对称性质，得，
把点代入解析式，得，
解得，
综上所述，点b的取值范围是．
【点睛】本题考查了新定义，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，特殊角的三角函数应用，待定系数法求解析式，两点间距离公式，熟练掌握性质和公式是解题的关键．
答案第1页，共2页
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