§2 函数
2.1 函数概念
1.下列集合A到集合B的对应f是函数的是（ ）
A.A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方
B.A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方
C.A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数
D.A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值
2.函数f（x）＝＋的定义域是（ ）
A.[－1，＋∞） B.（－∞，－1]
C.R D.[－1，1）∪（1，＋∞）
3.若函数f（x）＝ax2－1，a为一个正数，且f（f（－1））＝－1，那么a的值是（ ）
A.1 B.0
C.－1 D.2
4.已知函数f（x）＝，则f（x）的值域是（ ）
A.（－∞，］ B.［，＋∞）
C.（0，］ D.（0，＋∞）
5.（多选）下列各组函数表示同一个函数的是（ ）
A.f（x）＝x，g（x）＝
B.f（x）＝x，g（x）＝
C.f（x）＝x－1（x≠－1），g（x）＝
D.f（x）＝x＋1，g（x）＝x＋x0
6.（多选）下列函数中，满足f（2x）＝2f（x）的是（ ）
A.f（x）＝｜x｜ B.f（x）＝x－｜x｜
C.f（x）＝x＋1 D.f（x）＝－x
7.已知函数f（x）＝－1，且f（a）＝3，则a＝ .
8.函数y＝的定义域为 .
9.已知函数f（x）＝2x－3，x∈{x∈N｜1≤x≤5}，则函数f（x）的值域为 .
10.已知函数f（x）＝＋.
（1）求函数的定义域；
（2）求f（－3），f （）的值；
（3）当a＞0时，求f（a），f（a－1）的值.
11.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”.函数解析式为y＝2x2－1，值域为{1，7}的“孪生函数”共有（ ）
A.10个 B.9个
C.8个 D.4个
12.（多选）下列函数中，值域为[0，4]的是（ ）
A.f（x）＝x－1，x∈[1，5]
B.f（x）＝－x2＋4
C.f（x）＝
D.f（x）＝x＋－2（x＞0）
13.函数f（x）的定义域为（0，3），则函数y＝的定义域是 .
14.试求下列函数的定义域与值域：
（1）y＝（x－1）2＋1；
（2）y＝；
（3）y＝x－.
15.若函数y＝f（x）的定义域是[0，2]，则函数g（x）＝f（2x）的定义域是（ ）
A.[0，2] B.[0，1]
C.[0，4] D.（0，1）
16.规定符号*表示一种运算，即a*b＝＋a＋b（a，b为正实数）且1*k＝3.
（1）求正整数k；
（2）求函数y＝k*x的值域.
2.1 函数概念
1.A 按照函数定义，选项B中，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求；选项D中，集合A中的元素0在集合B中没有元素与其对应，也不符合函数定义.只有选项A符合函数定义.
2.D 由解得故定义域为[－1，1）∪（1，＋∞），故选D.
3.A ∵f（x）＝ax2－1，∴f（－1）＝a－1，f（f（－1））＝f（a－1）＝a·（a－1）2－1＝－1.∴a（a－1）2＝0.又∵a为正数，∴a＝1.
4.C ∵x2＋2≥2，∴0＜≤，∴f（x）的值域为（0，］.故选C.
5.AC A中f（x）定义域是R，g（x）定义域是R，且g（x）＝＝x，是同一个函数；B中f（x）定义域是R，g（x）定义域是R，但g（x）＝｜x｜，不是同一个函数；C中f（x）定义域是{x｜x≠－1}，g（x）定义域是{x｜x≠－1}，且g（x）＝＝x－1（x≠－1），是同一个函数；D中f（x）定义域是R，g（x）定义域是{x｜x≠0}，不是同一个函数.故选A、C.
6.ABD 在A中，f（2x）＝｜2x｜＝2｜x｜，2f（x）＝2｜x｜，满足f（2x）＝2f（x）；在B中，f（2x）＝2x－｜2x｜＝2（x－｜x｜）＝2f（x），满足f（2x）＝2f（x）；在C中，f（2x）＝2x＋1，2f（x）＝2（x＋1）＝2x＋2，不满足f（2x）＝2f（x）；在D中，f（2x）＝－2x＝2（－x）＝2f（x），满足f（2x）＝2f（x）.
7.16 解析：因为f（x）＝－1，所以f（a）＝－1.又因为f（a）＝3，所以－1＝3，a＝16.
8.（－∞，－4）∪（－4，4）∪（4，6] 解析：要使函数有意义，需满足即∴函数的定义域为（－∞，－4）∪（－4，4）∪（4，6].
9.{－1，1，3，5，7} 解析：∵x＝1，2，3，4，5，且f（x）＝2x－3.∴f（x）的值域为{－1，1，3，5，7}.
10.解：（1）使根式有意义的实数x的集合是{x｜x≥－3}，使分式有意义的实数x的集合是{x｜x≠－2}，
所以这个函数的定义域是{x｜x≥－3}∩{x｜x≠－2}＝{x｜x≥－3，且x≠－2}.
（2）f（－3）＝＋＝－1；
f （）＝＋＝＋＝＋.
（3）因为a＞0，故f（a），f（a－1）有意义.
f（a）＝＋；
f（a－1）＝＋＝＋.
11.B 由2x2－1＝1，得x1＝1，x2＝－1；由2x2－1＝7，得x3＝－2，x4＝2，所以定义域为2个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”.
12.AC x∈[1，5]时，x－1∈[0，4]，所以函数f（x）＝x－1，x∈[1，5]的值域是[0，4]，故A正确；因为－x2≤0，所以－x2＋4≤4，所以函数值域是（－∞，4]，故B错误；因为－x2≤0，所以16－x2≤16，又16－x2≥0，所以0≤≤4，即函数值域为[0，4]，故C正确；因为x＞0，所以x＋≥2（当且仅当x＝1时取等号），所以x＋－2≥0，故函数值域为[0，＋∞），故D错误.故选A、C.
13.（－1，1）∪（1，2） 解析：函数f（x）的定义域为（0，3），对于函数y＝，有解得－1＜x＜2且x≠1.因此函数y＝的定义域为（－1，1）∪（1，2）.
14.解：（1）函数的定义域为R，因为（x－1）2＋1≥1，所以函数的值域为{y｜y≥1}.
（2）函数的定义域是{x｜x≠1}，y＝＝5＋，所以函数的值域为{y｜y≠5}.
（3）要使函数式有意义，需x＋1≥0，即x≥－1，故函数的定义域是{x｜x≥－1}.设t＝，则x＝t2－1（t≥0），于是f（t）＝t2－1－t＝（t－）2－.又t≥0，故f（t）≥－.所以函数的值域是.
15.B ∵y＝f（x）的定义域是[0，2]，∴要使g（x）＝f（2x）有意义，需0≤2x≤2，即0≤x≤1.
16.解：（1）由已知得，1*k＝＋1＋k＝3，
解得＝1或＝－2（舍去），所以k＝1.
（2）y＝k*x＝＋1＋x＝（＋）2＋（x＞0），
令t＝，则y＝（t＋）2＋（t＞0），结合函数的图象（图略），
可得y＞（0＋）2＋＝1，所以函数的值域为（1，＋∞）.
2 / 22.1 函数概念
新课程标准解读 核心素养
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念 数学抽象
2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用 数学抽象、数学建模
3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域 数学抽象、数学运算
事物都是运动变化着的，我们可以感受到它们的变化.
早晨，太阳从东方冉冉升起；气温随时间在悄悄地改变；小树随着时间的变化不断长高；……
在这些变化着的现象中，都存在着两个变量，当一个变量变化时，另一个变量随之发生变化.
【问题】 （1）怎样用数学模型刻画两个变量之间的关系？
（2）这样的模型具有怎样的特征？
知识点一 函数的概念
概念 给定实数集R中的两个非空数集A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数
对应关系 y＝f（x），x∈A
定义域 的取值范围
值域 与x的值相对应的y 值的集合{f（x）｜x∈A}
提醒 函数的概念的再理解：①函数的定义中有“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的每一个（任意性）数x，在非空数集B中都有（存在性）唯一（唯一性）确定的数y与之对应，这三性只要有一个不满足便不能构成函数；②y＝f（x）仅是函数的一个符号，不表示“y等于f与x的乘积”，f（x）也未必有解析式.
【想一想】
1.在函数的概念中，如果函数y＝f（x）的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？
2.函数定义域内同一个自变量能否对应多个函数值？
知识点二 同一个函数
前提条件 相同
完全一致
结论 这两个函数是同一个函数
【想一想】
定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）任何两个集合之间都可以建立函数关系.（ ）
（2）函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合.（ ）
（3）根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.（ ）
（4）在函数的定义中，集合B是函数的值域.（ ）
2.下列选项中能表示同一个函数的是（ ）
A.y＝x＋1与y＝
B.y＝x2＋1与s＝t2＋1
C.y＝2x与y＝2x（x≥0）
D.y＝（x＋1）2与y＝x2
3.函数f（x）＝的定义域是 .
题型一 函数的概念与判断
【例1】 （1）设M＝{x｜0≤x≤2}，N＝{y｜0≤y≤2}，给出下列四个图形：
其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
（2）判断下列对应关系f是否为定义在集合A上的函数：
①A＝R，B＝R，对应关系f：y＝；②A＝{1，2，3}，B＝R，f（1）＝f（2）＝3，f（3）＝4；
③A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，对应关系如图所示：
尝试解答
通性通法
1.判断对应关系是否为函数的2个条件
（1）A，B必须是非空数集；
（2）A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应；
对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系.
2.由图形判断是否为函数的方法
（1）任取一条垂直于x轴的直线l；
（2）在定义域内平行移动直线l；
（3）若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.
【跟踪训练】
1.下列图象中不能表示函数的图象的是（ ）
2.（多选）已知集合A＝{x｜0≤x≤8}，集合B＝{x｜0≤x≤4}，则下列对应关系中，能看作是从A到B的函数关系的是（ ）
A.f：x→y＝x B.f：x→y＝x
C.f：x→y＝x D.f：x→y＝x
题型二 同一个函数的判定
【例2】 下列各组函数表示同一个函数的是（ ）
A.f（x）＝x，g（x）＝（）2
B.f（x）＝x2，g（t）＝t2
C.f（x）＝1，g（x）＝
D.f（x）＝x，g（x）＝｜x｜
尝试解答
通性通法
判断两个函数是否为同一个函数的步骤
提醒 （1）在化简解析式时，必须是等价变形；
（2）与解析式用哪个字母表示无关.
【跟踪训练】
下列各组函数：
①f（x）＝，g（x）＝x－1；
②f（x）＝（x－1）2，g（t）＝t2－2t＋1；
③汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f（t）＝80t（0≤t≤5）与一次函数g（x）＝80x（0≤x≤5）.
其中表示同一个函数的是 .（填上所有正确的序号）
题型三 函数的定义域
【例3】 求下列函数的定义域：
（1）y＝－2x＋3；（2）f（x）＝；
（3）y＝＋；（4）y＝.
尝试解答
通性通法
求函数定义域的常用方法
（1）若f（x）是分式，则应考虑使分母不为零；
（2）若f（x）是偶次根式，则被开方数大于或等于零；
（3）若f（x）是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合；
（4）若f（x）是由几个式子构成的，则函数的定义域是各个部分数学表达式有意义的x取值集合的交集；
（5）若f（x）是实际问题的解析式，则应使解析式有意义还应符合实际意义.
【跟踪训练】
1.函数f（x）＝＋的定义域为（ ）
A.（－∞，－1）∪（－1，3]
B.（－∞，3]
C.（－1，3]
D.（－∞，－1）
2.f（x）＝（x－1）0＋的定义域是（ ）
A.（－1，＋∞）
B.（－∞，－1）
C.R
D.（－1，1）∪（1，＋∞）
题型四 函数值（值域）问题
【例4】 （1）已知f（x）＝（x∈R，且x≠－1），g（x）＝x2＋2（x∈R），则f（2）＝ ，f（g（2））＝ .
（2）求下列函数的值域：
①y＝x＋1；②y＝x2－2x＋3，x∈[0，3）；
③y＝；④y＝2x－.
尝试解答
【母题探究】
1.（变条件）在本例（1）条件下，若f（b）＝，求b的值.
2.（变设问）在本例（1）条件下，判断点（3，）是否在函数f（x）的图象上.
通性通法
1.函数求值的方法
（1）已知f（x）的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f（a）的值；
（2）求f（g（a））的值应遵循由里往外的原则.
2.求函数值域常用的4种方法
（1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；
（2）配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；
（3）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；
（4）换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域.对于f（x）＝ax＋b＋（其中a，b，c，d为常数，且a≠0）型的函数常用换元法.
【跟踪训练】
1.设函数f（x）＝，则当f（x）＝2时，x的取值为（ ）
A.－4 B.4
C.－10 D.10
2.（2024·济南月考）函数y＝的值域为 .
1.下列四种说法中不正确的是（ ）
A.在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应
B.函数的定义域和值域一定是无限集合
C.定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了
D.若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素
2.若f（x）＝，则f（3）＝（ ）
A.2 B.4
C.2 D.10
3.函数f（x）＝的定义域为（ ）
A.（1，＋∞）
B.[0，＋∞）
C.（－∞，1）∪（1，＋∞）
D.[0，1）∪（1，＋∞）
4.（2024·洛阳月考）设f：x→x2是集合A到集合B的函数，若集合B＝{1}，则集合A不可能是（ ）
A.{1} B.{－1}
C.{－1，1} D.{－1，0}
5.下列各组函数是同一个函数的是 .（填序号）
①f（x）＝与g（x）＝x；
②f（x）＝x0与g（x）＝；
③f（x）＝x2－2x－1与g（t）＝t2－2t－1.
2.1 函数概念
【基础知识·重落实】
知识点一
x
想一想
1.提示：确定.
2.提示：不能.
知识点二
定义域 对应关系
想一想
提示：不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数.
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）× （4）×
2.B 对于选项A，前者定义域为R，后者定义域为{x｜x≠1}，不是同一个函数；对于选项B，虽然变量不同，但定义域和对应关系均相同，是同一个函数；对于选项C，虽然对应关系相同，但定义域不同，不是同一个函数；对于选项D，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是同一个函数.
3.{x｜x＜4} 解析：由4－x＞0，解得x＜4，所以原函数的定义域为{x｜x＜4}.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）B ①中，因为在集合M中当1＜x≤2时，在N中无元素与之对应，所以①不是；②中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以②是；③中，x＝2对应元素y＝3 N，所以③不是；④中，当x＝1时，在N中有两个元素与之对应，所以④不是.因此只有②是，故选B.
（2）解：①A＝R，B＝R，对于集合A中的元素x＝0，在对应关系f：y＝的作用下，在集合B中没有元素与之对应，故所给对应不是定义在集合A上的函数.
②由f（1）＝f（2）＝3，f（3）＝4，知集合A中的每一个元素在对应关系f的作用下，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故所给对应关系是定义在集合A上的函数.
③集合A中的元素3在集合B中没有与之对应的元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素（5和6）与之对应，故所给对应关系不是定义在集合A上的函数.
跟踪训练
1.D D项中，当x＞0时，任意一个x对应着两个y的值，因此选项D不是函数的图象.
2.ABC 根据函数的定义，对于D，在集合A中的部分元素，在集合B中没有元素与它对应，故不正确；A、B、C选项均正确.
【例2】 B A选项中，由于f（x）＝x的定义域为R，g（x）＝（）2的定义域为{x｜x≥0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一个函数；B选项中，函数的定义域、值域和对应关系都相同，所以它们是同一个函数；C选项中，由于f（x）＝1的定义域为R，g（x）＝的定义域为{x｜x≠0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一个函数；D选项中，两个函数的定义域相同，但对应关系不同，所以它们不是同一个函数.
跟踪训练
②③ 解析：①f（x）的定义域为{x｜x≠0}，g（x）的定义域为R，f（x）与g（x）的定义域不同，不是同一个函数；②虽然表示自变量的字母不同，但f（x）与g（t）的定义域相同，对应关系相同，故是同一个函数；③是同一个函数，定义域、对应关系都相同.
【例3】 解：（1）函数y＝－2x＋3的定义域为{x｜x∈R}.
（2）要使函数式有意义，即分式有意义，则－x＋1≠0，x≠1.故函数的定义域为{x｜x≠1}.
（3）要使函数式有意义，则即所以x＝1，从而函数的定义域为{x｜x＝1}.
（4）因为当x2－1≠0，即x≠±1时，有意义，所以函数的定义域是{x｜x≠±1}.
跟踪训练
1.A 要使函数f（x）＝＋有意义，则解得x≤3且x≠－1，所以函数f（x）的定义域为（－∞，－1）∪（－1，3].故选A.
2.D 要使函数有意义，需满足∴x＞－1且x≠1，∴定义域为（－1，1）∪（1，＋∞）.
【例4】 （1） 解析：∵f（x）＝，∴f（2）＝＝.
又∵g（x）＝x2＋2，∴g（2）＝22＋2＝6，
∴f（g（2））＝f（6）＝＝.
（2）解：①（观察法）∵x∈R，∴x＋1∈R，即函数值域是R.
②
（配方法）y＝x2－2x＋3＝（x－1）2＋2，由x∈[0，3），再结合函数的图象（如图），可得函数的值域为[2，6）.
③（分离常数法）y＝＝＝3－.
∵≠0，∴y≠3，
∴y＝的值域为（－∞，3）∪（3，＋∞）.
④
（换元法）设t＝，则t≥0且x＝t2＋1，∴y＝2（t2＋1）－t＝2（t－）2＋，由t≥0，再结合函数的图象（如图），可得函数的值域为［，＋∞）.
母题探究
1.解：由f（b）＝＝，得b＝1.
2.解：由f（x）＝知f（3）＝，故点（3，）在f（x）的图象上.
跟踪训练
1.C 令＝2，则x＝－10，故选C.
2. 解析：y＝＝
＝＝1－（x≠±1）.
∵≠0，∴y≠1，
又∵x≠1，∴y≠－，
∴函数值域为.
随堂检测
1.B 由函数定义知，A，C，D正确，B不正确.
2.A f（3）＝＝2.
3.D 由得∴定义域为[0，1）∪（1，＋∞）.
4.D 因为当x＝0时，在集合B中没有值与之对应.
5.②③ 解析：①f（x）＝－x，g（x）＝x，对应关系不同，故f（x）与g（x）不是同一个函数；②f（x）＝x0＝1（x≠0），g（x）＝＝1（x≠0），对应关系与定义域均相同，故是同一个函数；③f（x）＝x2－2x－1与g（t）＝t2－2t－1，对应关系和定义域均相同，故是同一个函数.
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2.1 函数概念
新课程标准解读 核心素养
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础
上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的
函数概念 数学抽象
2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作
用 数学抽象、数
学建模
3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域 数学抽象、数
学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
事物都是运动变化着的，我们可以感受到它们的变化.
早晨，太阳从东方冉冉升起；气温随时间在悄悄地改变；小树随着时
间的变化不断长高；……
在这些变化着的现象中，都存在着两个变量，当一个变量变化时，另
一个变量随之发生变化.
【问题】 （1）怎样用数学模型刻画两个变量之间的关系？
（2）这样的模型具有怎样的特征？
知识点一 函数的概念
概念 给定实数集R中的两个非空数集 A 和 B ，如果
存在一个对应关系 f ，使对于集合 A 中的每一
个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它
对应，那么就把对应关系 f 称为定义在集合 A
上的一个函数
对应关系 y ＝ f （ x ）， x ∈ A
定义域 的取值范围
值域 与 x 的值相对应的 y 值的集合{ f （ x ）｜ x ∈ A }
x
提醒 函数的概念的再理解：①函数的定义中有“三性”：任意性、
存在性、唯一性，即对于非空数集 A 中的每一个（任意性）数 x ，在
非空数集 B 中都有（存在性）唯一（唯一性）确定的数 y 与之对应，
这三性只要有一个不满足便不能构成函数；② y ＝ f （ x ）仅是函数的
一个符号，不表示“ y 等于 f 与 x 的乘积”， f （ x ）也未必有解析式.
1. 在函数的概念中，如果函数 y ＝ f （ x ）的定义域与对应关系确定，
那么函数的值域确定吗？
提示：确定.
2. 函数定义域内同一个自变量能否对应多个函数值？
提示：不能.
【想一想】
知识点二 同一个函数
前提条
件 相同
完全一致
结论 这两个函数是同一个函数
【想一想】
定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？
定义域
对应关系
提示：不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个
函数.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）任何两个集合之间都可以建立函数关系. （ × ）
（2）函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合.
（ × ）
（3）根据函数的定义，定义域中的任何一个 x 可以对应着值域中
不同的 y . （ × ）
（4）在函数的定义中，集合 B 是函数的值域. （ × ）
×
×
×
×
2. 下列选项中能表示同一个函数的是（ ）
B. y ＝ x2＋1与 s ＝ t2＋1
C. y ＝2 x 与 y ＝2 x （ x ≥0）
D. y ＝（ x ＋1）2与 y ＝ x2
解析： 对于选项A，前者定义域为R，后者定义域为{ x ｜ x
≠1}，不是同一个函数；对于选项B，虽然变量不同，但定义域和
对应关系均相同，是同一个函数；对于选项C，虽然对应关系相
同，但定义域不同，不是同一个函数；对于选项D，虽然定义域相
同，但对应关系不同，不是同一个函数.
3. 函数 f （ x ）＝ 的定义域是 .
解析：由4－ x ＞0，解得 x ＜4，所以原函数的定义域为{ x ｜ x ＜4}.
{ x ｜ x ＜4}
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 函数的概念与判断
【例1】 （1）设 M ＝{ x ｜0≤ x ≤2}， N ＝{ y ｜0≤ y ≤2}，给出下
列四个图形：
其中，能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的个数是（ ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析： ①中，因为在集合 M 中当1＜ x ≤2时，在 N 中无元素与之
对应，所以①不是；②中，对于集合 M 中的任意一个数 x ，在 N 中都
有唯一的数与之对应，所以②是；③中， x ＝2对应元素 y ＝3 N ，所
以③不是；④中，当 x ＝1时，在 N 中有两个元素与之对应，所以④不
是.因此只有②是，故选B.
① A ＝R， B ＝R，对应关系 f ： y ＝ ；
② A ＝{1，2，3}， B ＝R， f （1）＝ f （2）＝3， f （3）＝4；
③ A ＝{1，2，3}， B ＝{4，5，6}，对应关系如图所示：
（2）判断下列对应关系 f 是否为定义在集合 A 上的函数：
解：① A ＝R， B ＝R，对于集合 A 中的元素 x ＝0，在对应关系
f ： y ＝ 的作用下，在集合 B 中没有元素与之对应，故所给对
应不是定义在集合 A 上的函数.
②由 f （1）＝ f （2）＝3， f （3）＝4，知集合 A 中的每一个元
素在对应关系 f 的作用下，在集合 B 中都有唯一的元素与之对
应，故所给对应关系是定义在集合 A 上的函数.
③集合 A 中的元素3在集合 B 中没有与之对应的元素，且集合 A
中的元素2在集合 B 中有两个元素（5和6）与之对应，故所给对
应关系不是定义在集合 A 上的函数.
通性通法
1. 判断对应关系是否为函数的2个条件
（1） A ， B 必须是非空数集；
（2） A 中任意一元素在 B 中有且只有一个元素与之对应；
对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对
多”的不是函数关系.
2. 由图形判断是否为函数的方法
（1）任取一条垂直于 x 轴的直线 l ；
（2）在定义域内平行移动直线 l ；
（3）若 l 与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有
交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.
【跟踪训练】
1. 下列图象中不能表示函数的图象的是（ ）
解析： D项中，当 x ＞0时，任意一个 x 对应着两个 y 的值，因此
选项D不是函数的图象.
2. （多选）已知集合 A ＝{ x ｜0≤ x ≤8}，集合 B ＝{ x ｜0≤ x ≤4}，
则下列对应关系中，能看作是从 A 到 B 的函数关系的是（ ）
D. f ： x → y ＝ x
解析： 根据函数的定义，对于D，在集合 A 中的部分元素，
在集合 B 中没有元素与它对应，故不正确；A、B、C选项均正确.
题型二 同一个函数的判定
【例2】 下列各组函数表示同一个函数的是（ ）
B. f （ x ）＝ x2， g （ t ）＝ t2
D. f （ x ）＝ x ， g （ x ）＝｜ x ｜
解析： A选项中，由于 f （ x ）＝ x 的定义域为R， g （ x ）＝
（ ）2的定义域为{ x ｜ x ≥0}，它们的定义域不相同，所以它们不
是同一个函数；B选项中，函数的定义域、值域和对应关系都相同，
所以它们是同一个函数；C选项中，由于 f （ x ）＝1的定义域为R， g
（ x ）＝ 的定义域为{ x ｜ x ≠0}，它们的定义域不相同，所以它们不
是同一个函数；D选项中，两个函数的定义域相同，但对应关系不
同，所以它们不是同一个函数.
通性通法
判断两个函数是否为同一个函数的步骤
提醒 （1）在化简解析式时，必须是等价变形；
（2）与解析式用哪个字母表示无关.
【跟踪训练】
下列各组函数：
① f （ x ）＝ ， g （ x ）＝ x －1；
② f （ x ）＝（ x －1）2， g （ t ）＝ t2－2 t ＋1；
③汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系 f （ t ）＝80 t （0≤ t ≤5）
与一次函数 g （ x ）＝80 x （0≤ x ≤5）.
其中表示同一个函数的是 .（填上所有正确的序号）
②③
解析：① f （ x ）的定义域为{ x ｜ x ≠0}， g （ x ）的定义域为R， f
（ x ）与 g （ x ）的定义域不同，不是同一个函数；②虽然表示自变量
的字母不同，但 f （ x ）与 g （ t ）的定义域相同，对应关系相同，故
是同一个函数；③是同一个函数，定义域、对应关系都相同.
题型三 函数的定义域
【例3】 求下列函数的定义域：
（1） y ＝－2 x ＋3；
解：函数 y ＝－2 x ＋3的定义域为{ x ｜ x ∈R}.
（2） f （ x ）＝ ；
解：要使函数式有意义，即分式有意义，则－ x ＋1≠0， x ≠1.
故函数的定义域为{ x ｜ x ≠1}.
（3） y ＝ ＋ ；
解：要使函数式有意义，则即所以 x ＝1，
从而函数的定义域为{ x ｜ x ＝1}.
（4） y ＝ .
解：因为当 x2－1≠0，即 x ≠±1时， 有意义，所以函数的
定义域是{ x ｜ x ≠±1}.
通性通法
求函数定义域的常用方法
（1）若 f （ x ）是分式，则应考虑使分母不为零；
（2）若 f （ x ）是偶次根式，则被开方数大于或等于零；
（3）若 f （ x ）是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数
集合；
（4）若 f （ x ）是由几个式子构成的，则函数的定义域是各个部分数
学表达式有意义的 x 取值集合的交集；
（5）若 f （ x ）是实际问题的解析式，则应使解析式有意义还应符合
实际意义.
【跟踪训练】
1. 函数 f （ x ）＝ ＋ 的定义域为（ ）
A. （－∞，－1）∪（－1，3] B. （－∞，3]
C. （－1，3] D. （－∞，－1）
解析： 要使函数 f （ x ）＝ ＋ 有意义，则
解得 x ≤3且 x ≠－1，所以函数 f （ x ）的定义域为
（－∞，－1）∪（－1，3].故选A.
2. f （ x ）＝（ x －1）0＋ 的定义域是（ ）
A. （－1，＋∞） B. （－∞，－1）
C. R D. （－1，1）∪（1，＋∞）
解析： 要使函数有意义，需满足∴ x ＞－1且 x
≠1，∴定义域为（－1，1）∪（1，＋∞）.
题型四 函数值（值域）问题
【例4】 （1）已知 f （ x ）＝ （ x ∈R，且 x ≠－1）， g （ x ）＝
x2＋2（ x ∈R），则 f （2）＝ ， f （ g （2））＝ .
解析：∵ f （ x ）＝ ，∴ f （2）＝ ＝ .
又∵ g （ x ）＝ x2＋2，∴ g （2）＝22＋2＝6，
∴ f （ g （2））＝ f （6）＝ ＝ .
（2）求下列函数的值域：
① y ＝ x ＋1；② y ＝ x2－2 x ＋3， x ∈[0，3）；
③ y ＝ ；④ y ＝2 x － .
解析：解：①（观察法）∵ x ∈R，∴ x ＋1∈R，即函数值
域是R.
②（配方法） y ＝ x2－2 x ＋3＝（ x －1）2＋2，
由 x ∈[0，3），再结合函数的图象（如图），
可得函数的值域为[2，6）.
③（分离常数法） y ＝ ＝ ＝3－ .
∵ ≠0，∴ y ≠3，
∴ y ＝ 的值域为（－∞，3）∪（3，＋∞）.
④（换元法）设 t ＝ ，则 t ≥0且 x ＝ t2＋
1，∴ y ＝2（ t2＋1）－ t ＝2（ t － ）2＋ ，由
t ≥0，再结合函数的图象（如图），可得函数
的值域为［ ，＋∞）.
【母题探究】
1. （变条件）在本例（1）条件下，若 f （ b ）＝ ，求 b 的值.
解：由 f （ b ）＝ ＝ ，得 b ＝1.
2. （变设问）在本例（1）条件下，判断点（3， ）是否在函数 f
（ x ）的图象上.
解：由 f （ x ）＝ 知 f （3）＝ ，故点（3， ）在 f （ x ）
的图象上.
通性通法
1. 函数求值的方法
（1）已知 f （ x ）的表达式时，只需用 a 替换表达式中的 x 即得 f
（ a ）的值；
（2）求 f （ g （ a ））的值应遵循由里往外的原则.
2. 求函数值域常用的4种方法
（1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得
到；
（2）配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函
数时，可利用配方法求其值域；
（3）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转
化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；
（4）换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的
函数，从而求得原函数的值域.对于 f （ x ）＝ ax ＋ b ＋
（其中 a ， b ， c ， d 为常数，且 a ≠0）型的函数
常用换元法.
【跟踪训练】
1. 设函数 f （ x ）＝ ，则当 f （ x ）＝2时， x 的取值为（ ）
A. －4 B. 4
C. －10 D. 10
解析： 令 ＝2，则 x ＝－10，故选C.
解析： y ＝ ＝
＝ ＝1－ （ x ≠±1）.
∵ ≠0，∴ y ≠1，
又∵ x ≠1，∴ y ≠－ ，
∴函数值域为 .
2. （2024·济南月考）函数 y ＝ 的值域为 .
1. 下列四种说法中不正确的是（ ）
A. 在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应
B. 函数的定义域和值域一定是无限集合
C. 定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了
D. 若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素
解析： 由函数定义知，A，C，D正确，B不正确.
2. 若 f （ x ）＝ ，则 f （3）＝（ ）
A. 2 B. 4
D. 10
解析： f （3）＝ ＝2.
3. 函数 f （ x ）＝ 的定义域为（ ）
A. （1，＋∞）
B. [0，＋∞）
C. （－∞，1）∪（1，＋∞）
D. [0，1）∪（1，＋∞）
解析： 由得∴定义域为[0，1）∪（1，
＋∞）.
4. （2024·洛阳月考）设 f ： x → x2是集合 A 到集合 B 的函数，若集合 B
＝{1}，则集合 A 不可能是（ ）
A. {1} B. {－1}
C. {－1，1} D. {－1，0}
解析： 因为当 x ＝0时，在集合 B 中没有值与之对应.
5. 下列各组函数是同一个函数的是 .（填序号）
① f （ x ）＝ 与 g （ x ）＝ x ；② f （ x ）＝ x0与 g （ x ）
＝ ；③ f （ x ）＝ x2－2 x －1与 g （ t ）＝ t2－2 t －1.
解析：① f （ x ）＝－ x ， g （ x ）＝ x ，对应关系不
同，故 f （ x ）与 g （ x ）不是同一个函数；② f （ x ）＝ x0＝1（ x
≠0）， g （ x ）＝ ＝1（ x ≠0），对应关系与定义域均相同，故
是同一个函数；③ f （ x ）＝ x2－2 x －1与 g （ t ）＝ t2－2 t －1，对
应关系和定义域均相同，故是同一个函数.
②③
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