抽象函数与复合函数的定义域问题
一、概念
1.抽象函数的概念
没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数.
2.复合函数的概念
若函数y＝f（t）的定义域为A，函数t＝g（x）的定义域为D，值域为C，则当C A时，称函数y＝f（g（x））为f（t）与g（x）在D上的复合函数，其中t叫作中间变量，t＝g（x）叫作内层函数，y＝f（t）叫作外层函数.
提醒 由复合函数的定义可知，内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的子集，外层函数的定义域和内层函数的值域共同确定了复合函数的定义域.
二、结论
理解抽象函数或复合函数的定义域，要明确以下几点：
（1）函数f（x）的定义域是指x的取值所组成的集合；
（2）函数f（φ（x））的定义域是指x的取值范围，而不是φ（x）的取值范围；
（3）f（t），f（φ（x）），f（h（x））三个函数中的t，φ（x），h（x）在对应关系f下的取值范围相同；
（4）已知f（x）的定义域为A，求f（φ（x））的定义域，其实质是已知φ（x）的取值范围（值域）为A，求出x的取值范围；
（5）已知f（φ（x））的定义域为B，求f（x）的定义域，其实质是已知f（φ（x））中的x的取值范围为B，求出φ（x）的取值范围（值域），此取值范围就是f（x）的定义域.
类型一 已知f（x）的定义域，求f（g（x））的定义域
【例1】 若f（x）的定义域为[－3，5]，则φ（x）＝f（－x）＋f（x）的定义域为 .
尝试解答
类型二 已知f（g（x））的定义域，求f（x）的定义域
【例2】 已知f（x2－1）定义域为[0，3]，则f（x）的定义域为 .
尝试解答
类型三 已知f（g（x））的定义域，求f（h（x））的定义域
【例3】 若函数f（x＋1）的定义域为［－，2］，则函数f（x－1）的定义域为 .
尝试解答
【迁移应用】
1.若函数y＝f（x）的定义域是[－1，3]，则函数g（x）＝的定义域是（ ）
A.[0，2]
B.[－3，5]
C.[－3，－2]∪（－2，5]
D.（－2，2]
2.设函数f（x）＝，则f（）＋f（）的定义域为（ ）
A.［，4］ B.[2，4]
C.[1，＋∞） D.［，2］
拓视野 抽象函数与复合函数的定义域问题
【例1】 [－3，3] 解析：已知f（x）的定义域为[－3，5]，则φ（x）的定义域需满足即解得－3≤x≤3.所以φ（x）的定义域为[－3，3].
【例2】 [－1，8] 解析：根据f（x2－1）定义域为[0，3]，得x∈[0，3]，∴x2∈[0，9]，∴x2－1∈[－1，8].故f（x）的定义域为[－1，8].
【例3】 ［，4］ 解析：由题意知－≤x≤2，则≤x＋1≤3，即f（x）的定义域为［，3］，∴≤x－1≤3，解得≤x≤4.故f（x－1）的定义域为［，4］.
迁移应用
1.A 已知函数y＝f（x）的定义域是[－1，3]，要使函数g（x）有意义，则解得0≤x≤2.
2.B ∵函数f（x）＝的定义域为[1，＋∞），∴解得2≤x≤4，∴f（）＋f（）的定义域为[2，4].
2 / 2(共32张PPT)
拓 视 野 抽象函数与复合函数的定义域问题
一、概念
1. 抽象函数的概念
没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数.
2. 复合函数的概念
若函数 y ＝ f （ t ）的定义域为 A ，函数 t ＝ g （ x ）的定义域为 D ，
值域为 C ，则当 C A 时，称函数 y ＝ f （ g （ x ））为 f （ t ）与 g
（ x ）在 D 上的复合函数，其中 t 叫作中间变量， t ＝ g （ x ）叫作
内层函数， y ＝ f （ t ）叫作外层函数.
提醒 由复合函数的定义可知，内层函数的值域是外层函数的定义
域或定义域的子集，外层函数的定义域和内层函数的值域共同确定
了复合函数的定义域.
二、结论
理解抽象函数或复合函数的定义域，要明确以下几点：
（1）函数 f （ x ）的定义域是指 x 的取值所组成的集合；
（2）函数 f （φ（ x ））的定义域是指 x 的取值范围，而不是φ（ x ）的
取值范围；
（3） f （ t ）， f （φ（ x ））， f （ h （ x ））三个函数中的 t ，φ
（ x ）， h （ x ）在对应关系 f 下的取值范围相同；
（4）已知 f （ x ）的定义域为 A ，求 f （φ（ x ））的定义域，其实质
是已知φ（ x ）的取值范围（值域）为 A ，求出 x 的取值范围；
（5）已知 f （φ（ x ））的定义域为 B ，求 f （ x ）的定义域，其实质
是已知 f （φ（ x ））中的 x 的取值范围为 B ，求出φ（ x ）的取值
范围（值域），此取值范围就是 f （ x ）的定义域.
类型一 已知 f （ x ）的定义域，求 f （ g （ x ））的定义域
【例1】 若 f （ x ）的定义域为[－3，5]，则φ（ x ）＝ f （－ x ）＋ f
（ x ）的定义域为 .
[－3，3]
解析：已知 f （ x ）的定义域为[－3，5]，则φ（ x ）的定义域需满足
即解得－3≤ x ≤3.所以φ（ x ）的定义
域为[－3，3].
类型二 已知 f （ g （ x ））的定义域，求 f （ x ）的定义域
【例2】 已知 f （ x2－1）定义域为[0，3]，则 f （ x ）的定义域
为 .
[－1，8]
解析：根据 f （ x2－1）定义域为[0，3]，得 x ∈[0，3]，
∴ x2∈[0，9]，∴ x2－1∈[－1，8].故 f （ x ）的定义域为[－1，8].
类型三 已知 f （ g （ x ））的定义域，求 f （ h （ x ））的定义域
【例3】 若函数 f （ x ＋1）的定义域为［－ ，2］，则函数 f （ x －
1）的定义域为 .
［ ，4］
解析：由题意知－ ≤ x ≤2，则 ≤ x ＋1≤3，即 f （ x ）的定义域为
［ ，3］，∴ ≤ x －1≤3，解得 ≤ x ≤4.故 f （ x －1）的定义域为
［ ，4］.
【迁移应用】
1. 若函数 y ＝ f （ x ）的定义域是[－1，3]，则函数 g （ x ）＝
的定义域是（ ）
A. [0，2]
B. [－3，5]
C. [－3，－2]∪（－2，5]
D. （－2，2]
解析： 已知函数 y ＝ f （ x ）的定义域是[－1，3]，要使函数 g
（ x ）有意义，则解得0≤ x ≤2.
2. 设函数 f （ x ）＝ ，则 f （ ）＋ f （ ）的定义域为（ ）
B. [2，4]
C. [1，＋∞）
解析： ∵函数 f （ x ）＝ 的定义域为[1，＋∞），
∴解得2≤ x ≤4，∴ f （ ）＋ f （ ）的定义域为[2，4].
知能演练·扣课标
课后巩固 核心素养落地
1. 下列集合 A 到集合 B 的对应 f 是函数的是（ ）
A. A ＝{－1，0，1}， B ＝{0，1}， f ： A 中的数平方
B. A ＝{0，1}， B ＝{－1，0，1}， f ： A 中的数开方
C. A ＝Z， B ＝Q， f ： A 中的数取倒数
D. A ＝R， B ＝{正实数}， f ： A 中的数取绝对值
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 按照函数定义，选项B中，集合 A 中的元素1对应集合 B
中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数
值的条件；选项C中，集合 A 中的元素0取倒数没有意义，也不符合
函数定义中集合 A 中任意元素都对应着唯一的函数值的要求；选项
D中，集合 A 中的元素0在集合 B 中没有元素与其对应，也不符合函
数定义.只有选项A符合函数定义.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2. 函数 f （ x ）＝ ＋ 的定义域是（ ）
A. [－1，＋∞） B. （－∞，－1]
C. R D. [－1，1）∪（1，＋∞）
解析： 由解得故定义域为[－1，1）∪
（1，＋∞），故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3. 若函数 f （ x ）＝ ax2－1， a 为一个正数，且 f （ f （－1））＝－1，
那么 a 的值是（ ）
A. 1 B. 0
C. －1 D. 2
解析： ∵ f （ x ）＝ ax2－1，∴ f （－1）＝ a －1， f （ f （－
1））＝ f （ a －1）＝ a ·（ a －1）2－1＝－1.∴ a （ a －1）2＝0.又
∵ a 为正数，∴ a ＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4. 已知函数 f （ x ）＝ ，则 f （ x ）的值域是（ ）
D. （0，＋∞）
解析： ∵ x2＋2≥2，∴0＜ ≤ ，∴ f （ x ）的值域为（0，
］.故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5. （多选）下列各组函数表示同一个函数的是（ ）
D. f （ x ）＝ x ＋1， g （ x ）＝ x ＋ x0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： A中 f （ x ）定义域是R， g （ x ）定义域是R，且 g
（ x ）＝ ＝ x ，是同一个函数；B中 f （ x ）定义域是R， g
（ x ）定义域是R，但 g （ x ）＝｜ x ｜，不是同一个函数；C中 f
（ x ）定义域是{ x ｜ x ≠－1}， g （ x ）定义域是{ x ｜ x ≠－1}，且
g （ x ）＝ ＝ x －1（ x ≠－1），是同一个函数；D中 f （ x ）定
义域是R， g （ x ）定义域是{ x ｜ x ≠0}，不是同一个函数.故选
A、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6. （多选）下列函数中，满足 f （2 x ）＝2 f （ x ）的是（ ）
A. f （ x ）＝｜ x ｜ B. f （ x ）＝ x －｜ x ｜
C. f （ x ）＝ x ＋1 D. f （ x ）＝－ x
解析： 在A中， f （2 x ）＝｜2 x ｜＝2｜ x ｜，2 f （ x ）＝
2｜ x ｜，满足 f （2 x ）＝2 f （ x ）；在B中， f （2 x ）＝2 x －｜2
x ｜＝2（ x －｜ x ｜）＝2 f （ x ），满足 f （2 x ）＝2 f （ x ）；在C
中， f （2 x ）＝2 x ＋1，2 f （ x ）＝2（ x ＋1）＝2 x ＋2，不满足 f
（2 x ）＝2 f （ x ）；在D中， f （2 x ）＝－2 x ＝2（－ x ）＝2 f
（ x ），满足 f （2 x ）＝2 f （ x ）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7. 已知函数 f （ x ）＝ －1，且 f （ a ）＝3，则 a ＝ .
16
解析：因为 f （ x ）＝ －1，所以 f （ a ）＝ －1.又因为 f
（ a ）＝3，所以 －1＝3， a ＝16.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8. 函数 y ＝ 的定义域为 .
解析：要使函数有意义，需满足即∴函
数的定义域为（－∞，－4）∪（－4，4）∪（4，6].
（－∞，－4）∪（－4，4）∪（4，6]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9. 已知函数 f （ x ）＝2 x －3， x ∈{ x ∈N｜1≤ x ≤5}，则函数 f （ x ）
的值域为 .
解析：∵ x ＝1，2，3，4，5，且 f （ x ）＝2 x －3.∴ f （ x ）的值域
为{－1，1，3，5，7}.
{－1，1，3，5，7}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10. 已知函数 f （ x ）＝ ＋ .
（1）求函数的定义域；
解：使根式 有意义的实数 x 的集合是{ x ｜ x ≥
－3}，使分式 有意义的实数 x 的集合是{ x ｜ x ≠－2}，
所以这个函数的定义域是{ x ｜ x ≥－3}∩{ x ｜ x ≠－2}＝
{ x ｜ x ≥－3，且 x ≠－2}.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解： f （－3）＝ ＋ ＝－1；
f （ ）＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ .
（2）求 f （－3）， f （ ）的值；
解：因为 a ＞0，故 f （ a ）， f （ a －1）有意义.
f （ a ）＝ ＋ ；
f （ a －1）＝ ＋ ＝ ＋ .
（3）当 a ＞0时，求 f （ a ）， f （ a －1）的值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11. 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这
些函数为“孪生函数”.函数解析式为 y ＝2 x2－1，值域为{1，7}
的“孪生函数”共有（ ）
A. 10个 B. 9个
解析： 由2 x2－1＝1，得 x1＝1， x2＝－1；由2 x2－1＝7，得 x3
＝－2， x4＝2，所以定义域为2个元素的集合有4个，定义域为3个
元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个
“孪生函数”.
C. 8个 D. 4个
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12. （多选）下列函数中，值域为[0，4]的是（ ）
A. f （ x ）＝ x －1， x ∈[1，5]
B. f （ x ）＝－ x2＋4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： x ∈[1，5]时， x －1∈[0，4]，所以函数 f （ x ）＝ x
－1， x ∈[1，5]的值域是[0，4]，故A正确；因为－ x2≤0，所以
－ x2＋4≤4，所以函数值域是（－∞，4]，故B错误；因为－
x2≤0，所以16－ x2≤16，又16－ x2≥0，所以0≤ ≤4，
即函数值域为[0，4]，故C正确；因为 x ＞0，所以 x ＋ ≥2（当
且仅当 x ＝1时取等号），所以 x ＋ －2≥0，故函数值域为[0，
＋∞），故D错误.故选A、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13. 函数 f （ x ）的定义域为（0，3），则函数 y ＝ 的定义域
是 .
解析：函数 f （ x ）的定义域为（0，3），对于函数 y ＝
，有解得－1＜ x ＜2且 x ≠1.因此函数 y
＝ 的定义域为（－1，1）∪（1，2）.
（－1，1）∪（1，2）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14. 试求下列函数的定义域与值域：
（1） y ＝（ x －1）2＋1；
解：函数的定义域为R，因为（ x －1）2＋1≥1，所以
函数的值域为{ y ｜ y ≥1}.
（2） y ＝ ；
解：函数的定义域是{ x ｜ x ≠1}， y ＝ ＝5＋
，所以函数的值域为{ y ｜ y ≠5}.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
（3） y ＝ x － .
解：要使函数式有意义，需 x ＋1≥0，即 x ≥－1，故
函数的定义域是{ x ｜ x ≥－1}.设 t ＝ ，则 x ＝ t2－1
（ t ≥0），于是 f （ t ）＝ t2－1－ t ＝（ t － ）2－ .又 t
≥0，故 f （ t ）≥－ .所以函数的值域是 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15. 若函数 y ＝ f （ x ）的定义域是[0，2]，则函数 g （ x ）＝ f （2 x ）
的定义域是（ ）
A. [0，2] B. [0，1]
C. [0，4] D. （0，1）
解析： ∵ y ＝ f （ x ）的定义域是[0，2]，∴要使 g （ x ）＝ f
（2 x ）有意义，需0≤2 x ≤2，即0≤ x ≤1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16. 规定符号*表示一种运算，即a*b＝ ＋ a ＋ b （ a ， b 为正实
数）且1*k＝3.
（1）求正整数 k ；
解：由已知得，1*k＝ ＋1＋ k ＝3，
解得 ＝1或 ＝－2（舍去），所以 k ＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
（2）求函数 y ＝k*x的值域.
解：y ＝k*x＝ ＋1＋ x ＝（ ＋ ）2＋ （ x ＞0），
令 t ＝ ，则 y ＝（ t ＋ ）2＋ （ t ＞0），结合函数的图象
（图略），
可得 y ＞（0＋ ）2＋ ＝1，所以函数的值域为（1，＋∞）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
谢 谢 观 看！
