第二课时 函数的最大（小）值
1.下列函数在[1，4]上最大值为3的是（ ）
A.y＝＋2 B.y＝3x－2
C.y＝x2 D.y＝1－x
2.函数y＝x－在[1，2]上的最大值为（ ）
A.0 B.
C.2 D.3
3.用长度为24 m的材料围成一个中间加两道隔墙的矩形场地，要使矩形场地的面积最大，则隔墙的长度为（ ）
A.3 m B.4 m
C. m D. m
4.已知函数f（x）＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f（x）的最小值为－2，则f（x）的最大值为（ ）
A.1 B.0
C.－1 D.2
5.（多选）下列关于函数f（x）＝x＋｜x－1｜的四种说法正确的是（ ）
A.有最小值，最小值为1 B.没有最小值
C.有最大值，最大值为10 D.没有最大值
6.（多选）若x∈R，f（x）是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f（x）（ ）
A.最大值为2 B.最大值为1
C.最小值为－1 D.无最小值
7.函数y＝f（x）的定义域为[－4，6]，若函数f（x）在区间[－4，－2]上单调递减，在区间（－2，6]上单调递增，且f（－4）＜f（6），则函数f（x）的最小值是 ，最大值是 .
8.函数f（x）＝在[a，b]上的最大值为1，最小值为，则a＋b＝ .
9.函数f（x）＝的最大值是 .
10.已知函数f（x）＝｜x｜（x＋1），试画出函数f（x）的图象，并根据图象解决下列两个问题.
（1）写出函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在区间［－1，］上的最大值.
11.若 x∈（0，］，都有不等式－x＋a＋1≥0成立，则a的最小值为（ ）
A.0 B.－2
C.－ D.－
12.（多选）已知函数f（x）＝（≤x＜2），则该函数（ ）
A.最大值为
B.最大值为
C.没有最小值
D.在区间（1，2）上单调递增
13.函数f（x）＝x（｜x｜－2）在[m，n]上的最小值为－1，最大值为1，则n－m的最大值为 .
14.某商场销售一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x（不低于进价，单位：元）与日销售量y（单位：件）之间有如下关系：
x 45 50
y 27 12
（1）确定x与y的一个一次函数关系式y＝f（x）（注明函数定义域）；
（2）若日销售利润为P元，根据（1）中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？
15.已知函数f（x）＝x2－2（a＋2）x＋a2，g（x）＝－x2＋2（a－2）x－a2＋8.设H1（x）＝max{f（x），g（x）}，H2（x）＝min{f（x），g（x）}（max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值）.记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A－B＝（ ）
A.a2－2a－16 B.a2＋2a－16
C.－16 D.16
16.在① x∈[－2，2]，② x∈[1，3]这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题.
已知函数f（x）＝x2＋ax＋4.
（1）当a＝－2时，求函数f（x）在区间[－2，2]上的值域；
（2）若 ，f（x）≥0，求实数a的取值范围.
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.
第二课时 函数的最大（小）值
1.A B、C在[1，4]上均单调递增，A、D在[1，4]上均单调递减，代入端点值，即可求得最值.故选A.
2.B 函数y＝x在[1，2]上单调递增，函数y＝－在[1，2]上单调递增，所以函数y＝x－在[1，2]上单调递增.当x＝2时，ymax＝2－＝.
3.A 设隔墙的长度为x m，场地面积为S m2，则S＝x·＝12x－2x2＝－2（x－3）2＋18（0＜x＜6），所以当x＝3时，S有最大值，为18，故隔墙的长度为3 m时，矩形场地的面积最大.故选A.
4.A ∵f（x）＝－x2＋4x＋a在[0，1]上单调递增，∴其最小值为f（0）＝a＝－2，∴其最大值为f（1）＝3＋a＝1.
5.AD f（x）＝x＋｜x－1｜＝作出函数的图象如图所示，
由图象可知，f（x）的最小值为1，没有最大值.
6.BD 在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2－x2，y＝x的图象，如图所示.根据题意，图中实线部分即为函数f（x）的图象.当x＝1时，f（x）取得最大值，且f（x）max＝1，由图象知f（x）无最小值.故选B、D.
7.f（－2） f（6） 解析：作出符合条件的函数的简图（图略），可知f（x）min＝f（－2），f（x）max＝f（6）.
8.6 解析：函数f（x）＝在（－∞，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递减，∴＝1，＝，解得a＝2，b＝4，∴a＋b＝6.
9. 解析：因为1－x（1－x）＝x2－x＋1＝（x－）2＋≥，所以≤.故f（x）的最大值为.
10.解：f（x）＝｜x｜（x＋1）＝的图象如图所示.
（1）f（x）在（－∞，－）和（0，＋∞）上单调递增，
在（－，0）上单调递减，
因此f（x）的单调递增区间为（－∞，－），（0，＋∞）；
单调递减区间为（－，0）.
（2）因为f （－）＝，f （）＝，
所以f（x）在区间［－1，］上的最大值为.
11.D 设f（x）＝－x＋a＋1，由不等式－x＋a＋1≥0对一切x∈（0，］都成立，可得f（x）min≥0.因为f（x）在（0，］上单调递减，所以当x∈（0，］时，f（x）min＝a＋，所以a＋≥0，即a≥－，所以amin＝－，故选D.
12.AD f（x）＝＝1＋x＋≥1＋2＝3，当且仅当x＝1时等号成立， x1，x2∈［，2）且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝（x1－x2）＋＝（x1－x2）·（1－），x1－x2＜0，当≤x1＜x2＜1时，有1－＜0，故f（x1）＞f（x2），即函数f（x）在［，1）上单调递减且值域为（3，］；当1＜x1＜x2＜2时，有1－＞0，故f（x1）＜f（x2），即函数f（x）在（1，2）上单调递增且值域为（3，）.所以函数f（x）的最大值为.故选A、D.
13.2＋2 解析：函数f（x）＝x（｜x｜－2），当x≥0时，f（x）＝x2－2x；当x＜0时，f（x）＝－2x－x2.作出y＝f（x）的图象，由图象可得当x＞0时，x2－2x＝1，解得x＝1＋；当x＜0时，－2x－x2＝－1，解得x＝－1－，即有f（x）在[－1－，1＋ ]内的最大值为1，最小值为－1，故n－m的最大值为1＋－（－1－）＝2＋2.
14.解：（1）因为f（x）是一次函数，设f（x）＝ax＋b（a≠0），
由表格得方程组解得
所以y＝f（x）＝－3x＋162.
又y≥0，所以30≤x≤54，
故所求函数关系式为y＝－3x＋162，x∈[30，54].
（2）由题意得，P＝（x－30）y＝（x－30）（162－3x）
＝－3x2＋252x－4 860
＝－3（x－42）2＋432，x∈[30，54].
当x＝42时，最大的日销售利润P＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润.
15.C 易知f（x）的图象的顶点坐标为（a＋2，－4a－4），g（x）的图象的顶点坐标为（a－2，－4a＋12），并且f（x）与g（x）的图象的顶点都在对方的图象上，如图所示，所以A－B＝－16.
16.解：（1）当a＝－2时，f（x）＝x2－2x＋4＝（x－1）2＋3，
∴f（x）在[－2，1）上单调递减，在（1，2]上单调递增，
∴f（x）min＝f（1）＝3，f（x）max＝f（－2）＝12，
∴函数f（x）在区间[－2，2]上的值域为[3，12].
（2）选择条件①.
若a≥4，则函数f（x）在区间[－2，2]上单调递增，
∴f（x）min＝f（－2）＝8－2a≥0，解得a≤4，
又a≥4，∴a＝4.
若－4＜a＜4，则函数f（x）在区间［－2，－）上单调递减，在区间（－，2］上单调递增，
∴f（x）min＝f（－）＝4－≥0，解得－4≤a≤4，∴－4＜a＜4.
若a≤－4，则函数f（x）在区间[－2，2]上单调递减，
∴f（x）min＝f（2）＝8＋2a≥0，解得a≥－4，
又a≤－4，∴a＝－4.
综上所述，实数a的取值范围为[－4，4].
选择条件②.
∵ x∈[1，3]，f（x）≥0，
∴f（x）max≥0，即max{f（1），f（3）}≥0，
∴f（1）≥0或f（3）≥0，解得a≥－5或a≥－，∴a≥－5.
故实数a的取值范围为[－5，＋∞）.
1 / 2第二课时 函数的最大（小）值
科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考察，如图是某天气温随时间的变化曲线.
【问题】 （1）该天的最高气温和最低气温分别是多少？
（2）设该天某时刻的气温为f（x），则f（x）在哪个范围内变化？
（3）从函数图象上看，气温的最大值（最小值）在什么时刻取得？
知识点 函数的最大值与最小值
最大值 最小值
条件 若存在实数M，对所有的x∈D，都有
f（x） M f（x） M
存在x0∈D，使得
结论 称M为函数y＝f（x）的最大值 称M为函数y＝f（x）的最小值
几何 意义 f（x）图象上最高点的纵坐标 f（x）图象上最低点的纵坐标
提醒 对函数最大值和最小值定义的再理解：①M首先是一个函数值，它是值域中的一个元素；②最大（小）值定义中的“对所有的”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f（x）≤M（f（x）≥M）成立，也就是说，函数y＝f（x）的图象不能位于直线y＝M的上（下）方.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若对任意x∈I，都有f（x）≤M，则M是函数f（x）的最大值.（ ）
（2）如果函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素.（ ）
（3）如果函数的值域是确定的，则它一定有最值.（ ）
（4）函数的最大值一定比最小值大.（ ）
（5）若函数f（x）在区间[－1，2]上单调递减，则函数f（x）在区间[－1，2]上的最大值为f（－1）.（ ）
2.函数y＝f（x）在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（ ）
A.－1，0 B.0，2
C.－1，2 D.，2
3.函数f（x）＝，x∈[1，2]，则f（x）的最大值为 ，最小值为 .
题型一 图象法求函数的最值
【例1】 已知函数f（x）＝求f（x）的最大值、最小值.
尝试解答
通性通法
用图象法求最值的3个步骤
【跟踪训练】
已知函数f（x）＝
（1）画出f（x）的图象；
（2）利用图象写出该函数的最大值和最小值.
题型二 单调性法求函数的最值
【例2】 已知函数f（x）＝.
（1）判断函数f（x）在区间[0，＋∞）上的单调性，并用定义证明；
（2）求函数f（x）在区间[2，9]上的最大值与最小值.
尝试解答
通性通法
1.利用单调性求函数的最大（小）值的一般步骤
（1）判断函数的单调性；
（2）利用单调性求出最大（小）值.
2.函数的最大（小）值与单调性的关系
（1）若函数f（x）在区间[a，b]上单调递增（减），则f（x）在区间[a，b]上的最小（大）值是f（a），最大（小）值是f（b）；
（2）若函数f（x）在区间[a，b]上单调递增（减），在区间[b，c]上单调递减（增），则f（x）在区间[a，c]上的最大（小）值是f（b），最小（大）值是f（a）与f（c）中较小（大）的一个.
【跟踪训练】
函数y＝2x＋的最小值为 .
题型三 实际应用中的最值问题
【例3】 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x（x∈N＋）件.当x≤20时，年销售总收入为（33x－x2）万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元.（年利润＝年销售总收入－年总投资）
（1）求y（万元）与x（件）的函数关系式；
（2）当该工厂的年产量为多少件时所得年利润最大？最大年利润是多少？
尝试解答
通性通法
求解实际问题的4步骤
【跟踪训练】
某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中x为销售量（单位：辆）.若该公司在两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为 万元.
1.函数y＝f（x）（－2≤x≤2）的图象如图所示，则函数的最大值、最小值分别为（ ）
A.f（2），f（－2） B.f（），f（－1）
C.f（），f（－） D.f（），f（0）
2.二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则a＝（ ）
A.－1 B.1
C.－2 D.－
3.（2024·铜仁月考）函数y＝的最大值是（ ）
A.3 B.4
C.5 D.6
4.设函数f（x）＝在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M，m，则＝（ ）
A. B.
C. D.
5.若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值为 .
第二课时 函数的最大（小）值
【基础知识·重落实】
知识点
≤ ≥ f（x0）＝M
自我诊断
1.（1）× （2）√ （3）× （4）√ （5）√
2.C 由题图可知，f（x）的最大值为f（1）＝2，f（x）的最小值为f（－2）＝－1.
3.1 解析：∵f（x）＝在区间[1，2]上单调递减，∴f（2）≤f（x）≤f（1），即≤f（x）≤1.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：
作出函数f（x）的图象（如图）.由图象可知，当x＝±1时，f（x）取最大值为f（1）＝f（－1）＝1.
当x＝0时，f（x）取最小值为f（0）＝0，
故f（x）的最大值为1，最小值为0.
跟踪训练
解：（1）函数f（x）的图象如图所示.
（2）由图象可知f（x）的最小值为f（1）＝1，无最大值.
【例2】 解：（1）f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增.
证明：任取x1，x2∈[0，＋∞），且x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）＝－＝－＝.
因为x1－x2＜0，（x1＋1）（x2＋1）＞0，
所以f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）.
所以函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增.
（2）由（1）知函数f（x）在区间[2，9]上是单调递增的，
故函数f（x）在区间[2，9]上的最大值为f（9）＝＝，最小值为f（2）＝＝.
跟踪训练
2 解析：显然函数y＝2x＋的定义域为[1，＋∞），因为函数y＝2x与y＝在定义域[1，＋∞）上均是增函数，故y＝2x＋在[1，＋∞）上是增函数，所以当x＝1时，ymin＝2＋＝2，即函数y＝2x＋的最小值为2.
【例3】 解：（1）当0＜x≤20时，y＝（33x－x2）－x－100＝－x2＋32x－100；
当x＞20时，y＝260－100－x＝160－x.
故y＝（x∈N＋）.
（2）当0＜x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－（x－16）2＋156，当x＝16时，ymax＝156.而当x＞20时，160－x＜140，故x＝16时所得年利润最大，最大年利润为156万元.
即当该工厂年产量为16件时所得年利润最大，最大年利润为156万元.
跟踪训练
120 解析：设该公司在甲地销售x辆车，则在乙地销售（15－x）辆车，两地销售的利润之和为y万元，y＝－x2＋21x＋2（15－x）＝－x2＋19x＋30.由题意知∴0≤x≤15，且x∈Z.当x＝－＝9.5时，y值最大，∵x∈Z，∴取x＝9或10.当x＝9时，y＝120，当x＝10时，y＝120.综上可知，该公司能获得的最大利润为120万元.
随堂检测
1.C 根据函数最值的定义，结合函数图象可知，当x＝－时，有最小值f（－）；当x＝时，有最大值f（）.
2.A 二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则解得a＝－1.
3.C 当x＜1时，函数y＝x＋3单调递增，有y＜4，无最大值；当x≥1时，函数y＝－x＋6单调递减，在x＝1处取得最大值5.所以该函数的最大值为5.
4.D 易知f（x）＝＝2＋，所以f（x）在区间[3，4]上单调递减，所以M＝f（3）＝2＋＝6，m＝f（4）＝2＋＝4，所以＝＝.
5.±2 解析：由题意知a≠0，当a＞0时，有（2a＋1）－（a＋1）＝2，解得a＝2；当a＜0时，有（a＋1）－（2a＋1）＝2，解得a＝－2，综上知a＝±2.
3 / 4(共65张PPT)
第二课时 函数的最大（小）值
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠
气候进行科学考察，如图是某天气温随时间的变化曲线.
【问题】 （1）该天的最高气温和最低气温分别是多少？
（2）设该天某时刻的气温为 f （ x ），则 f （ x ）在哪个范围内变化？
（3）从函数图象上看，气温的最大值（最小值）在什么时刻取得？
知识点 函数的最大值与最小值
最大值 最小值
条
件 若存在实数 M ，对所有的 x ∈ D ，都有 f （ x ） M f （ x ） M
存在 x0∈ D ，使得 ≤
≥
f （ x0）＝ M
最大值 最小值
结
论 称 M 为函数 y ＝ f （ x ）的最大值 称 M 为函数 y ＝ f （ x ）的最小值
几何 意义 f （ x ）图象上最高点的纵坐标 f （ x ）图象上最低点的纵坐标
提醒 对函数最大值和最小值定义的再理解：① M 首先是一个函数
值，它是值域中的一个元素；②最大（小）值定义中的“对所有的”
是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的
全部元素，都有 f （ x ）≤ M （ f （ x ）≥ M ）成立，也就是说，函数 y
＝ f （ x ）的图象不能位于直线 y ＝ M 的上（下）方.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若对任意 x ∈ I ，都有 f （ x ）≤ M ，则 M 是函数 f （ x ）的最
大值. （ × ）
（2）如果函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素.
（ √ ）
（3）如果函数的值域是确定的，则它一定有最值. （ × ）
（4）函数的最大值一定比最小值大. （ √ ）
（5）若函数 f （ x ）在区间[－1，2]上单调递减，则函数 f （ x ）在
区间[－1，2]上的最大值为 f （－1）. （ √ ）
×
√
×
√
√
2. 函数 y ＝ f （ x ）在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小
值、最大值分别是（ ）
A. －1，0 B. 0，2
C. －1，2
解析： 由题图可知， f （ x ）的最大值为 f （1）＝2， f （ x ）的
最小值为 f （－2）＝－1.
3. 函数 f （ x ）＝ ， x ∈[1，2]，则 f （ x ）的最大值为 ，最小值
为 .
解析：∵ f （ x ）＝ 在区间[1，2]上单调递减，∴ f （2）≤ f
（ x ）≤ f （1），即 ≤ f （ x ）≤1.
1
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 图象法求函数的最值
【例1】 已知函数 f （ x ）＝求 f （ x ）的最大值、
最小值.
解：作出函数 f （ x ）的图象（如图）.由图象可知，当 x ＝±1时， f
（ x ）取最大值为 f （1）＝ f （－1）＝1.
当 x ＝0时， f （ x ）取最小值为 f （0）＝0，
故 f （ x ）的最大值为1，最小值为0.
通性通法
用图象法求最值的3个步骤
【跟踪训练】
已知函数 f （ x ）＝
（1）画出 f （ x ）的图象；
解：函数 f （ x ）的图象如图所示.
（2）利用图象写出该函数的最大值和最小值.
解：由图象可知 f （ x ）的最小值为 f （1）＝1，无最大值.
题型二 单调性法求函数的最值
【例2】 已知函数 f （ x ）＝ .
（1）判断函数 f （ x ）在区间[0，＋∞）上的单调性，并用定义
证明；
解： f （ x ）在区间[0，＋∞）上单调递增.
证明：任取 x1， x2∈[0，＋∞），且 x1＜ x2，
则 f （ x1）－ f （ x2）＝ － ＝ －
＝ .
因为 x1－ x2＜0，（ x1＋1）（ x2＋1）＞0，
所以 f （ x1）－ f （ x2）＜0，即 f （ x1）＜ f （ x2）.
所以函数 f （ x ）在区间[0，＋∞）上单调递增.
（2）求函数 f （ x ）在区间[2，9]上的最大值与最小值.
解：由（1）知函数 f （ x ）在区间[2，9]上是单调递增的，
故函数 f （ x ）在区间[2，9]上的最大值为 f （9）＝ ＝ ，
最小值为 f （2）＝ ＝ .
通性通法
1. 利用单调性求函数的最大（小）值的一般步骤
（1）判断函数的单调性；
（2）利用单调性求出最大（小）值.
2. 函数的最大（小）值与单调性的关系
（1）若函数 f （ x ）在区间[ a ， b ]上单调递增（减），则 f （ x ）
在区间[ a ， b ]上的最小（大）值是 f （ a ），最大（小）值
是 f （ b ）；
（2）若函数 f （ x ）在区间[ a ， b ]上单调递增（减），在区间
[ b ， c ]上单调递减（增），则 f （ x ）在区间[ a ， c ]上的最大
（小）值是 f （ b ），最小（大）值是 f （ a ）与 f （ c ）中较小
（大）的一个.
【跟踪训练】
函数 y ＝2 x ＋ 的最小值为 .
解析：显然函数 y ＝2 x ＋ 的定义域为[1，＋∞），因为函数 y
＝2 x 与 y ＝ 在定义域[1，＋∞）上均是增函数，故 y ＝2 x ＋
在[1，＋∞）上是增函数，所以当 x ＝1时， ymin＝2＋
＝2，即函数 y ＝2 x ＋ 的最小值为2.
2
题型三 实际应用中的最值问题
【例3】 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每
生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为 x （ x ∈N＋）件.当 x
≤20时，年销售总收入为（33 x － x2）万元；当 x ＞20时，年销售总收
入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为 y 万元.
（年利润＝年销售总收入－年总投资）
（1）求 y （万元）与 x （件）的函数关系式；
解：当0＜ x ≤20时， y ＝（33 x － x2）－ x －100＝－ x2＋32 x －
100；
当 x ＞20时， y ＝260－100－ x ＝160－ x .
故 y ＝（ x ∈N＋）.
（2）当该工厂的年产量为多少件时所得年利润最大？最大年利润是
多少？
解：当0＜ x ≤20时， y ＝－ x2＋32 x －100＝－（ x －16）2＋
156，当 x ＝16时， ymax＝156.而当 x ＞20时，160－ x ＜140，故
x ＝16时所得年利润最大，最大年利润为156万元.
即当该工厂年产量为16件时所得年利润最大，最大年利润为156
万元.
通性通法
求解实际问题的4步骤
【跟踪训练】
某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别
为 L1＝－ x2＋21 x 和 L2＝2 x ，其中 x 为销售量（单位：辆）.若该公司
在两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为 万元.
120
解析：设该公司在甲地销售 x 辆车，则在乙地销售（15－ x ）辆车，
两地销售的利润之和为 y 万元， y ＝－ x2＋21 x ＋2（15－ x ）＝－ x2＋
19 x ＋30.由题意知∴0≤ x ≤15，且 x ∈Z. 当 x ＝－
＝9.5时， y 值最大，∵ x ∈Z，∴取 x ＝9或10.当 x ＝9时， y
＝120，当 x ＝10时， y ＝120.综上可知，该公司能获得的最大利润为
120万元.
1. 函数 y ＝ f （ x ）（－2≤ x ≤2）的图象如图所示，则函数的最大
值、最小值分别为（ ）
A. f （2）， f （－2）
解析： 根据函数最值的定义，结合函数图象可知，当 x ＝－
时，有最小值 f （－ ）；当 x ＝ 时，有最大值 f （ ）.
2. 二次函数 y ＝ ax2＋4 x ＋ a 的最大值是3，则 a ＝（ ）
A. －1 B. 1
C. －2
解析： 二次函数 y ＝ ax2＋4 x ＋ a 的最大值是3，则
解得 a ＝－1.
3. （2024·铜仁月考）函数 y ＝的最大值是（ ）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
解析： 当 x ＜1时，函数 y ＝ x ＋3单调递增，有 y ＜4，无最大
值；当 x ≥1时，函数 y ＝－ x ＋6单调递减，在 x ＝1处取得最大值
5.所以该函数的最大值为5.
4. 设函数 f （ x ）＝ 在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为 M ，
m ，则 ＝（ ）
解析： 易知 f （ x ）＝ ＝2＋ ，所以 f （ x ）在区间[3，4]
上单调递减，所以 M ＝ f （3）＝2＋ ＝6， m ＝ f （4）＝2＋
＝4，所以 ＝ ＝ .
5. 若函数 y ＝ ax ＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数 a
的值为 .
解析：由题意知 a ≠0，当 a ＞0时，有（2 a ＋1）－（ a ＋1）＝2，
解得 a ＝2；当 a ＜0时，有（ a ＋1）－（2 a ＋1）＝2，解得 a ＝－
2，综上知 a ＝±2.
±2
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列函数在[1，4]上最大值为3的是（ ）
B. y ＝3 x －2
C. y ＝ x2 D. y ＝1－ x
解析： B、C在[1，4]上均单调递增，A、D在[1，4]上均单调
递减，代入端点值，即可求得最值.故选A.
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2. 函数 y ＝ x － 在[1，2]上的最大值为（ ）
A. 0
C. 2 D. 3
解析： 函数 y ＝ x 在[1，2]上单调递增，函数 y ＝－ 在[1，2]
上单调递增，所以函数 y ＝ x － 在[1，2]上单调递增.当 x ＝2时，
ymax＝2－ ＝ .
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3. 用长度为24 m的材料围成一个中间加两道隔墙的矩形场地，要使矩
形场地的面积最大，则隔墙的长度为（ ）
A. 3 m B. 4 m
解析： 设隔墙的长度为 x m，场地面积为 S m2，则 S ＝ x ·
＝12 x －2 x2＝－2（ x －3）2＋18（0＜ x ＜6），所以当 x ＝3时， S
有最大值，为18，故隔墙的长度为3 m时，矩形场地的面积最大.故
选A.
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4. 已知函数 f （ x ）＝－ x2＋4 x ＋ a ， x ∈[0，1]，若 f （ x ）的最小值
为－2，则 f （ x ）的最大值为（ ）
A. 1 B. 0
C. －1 D. 2
解析： ∵ f （ x ）＝－ x2＋4 x ＋ a 在[0，1]上单调递增，∴其最
小值为 f （0）＝ a ＝－2，∴其最大值为 f （1）＝3＋ a ＝1.
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5. （多选）下列关于函数 f （ x ）＝ x ＋｜ x －1｜的四种说法正确的
是（ ）
A. 有最小值，最小值为1 B. 没有最小值
C. 有最大值，最大值为10 D. 没有最大值
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解析： f （ x ）＝ x ＋｜ x －1｜＝作出函数
的图象如图所示，
由图象可知， f （ x ）的最小值为1，没有最大值.
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6. （多选）若 x ∈R， f （ x ）是 y ＝2－ x2， y ＝ x 这两个函数中的较
小者，则 f （ x ）（ ）
A. 最大值为2 B. 最大值为1
C. 最小值为－1 D. 无最小值
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解析：在同一平面直角坐标系中画出函数 y ＝2－ x2， y ＝ x 的图
象，如图所示.根据题意，图中实线部分即为函数 f （ x ）的图象.
当 x ＝1时， f （ x ）取得最大值，且 f （ x ）max＝1，由图象知 f
（ x ）无最小值.故选B、D.
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7. 函数 y ＝ f （ x ）的定义域为[－4，6]，若函数 f （ x ）在区间[－
4，－2]上单调递减，在区间（－2，6]上单调递增，且 f （－4）＜
f （6），则函数 f （ x ）的最小值是 ，最大值是 .
解析：作出符合条件的函数的简图（图略），可知 f （ x ）min＝ f
（－2）， f （ x ）max＝ f （6）.
f （－2）
f（6）
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8. 函数 f （ x ）＝ 在[ a ， b ]上的最大值为1，最小值为 ，则 a ＋ b
＝ .
解析：函数 f （ x ）＝ 在（－∞，1）上单调递减，在（1，＋
∞）上单调递减，∴ ＝1， ＝ ，解得 a ＝2， b ＝4，∴ a ＋
b ＝6.
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9. 函数 f （ x ）＝ 的最大值是 .
解析：因为1－ x （1－ x ）＝ x2－ x ＋1＝（ x － ）2＋ ≥ ，所以
≤ .故 f （ x ）的最大值为 .
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10. 已知函数 f （ x ）＝｜ x ｜（ x ＋1），试画出函数 f （ x ）的图象，
并根据图象解决下列两个问题.
（1）写出函数 f （ x ）的单调区间；
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解： f （ x ）＝｜ x ｜（ x ＋1）＝
的图象如图所示.
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（1） f （ x ）在（－∞，－ ）和（0，
＋∞）上单调递增，
在（－ ，0）上单调递减，
因此 f （ x ）的单调递增区间为（－
∞，－ ），（0，＋∞）；
单调递减区间为（－ ，0）.
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（2）求函数 f （ x ）在区间［－1， ］上的最大值.
解：因为 f （－ ）＝ ， f （ ）＝ ，
所以 f （ x ）在区间［－1， ］上的最
大值为 .
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11. 若 x ∈（0， ］，都有不等式－ x ＋ a ＋1≥0成立，则 a 的最小
值为（ ）
A. 0 B. －2
解析： 设 f （ x ）＝－ x ＋ a ＋1，由不等式－ x ＋ a ＋1≥0对一
切 x ∈（0， ］都成立，可得 f （ x ）min≥0.因为 f （ x ）在（0，
］上单调递减，所以当 x ∈（0， ］时， f （ x ）min＝ a ＋ ，所
以 a ＋ ≥0，即 a ≥－ ，所以 amin＝－ ，故选D.
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12. （多选）已知函数 f （ x ）＝ （ ≤ x ＜2），则该函数
（ ）
C. 没有最小值
D. 在区间（1，2）上单调递增
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解析： f （ x ）＝ ＝1＋ x ＋ ≥1＋2 ＝3，当且
仅当 x ＝1时等号成立， x1， x2∈［ ，2）且 x1＜ x2，则 f （ x1）
－ f （ x2）＝（ x1－ x2）＋ ＝（ x1－ x2）·（1－ ）， x1－
x2＜0，当 ≤ x1＜ x2＜1时，有1－ ＜0，故 f （ x1）＞ f
（ x2），即函数 f （ x ）在［ ，1）上单调递减且值域为（3， ］；
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当1＜ x1＜ x2＜2时，有1－ ＞0，故 f （ x1）＜ f （ x2），即函数 f
（ x ）在（1，2）上单调递增且值域为（3， ）.所以函数 f （ x ）的
最大值为 .故选A、D.
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13. 函数 f （ x ）＝ x （｜ x ｜－2）在[ m ， n ]上的最小值为－1，最大
值为1，则 n － m 的最大值为 .
2＋2
解析：函数 f （ x ）＝ x （｜ x ｜－2），当 x ≥0时， f （ x ）＝ x2－2 x ；当 x ＜0时， f （ x ）＝－2 x － x2.作出 y ＝ f （ x ）的图象，由图象可得当 x ＞0时， x2－2 x ＝1，解得 x ＝1＋ ；当 x ＜0时，－2 x － x2＝－1，解得 x ＝－1－ ，
即有 f （ x ）在[－1－ ，1＋ ]内的最大值为1，最小值为－1，故 n － m 的最大值为1＋ －（－1－ ）＝2＋2 .
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14. 某商场销售一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该
商品销售单价 x （不低于进价，单位：元）与日销售量 y （单位：
件）之间有如下关系：
x 45 50
y 27 12
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（1）确定 x 与 y 的一个一次函数关系式 y ＝ f （ x ）（注明函数定
义域）；
解：因为 f （ x ）是一次函数，设 f （ x ）＝ ax ＋ b （ a ≠0），
由表格得方程组解得
所以 y ＝ f （ x ）＝－3 x ＋162.
又 y ≥0，所以30≤ x ≤54，
故所求函数关系式为 y ＝－3 x ＋162， x ∈[30，54].
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（2）若日销售利润为 P 元，根据（1）中的关系式写出 P 关于 x 的
函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大
的日销售利润？
解：由题意得， P ＝（ x －30） y ＝（ x －30）（162－3 x ）
＝－3 x2＋252 x －4 860
＝－3（ x －42）2＋432， x ∈[30，54].
当 x ＝42时，最大的日销售利润 P ＝432，即当销售单价为
42元时，获得最大的日销售利润.
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15. 已知函数 f （ x ）＝ x2－2（ a ＋2） x ＋ a2， g （ x ）＝－ x2＋2（ a
－2） x － a2＋8.设 H1（ x ）＝max{ f （ x ）， g （ x ）}， H2（ x ）
＝min{ f （ x ）， g （ x ）}（max{ p ， q }表示 p ， q 中的较大值，
min{ p ， q }表示 p ， q 中的较小值）.记 H1（ x ）的最小值为 A ，
H2（ x ）的最大值为 B ，则 A － B ＝（ ）
A. a2－2 a －16 B. a2＋2 a －16
C. －16 D. 16
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解析： 易知 f （ x ）的图象的顶点坐标
为（ a ＋2，－4 a －4）， g （ x ）的图象的
顶点坐标为（ a －2，－4 a ＋12），并且 f
（ x ）与 g （ x ）的图象的顶点都在对方的
图象上，如图所示，所以 A － B ＝－16.
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16. 在① x ∈[－2，2]，② x ∈[1，3]这两个条件中任选一个，补
充到下面问题的横线中，并求解该问题.
已知函数 f （ x ）＝ x2＋ ax ＋4.
（1）当 a ＝－2时，求函数 f （ x ）在区间[－2，2]上的值域；
解：当 a ＝－2时， f （ x ）＝ x2－2 x ＋4＝（ x －1）2＋3，
∴ f （ x ）在[－2，1）上单调递减，在（1，2]上单调递增，
∴ f （ x ）min＝ f （1）＝A3， f （ x ）max＝ f （－2）＝12，
∴函数 f （ x ）在区间[－2，2]上的值域为[3，12].
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（2）若 ， f （ x ）≥0，求实数 a 的取值范围.
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.
解：选择条件①.
若 a ≥4，则函数 f （ x ）在区间[－2，2]上单调递增，
∴ f （ x ）min＝ f （－2）＝8－2 a ≥0，解得 a ≤4，
又 a ≥4，∴ a ＝4.
若－4＜ a ＜4，则函数 f （ x ）在区间［－2，－ ）上单调
递减，在区间（－ ，2］上单调递增，
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∴ f （ x ）min＝ f （－ ）＝4－ ≥0，解得－4≤ a ≤4，
∴－4＜ a ＜4.
若 a ≤－4，则函数 f （ x ）在区间[－2，2]上单调递减，
∴ f （ x ）min＝ f （2）＝8＋2 a ≥0，解得 a ≥－4，
又 a ≤－4，∴ a ＝－4.
综上所述，实数 a 的取值范围为[－4，4].
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选择条件②.
∵ x ∈[1，3]， f （ x ）≥0，
∴ f （ x ）max≥0，即max{ f （1）， f （3）}≥0，
∴ f （1）≥0或 f （3）≥0，解得 a ≥－5或 a ≥－ ，∴ a ≥－5.
故实数 a 的取值范围为[－5，＋∞）.
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谢 谢 观 看！
