2.2 函数的表示法
第一课时 函数的表示法
1.已知函数f（x－1）＝x2－3，则f（2）＝（ ）
A.－2 B.6
C.1 D.0
2.下表表示y是x的函数，则该函数的值域是（ ）
x x＜－1 －1≤x≤3 x＞3
y －2 0 2
A.{y｜－2≤y≤2} B.R
C.{y｜－1≤y≤3} D.{－2，0，2}
3.函数y＝－的大致图象是（ ）
4.已知f（）＝x＋1，则f（x）＝（ ）
A. B.
C.＋2 D.－1
5.（多选）若一次函数的图象经过点A（1，6）和B（2，8），则该函数的图象还经过的点的坐标为（ ）
A.（，5） B.（，4）
C.（－1，2） D.（－2，1）
6.（多选）已知f（2x＋1）＝x2，则下列结论正确的是（ ）
A.f（－3）＝4 B.f（x）＝
C.f（x）＝x2 D.f（3）＝9
7.已知函数f（x），g（x）分别由下表给出.
x 4 5 6
f（x） 1 3 1
x 1 2 3
g（x） 4 5 4
则g（f（5））＝ ；f（g（2））＝ .
8.某航空公司规定，乘客所携带行李的重量x（kg）与其运费y（元）由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为 kg.
9.已知f（＋1）＝x，则函数f（x）的解析式为 .
10.如图所示，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出此盒子的体积V以x为自变量的函数式，并指明这个函数的定义域.
11.已知函数f（x）是一次函数，且f[f（x）－4x]＝5恒成立，则f（2）＝（ ）
A.1 B.3
C.7 D.9
12.（多选）设f（x）＝，则下列结论正确的有（ ）
A.f（－x）＝－f（x） B.f（）＝－f（x）
C.f（－）＝f（x） D.f（－x）＝f（x）
13.已知函数f（x），g（x）分别由下表给出：则满足f（g（x））＝g（f（x））的x的值为 .
x 1 2 3 4
f（x） 1 3 1 3
g（x） 3 2 3 2
14.已知函数f（x）＝.
（1）把函数f（x）化为f（x）＝a＋的形式；
（2）用平移变换的方法作出函数f（x）的图象，并说明作图过程；
（3）若定义域为（0，）∪（1，＋∞），通过观察图象直接写出函数f（x）的值域.
15.若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，请写出一个与函数y＝x2，x∈[0，2]同族的函数： .
16.在①f（x＋1）＝f（x）＋2x－1；②f（x）图象的对称轴为直线x＝1，且f（0）＝3；③f（x）≥2恒成立，且f（0）＝3这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.
问题：已知二次函数f（x）的图象经过点（1，2）， .
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[－1，4]上的值域.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
第一课时 函数的表示法
1.B 令t＝x－1，则x＝t＋1，∴f（t）＝（t＋1）2－3＝t2＋2t－2，∴f（2）＝22＋2×2－2＝6.
2.D 函数的值域就是y的所有取值构成的集合，根据表格看出，该函数的值域为{－2，0，2}，故选D.
3.B 函数y＝－的图象是由函数y＝－的图象向左平移1个单位长度得到的，而函数y＝－的图象在第二、第四象限，结合所给的四个图象只有B符合，故选B.
4.C 设＝t，t≠0，则x＝＋1.因为f（）＝x＋1，所以f（t）＝＋1＋1＝＋2，t≠0.所以f（x）＝＋2，x≠0.
5.AC 设一次函数的解析式为y＝kx＋b（k≠0），则由该函数的图象经过点A（1，6）和B（2，8），得解得所以此函数的解析式为y＝2x＋4.显然A、C选项中的坐标符合此函数的解析式.故选A、C.
6.AB f（2x＋1）＝x2，令t＝2x＋1，则x＝，所以f（t）＝（）2＝，则f（x）＝，故B正确，C错误；f（－3）＝＝4，故A正确；f（3）＝＝1，故D错误.故选A、B.
7.4 3 解析：由题表可知f（5）＝3，g（3）＝4，∴g（f（5））＝g（3）＝4.又g（2）＝5，f（5）＝3，∴f（g（2））＝f（5）＝3.
8.19 解析：设一次函数解析式为y＝ax＋b（a≠0），代入点（30，330）与点（40，630）得解得即y＝30x－570，若要免费，则y≤0，所以x≤19.
9.f（x）＝x2－x＋1（x≥1） 解析：令t＝＋1，则t≥1.所以x＝（t－1）2＋.故f（t）＝（t－1）2＋（t≥1）.所以函数解析式为f（x）＝x2－x＋1（x≥1）.
10.解：由题意可知该盒子的底面是边长为（a－2x）的正方形，高为x，
所以此盒子的体积V＝x（a－2x）2，
其中自变量x应满足即0＜x＜.
所以此盒子的体积V以x为自变量的函数式为V＝x（a－2x）2，定义域为（0，）.
11.D 因为函数f（x）是一次函数，且f[f（x）－4x]＝5恒成立，令f（x）－4x＝t，则f（x）＝4x＋t，所以f（t）＝4t＋t＝5，解得t＝1，所以f（x）＝4x＋1，f（2）＝2×4＋1＝9.
12.BD 因为f（x）＝，所以f（－x）＝＝f（x），f（）＝＝＝－f（x），f（－）＝＝＝－f（x）.
13.2或4 解析：当x＝1时，f（g（1））＝f（3）＝1，g（f（1））＝g（1）＝3.当x＝2时，f（g（2））＝f（2）＝3，g（f（2））＝g（3）＝3.当x＝3时，f（g（3））＝f（3）＝1，g（f（3））＝g（1）＝3.当x＝4时，f（g（4））＝f（2）＝3，g（f（4））＝g（3）＝3.故满足f（g（x））＝g（f（x））的x的值为2或4.
14.解：（1）f（x）＝＝＝1－＝1＋.
（2）函数y＝的图象向右平移个单位长度得函数y＝的图象，再向上平移1个单位长度得函数y＝1＋的图象，如图所示.
（3）通过观察图象可知，函数f（x）的值域为（－1，1）∪（3，＋∞）.
15.y＝x2，x∈[－2，1]（答案不唯一，参考解析中的t，m的值）
解析：函数y＝x2，x∈[0，2]的值域为[0，4]，因此其同族函数的函数解析式可以是y＝x2，x∈[－2，t]（0≤t≤2），也可以是y＝x2，x∈[m，2]（－2≤m≤0）中的任意一个.
16.解：选条件①.
（1）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），
则f（x＋1）＝a（x＋1）2＋b（x＋1）＋c＝ax2＋（2a＋b）x＋a＋b＋c.
因为f（x＋1）＝f（x）＋2x－1，
所以ax2＋（2a＋b）x＋a＋b＋c＝ax2＋bx＋c＋2x－1，
所以解得
因为函数f（x）的图象经过点（1，2），
所以f（1）＝a＋b＋c＝1－2＋c＝2，得c＝3.
故f（x）＝x2－2x＋3.
（2）由（1）可知f（x）＝x2－2x＋3＝（x－1）2＋2.
因为－1≤x≤4，所以－2≤x－1≤3，
所以0≤（x－1）2≤9，所以2≤（x－1）2＋2≤11.
所以f（x）在[－1，4]上的值域为[2，11].
选条件②.
（1）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），
则函数f（x）图象的对称轴为直线x＝－.
由题意可得解得
故f（x）＝x2－2x＋3.
（2）由（1）可知f（x）＝x2－2x＋3＝（x－1）2＋2.
因为－1≤x≤4，所以－2≤x－1≤3，
所以0≤（x－1）2≤9，所以2≤（x－1）2＋2≤11.
所以f（x）在[－1，4]上的值域为[2，11].
选条件③.
（1）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）.
因为f（0）＝3，所以c＝3.
因为f（x）≥2＝f（1）恒成立，所以
解得
故f（x）＝x2－2x＋3.
（2）由（1）可知f（x）＝x2－2x＋3＝（x－1）2＋2.
因为－1≤x≤4，所以－2≤x－1≤3，
所以0≤（x－1）2≤9，所以2≤（x－1）2＋2≤11.
所以f（x）在[－1，4]上的值域为[2，11].
3 / 32.2 函数的表示法
新课程标准解读 核心素养
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用 数学抽象、直观想象
2.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用 数学抽象、数学运算
第一课时 函数的表示法
（1）已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米，设计速度目标值380千米/时，若京沪高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶x小时后，路程为y千米，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫作该函数的解析式.
（2）如图是我国近五年出生人口变化曲线：
（3）下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表：
污染源距离 50 100 200 300 500
氰化物浓度 0.678 0.398 0.121 0.05 0.01
【问题】 根据初中所学知识，说出上述3个实例分别是用什么方法表示函数的？
知识点 函数的表示方法
提醒 函数三种表示法的优缺点比较
【想一想】
所有的函数都能用解析法、列表法和图象法表示吗？为什么？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）任何一个函数都可以用解析法表示.（ ）
（2）任何一个函数都可以用图象法表示.（ ）
（3）函数f（x）＝2x＋1不能用列表法表示.（ ）
（4）函数的图象一定是一条连续不断的曲线.（ ）
2.已知函数f（x）由下表给出，则f（3）＝（ ）
x 1≤x＜2 2 2＜x≤4
f（x） 1 2 3
A.1 B.2
C.3 D.不存在
3.已知函数f（2x＋1）＝6x＋5，则f（x）的解析式是 .
题型一 函数的表示法
【例1】 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来.
尝试解答
通性通法
理解函数表示法的三个关注点
（1）列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念；
（2）列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数；
（3）函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主.
【跟踪训练】
将一条长为10 cm的铁丝剪成两段，每段都为1 cm的整数倍，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形.试用三种方法表示两个正方形的面积之和S与其中一段铁丝长x（x∈N＋）的函数关系.
题型二 函数的图象的作法及应用
【例2】 作出下列函数的图象，并根据图象求其值域：
（1）
x －4 －2 2 4
y 1 －3 2 3
（2）y＝－，x∈[－3，0）∪（0，1]；
（3）y＝x2＋4x＋1，x∈[－3，0].
尝试解答
通性通法
画函数图象的两种常见方法
（1）描点法：
①列表——先找出一些（有代表性的）自变量x，并计算出与这些自变量相对应的函数值f（x），用表格的形式表示出来；
②描点——从表中得到一系列的点（x，f（x）），在坐标平面上描出这些点；
③连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来.
（2）变换作图法：常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等.
【跟踪训练】
画出函数y＝x－[x]的图象，其中[x]表示实数x的整数部分.
题型三 函数解析式的求法
角度1 用待定系数法求函数解析式
【例3】 已知f（x）是二次函数，且f（x＋1）＋f（x－1）＝2x2－4x，求f（x）.
尝试解答
通性通法
待定系数法求函数解析式
已知函数的类型，如一次函数、二次函数等，即可设出f（x）的解析式，再根据条件列方程（或方程组），通过解方程（组）求出待定系数，进而求出函数解析式.
角度2 利用换元法（配凑法）求函数解析式
【例4】 求下列函数的解析式：
（1）已知f（＋1）＝x＋2，求f（x）；
（2）已知f（x＋2）＝2x＋3，求f（x）.
尝试解答
通性通法
换元法、配凑法求函数解析式
（1）换元法：即令t＝g（x），解出x，代入h（x）中，得到一个含t的解析式，再用x替换t，便得到f（x）的解析式；利用换元法解题时，换元后要确定新元t的取值范围，即函数f（x）的定义域；
（2）配凑法：即从f（g（x））的解析式中配凑出g（x），用g（x）来表示h（x），然后将解析式中的g（x）用x代替即可.
角度3 用方程组法求函数解析式
【例5】 已知函数f（x）对于任意的x都有f（x）－2f（－x）＝1＋2x，求f（x）的解析式.
尝试解答
通性通法
用方程组法求函数的解析式
方程组法（消去法），适用于自变量具有对称规律的函数解析式，如互为相反数的f（－x），f（x）的函数方程，通过对称规律再构造一个关于f（－x），f（x）的方程，联立解出f（x）.
【跟踪训练】
1.已知f（x2＋2）＝x4＋4x2，则f（x）的解析式为 .
2.已知f（x）是一次函数，且f（f（x））＝9x＋4，求f（x）的解析式.
1.已知函数y＝f（x）的对应关系如下表，函数y＝g（x）的图象是如图的曲线ABC，其中A（1，3），B（2，1），C（3，2），则f（g（2））的值为（ ）
A.3 B.2
C.1 D.0
2.一家宾馆有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，宾馆经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：
每间每天定价 200元 180元 160元 140元
住房率 65% 75% 85% 95%
要使收入每天达到最高，则每间应定价为（ ）
A.200元 B.180元
C.160元 D.140元
3.已知函数f（x＋1）＝3x＋2，则f（x）的解析式是（ ）
A.f（x）＝3x－1 B.f（x）＝3x＋1
C.f（x）＝3x＋2 D.f（x）＝3x＋4
4.已知函数f（x）＝x－，且此函数图象过点（5，4），则实数m的值为 .
5.已知二次函数f（x）满足f（0）＝1，f（1）＝2，f（2）＝5，求f（x）的解析式.
第一课时 函数的表示法
【基础知识·重落实】
想一想
提示：并不是所有的函数都能用解析式表示；事实上，图象法也不适用于所有函数，如狄利克雷函数：D（x）＝列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段.
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）√ （4）×
2.C ∵当2＜x≤4时，f（x）＝3，∴f（3）＝3.
3.f（x）＝3x＋2 解析：法一 令2x＋1＝t，则x＝.所以f（t）＝6×＋5＝3t＋2，所以f（x）＝3x＋2.
法二 因为f（2x＋1）＝3（2x＋1）＋2，所以f（x）＝3x＋2.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：①列表法：
x/台 1 2 3 4 5
y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000
x/台 6 7 8 9 10
y/元 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
②图象法：
③解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}.
跟踪训练
解：这个函数的定义域为{x∈N＋｜1≤x＜10}.
①解析法：S＝（）2＋（）2.
将上式整理得S＝x2－x＋，x∈{x∈N＋｜1≤x＜10}.
②列表法：
一段铁丝长x（cm） 1 2 3 4 5 6 7 8 9
两个正方形的 面积之和S（cm2）
③图象法：
【例2】 解：（1）该函数的图象如图①所示，由图可知值域为{－3，1，2，3}.
（2）作出函数y＝－，x∈[－3，0）∪（0，1]的图象，如图②所示，由图象可知值域为（－∞，－4]∪［，＋∞）.
（3）作出函数y＝x2＋4x＋1，x∈[－3，0]的图象，如图③所示，由图象可知值域为[－3，1].
跟踪训练
解：依题意知y＝x－[x]的定义域为R，值域[0，1），它的图象如图所示.
【例3】 解：设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），
则f（x＋1）＋f（x－1）＝a（x＋1）2＋b（x＋1）＋c＋a（x－1）2＋b（x－1）＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，
∴∴∴f（x）＝x2－2x－1.
【例4】 解：（1）法一（换元法） 令t＝＋1，则x＝（t－1）2，t≥1，所以f（t）＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－1（t≥1），
所以f（x）的解析式为f（x）＝x2－1（x≥1）.
法二（配凑法） f（＋1）＝x＋2＝x＋2＋1－1＝（＋1）2－1.
因为＋1≥1，
所以f（x）的解析式为f（x）＝x2－1（x≥1）.
（2）f（x＋2）＝2x＋3＝2（x＋2）－1，
所以f（x）＝2x－1.
【例5】 解：在f（x）－2f（－x）＝1＋2x中，以－x代换x，可得f（－x）－2f（x）＝1－2x，
联立
消去f（－x），可得f（x）＝x－1.
跟踪训练
1.f（x）＝x2－4（x≥2） 解析：因为f（x2＋2）＝x4＋4x2＝（x2＋2）2－4，令t＝x2＋2（t≥2），则f（t）＝t2－4（t≥2），所以f（x）＝x2－4（x≥2）.
2.解：设f（x）＝kx＋b（k≠0）.
则f（f（x））＝k（kx＋b）＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋4.
所以解得或
所以f（x）＝3x＋1或f（x）＝－3x－2.
随堂检测
1.B 由函数y＝g（x）的图象知，g（2）＝1，则f（g（2））＝f（1）＝2.
2.C 在四种情况下每天的收入分别为：200×65%×100＝13 000（元），180×75%×100＝13 500（元），160×85%×100＝13 600（元），140×95%×100＝13 300（元）.可得最大收入为13 600元，所以要使收入每天达到最高，每间应定价为160元.
3.A 令x＋1＝t，则x＝t－1，∴f（t）＝3（t－1）＋2＝3t－1.∴f（x）＝3x－1.
4.5 解析：将点（5，4）代入f（x）＝x－，得m＝5.
5.解：设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），
所以解得
所以f（x）＝x2＋1.
3 / 4(共72张PPT)
2.2 函数的表示法
新课程标准解读 核心素养
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法
（图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象
的作用 数学抽象、
直观想象
2.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用 数学抽象、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
第一课时 函数的表示法
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
（1）已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米，设计速度目标值380千
米/时，若京沪高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶 x 小时
后，路程为 y 千米，则 y 是 x 的函数，可以用 y ＝300 x 来表示，
其中 y ＝300 x 叫作该函数的解析式.
（2）如图是我国近五年出生人口
变化曲线：
（3）下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表：
污染源距离 50 100 200 300 500
氰化物浓度 0.678 0.398 0.121 0.05 0.01
【问题】 根据初中所学知识，说出上述3个实例分别是用什么
方法表示函数的？
知识点 函数的表示方法
提醒 函数三种表示法的优缺点比较
提示：并不是所有的函数都能用解析式表示；事实上，图象法也不适
用于所有函数，如狄利克雷函数： D （ x ）＝列表法虽
在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表
法只能表示函数的一个概况或片段.
【想一想】
所有的函数都能用解析法、列表法和图象法表示吗？为什么？
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）任何一个函数都可以用解析法表示. （ × ）
（2）任何一个函数都可以用图象法表示. （ × ）
（3）函数 f （ x ）＝2 x ＋1不能用列表法表示. （ √ ）
（4）函数的图象一定是一条连续不断的曲线. （ × ）
×
×
√
×
2. 已知函数 f （ x ）由下表给出，则 f （3）＝（ ）
x 1≤ x ＜2 2 2＜ x ≤4
f （ x ） 1 2 3
A. 1 B. 2 C. 3 D. 不存在
解析： ∵当2＜ x ≤4时， f （ x ）＝3，∴ f （3）＝3.
3. 已知函数 f （2 x ＋1）＝6 x ＋5，则 f （ x ）的解析式是
.
解析：法一 令2 x ＋1＝ t ，则 x ＝ .所以 f （ t ）＝6× ＋5＝
3 t ＋2，所以 f （ x ）＝3 x ＋2.
f （ x ）＝3 x
＋2
法二 因为 f （2 x ＋1）＝3（2 x ＋1）＋2，所以 f （ x ）＝3 x ＋2.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 函数的表示法
【例1】 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出
台数 x 与收款数 y 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析
法表示出来.
解：①列表法：
x/台 1 2 3 4 5
y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000
x/台 6 7 8 9 10
y/元 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
②图象法：
③解析法： y ＝3 000 x ， x ∈{1，2，3，…，10}.
通性通法
理解函数表示法的三个关注点
（1）列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式
表示函数，都必须满足函数的概念；
（2）列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数
的角度描述函数；
（3）函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方
法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主.
【跟踪训练】
将一条长为10 cm的铁丝剪成两段，每段都为1 cm的整数倍，并以每
一段铁丝的长度为周长各做一个正方形.试用三种方法表示两个正方
形的面积之和 S 与其中一段铁丝长 x （ x ∈N＋）的函数关系.
解：这个函数的定义域为{ x ∈N＋｜1≤ x ＜10}.
①解析法： S ＝（ ）2＋（ ）2.
将上式整理得 S ＝ x2－ x ＋ ， x ∈{ x ∈N＋｜1≤ x ＜10}.
②列表法：
一段铁
丝长 x
（cm） 1 2 3 4 5 6 7 8 9
两个正
方形的
面积之
和 S
（cm2）
③图象法：
题型二 函数的图象的作法及应用
【例2】 作出下列函数的图象，并根据图象求其值域：
（1）
x －4 －2 2 4
y 1 －3 2 3
解：该函数的图象如图①所示，由图可知值域为{－3，1，2，3}.
（2） y ＝－ ， x ∈[－3，0）∪（0，1]；
解：作出函数 y ＝－ ， x ∈[－3，0）∪（0，1]
的图象，如图②所示，由图象可知值域为（－
∞，－4]∪［ ，＋∞）.
（3） y ＝ x2＋4 x ＋1， x ∈[－3，0].
解：作出函数 y ＝ x2＋4 x ＋1， x ∈[－3，0]的图
象，如图③所示，由图象可知值域为[－3，1].
通性通法
画函数图象的两种常见方法
（1）描点法：
①列表——先找出一些（有代表性的）自变量 x ，并计算出与这
些自变量相对应的函数值 f （ x ），用表格的形式表示出来；
②描点——从表中得到一系列的点（ x ， f （ x ）），在坐标平
面上描出这些点；
③连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接
起来.
（2）变换作图法：常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变
换等.
【跟踪训练】
画出函数 y ＝ x －[ x ]的图象，其中[ x ]表示实数 x 的整数部分.
解：依题意知 y ＝ x －[ x ]的定义域为R，值域[0，1），它的图象如
图所示.
题型三 函数解析式的求法
角度1 用待定系数法求函数解析式
【例3】 已知 f （ x ）是二次函数，且 f （ x ＋1）＋ f （ x －1）＝2 x2
－4 x ，求 f （ x ）.
解：设 f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0），
则 f （ x ＋1）＋ f （ x －1）＝ a （ x ＋1）2＋ b （ x ＋1）＋ c ＋ a （ x －
1）2＋ b （ x －1）＋ c ＝2 ax2＋2 bx ＋2 a ＋2 c ＝2 x2－4 x ，
∴∴∴ f （ x ）＝ x2－2 x －1.
通性通法
待定系数法求函数解析式
已知函数的类型，如一次函数、二次函数等，即可设出 f （ x ）的
解析式，再根据条件列方程（或方程组），通过解方程（组）求出待
定系数，进而求出函数解析式.
角度2 利用换元法（配凑法）求函数解析式
【例4】 求下列函数的解析式：
（1）已知 f （ ＋1）＝ x ＋2 ，求 f （ x ）；
解：法一（换元法） 令 t ＝ ＋1，则 x ＝（ t －1）2， t ≥1，
所以 f （ t ）＝（ t －1）2＋2（ t －1）＝ t2－1（ t ≥1），
所以 f （ x ）的解析式为 f （ x ）＝ x2－1（ x ≥1）.
法二（配凑法） f （ ＋1）＝ x ＋2 ＝ x ＋2 ＋1－1＝
（ ＋1）2－1.
因为 ＋1≥1，
所以 f （ x ）的解析式为 f （ x ）＝ x2－1（ x ≥1）.
（2）已知 f （ x ＋2）＝2 x ＋3，求 f （ x ）.
解： f （ x ＋2）＝2 x ＋3＝2（ x ＋2）－1，
所以 f （ x ）＝2 x －1.
通性通法
换元法、配凑法求函数解析式
（1）换元法：即令 t ＝ g （ x ），解出 x ，代入 h （ x ）中，得到一个
含 t 的解析式，再用 x 替换 t ，便得到 f （ x ）的解析式；利用换
元法解题时，换元后要确定新元 t 的取值范围，即函数 f （ x ）的
定义域；
（2）配凑法：即从 f （ g （ x ））的解析式中配凑出 g （ x ），用 g
（ x ）来表示 h （ x ），然后将解析式中的 g （ x ）用 x 代替即可.
角度3 用方程组法求函数解析式
【例5】 已知函数 f （ x ）对于任意的 x 都有 f （ x ）－2 f （－ x ）＝1
＋2 x ，求 f （ x ）的解析式.
解：在 f （ x ）－2 f （－ x ）＝1＋2 x 中，以－ x 代换 x ，可得 f （－ x ）
－2 f （ x ）＝1－2 x ，
联立
消去 f （－ x ），可得 f （ x ）＝ x －1.
通性通法
用方程组法求函数的解析式
方程组法（消去法），适用于自变量具有对称规律的函数解析
式，如互为相反数的 f （－ x ）， f （ x ）的函数方程，通过对称规律
再构造一个关于 f （－ x ）， f （ x ）的方程，联立解出 f （ x ）.
【跟踪训练】
1. 已知 f （ x2＋2）＝ x4＋4 x2，则 f （ x ）的解析式为
.
解析：因为 f （ x2＋2）＝ x4＋4 x2＝（ x2＋2）2－4，令 t ＝ x2＋2（ t
≥2），则 f （ t ）＝ t2－4（ t ≥2），所以 f （ x ）＝ x2－4（ x
≥2）.
f （ x ）＝ x2－4
（ x ≥2）
2. 已知 f （ x ）是一次函数，且 f （ f （ x ））＝9 x ＋4，求 f （ x ）的解
析式.
解：设 f （ x ）＝ kx ＋ b （ k ≠0）.
则 f （ f （ x ））＝ k （ kx ＋ b ）＋ b ＝ k2 x ＋ kb ＋ b ＝9 x ＋4.
所以解得或
所以 f （ x ）＝3 x ＋1或 f （ x ）＝－3 x －2.
A. 3 B. 2
C. 1 D. 0
1. 已知函数 y ＝ f （ x ）的对应关系如下表，函数 y ＝ g （ x ）的图象
是如图的曲线 ABC ，其中 A （1，3）， B （2，1）， C （3，2），
则 f （ g （2））的值为（ ）
解析： 由函数 y ＝ g （ x ）的图象知， g （2）＝1，则 f （ g
（2））＝ f （1）＝2.
2. 一家宾馆有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，宾馆经
理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：
每间每天定价 200元 180元 160元 140元
住房率 65% 75% 85% 95%
要使收入每天达到最高，则每间应定价为（ ）
A. 200元 B. 180元 C. 160元 D. 140元
解析： 在四种情况下每天的收入分别为：200×65%×100＝13 000（元），180×75%×100＝13 500（元），160×85%×100＝13 600（元），140×95%×100＝13 300（元）.可得最大收入为13 600元，所以要使收入每天达到最高，每间应定价为160元.
3. 已知函数 f （ x ＋1）＝3 x ＋2，则 f （ x ）的解析式是（ ）
A. f （ x ）＝3 x －1 B. f （ x ）＝3 x ＋1
C. f （ x ）＝3 x ＋2 D. f （ x ）＝3 x ＋4
解析： 令 x ＋1＝ t ，则 x ＝ t －1，∴ f （ t ）＝3（ t －1）＋2＝3
t －1.∴ f （ x ）＝3 x －1.
4. 已知函数 f （ x ）＝ x － ，且此函数图象过点（5，4），则实数 m
的值为 .
解析：将点（5，4）代入 f （ x ）＝ x － ，得 m ＝5.
5
5. 已知二次函数 f （ x ）满足 f （0）＝1， f （1）＝2， f （2）＝5，求
f （ x ）的解析式.
解：设 f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0），
所以解得
所以 f （ x ）＝ x2＋1.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知函数 f （ x －1）＝ x2－3，则 f （2）＝（ ）
A. －2 B. 6
C. 1 D. 0
解析： 令 t ＝ x －1，则 x ＝ t ＋1，∴ f （ t ）＝（ t ＋1）2－3＝ t2
＋2 t －2，∴ f （2）＝22＋2×2－2＝6.
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2. 下表表示 y 是 x 的函数，则该函数的值域是（ ）
x x ＜－1 －1≤ x ≤3 x ＞3
y －2 0 2
A. { y ｜－2≤ y ≤2} B. R
C. { y ｜－1≤ y ≤3} D. {－2，0，2}
解析： 函数的值域就是 y 的所有取值构成的集合，根据表格看
出，该函数的值域为{－2，0，2}，故选D.
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3. 函数 y ＝－ 的大致图象是（ ）
解析： 函数 y ＝－ 的图象是由函数 y ＝－ 的图象向左平移1
个单位长度得到的，而函数 y ＝－ 的图象在第二、第四象限，结
合所给的四个图象只有B符合，故选B.
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4. 已知 f （ ）＝ x ＋1，则 f （ x ）＝（ ）
A.
C. ＋2 D. －1
解析： 设 ＝ t ， t ≠0，则 x ＝ ＋1.因为 f （ ）＝ x ＋1，
所以 f （ t ）＝ ＋1＋1＝ ＋2， t ≠0.所以 f （ x ）＝ ＋2， x ≠0.
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5. （多选）若一次函数的图象经过点 A （1，6）和 B （2，8），则该
函数的图象还经过的点的坐标为（ ）
C. （－1，2） D. （－2，1）
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解析： 设一次函数的解析式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0），则由该
函数的图象经过点 A （1，6）和 B （2，8），得解得
所以此函数的解析式为 y ＝2 x ＋4.显然A、C选项中的坐
标符合此函数的解析式.故选A、C.
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6. （多选）已知 f （2 x ＋1）＝ x2，则下列结论正确的是（ ）
A. f （－3）＝4
C. f （ x ）＝ x2 D. f （3）＝9
解析： f （2 x ＋1）＝ x2，令 t ＝2 x ＋1，则 x ＝ ，所以 f
（ t ）＝（ ）2＝ ，则 f （ x ）＝ ，故B正确，C错
误； f （－3）＝ ＝4，故A正确； f （3）＝
＝1，故D错误.故选A、B.
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7. 已知函数 f （ x ）， g （ x ）分别由下表给出.
x 4 5 6
f （ x ） 1 3 1
x 1 2 3
g （ x ） 4 5 4
则 g （ f （5））＝ ； f （ g （2））＝ .
解析：由题表可知 f （5）＝3， g （3）＝4，∴ g （ f （5））＝
g （3）＝4.又 g （2）＝5， f （5）＝3，∴ f （ g （2））＝ f
（5）＝3.
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8. 某航空公司规定，乘客所携带行李的重量 x （kg）与其运费 y
（元）由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最
大重量为 kg.
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解析：设一次函数解析式为 y ＝ ax ＋ b （ a ≠0），代入点（30，
330）与点（40，630）得解得即 y ＝
30 x －570，若要免费，则 y ≤0，所以 x ≤19.
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9. 已知 f （ ＋1）＝ x ，则函数 f （ x ）的解析式为 f （ x ）＝
.
解析：令 t ＝ ＋1，则 t ≥1.所以 x ＝ （ t －1）2＋ .故 f
（ t ）＝ （ t －1）2＋ （ t ≥1）.所以函数解析式为 f （ x ）＝ x2
－ x ＋1（ x ≥1）.
f （ x ）＝
x2－ x ＋1（ x ≥1）
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10. 如图所示，有一块边长为 a 的正方形铁皮，将其四角各截去一个边长为 x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出此盒子的体积 V 以 x 为自变量的函数式，并指明这个函数的定义域.
解：由题意可知该盒子的底面是边长为（ a －2 x ）的正方形，高
为 x ，
所以此盒子的体积 V ＝ x （ a －2 x ）2，
其中自变量 x 应满足即0＜ x ＜ .
所以此盒子的体积 V 以 x 为自变量的函数式为 V ＝ x （ a －2 x ）2，
定义域为（0， ）.
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11. 已知函数 f （ x ）是一次函数，且 f [ f （ x ）－4 x ]＝5恒成立，则 f
（2）＝（ ）
A. 1 B. 3 C. 7 D. 9
解析： 因为函数 f （ x ）是一次函数，且 f [ f （ x ）－4 x ]＝5恒
成立，令 f （ x ）－4 x ＝ t ，则 f （ x ）＝4 x ＋ t ，所以 f （ t ）＝4 t
＋ t ＝5，解得 t ＝1，所以 f （ x ）＝4 x ＋1， f （2）＝2×4＋1＝9.
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12. （多选）设 f （ x ）＝ ，则下列结论正确的有（ ）
A. f （－ x ）＝－ f （ x ）
D. f （－ x ）＝ f （ x ）
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解析： 因为 f （ x ）＝ ，所以 f （－ x ）＝ ＝ f
（ x ）， f （ ）＝ ＝ ＝－ f （ x ）， f （－ ）＝
＝ ＝－ f （ x ）.
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13. 已知函数 f （ x ）， g （ x ）分别由下表给出：则满足 f （ g
（ x ））＝ g （ f （ x ））的 x 的值为 .
x 1 2 3 4
f （ x ） 1 3 1 3
g （ x ） 3 2 3 2
2或4
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解析：当 x ＝1时， f （ g （1））＝ f （3）＝1， g （ f （1））＝ g
（1）＝3.当 x ＝2时， f （ g （2））＝ f （2）＝3， g （ f （2））
＝ g （3）＝3.当 x ＝3时， f （ g （3））＝ f （3）＝1， g （ f
（3））＝ g （1）＝3.当 x ＝4时， f （ g （4））＝ f （2）＝3， g
（ f （4））＝ g （3）＝3.故满足 f （ g （ x ））＝ g （ f （ x ））的
x 的值为2或4.
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14. 已知函数 f （ x ）＝ .
（1）把函数 f （ x ）化为 f （ x ）＝ a ＋ 的形式；
解： f （ x ）＝ ＝ ＝1－ ＝1＋ .
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（2）用平移变换的方法作出函数 f （ x ）的图象，并说明作图
过程；
解：函数 y ＝ 的图象向右
平移 个单位长度得函数 y ＝
的图象，再向上平移1个单位长
度得函数 y ＝1＋ 的图象，如
图所示.
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（3）若定义域为（0， ）∪（1，＋∞），通过观察图象直接写
出函数 f （ x ）的值域.
解：通过观察图象可知，函数 f （ x ）的值域为（－1，1）∪（3，＋∞）.
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15. 若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些
函数为“同族函数”，请写出一个与函数 y ＝ x2， x ∈[0，2]同族
的函数：
.
解析：函数 y ＝ x2， x ∈[0，2]的值域为[0，4]，因此其同族函数
的函数解析式可以是 y ＝ x2， x ∈[－2， t ]（0≤ t ≤2），也可以
是 y ＝ x2， x ∈[ m ，2]（－2≤ m ≤0）中的任意一个.
y ＝ x2， x ∈[－2，1]（答案不唯一，参考解析中的 t ，
m 的值）
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16. 在① f （ x ＋1）＝ f （ x ）＋2 x －1；② f （ x ）图象的对称轴为直
线 x ＝1，且 f （0）＝3；③ f （ x ）≥2恒成立，且 f （0）＝3这三
个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.
问题：已知二次函数 f （ x ）的图象经过点（1，2）， .
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（1）求 f （ x ）的解析式；
（2）求 f （ x ）在[－1，4]上的值域.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
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（1）设 f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0），
则 f （ x ＋1）＝ a （ x ＋1）2＋ b （ x ＋1）＋ c ＝ ax2＋（2 a ＋ b ） x ＋ a ＋ b ＋ c .
因为 f （ x ＋1）＝ f （ x ）＋2 x －1，
所以 ax2＋（2 a ＋ b ） x ＋ a ＋ b ＋ c ＝ ax2＋ bx ＋ c ＋2 x －1，
所以解得
因为函数 f （ x ）的图象经过点（1，2），
所以 f （1）＝ a ＋ b ＋ c ＝1－2＋ c ＝2，得 c ＝3.
故 f （ x ）＝ x2－2 x ＋3.
解：选条件①.
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（2）由（1）可知 f （ x ）＝ x2－2 x ＋3＝（ x －1）2＋2.
因为－1≤ x ≤4，所以－2≤ x －1≤3，
所以0≤（ x －1）2≤9，所以2≤（ x －1）2＋2≤11.
所以 f （ x ）在[－1，4]上的值域为[2，11].
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选条件②.
（1）设 f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0），
则函数 f （ x ）图象的对称轴为直线 x ＝－ .
由题意可得解得
故 f （ x ）＝ x2－2 x ＋3.
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（2）由（1）可知 f （ x ）＝ x2－2 x ＋3＝（ x －1）2＋2.
因为－1≤ x ≤4，所以－2≤ x －1≤3，
所以0≤（ x －1）2≤9，所以2≤（ x －1）2＋2≤11.
所以 f （ x ）在[－1，4]上的值域为[2，11].
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选条件③.
（1）设 f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）.
因为 f （0）＝3，所以 c ＝3.
因为 f （ x ）≥2＝ f （1）恒成立，所以
解得
故 f （ x ）＝ x2－2 x ＋3.
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（2）由（1）可知 f （ x ）＝ x2－2 x ＋3＝（ x －1）2＋2.
因为－1≤ x ≤4，所以－2≤ x －1≤3，
所以0≤（ x －1）2≤9，所以2≤（ x －1）2＋2≤11.
所以 f （ x ）在[－1，4]上的值域为[2，11].
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