§3 函数的单调性和最值
第一课时 函数的单调性
1.下列命题为真命题的是（ ）
A.定义在（a，b）上的函数f（x），如果 x1，x2∈（a，b），当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2），那么f（x）是增函数
B.如果函数f（x）在区间I1上单调递减，在区间I2上也单调递减，那么f（x）在区间I1∪I2上就一定单调递减
C.定义在（a，b）上的函数f（x），若有无穷多对x1，x2∈（a，b），当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2），那么f（x）在（a，b）上为增函数
D. x1，x2∈（a，b），且x1＜x2，f（x1）≥f（x2）成立，则函数f（x）在（a，b）上不是增函数
2.函数y＝的单调递增区间是（ ）
A.（－∞，－3] B.［，＋∞）
C.（－∞，1） D.[－1，＋∞）
3.设函数f（x）是减函数，则（ ）
A.f（a）＞f（2a） B.f（a2＋1）＜f（a2）
C.f（a2＋a）＜f（a） D.f（a2）＜f（a）
4.已知函数y＝ax和y＝－在（0，＋∞）上都单调递减，则函数f（x）＝bx＋a是（ ）
A.减函数且f（0）＜0 B.增函数且f（0）＜0
C.减函数且f（0）＞0 D.增函数且f（0）＞0
5.（多选）下列函数中，在区间（0，＋∞）上单调递增的是（ ）
A.y＝2x＋1 B.y＝3x2＋1
C.y＝ D.y＝｜x｜
6.（多选）如图是定义在区间[－5，5]上的函数f（x），则下列关于函数f（x）的说法正确的是（ ）
A.函数在区间[－5，－3]上单调递增
B.函数在区间[1，4]上单调递增
C.函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减
D.函数在区间[－5，5]上没有单调性
7.函数f（x）＝的单调递增区间为 .
8.如果二次函数f（x）＝x2－（a－1）x＋5在区间（，1）上单调递增，则实数a的取值范围为 .
9.已知f（x）是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f（x－2）＜f（1－x），则x的取值范围是 .
10.判断函数f（x）＝x＋（p＞0）的单调性.
11.已知函数f（x）是定义在R上的单调函数，A（0，1），B（2，－1）是其图象上的两点，则不等式｜f（x－1）｜＞1的解集为（ ）
A.（－1，1）
B.（－∞，－1）∪（1，＋∞）
C.（1，3）
D.（－∞，1）∪（3，＋∞）
12.已知函数f（x）＝在R上单调，则实数a的取值范围是（ ）
A.（－∞，2] B.[2，＋∞）
C.[4，＋∞） D.[2，4]
13.能使“函数f（x）＝x｜x－1｜在区间I上不是单调函数，且在区间I上的函数值的集合为[0，2]”是真命题的一个区间为 .
14.证明：当f（x）恒为正值或恒为负值时，f（x）与具有相反的单调性.
15.在实数集R中定义一种运算“*”，使其具有下列性质：
（1）对任意a，b∈R，a*b＝b*a；
（2）对任意a∈R，a*0＝a；
（3）对任意a，b，c∈R，（a*b）*c＝c*（ab）＋（a*c）＋（b*c）－2c，则函数f（x）＝x*的单调递减区间是（ ）
A.（－∞，］ B.［－，＋∞）
C.（－∞，］ D.（－∞，－］
16.若f（x）是定义在（0，＋∞）上的增函数，且对一切x，y＞0，满足f（）＝f（x）－f（y）.
（1）求f（1）的值；
（2）若f（6）＝1，解不等式f（x＋3）－f（）＜2.
第一课时 函数的单调性
1.D A、C是假命题，“存在”“无穷多”不能代表“所有”“任意”；由f（x）＝，可知B是假命题；若要说明函数f（x）在某个区间上不是单调递增（减）的，只需在该区间上找到两个值x1，x2，证明当x1＜x2时，f（x1）≥f（x2）（f（x1）≤f（x2））成立即可，故D是真命题.
2.B 由2x－3≥0，得x≥.又因为t＝2x－3在（－∞，＋∞）上是增函数，y＝在定义域上是增函数，所以y＝的单调递增区间是［，＋∞）.
3.B ∵a2＋1＞a2，且f（x）是减函数，∴f（a2＋1）＜f（a2）.
4.A 因为y＝ax和y＝－在（0，＋∞）上都单调递减，所以a＜0，b＜0，f（x）＝bx＋a为减函数且f（0）＝a＜0，故选A.
5.ABD 借助函数图象可知，y＝2x＋1，y＝3x2＋1，y＝｜x｜在（0，＋∞）上都单调递增，y＝在（0，＋∞）上单调递减.
6.ABD 由图可知，函数在区间[－5，－3]，[1，4]上单调递增，故A、B正确；f（x）在区间[－3，1]，[4，5]上单调递减，单调区间不可以用“∪”连接，故C错误；函数在区间[－5，5]上没有单调性，故D正确.故选A、B、D.
7.（－∞，＋∞） 解析：画出函数图象如图所示，由图象可知，f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，即f（x）的单调递增区间为（－∞，＋∞）.
8.（－∞，2] 解析：因为二次函数f（x）＝x2－（a－1）x＋5的图象的对称轴为直线x＝，又函数f（x）在区间（，1）上单调递增，所以≤，解得a≤2.
9.［1，） 解析：由题意，得解得1≤x＜，
故满足条件的x的取值范围是［1，）.
10.解：任取x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）＝x1＋－（x2＋）＝（x1－x2）＋＝（x1－x2）·.（*）
当x1，x2∈（0，）时，0＜x1x2＜p，x1－x2＜0，
所以（*）式大于0，即f（x1）－f（x2）＞0，
所以f（x1）＞f（x2），即f（x）在（0，）上单调递减；
当x1，x2∈[，＋∞）时，x1x2＞p，x1－x2＜0，
所以（*）式小于0，即f（x1）－f（x2）＜0，
所以f（x1）＜f（x2），
即f（x）在[，＋∞）上单调递增.
同理可得，当x∈（－，0）时， f（x）＝x＋单调递减；
当x∈（－∞，－ ]时，f（x）＝x＋单调递增.
综上所述，f（x）＝x＋（p＞0）在（－∞，－]和[，＋∞）上单调递增，在（－，0）和（0，）上单调递减.
11.D 据题意可知f（0）＝1，f（2）＝－1.又f（x）是R上的单调函数，∴f（x）在R上单调递减.由｜f（x－1）｜＞1得，f（x－1）＜f（2）或f（x－1）＞f（0）.∴x－1＞2或x－1＜0，解得x＞3或x＜1.∴原不等式的解集为（－∞，1）∪（3，＋∞）.故选D.
12.D ∵函数f（x）＝是R上的单调函数，设g（x）＝x2－ax＋5，x＜1，h（x）＝1＋，x≥1，h（x）在[1，＋∞）上单调递减，由分段函数的性质可知，函数g（x）在x＜1时单调递减，且g（1）≥h（1），∴解得2≤a≤4.
13.[0，2]（答案不唯一） 解析：由f（x）＝x｜x－1｜＝2可以解得x＝2，作出函数y＝f（x）＝的图象，可知y＝f（x）在（－∞，］和[1，＋∞）上单调递增，在［，1］上单调递减，所以I＝[a，2]，0≤a＜1.
14.证明：若函数y＝f（x）是增函数，取定义域内的两个数x1，x2，且x1≠x2，则（x1－x2）·[f（x1）－f（x2）]＞0，易知（x1－x2）·［－］＝－（x1－x2）·.由于f（x）恒为正值或恒为负值，则f（x1）f（x2）＞0，从而（x1－x2）·［－］＜0，故函数y＝是减函数.同理可证，若函数y＝f（x）是减函数，则函数y＝是增函数.
15.D 在性质（3）中令c＝0，则a*b＝ab＋a＋b，所以f（x）＝x*＝x·＋x＋＝＋＝（x＋）2－，易知函数f（x）的单调递减区间是（－∞，－］.
16.解：（1）在f（）＝f（x）－f（y）中，
令x＝y＝1，则有f（1）＝f（1）－f（1），
∴f（1）＝0.
（2）∵f（6）＝1，
∴f（x＋3）－f（）＝f（3x＋9）＜2＝f（6）＋f（6），
∴f（3x＋9）－f（6）＜f（6），
即f（）＜f（6）.
∵f（x）是定义在（0，＋∞）上的增函数，
∴解得－3＜x＜9.
即不等式的解集为（－3，9）.
1 / 2§3 函数的单调性和最值
新课程标准解读 核心素养
1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性 数学抽象
2.理解单调性的作用和实际意义 逻辑推理、数学运算
3.借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、最小值，理解它们的作用和意义 数学抽象、数学运算
第一课时 函数的单调性
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据：
时间 间隔t 刚记忆 完毕 20分 钟后 60分 钟后 8～9小 时后 1天 后 2天 后 6天 后 一个 月后
记忆量y （百分比） 100 58.2 44.2 35.8 33.7 27.8 25.4 21.1
以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”.
【问题】 当时间间隔t逐渐增大，你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？
知识点一 增函数、减函数的概念
设函数y＝f（x）的定义域是D，I是定义域D上的一个区间：
如果对于任意的x1，x2∈ ，当x1＜x2时，都有f（x1） f（x2），那么就称函数y＝f（x）在区间I上单调递增.
如果对于任意的x1，x2∈ ，当x1＜x2时，都有f（x1） f（x2），那么就称函数y＝f（x）在区间I上单调递减.
如果对于定义域D上任意的x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1） f（x2），那么就称函数y＝f（x）是增函数.
如果对于定义域D上任意的x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1） f（x2），那么就称函数y＝f（x）是减函数.
提醒 （1）对区间I的要求：函数的单调性是函数在某个区间上的性质，这个区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分；（2）x1，x2的三个特征：①同区间性，即x1，x2∈I；②任意性，即不可用区间I上的两个特殊值代替x1，x2；③有序性，即需要区分大小，通常规定x1＜x2.
知识点二 函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f（x）在区间I上 或 ，那么就称函数y＝f（x）在区间I上具有单调性，区间I为函数y＝f（x）的 .
提醒 （1）函数在某个区间上单调递增（减），但是在整个定义域上不一定是增（减）函数.如函数y＝（x≠0）在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上都单调递减，但是在整个定义域上不具有单调性.函数f（x）在某区间I上单调，则I必为f（x）定义域的一个子集；（2）一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接.如函数y＝（x≠0）在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上都单调递减，不能认为y＝（x≠0）的单调递减区间为（－∞，0）∪（0，＋∞）.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）所有函数在定义域上都具有单调性.（ ）
（2）因为f（－1）＜f（2），所以函数f（x）在[－1，2]上单调递增.（ ）
（3）若f（x）是R上的减函数，则f（－3）＞f（2）.（ ）
（4）若函数f（x）在区间（1，2]和（2，3）上均单调递增，则函数f（x）在区间（1，3）上也单调递增.（ ）
2.下列函数中，是增函数的是（ ）
A.y＝｜x｜ B.y＝x
C.y＝x2 D.y＝
3.若函数f（x）＝ax－3在R上是增函数，则a的取值范围为 .
题型一 函数单调性的判定与证明
【例1】 试用函数单调性的定义证明：f（x）＝在区间（1，＋∞）上单调递减.
尝试解答
通性通法
利用定义证明函数单调性的4步骤
【跟踪训练】
证明函数f（x）＝x＋在（1，＋∞）上单调递增.
题型二 求函数的单调区间
【例2】 画出函数f（x）＝－x2＋2｜x｜的图象，根据图象写出函数f（x）的单调区间.
尝试解答
通性通法
求函数单调区间的2种方法
（1）定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解；
（2）图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间.
【跟踪训练】
求函数f（x）＝的单调递减区间.
题型三 函数单调性的应用
【例3】 （1）若函数f（x）＝－x2－2（a＋1）x＋3在区间（－∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是 ；
（2）已知函数y＝f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的增函数，且f（2x－3）＞f（5x－6），则实数x的取值范围为 .
尝试解答
【母题探究】
1.（变条件）若本例（1）的函数f（x）在（1，2）上单调，求a的取值范围.
2.（变条件）若本例（2）的函数f（x）是定义在（0，＋∞）上的减函数，求x的范围.
通性通法
1.利用单调性比较大小或解不等式的方法
（1）利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比较函数值的大小问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上；
（2）在求解与抽象函数有关的不等式时，往往利用函数的单调性将符号“f”脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.
2.已知函数的单调性求参数的取值范围的一般方法
（1）将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间比较，求出参数的取值范围；
（2）运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式（组），解不等式（组）求出参数的取值范围.
【跟踪训练】
1.若函数f（x）在（－∞，－1]上单调递增，则下列关系式中成立的是（ ）
A.f（－）＜f（－1）＜f（－2）
B.f（－1）＜f（－）＜f（－2）
C.f（－2）＜f（－1）＜f（－）
D.f（－2）＜f（－）＜f（－1）
2.若f（x）是定义在[0，＋∞）上的减函数，则不等式f（x）＜f（－2x＋8）的解集是 .
1.若函数f（x）是减函数，则有（ ）
A.f（3）＜f（5） B.f（3）≤f（5）
C.f（3）＞f（5） D.f（3）≥f（5）
2.函数f（x）＝－x2＋2x＋3的单调递减区间是（ ）
A.（－∞，1） B.（1，＋∞）
C.（－∞，2） D.（2，＋∞）
3.函数y＝｜x＋2｜在区间[－3，0]上（ ）
A.单调递减 B.单调递增
C.先减后增 D.先增后减
4.（多选）如果函数f（x）在[a，b]上单调递增，则对于任意的x1，x2∈[a，b]（x1≠x2），下列结论中正确的是（ ）
A.＞0
B.（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0
C.f（a）≤f（x1）＜f（x2）≤f（b）
D.f（x1）≠f（x2）
5.已知函数y＝－x2＋4ax在区间[－1，2]上单调递减，则实数a的取值范围是 .
第一课时 函数的单调性
【基础知识·重落实】
知识点一
I ＜ I ＞ ＜ ＞
知识点二
单调递增 单调递减 单调区间
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）√ （4）×
2.B 根据题意，依次分析选项：对于A，y＝｜x｜＝不是增函数，不符合题意；对于B，y＝x是正比例函数，是增函数，符合题意；对于C，y＝x2是二次函数，不是增函数，不符合题意；对于D，y＝是反比例函数，不是增函数，不符合题意.
3.（0，＋∞）
【典型例题·精研析】
【例1】 证明：f（x）＝2＋，
x1，x2∈（1，＋∞）且x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）＝－＝，
因为1＜x1＜x2，
所以x2－x1＞0，x1－1＞0，x2－1＞0，
所以f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在区间（1，＋∞）上单调递减.
跟踪训练
证明： x1，x2∈（1，＋∞），且x1＜x2，则
f（x1）－f（x2）＝（x1＋）－（x2＋）
＝（x1－x2）＋（－）＝（x1－x2）＋＝
（x1－x2）（1－）＝.
∵x2＞x1＞1，∴x1－x2＜0，x1x2＞1，则－1＋x1x2＞0，
∴＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）＝x＋在（1，＋∞）上单调递增.
【例2】 解：
函数f（x）的图象如图所示，由图象可知函数f（x）的单调递增区间是（－∞，－1），（0，1），
函数的单调递减区间是（－1，0），（1，＋∞）.
跟踪训练
解：函数f（x）＝的定义域为（－∞，1）∪（1，＋∞），
设x1，x2∈（－∞，1），且x1＜x2，则
f（x1）－f（x2）＝－＝.
因为x1＜x2＜1，所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，
所以f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）.
所以函数f（x）在（－∞，1）上单调递减，同理函数f（x）在（1，＋∞）上单调递减.
综上，函数f（x）的单调递减区间是（－∞，1），（1，＋∞）.
【例3】 （1）（－∞，－4] （2）（－∞，1） 解析：（1）∵f（x）＝－x2－2（a＋1）x＋3的开口向下，要使f（x）在（－∞，3]上单调递增，只需－（a＋1）≥3，即a≤－4.∴实数a的取值范围为（－∞，－4].
（2）∵f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的增函数，且f（2x－3）＞f（5x－6），∴2x－3＞5x－6，即x＜1.∴实数x的取值范围为（－∞，1）.
母题探究
1.解：由题意可知－（a＋1）≤1或－（a＋1）≥2，即a≤－3或a≥－2.
所以a的取值范围为（－∞，－3]∪[－2，＋∞）.
2.解：由题意可知，解得x＞.
∴x的取值范围为（，＋∞）.
跟踪训练
1.D ∵f（x）在（－∞，－1]上单调递增，且－2＜－＜－1，∴f（－2）＜f（－）＜f（－1）.故选D.
2.（，4］ 解析：依题意，得不等式组解得＜x≤4.
随堂检测
1.C 因为函数f（x）是减函数，3＜5，所以f（3）＞f（5）.
2.B 易知函数f（x）＝－x2＋2x＋3的图象是开口向下的抛物线，其对称轴为x＝1，所以其单调递减区间是（1，＋∞）.
3.C
因为y＝｜x＋2｜＝作出y＝｜x＋2｜的图象，如图所示，易知函数在[－3，－2）上单调递减，在[－2，0]上单调递增.
4.ABD 由函数单调性的定义可知，若函数y＝f（x）在给定的区间上单调递增，则x1－x2与f（x1）－f（x2）同号，由此可知，选项A、B正确；对于C，若x1＞x2，则f（x1）＞f（x2），故C不正确；对于D，因为f（x）在区间[a，b]上单调，且x1≠x2，所以f（x1）≠f（x2），故D正确.
5.（－∞，－］ 解析：根据题意，知函数y＝－x2＋4ax为二次函数，且图象开口向下，其对称轴为x＝2a，若其在区间[－1，2]上单调递减，则2a≤－1，所以a≤－，即a的取值范围为（－∞，－］.
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3 函数的单调性和最值
新课程标准解读 核心素养
1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性 数学抽象
2.理解单调性的作用和实际意义 逻辑推理、数
学运算
3.借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大
值、最小值，理解它们的作用和意义 数学抽象、数
学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
第一课时 函数的单调性
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进
行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据：
时间 间隔 t 刚记
忆 完毕 20分 钟后 60分 钟后 8～9
小 时后 1天 后 2天 后 6天 后 一个
月后
记忆
量 y （百
分比） 100 58.2 44.2 35.8 33.7 27.8 25.4 21.1
以上数据表明，记忆量 y 是时间间隔 t 的函数.艾宾浩斯根据这些
数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”.
【问题】 当时间间隔 t 逐渐增大，你能看出对应的函数值 y 有什么变
化趋势？
知识点一 增函数、减函数的概念
设函数 y ＝ f （ x ）的定义域是 D ， I 是定义域 D 上的一个区间：
如果对于任意的 x1， x2∈ ，当 x1＜ x2时，都有 f （ x1） f
（ x2），那么就称函数 y ＝ f （ x ）在区间 I 上单调递增.
如果对于任意的 x1， x2∈ ，当 x1＜ x2时，都有 f （ x1） f
（ x2），那么就称函数 y ＝ f （ x ）在区间 I 上单调递减.
如果对于定义域 D 上任意的 x1， x2，当 x1＜ x2时，都有 f （ x1）
f （ x2），那么就称函数 y ＝ f （ x ）是增函数.
I
＜
I
＞
＜
如果对于定义域 D 上任意的 x1， x2，当 x1＜ x2时，都有 f （ x1）
f （ x2），那么就称函数 y ＝ f （ x ）是减函数.
提醒 （1）对区间 I 的要求：函数的单调性是函数在某个区间上的性
质，这个区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分；（2）
x1， x2的三个特征：①同区间性，即 x1， x2∈ I ；②任意性，即不可用
区间 I 上的两个特殊值代替 x1， x2；③有序性，即需要区分大小，通
常规定 x1＜ x2.
＞
知识点二 函数的单调性与单调区间
如果函数 y ＝ f （ x ）在区间 I 上 或 ，那么
就称函数 y ＝ f （ x ）在区间 I 上具有单调性，区间 I 为函数 y ＝ f （ x ）
的 .
单调递增
单调递减
单调区间
提醒 （1）函数在某个区间上单调递增（减），但是在整个定义域
上不一定是增（减）函数.如函数 y ＝ （ x ≠0）在区间（－∞，0）
和（0，＋∞）上都单调递减，但是在整个定义域上不具有单调性.函
数 f （ x ）在某区间 I 上单调，则 I 必为 f （ x ）定义域的一个子集；
（2）一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”
连接，而应该用“和”或“，”连接.如函数 y ＝ （ x ≠0）在区间
（－∞，0）和（0，＋∞）上都单调递减，不能认为 y ＝ （ x ≠0）
的单调递减区间为（－∞，0）∪（0，＋∞）.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）所有函数在定义域上都具有单调性. （ × ）
（2）因为 f （－1）＜ f （2），所以函数 f （ x ）在[－1，2]上单调
递增. （ × ）
（3）若 f （ x ）是R上的减函数，则 f （－3）＞ f （2）.
（ √ ）
（4）若函数 f （ x ）在区间（1，2]和（2，3）上均单调递增，则
函数 f （ x ）在区间（1，3）上也单调递增. （ × ）
×
×
√
×
2. 下列函数中，是增函数的是（ ）
A. y ＝｜ x ｜ B. y ＝ x
C. y ＝ x2
解析： 根据题意，依次分析选项：对于A， y ＝｜ x ｜＝
不是增函数，不符合题意；对于B， y ＝ x 是正比例
函数，是增函数，符合题意；对于C， y ＝ x2是二次函数，不是增
函数，不符合题意；对于D， y ＝ 是反比例函数，不是增函数，
不符合题意.
3. 若函数 f （ x ）＝ ax －3在R上是增函数，则 a 的取值范围为
.
（0，
＋∞）
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 函数单调性的判定与证明
【例1】 试用函数单调性的定义证明： f （ x ）＝ 在区间（1，＋
∞）上单调递减.
证明： f （ x ）＝2＋ ，
x1， x2∈（1，＋∞）且 x1＜ x2，
则 f （ x1）－ f （ x2）＝ － ＝ ，
因为1＜ x1＜ x2，
所以 x2－ x1＞0， x1－1＞0， x2－1＞0，
所以 f （ x1）＞ f （ x2），
所以 f （ x ）在区间（1，＋∞）上单调递减.
通性通法
利用定义证明函数单调性的4步骤
【跟踪训练】
证明函数 f （ x ）＝ x ＋ 在（1，＋∞）上单调递增.
证明： x1， x2∈（1，＋∞），且 x1＜ x2，则
f （ x1）－ f （ x2）＝（ x1＋ ）－（ x2＋ ）
＝（ x1－ x2）＋（ － ）＝（ x1－ x2）＋ ＝
（ x1－ x2）（1－ ）＝ .
∵ x2＞ x1＞1，∴ x1－ x2＜0， x1 x2＞1，则－1＋ x1 x2＞0，
∴ ＜0，即 f （ x1）＜ f （ x2），
∴ f （ x ）＝ x ＋ 在（1，＋∞）上单调递增.
题型二 求函数的单调区间
【例2】 画出函数 f （ x ）＝－ x2＋2｜ x ｜的图象，根据图象写出函
数 f （ x ）的单调区间.
解：函数 f （ x ）的图象如图所示，由图象可知函数 f （ x ）的单调递
增区间是（－∞，－1），（0，1），
函数的单调递减区间是（－1，0），（1，＋∞）.
通性通法
求函数单调区间的2种方法
（1）定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解；
（2）图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间.
【跟踪训练】
求函数 f （ x ）＝ 的单调递减区间.
解：函数 f （ x ）＝ 的定义域为（－∞，1）∪（1，＋∞），
设 x1， x2∈（－∞，1），且 x1＜ x2，则
f （ x1）－ f （ x2）＝ － ＝ .
因为 x1＜ x2＜1，所以 x2－ x1＞0， x1－1＜0， x2－1＜0，
所以 f （ x1）－ f （ x2）＞0，即 f （ x1）＞ f （ x2）.
所以函数 f （ x ）在（－∞，1）上单调递减，同理函数 f （ x ）在
（1，＋∞）上单调递减.
综上，函数 f （ x ）的单调递减区间是（－∞，1），（1，＋∞）.
题型三 函数单调性的应用
【例3】 （1）若函数 f （ x ）＝－ x2－2（ a ＋1） x ＋3在区间（－
∞，3]上单调递增，则实数 a 的取值范围是 ；
解析：∵ f （ x ）＝－ x2－2（ a ＋1） x ＋3的开口向下，要使 f （ x ）在
（－∞，3]上单调递增，只需－（ a ＋1）≥3，即 a ≤－4.∴实数 a 的
取值范围为（－∞，－4].
（－∞，－4]
（2）已知函数 y ＝ f （ x ）是定义在（－∞，＋∞）上的增函数，且 f
（2 x －3）＞ f （5 x －6），则实数 x 的取值范围为 .
解析：∵ f （ x ）是定义在（－∞，＋∞）上的增函数，且 f （2
x －3）＞ f （5 x －6），∴2 x －3＞5 x －6，即 x ＜1.∴实数 x 的
取值范围为（－∞，1）.
（－∞，1）
【母题探究】
1. （变条件）若本例（1）的函数 f （ x ）在（1，2）上单调，求 a 的
取值范围.
解：由题意可知－（ a ＋1）≤1或－（ a ＋1）≥2，即 a ≤－3或 a
≥－2.
所以 a 的取值范围为（－∞，－3]∪[－2，＋∞）.
2. （变条件）若本例（2）的函数 f （ x ）是定义在（0，＋∞）上的
减函数，求 x 的范围.
解：由题意可知，解得 x ＞ .
∴ x 的取值范围为（ ，＋∞）.
通性通法
1. 利用单调性比较大小或解不等式的方法
（1）利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比
较函数值的大小问题时，要注意将对应的自变量转化到同一
个单调区间上；
（2）在求解与抽象函数有关的不等式时，往往利用函数的单调性
将符号“ f ”脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特
别注意函数的定义域.
2. 已知函数的单调性求参数的取值范围的一般方法
（1）将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区
间比较，求出参数的取值范围；
（2）运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式（组），解不
等式（组）求出参数的取值范围.
【跟踪训练】
1. 若函数 f （ x ）在（－∞，－1]上单调递增，则下列关系式中成立
的是（ ）
解析： ∵ f （ x ）在（－∞，－1]上单调递增，且－2＜－ ＜
－1，∴ f （－2）＜ f （－ ）＜ f （－1）.故选D.
2. 若 f （ x ）是定义在[0，＋∞）上的减函数，则不等式 f （ x ）＜ f
（－2 x ＋8）的解集是 .
解析：依题意，得不等式组解得 ＜ x ≤4.
（ ，4］
1. 若函数 f （ x ）是减函数，则有（ ）
A. f （3）＜ f （5） B. f （3）≤ f （5）
C. f （3）＞ f （5） D. f （3）≥ f （5）
解析： 因为函数 f （ x ）是减函数，3＜5，所以 f （3）＞ f
（5）.
2. 函数 f （ x ）＝－ x2＋2 x ＋3的单调递减区间是（ ）
A. （－∞，1） B. （1，＋∞）
C. （－∞，2） D. （2，＋∞）
解析： 易知函数 f （ x ）＝－ x2＋2 x ＋3的图象是开口向下的抛
物线，其对称轴为 x ＝1，所以其单调递减区间是（1，＋∞）.
3. 函数 y ＝｜ x ＋2｜在区间[－3，0]上（ ）
A. 单调递减 B. 单调递增
C. 先减后增 D. 先增后减
解析： 因为 y ＝｜ x ＋2｜＝
作出 y ＝｜ x ＋2｜的图象，如图所示，
易知函数在[－3，－2）上单调递减，在[－2，0]
上单调递增.
4. （多选）如果函数 f （ x ）在[ a ， b ]上单调递增，则对于任意的
x1， x2∈[ a ， b ]（ x1≠ x2），下列结论中正确的是（ ）
B. （ x1－ x2）[ f （ x1）－ f （ x2）]＞0
C. f （ a ）≤ f （ x1）＜ f （ x2）≤ f （ b ）
D. f （ x1）≠ f （ x2）
解析： 由函数单调性的定义可知，若函数 y ＝ f （ x ）在给定
的区间上单调递增，则 x1－ x2与 f （ x1）－ f （ x2）同号，由此可
知，选项A、B正确；对于C，若 x1＞ x2，则 f （ x1）＞ f （ x2），故
C不正确；对于D，因为 f （ x ）在区间[ a ， b ]上单调，且 x1≠ x2，
所以 f （ x1）≠ f （ x2），故D正确.
5. 已知函数 y ＝－ x2＋4 ax 在区间[－1，2]上单调递减，则实数 a 的取
值范围是 .
解析：根据题意，知函数 y ＝－ x2＋4 ax 为二次函数，且图象开口
向下，其对称轴为 x ＝2 a ，若其在区间[－1，2]上单调递减，则2
a ≤－1，所以 a ≤－ ，即 a 的取值范围为（－∞，－ ］.
（－∞，－ ］
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 定义在（ a ， b ）上的函数 f （ x ），如果 x1， x2∈（ a ， b ），当
x1＜ x2时，有 f （ x1）＜ f （ x2），那么 f （ x ）是增函数
B. 如果函数 f （ x ）在区间 I1上单调递减，在区间 I2上也单调递减，那
么 f （ x ）在区间 I1∪ I2上就一定单调递减
C. 定义在（ a ， b ）上的函数 f （ x ），若有无穷多对 x1， x2∈（ a ，
b ），当 x1＜ x2时，有 f （ x1）＜ f （ x2），那么 f （ x ）在（ a ，
b ）上为增函数
D. x1， x2∈（ a ， b ），且 x1＜ x2， f （ x1）≥ f （ x2）成立，则函数
f （ x ）在（ a ， b ）上不是增函数
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解析： A、C是假命题，“存在”“无穷多”不能代表“所
有”“任意”；由 f （ x ）＝ ，可知B是假命题；若要说明函数 f
（ x ）在某个区间上不是单调递增（减）的，只需在该区间上找到
两个值 x1， x2，证明当 x1＜ x2时， f （ x1）≥ f （ x2）（ f （ x1）≤ f
（ x2））成立即可，故D是真命题.
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2. 函数 y ＝ 的单调递增区间是（ ）
A. （－∞，－3]
C. （－∞，1） D. [－1，＋∞）
解析： 由2 x －3≥0，得 x ≥ .又因为 t ＝2 x －3在（－∞，＋
∞）上是增函数， y ＝ 在定义域上是增函数，所以 y ＝
的单调递增区间是［ ，＋∞）.
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3. 设函数 f （ x ）是减函数，则（ ）
A. f （ a ）＞ f （2 a ）
B. f （ a2＋1）＜ f （ a2）
C. f （ a2＋ a ）＜ f （ a ）
D. f （ a2）＜ f （ a ）
解析：∵ a2＋1＞ a2，且 f （ x ）是减函数，∴ f （ a2＋1）＜ f （ a2）.
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4. 已知函数 y ＝ ax 和 y ＝－ 在（0，＋∞）上都单调递减，则函数 f
（ x ）＝ bx ＋ a 是（ ）
A. 减函数且 f （0）＜0 B. 增函数且 f （0）＜0
C. 减函数且 f （0）＞0 D. 增函数且 f （0）＞0
解析： 因为 y ＝ ax 和 y ＝－ 在（0，＋∞）上都单调递
减，所以 a ＜0， b ＜0， f （ x ）＝ bx ＋ a 为减函数且 f （0）＝
a ＜0，故选A.
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5. （多选）下列函数中，在区间（0，＋∞）上单调递增的是（ ）
A. y ＝2 x ＋1 B. y ＝3 x2＋1
D. y ＝｜ x ｜
解析： 借助函数图象可知， y ＝2 x ＋1， y ＝3 x2＋1， y
＝｜ x ｜在（0，＋∞）上都单调递增， y ＝ 在（0，＋∞）上
单调递减.
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6. （多选）如图是定义在区间[－5，5]上的函数 f （ x ），则下列关
于函数 f （ x ）的说法正确的是（ ）
A. 函数在区间[－5，－3]上单调递增
B. 函数在区间[1，4]上单调递增
C. 函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减
D. 函数在区间[－5，5]上没有单调性
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解析： 由图可知，函数在区间[－5，－3]，[1，4]上单调
递增，故A、B正确； f （ x ）在区间[－3，1]，[4，5]上单调递
减，单调区间不可以用“∪”连接，故C错误；函数在区间[－5，
5]上没有单调性，故D正确.故选A、B、D.
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7. 函数 f （ x ）＝的单调递增区间为 .
解析：画出函数图象如图所示，由图象可知， f （ x ）在（－∞，
＋∞）上是增函数，即 f （ x ）的单调递增区间为（－∞，＋∞）.
（－∞，＋∞）
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8. 如果二次函数 f （ x ）＝ x2－（ a －1） x ＋5在区间（ ，1）上单调
递增，则实数 a 的取值范围为 .
解析：因为二次函数 f （ x ）＝ x2－（ a －1） x ＋5的图象的对称轴
为直线 x ＝ ，又函数 f （ x ）在区间（ ，1）上单调递增，所以
≤ ，解得 a ≤2.
（－∞，2]
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9. 已知 f （ x ）是定义在区间[－1，1]上的增函数，且 f （ x －2）＜ f
（1－ x ），则 x 的取值范围是 .
解析：由题意，得解得1≤ x ＜ ，
故满足条件的 x 的取值范围是［1， ）.
［1， ）
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10. 判断函数 f （ x ）＝ x ＋ （ p ＞0）的单调性.
解：任取 x1， x2∈（0，＋∞），且 x1＜ x2，
则 f （ x1）－ f （ x2）＝ x1＋ －（ x2＋ ）＝（ x1－ x2）＋
＝（ x1－ x2）· .（*）
当 x1， x2∈（0， ）时，0＜ x1 x2＜ p ， x1－ x2＜0，
所以（*）式大于0，即 f （ x1）－ f （ x2）＞0，
所以 f （ x1）＞ f （ x2），即 f （ x ）在（0， ）上单调递减；
当 x1， x2∈[ ，＋∞）时， x1 x2＞ p ， x1－ x2＜0，
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所以（*）式小于0，即 f （ x1）－ f （ x2）＜0，
所以 f （ x1）＜ f （ x2），
即 f （ x ）在[ ，＋∞）上单调递增.
同理可得，当 x ∈（－ ，0）时， f （ x ）＝ x ＋ 单调递减；
当 x ∈（－∞，－ ]时， f （ x ）＝ x ＋ 单调递增.
综上所述， f （ x ）＝ x ＋ （ p ＞0）在（－∞，－ ]和[ ，
＋∞）上单调递增，在（－ ，0）和（0， ）上单调递减.
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11. 已知函数 f （ x ）是定义在R上的单调函数， A （0，1）， B （2，
－1）是其图象上的两点，则不等式｜ f （ x －1）｜＞1的解集为
（ ）
A. （－1，1） B. （－∞，－1）∪（1，＋∞）
C. （1，3） D. （－∞，1）∪（3，＋∞）
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解析： 据题意可知 f （0）＝1， f （2）＝－1.又 f （ x ）是R上
的单调函数，∴ f （ x ）在R上单调递减.由｜ f （ x －1）｜＞1
得， f （ x －1）＜ f （2）或 f （ x －1）＞ f （0）.∴ x －1＞2或 x －
1＜0，解得 x ＞3或 x ＜1.∴原不等式的解集为（－∞，1）∪
（3，＋∞）.故选D.
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12. 已知函数 f （ x ）＝在R上单调，则实数 a
的取值范围是（ ）
A. （－∞，2] B. [2，＋∞）
C. [4，＋∞） D. [2，4]
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解析： ∵函数 f （ x ）＝是R上的单调
函数，设 g （ x ）＝ x2－ ax ＋5， x ＜1， h （ x ）＝1＋ ， x ≥1，
h （ x ）在[1，＋∞）上单调递减，由分段函数的性质可知，函数
g （ x ）在 x ＜1时单调递减，且 g （1）≥ h （1），
∴解得2≤ a ≤4.
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13. 能使“函数 f （ x ）＝ x ｜ x －1｜在区间 I 上不是单调函数，且在
区间 I 上的函数值的集合为[0，2]”是真命题的一个区间为
.
解析：由 f （ x ）＝ x ｜ x －1｜＝2可以解得 x ＝2，作出函数 y ＝ f （ x ）＝的图象，可知 y ＝ f （ x ）在（－∞， ］和[1，＋∞）上单调递增，在［ ，1］上单调递减，所以 I ＝[ a ，2]，0≤ a ＜1.
[0，
2]（答案不唯一）
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14. 证明：当 f （ x ）恒为正值或恒为负值时， f （ x ）与 具有
相反的单调性.
证明：若函数 y ＝ f （ x ）是增函数，取定义域内的两个数 x1， x2，且 x1≠ x2，则（ x1－ x2）·[ f （ x1）－ f （ x2）]＞0，易知（ x1－ x2）［ － ］＝－（ x1－ x2）· .由于 f （ x ）恒为正值或恒为负值，则 f （ x1） f （ x2）＞0，从而（ x1－ x2）·［ － ］＜0，故函数 y ＝ 是减函数.
同理可证，若函数 y ＝ f （ x ）是减函数，则函数 y ＝ 是增
函数.
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15. 在实数集R中定义一种运算“*”，使其具有下列性质：
（1）对任意 a ， b ∈R，a*b＝b*a；
（2）对任意 a ∈R，a*0＝ a ；
（3）对任意 a ， b ， c ∈R，（a*b）*c＝c*（ ab ）＋（a*c）＋
（b*c）－2 c ，则函数 f （ x ）＝x* 的单调递减区间是（ ）
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解析： 在性质（3）中令 c ＝0，则a*b＝ ab ＋ a ＋ b ，所
以 f （ x ）＝x* ＝ x · ＋ x ＋ ＝ ＋ ＝ （ x ＋ ）2－
，易知函数 f （ x ）的单调递减区间是（－∞，－ ］.
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16. 若 f （ x ）是定义在（0，＋∞）上的增函数，且对一切 x ， y ＞
0，满足 f （ ）＝ f （ x ）－ f （ y ）.
（1）求 f （1）的值；
解：在 f （ ）＝ f （ x ）－ f （ y ）中，
令 x ＝ y ＝1，则有 f （1）＝ f （1）－ f （1），
∴ f （1）＝0.
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（2）若 f （6）＝1，解不等式 f （ x ＋3）－ f （ ）＜2.
解：∵ f （6）＝1，
∴ f （ x ＋3）－ f （ ）＝ f （3 x ＋9）＜2＝ f （6）＋ f （6），
∴ f （3 x ＋9）－ f （6）＜ f （6），
即 f （ ）＜ f （6）.
∵ f （ x ）是定义在（0，＋∞）上的增函数，
∴解得－3＜ x ＜9.
即不等式的解集为（－3，9）.
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谢 谢 观 看！
