第二课时 分段函数
1.下列给出的函数是分段函数的是（ ）
A.f（x）＝
B.f（x）＝
C.f（x）＝
D.f（x）＝
2.下列图形是函数y＝x｜x｜的图象的是（ ）
3.函数y＝的值域是（ ）
A.R B.[0，＋∞）
C.[0，3] D.{y｜0≤y≤2或y＝3}
4.已知函数f（x）＝若f（a）＋f（1）＝0，则实数a＝（ ）
A.－3 B.－1
C.1 D.3
5.（多选）函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式是（ ）
A.f（x）＝
B.f（x）＝
C.f（x）＝－｜x｜＋1
D.f（x）＝｜x＋1｜
6.（多选）如图是函数f（x）的图象，则下列说法正确的是（ ）
A.f（0）＝－2
B.f（x）的定义域为[－3，2]
C.f（x）的值域为[－2，2]
D.若f（x）＝0，则x＝或2
7.已知f（x）＝则f（－）＋f（）＝ .
8.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为 立方米.
9.函数f（x）＝若f（a）＜－3，则a的取值范围是 .
10.如图所示，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4）.
（1）求f（f（0））的值；
（2）求函数f（x）的解析式.
11.已知f（x）＝｜x｜，g（x）＝x2，设h（x）＝则函数h（x）的大致图象是（ ）
12.已知函数f（x）＝若a（f（a）－f（－a））＞0，则实数a的取值范围为（ ）
A.（1，＋∞）
B.（2，＋∞）
C.（－∞，－1）∪（1，＋∞）
D.（－∞，－2）∪（2，＋∞）
13.已知函数f（x）＝的值域为R，则实数a的取值范围是 .
14.已知函数f（x）的解析式为f（x）＝
（1）求f （），f （），f（－1）的值；
（2）画出函数f（x）的图象；
（3）求f（x）的最大值.
15.若定义运算a☉b＝则函数f（x）＝x☉（2－x）的值域为 .
16.某地区上年度电价为0.8元/千瓦时，年用电量为a千瓦时.本年度计划将电价降低到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间，而用户期望电价为0.4元/千瓦时.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）.该地区电力的成本价为0.3元/千瓦时.
（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数解析式；
（2）设k＝0.2a，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%？（注：收益＝实际用电量×（实际电价－成本价））
第二课时 分段函数
1.D A中的函数f（x）＝当x＝1时，有两个值与之对应，不满足函数的定义，不是分段函数；B中的函数f（x）＝当x＝4时，有两个值与之对应，不满足函数的定义，不是分段函数；C中的函数f（x）＝当x＝1时，有两个值与之对应，不满足函数的定义，不是分段函数；只有D中的函数满足分段函数的定义，是分段函数.故选D.
2.D 函数y＝x｜x｜＝故选D.
3.D 值域为[0，2]∪{2}∪{3}＝{y｜0≤y≤2或y＝3}.
4.A ∵f（a）＋f（1）＝0，∴f（a）＝－f（1）＝－2，当a＞0时，2a＝－2，∴a＝－1，舍去，当a≤0时，a＋1＝－2，∴a＝－3.
5.AC 通过代入点（－1，0），（0，1），（1，0）来验证，可知选A、C.
6.ABD 由图象知f（0）＝－2，故A正确；函数的定义域为[－3，2]，故B正确；函数的最小值为－3，最大值为2，即函数的值域为[－3，2]，故C错误；若f（x）＝0，则x＝或2，故D正确.故选A、B、D.
7.4 解析：∵f（x）＝∴f（－）＝f（－＋1）＝f（－）＝f（－＋1）＝f（）＝×2＝，f（）＝2×＝，∴f（－）＋f（）＝＋＝4.
8.13 解析：该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝由y＝16m，可知x＞10.令2mx－10m＝16m，解得x＝13（立方米）.
9.（－∞，－3） 解析：当a≤－2时，f（a）＝a＜－3，此时不等式的解集是（－∞，－3）；当－2＜a＜4时，f（a）＝a＋1＜－3，此时无解；当a≥4时，f（a）＝3a＜－3，此时无解.故a的取值范围是（－∞，－3）.
10.解：（1）由题图可得f（f（0））＝f（4）＝2.
（2）设线段AB所对应的函数解析式为y＝kx＋b（k≠0），
将与代入，得解得
∴y＝－2x＋4（0≤x≤2）.
同理，线段BC所对应的函数解析式为y＝x－2（2＜x≤6）.
∴f（x）＝
11.D 当f（x）≤g（x）时，即｜x｜≤x2时，解得x≤－1或x≥1或x＝0，∴h（x）＝故图象为D.
12.D 当a＝0时，显然不成立.当a＞0时，不等式a（f（a）－f（－a））＞0等价于a2－2a＞0，解得a＞2.当a＜0时，不等式a（f（a）－f（－a））＞0等价于－a2－2a＜0，解得a＜－2.
13.[－8，3） 解析：当x≥4时，f（x）＝＋2≥4.因为函数f（x）＝的值域为R，所以当x＜4时，f（x）＝（3－a）x＋5a满足解得－8≤a＜3.故实数a的取值范围是[－8，3）.
14.解：（1）∵＞1，∴f （）＝－2×＋8＝5.
∵0＜＜1，∴f （）＝＋5＝.
∵－1＜0，∴f（－1）＝－3＋5＝2.
（2）函数f（x）的图象如图中的实线部分.
（3）由函数图象可知，当x＝1时，f（x）取最大值6.
15.（－∞，1] 解析：由题意得f（x）＝画出函数f（x）的图象得值域是（－∞，1].
16.解：（1）依题意知，用电量增至（＋a）千瓦时，电力部门的收益为y＝（＋a）（x－0.3）（0.55≤x≤0.75）.
（2）依题意，有
整理得
解此不等式，得0.6≤x≤0.75.
即当电价最低定为0.6元/千瓦时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.
3 / 3第二课时 分段函数
根据我国地理学家的估算，我国的水资源总量约为27 000亿（m3），而可利用的水资源不足总量的1%，现我国属于水资源贫困的国家，为了加强公民的节水意识，某城市制定每户月用水收费（含用水费和污水处理费）标准：
用水量 不超过10 m3部分 超过10 m3部分
水费（元/m3） 2.27 3.40
污水处理费（元/m3） 0.30 0.80
【问题】 （1）如果小明家上个月用水量为8.9 m3，这个月用水量为12 m3，他家两个月分别应该交多少水费？
（2）每月用水量x（m3）与应交水费y（元）之间的关系是否可以用函数解析式表示出来？这个解析式有什么特点？
知识点 分段函数
1.分段函数：如果函数y＝f（x），x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数.
2.分段函数的图象：分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成.在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象.
提醒 理解分段函数应关注4点：①分段函数是一个函数，而不是几个函数.处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系；②分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围；③分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集.分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式；④分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）分段函数由几个函数构成.（ ）
（2）分段函数有多个定义域.（ ）
（3）函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线.（ ）
（4）函数f（x）＝｜x｜可以用分段函数表示.（ ）
2.若f（x）＝则f（－2）＝（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
3.函数y＝的定义域为 ，值域为 .
题型一 分段函数求值问题
【例1】 已知函数f（x）＝
（1）求f（－3），f（f（））的值；
（2）若f（a）＝2，求a的值.
尝试解答
通性通法
1.分段函数求函数值的方法
（1）确定要求值的自变量属于哪一段区间；
（2）代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现f（f（x0））的形式时，应从内到外依次求值.
2.已知函数值求参数取值（范围）的步骤
（1）先将参数分情况代入解析式，列出方程（不等式）；
（2）解方程（不等式）求参数的值（取值范围），并检验是否符合定义域的取值范围；
（3）符合题意的所有值（取值范围的并集）即为所求.
【跟踪训练】
1.设函数f（x）＝则f（）＝（ ）
A. B.4 C.3 D.－3
2.已知f（x）＝若f（a）≤－3，则实数a的取值范围为（ ）
A.[－3，－1]∪[1，3]
B.（－3，－1]∪[1，3）
C.[－2，－1]∪[1，2]
D.[－3，3]
题型二 分段函数的图象及应用
【例2】 已知函数f（x）＝1＋（－2＜x≤2）.
（1）用分段函数的形式表示该函数；
（2）画出函数的图象；
（3）写出该函数的值域.
尝试解答
【母题探究】
（变条件）若本例条件变为“已知函数f（x）＝｜x｜－2”，如何求解？
通性通法
分段函数图象的画法
（1）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象；
（2）作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意连接点处点的虚实，保证不重不漏.
【跟踪训练】
已知函数f（x）＝则函数f（x）的图象是（ ）
题型三 分段函数的应用问题
【例3】 某市有A，B两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，A俱乐部每块场地每小时收费6元；B俱乐部按月计费，一个月中20小时以内（含20小时）每块场地收费90元，超过20小时的部分，每块场地每小时2元，某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动，其活动时间不少于12小时，也不超过30小时.
（1）设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为f（x）元（12≤x≤30），在B俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为g（x）元（12≤x≤30），试求f（x）与g（x）的解析式；
（2）问该企业选择哪家俱乐部比较合算，为什么？
尝试解答
通性通法
分段函数的实际应用
（1）当目标在不同区间有不同的计算表达式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画；
（2）分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式.
【跟踪训练】
某地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y（元）关于月用电量x（度）的函数图象是一条折线（如图所示），根据图象解下列问题：
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）利用函数解析式，说明电力公司采取的收费标准.
1.一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图示可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是（ ）
2.已知函数f（x）＝若f（－1）＝f（1），则实数a的值为（ ）
A.1 B.2
C.0 D.－1
3.已知f（n）＝则f（8）＝ .
4.已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式是 .
第二课时 分段函数
【基础知识·重落实】
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）× （4）√
2.A ∵－2＜0，∴f（－2）＝－（－2）＝2.
3.（－∞，0）∪（0，＋∞） {－2}∪（0，＋∞）
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）因为－3＜－1，所以f（－3）＝－3＋2＝－1.
因为－1＜＜2，所以f（）＝2×＝3.
又3＞2，所以f（f（））＝f（3）＝.
（2）当a≤－1时，由f（a）＝2，得a＋2＝2，a＝0，舍去；
当－1＜a＜2时，由f（a）＝2，得2a＝2，a＝1；
当a≥2时，由f（a）＝2，
得＝2，a＝2或a＝－2（舍去）.
综上所述，a的值为1或2.
跟踪训练
1.A 依题意知f（2）＝22＋2－2＝4，则f（）＝f（）＝1－（）2＝.故选A.
2.A 当a≤0时，a2＋4a≤－3，a∈[－3，－1]；当a＞0时，a2－4a≤－3，a∈[1，3].因此，a∈[－3，－1]∪[1，3].故选A.
【例2】 解：（1）当0≤x≤2时，f（x）＝1＋＝1，
当－2＜x＜0时，f（x）＝1＋＝1－x.
∴f（x）＝
（2）函数f（x）的图象如图所示：
（3）由（2）知，f（x）在（－2，2]上的值域为[1，3）.
母题探究
解：（1）f（x）＝｜x｜－2＝
（2）函数的图象如图所示：
（3）由图可知，f（x）的值域为[－2，＋∞）.
跟踪训练
A 当x＝－1时，y＝0，即图象过点（－1，0），D错；当x＝0时，y＝1，即图象过点（0，1），C错；当x＝1时，y＝2，即图象过点（1，2），B错.故选A.
【例3】 解：（1）由题意f（x）＝6x，x∈[12，30]，
g（x）＝
（2）①当12≤x≤20时，令6x＝90，解得x＝15，
即当12≤x＜15时，f（x）＜g（x），
当x＝15时，f（x）＝g（x），当15＜x≤20时，f（x）＞g（x）.
②当20＜x≤30时，f（x）＞g（x）.
故当12≤x＜15时，选A俱乐部合算，
当x＝15时，两家俱乐部一样合算，
当15＜x≤30时，选B俱乐部合算.
跟踪训练
解：（1）当0≤x≤100时，设函数解析式为y＝kx（k≠0）.
将x＝100，y＝65代入，得k＝0.65，所以y＝0.65x.
当x＞100时，设函数解析式为y＝ax＋b（a≠0）.
将x＝100，y＝65和x＝130，y＝89代入，得解得
所以y＝0.8x－15.
综上可得y＝
（2）由（1）知电力公司采取的收费标准为用户月用电量不超过100度时，每度电0.65元；超过100度时，超出的部分，每度电0.80元.
随堂检测
1.B 根据题意，知这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除A、D，然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C，故选B.
2.B 因为f（－1）＝f（1），所以1－（－1）＝a，所以a＝2.故选B.
3.10 解析：因为8＜10，所以f（8）＝f（8＋5）＝f（13），又13＞10，所以f（13）＝13－3＝10，所以f（8）＝10.
4.f（x）＝ 解析：由题图可知，f（x）的图象是由两条线段组成的.当－1≤x＜0时，设f（x）＝ax＋b，将（－1，0），（0，1）代入解析式，得解得当0≤x≤1时，设f（x）＝kx，将（1，－1）代入，得k＝－1.所以f（x）的解析式为f（x）＝
3 / 4(共61张PPT)
第二课时 分段函数
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
根据我国地理学家的估算，我国的水资源总量约为27 000亿
（m3），而可利用的水资源不足总量的1%，现我国属于水资源贫困
的国家，为了加强公民的节水意识，某城市制定每户月用水收费（含
用水费和污水处理费）标准：
用水量 不超过10 m3部分 超过10 m3部分
水费（元/m3） 2.27 3.40
污水处理费（元/m3） 0.30 0.80
【问题】 （1）如果小明家上个月用水量为8.9 m3，这个月用水量
为12 m3，他家两个月分别应该交多少水费？
（2）每月用水量 x （m3）与应交水费 y （元）之间的关系是否可以用
函数解析式表示出来？这个解析式有什么特点？
知识点 分段函数
1. 分段函数：如果函数 y ＝ f （ x ）， x ∈ A ，根据自变量 x 在 A 中不同
的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数.
2. 分段函数的图象：分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成.
在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图
象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得
到整个分段函数的图象.
提醒 理解分段函数应关注4点：①分段函数是一个函数，而不是
几个函数.处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区
间，从而选取相应的对应关系；②分段函数在书写时用大括号把各
段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的
取值范围；③分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集.分
段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合
的形式；④分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内
值域的并集.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）分段函数由几个函数构成. （ × ）
（2）分段函数有多个定义域. （ × ）
（3）函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线.
（ × ）
（4）函数 f （ x ）＝｜ x ｜可以用分段函数表示. （ √ ）
×
×
×
√
2. 若 f （ x ）＝则 f （－2）＝（ ）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
解析： ∵－2＜0，∴ f （－2）＝－（－2）＝2.
3. 函数 y ＝的定义域为 ，
值域为 .
（－∞，0）∪（0，＋∞）
{－2}∪（0，＋∞）
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 分段函数求值问题
【例1】 已知函数 f （ x ）＝
（1）求 f （－3）， f （ f （ ））的值；
解：因为－3＜－1，所以 f （－3）＝－3＋2＝－1.
因为－1＜ ＜2，所以 f （ ）＝2× ＝3.
又3＞2，所以 f （ f （ ））＝ f （3）＝ .
（2）若 f （ a ）＝2，求 a 的值.
解：当 a ≤－1时，由 f （ a ）＝2，得 a ＋2＝2， a ＝0，舍去；
当－1＜ a ＜2时，由 f （ a ）＝2，得2 a ＝2， a ＝1；
当 a ≥2时，由 f （ a ）＝2，
得 ＝2， a ＝2或 a ＝－2（舍去）.
综上所述， a 的值为1或2.
通性通法
1. 分段函数求函数值的方法
（1）确定要求值的自变量属于哪一段区间；
（2）代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现 f （ f
（ x0））的形式时，应从内到外依次求值.
2. 已知函数值求参数取值（范围）的步骤
（1）先将参数分情况代入解析式，列出方程（不等式）；
（2）解方程（不等式）求参数的值（取值范围），并检验是否符
合定义域的取值范围；
（3）符合题意的所有值（取值范围的并集）即为所求.
【跟踪训练】
1. 设函数 f （ x ）＝则 f （ ）＝（ ）
A. B. 4
C. 3 D. －3
解析： 依题意知 f （2）＝22＋2－2＝4，则 f （ ）＝ f
（ ）＝1－（ ）2＝ .故选A.
2. 已知 f （ x ）＝若 f （ a ）≤－3，则实数 a 的取值
范围为（ ）
A. [－3，－1]∪[1，3]
B. （－3，－1]∪[1，3）
C. [－2，－1]∪[1，2]
D. [－3，3]
解析： 当 a ≤0时， a2＋4 a ≤－3， a ∈[－3，－1]；当 a ＞0
时， a2－4 a ≤－3， a ∈[1，3].因此， a ∈[－3，－1]∪[1，3].
故选A.
题型二 分段函数的图象及应用
【例2】 已知函数 f （ x ）＝1＋ （－2＜ x ≤2）.
（1）用分段函数的形式表示该函数；
解：当0≤ x ≤2时， f （ x ）＝1＋ ＝1，
当－2＜ x ＜0时， f （ x ）＝1＋ ＝1－ x .
∴ f （ x ）＝
（2）画出函数的图象；
解：函数 f （ x ）的图象如图所示：
（3）写出该函数的值域.
解：由（2）知， f （ x ）在
（－2，2]上的值域为[1，3）.
【母题探究】
（变条件）若本例条件变为“已知函数 f （ x ）＝｜ x ｜－2”，如何
求解？
解：（1） f （ x ）＝｜ x ｜－2＝
（2）函数的图象如图所示：
（3）由图可知， f （ x ）的值域为[－2，＋∞）.
通性通法
分段函数图象的画法
（1）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意
义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函
数图象；
（2）作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象
时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一
段图象即可，作图时要特别注意连接点处点的虚实，保证不重
不漏.
【跟踪训练】
已知函数 f （ x ）＝则函数 f （ x ）的图象是
（ ）
解析： 当 x ＝－1时， y ＝0，即图象过点（－1，0），D错；当 x
＝0时， y ＝1，即图象过点（0，1），C错；当 x ＝1时， y ＝2，即图
象过点（1，2），B错.故选A.
题型三 分段函数的应用问题
【例3】 某市有 A ， B 两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，
但收费方式不同， A 俱乐部每块场地每小时收费6元； B 俱乐部按月计
费，一个月中20小时以内（含20小时）每块场地收费90元，超过20小
时的部分，每块场地每小时2元，某企业准备下个月从这两家俱乐部
中的一家租用一块场地开展活动，其活动时间不少于12小时，也不超
过30小时.
（1）设在 A 俱乐部租一块场地开展活动 x 小时的收费为 f （ x ）元
（12≤ x ≤30），在 B 俱乐部租一块场地开展活动 x 小时的
收费为 g （ x ）元（12≤ x ≤30），试求 f （ x ）与 g （ x ）
的解析式；
解：由题意 f （ x ）＝6 x ， x ∈[12，30]，
g （ x ）＝
（2）问该企业选择哪家俱乐部比较合算，为什么？
解：①当12≤ x ≤20时，令6 x ＝90，解得 x ＝15，
即当12≤ x ＜15时， f （ x ）＜ g （ x ），
当 x ＝15时， f （ x ）＝ g （ x ），当15＜ x ≤20时， f （ x ）＞ g
（ x ）.
②当20＜ x ≤30时， f （ x ）＞ g （ x ）.
故当12≤ x ＜15时，选 A 俱乐部合算，
当 x ＝15时，两家俱乐部一样合算，
当15＜ x ≤30时，选 B 俱乐部合算.
通性通法
分段函数的实际应用
（1）当目标在不同区间有不同的计算表达式时，往往需要用分段函
数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分
段画；
（2）分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变
量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的
函数解析式.
【跟踪训练】
某地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量
分段收费办法，若某户居民每月应交电费 y （元）关于月用电量 x
（度）的函数图象是一条折线（如图所示），根据图象解下列问题：
（1）求 y 关于 x 的函数解析式；
解：当0≤ x ≤100时，设函数解析式为 y ＝ kx （ k ≠0）.
将 x ＝100， y ＝65代入，得 k ＝0.65，所以 y ＝0.65 x .
当 x ＞100时，设函数解析式为 y ＝ ax ＋ b （ a ≠0）.
将 x ＝100， y ＝65和 x ＝130， y ＝89代入，得
解得
所以 y ＝0.8 x －15.
综上可得 y ＝
（2）利用函数解析式，说明电力公司采取的收费标准.
解：由（1）知电力公司采取的收费标准为用户月用电量不超过
100度时，每度电0.65元；超过100度时，超出的部分，每度电
0.80元.
1. 一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，
过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速
行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图示可以近似地刻画出这列
火车的速度变化情况的是（ ）
解析： 根据题意，知这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排
除A、D，然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C，
故选B.
2. 已知函数 f （ x ）＝若 f （－1）＝ f （1），则实数
a 的值为（ ）
A. 1 B. 2
C. 0 D. －1
解析： 因为 f （－1）＝ f （1），所以1－（－1）＝ a ，所以 a
＝2.故选B.
3. 已知 f （ n ）＝则 f （8）＝ .
解析：因为8＜10，所以 f （8）＝ f （8＋5）＝ f （13），又13＞
10，所以 f （13）＝13－3＝10，所以 f （8）＝10.
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4. 已知函数 f （ x ）的图象如图所示，则 f （ x ）的解析式是
.
f （ x ）＝
解析：由题图可知， f （ x ）的图象是由两条线段组成的.当－1≤ x
＜0时，设 f （ x ）＝ ax ＋ b ，将（－1，0），（0，1）代入解析
式，得解得当0≤ x ≤1时，设 f （ x ）＝
kx ，将（1，－1）代入，得 k ＝－1.所以 f （ x ）的解析式为 f
（ x ）＝
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列给出的函数是分段函数的是（ ）
A. f （ x ）＝
B. f （ x ）＝
C. f （ x ）＝
D. f （ x ）＝
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解析： A中的函数 f （ x ）＝当 x ＝1时，
有两个值与之对应，不满足函数的定义，不是分段函数；B中的函
数 f （ x ）＝当 x ＝4时，有两个值与之对应，不满
足函数的定义，不是分段函数；C中的函数 f （ x ）＝
当 x ＝1时，有两个值与之对应，不满足函数
的定义，不是分段函数；只有D中的函数满足分段函数的定义，是
分段函数.故选D.
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2. 下列图形是函数 y ＝ x ｜ x ｜的图象的是（ ）
解析： 函数 y ＝ x ｜ x ｜＝故选D.
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3. 函数 y ＝的值域是（ ）
A. R B. [0，＋∞）
C. [0，3] D. { y ｜0≤ y ≤2或 y ＝3}
解析： 值域为[0，2]∪{2}∪{3}＝{ y ｜0≤ y ≤2或 y ＝3}.
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4. 已知函数 f （ x ）＝若 f （ a ）＋ f （1）＝0，则实数
a ＝（ ）
A. －3 B. －1
C. 1 D. 3
解析： ∵ f （ a ）＋ f （1）＝0，∴ f （ a ）＝－ f （1）＝－2，
当 a ＞0时，2 a ＝－2，∴ a ＝－1，舍去，当 a ≤0时， a ＋1＝－
2，∴ a ＝－3.
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5. （多选）函数 f （ x ）的图象如图所示，则 f （ x ）的解析式是（ ）
A. f （ x ）＝
B. f （ x ）＝
C. f （ x ）＝－｜ x ｜＋1
D. f （ x ）＝｜ x ＋1｜
解析： 通过代入点（－1，0），（0，1），（1，0）来验
证，可知选A、C.
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6. （多选）如图是函数 f （ x ）的图象，则下列说法正确的是（ ）
A. f （0）＝－2
B. f （ x ）的定义域为[－3，2]
C. f （ x ）的值域为[－2，2]
D. 若 f （ x ）＝0，则 x ＝ 或2
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解析： 由图象知 f （0）＝－2，故A正确；函数的定义域为
[－3，2]，故B正确；函数的最小值为－3，最大值为2，即函数的
值域为[－3，2]，故C错误；若 f （ x ）＝0，则 x ＝ 或2，故D正
确.故选A、B、D.
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7. 已知 f （ x ）＝则 f （－ ）＋ f （ ）＝ .
解析：∵ f （ x ）＝∴ f （－ ）＝ f （－ ＋1）
＝ f （－ ）＝ f （－ ＋1）＝ f （ ）＝ ×2＝ ， f （ ）＝2×
＝ ，∴ f （－ ）＋ f （ ）＝ ＋ ＝4.
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8. 某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水
不超过10立方米的，按每立方米 m 元收费；用水超过10立方米的，
超过部分按每立方米2 m 元收费.某职工某月缴水费16 m 元，则该职
工这个月实际用水为 立方米.
解析：该单位职工每月应缴水费 y 与实际用水量 x 满足的关系式为 y
＝由 y ＝16 m ，可知 x ＞10.令2 mx －10 m ＝
16 m ，解得 x ＝13（立方米）.
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9. 函数 f （ x ）＝若 f （ a ）＜－3，则 a 的取值
范围是 .
解析：当 a ≤－2时， f （ a ）＝ a ＜－3，此时不等式的解集是（－
∞，－3）；当－2＜ a ＜4时， f （ a ）＝ a ＋1＜－3，此时无解；
当 a ≥4时， f （ a ）＝3 a ＜－3，此时无解.故 a 的取值范围是（－
∞，－3）.
（－∞，－3）
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10. 如图所示，函数 f （ x ）的图象是折线段 ABC ，其中 A ， B ， C 的
坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4）.
（1）求 f （ f （0））的值；
解：由题图可得 f （ f （0））＝ f
（4）＝2.
同理，线段 BC 所对应的函数解析式为 y ＝ x －2（2＜ x
≤6）.
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（2）求函数 f （ x ）的解析式.
解：设线段 AB 所对应的函数解析
式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0），
将与代入，得
解得
∴ y ＝－2 x ＋4（0≤ x ≤2）.
同理，线段 BC 所对应的函数解析∴ f （ x ）＝
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11. 已知 f （ x ）＝｜ x ｜， g （ x ）＝ x2，设 h （ x ）＝
则函数 h （ x ）的大致图象是（ ）
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解析： 当 f （ x ）≤ g （ x ）时，即｜ x ｜≤ x2时，解得 x ≤－1
或 x ≥1或 x ＝0，∴ h （ x ）＝故图
象为D.
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12. 已知函数 f （ x ）＝若 a （ f （ a ）－ f （－ a ））
＞0，则实数 a 的取值范围为（ ）
A. （1，＋∞）
B. （2，＋∞）
C. （－∞，－1）∪（1，＋∞）
D. （－∞，－2）∪（2，＋∞）
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解析： 当 a ＝0时，显然不成立.当 a ＞0时，不等式 a （ f
（ a ）－ f （－ a ））＞0等价于 a2－2 a ＞0，解得 a ＞2.当 a ＜0
时，不等式 a （ f （ a ）－ f （－ a ））＞0等价于－ a2－2 a ＜0，解
得 a ＜－2.
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13. 已知函数 f （ x ）＝的值域为R，则实
数 a 的取值范围是 .
解析：当 x ≥4时， f （ x ）＝ ＋2≥4.因为函数 f （ x ）＝
的值域为R，所以当 x ＜4时， f （ x ）
＝（3－ a ） x ＋5 a 满足解得－8≤ a ＜3.
故实数 a 的取值范围是[－8，3）.
[－8，3）
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14. 已知函数 f （ x ）的解析式为 f （ x ）＝
（1）求 f （ ）， f （ ）， f （－1）的值；
解：∵ ＞1，∴ f （ ）＝－2× ＋8＝5.
∵0＜ ＜1，∴ f （ ）＝ ＋5＝ .
∵－1＜0，∴ f （－1）＝－3＋5＝2.
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（2）画出函数 f （ x ）的图象；
解：函数 f （ x ）的图象如图中的实线
部分.
（3）求 f （ x ）的最大值.
解：由函数图象可知，当 x ＝1时， f （ x ）取最大值6.
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15. 若定义运算 a ☉ b ＝则函数 f （ x ）＝ x ☉（2－ x ）的
值域为 .
解析：由题意得 f （ x ）＝画出函数 f （ x ）的图
象得值域是（－∞，1].
（－∞，1]
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16. 某地区上年度电价为0.8元/千瓦时，年用电量为 a 千瓦时.本年度
计划将电价降低到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间，而用户
期望电价为0.4元/千瓦时.经测算，下调电价后新增的用电量与实
际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为 k ）.该地区电力
的成本价为0.3元/千瓦时.
（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益 y 与实际电价 x 的
函数解析式；
解：依题意知，用电量增至（ ＋ a ）千瓦时，电力部门的收益为 y ＝（ ＋ a ）（ x －0.3）（0.55≤ x ≤0.75）.
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（2）设 k ＝0.2 a ，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的
收益比上年度至少增长20%？（注：收益＝实际用电量×
（实际电价－成本价））
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解：依题意，有
整理得
解此不等式，得0.6≤ x ≤0.75.
即当电价最低定为0.6元/千瓦时，仍可保证电力部门的收益
比上年度至少增长20%.
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谢 谢 观 看！
