第二课时 奇偶性的应用
1.设函数f（x）＝且f（x）为偶函数，则g（－2）＝（ ）
A.6 B.－6
C.2 D.－2
2.如果奇函数f（x）在区间[－3，－1]上单调递增且有最大值5，那么函数f（x）在区间[1，3]上（ ）
A.单调递增且最小值为－5
B.单调递增且最大值为－5
C.单调递减且最小值为－5
D.单调递减且最大值为－5
3.已知函数y＝f（x）是R上的偶函数，且f（x）在[0，＋∞）上单调递减，若f（a）≥f（－2），则a的取值范围是（ ）
A.a≤－2 B.a≥2
C.a≤－2或a≥2 D.－2≤a≤2
4.已知函数y＝f（x）是偶函数，其图象与x轴有4个交点，则方程f（x）＝0的所有实根之和是（ ）
A.4 B.2
C.1 D.0
5.（多选）已知定义在区间[－7，7]上的一个偶函数，它在[0，7]上的图象如图，则下列说法正确的有（ ）
A.这个函数有两个单调递增区间
B.这个函数有三个单调递减区间
C.这个函数在其定义域内有最大值7
D.这个函数在其定义域内有最小值－7
6.（多选）已知函数f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2＋x＋a－2，则（ ）
A.a＝2 B.f（2）＝2
C.f（x）是R上的增函数 D.f（－3）＝－12
7.已知函数f（x）＝为奇函数，则实数a＝ .
8.已知函数f（x）为偶函数，且当x＜0时，f（x）＝x＋1，则x＞0时，f（x）＝ .
9.若f（x）＝（m－1）x2＋6mx＋2是偶函数，则f（0），f（1），f（－2）从小到大的排列是 .
10.已知函数y＝f（x）的图象关于原点对称，且当x＞0时，f（x）＝x2－2x＋3.
（1）试求f（x）在R上的解析式；
（2）画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.
11.定义在R上的偶函数f（x），对任意x1，x2∈[0，＋∞）（x1≠x2），有＜0，则（ ）
A.f（3）＜f（－2）＜f（1）
B.f（1）＜f（－2）＜f（3）
C.f（－2）＜f（1）＜f（3）
D.f（3）＜f（1）＜f（－2）
12.设f（x）为偶函数，且在区间（－∞，0）上单调递增，f（－2）＝0，则xf（x）＜0的解集为（ ）
A.（－1，0）∪（2，＋∞） B.（－∞，－2）∪（0，2）
C.（－2，0）∪（2，＋∞） D.（－2，0）∪（0，2）
13.已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）－g（x）＝x3＋x2＋1，则f（1）＋g（1）＝ .
14.已知函数f（x）＝ax＋＋c（a，b，c是常数）是奇函数，且满足f（1）＝，f（2）＝.
（1）求a，b，c的值；
（2）试判断函数f（x）在区间（0，）上的单调性并证明.
15.（多选）给出定义：若m－＜x≤m＋（其中m为整数），则称m为离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}＝m.则下列关于函数f（x）＝x－{x}的四个命题中是真命题的有（ ）
A.函数y＝f（x）的定义域是R，值域是（－，］
B.函数y＝f（x）是偶函数
C.函数y＝f（x）是奇函数
D.函数y＝f（x）在（－，］上单调递增
16.设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有＞0.
（1）若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小关系；
（2）若f（1＋m）＋f（3－2m）≥0，求实数m的取值范围.
第二课时 奇偶性的应用
1.A g（－2）＝f（－2）＝f（2）＝22＋2＝6.
2.A f（x）为奇函数，∴f（x）在[1，3]上的单调性与[－3，－1]上一致且f（1）为最小值，又已知f（－1）＝5，∴f（－1）＝－f（1）＝5，∴f（1）＝－5，故选A.
3.D 由f（a）≥f（－2）得f（｜a｜）≥f（2），∴｜a｜≤2，∴－2≤a≤2.
4.D y＝f（x）是偶函数，所以y＝f（x）的图象关于y轴对称，所以f（x）＝0的所有实根之和为0.
5.BC 根据偶函数在[0，7]上的图象及其对称性，作出其在[－7，7]上的图象，如图所示.由图象可知这个函数有三个单调递增区间，有三个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，最小值不是－7，故选B、C.
6.ACD f（x）是R上的奇函数，故f（0）＝a－2＝0，得a＝2，故A正确.f（2）＝4＋2＝6，故B错误.当x≥0时，f（x）＝x2＋x在[0，＋∞）上单调递增，利用奇函数的对称性可知，f（x）在（－∞，0]上单调递增，故f（x）是R上的增函数，故C正确.f（－3）＝－f（3）＝－9－3＝－12，故D正确.故选A、C、D.
7.－1 解析：根据题意，函数f（x）＝的定义域为{x｜x≠0}，且为奇函数，则有f（x）＋f（－x）＝0，即＋＝0，变形整理得2（a＋1）＝0，解得a＝－1.
8.－x＋1 解析：当x＞0时，－x＜0，∴f（－x）＝－x＋1，又f（x）为偶函数，∴f（x）＝－x＋1.
9.f（－2）＜f（1）＜f（0） 解析：∵f（x）是偶函数，∴f（－x）＝f（x）恒成立，即（m－1）x2－6mx＋2＝（m－1）x2＋6mx＋2恒成立，∴m＝0，即f（x）＝－x2＋2.∵f（x）的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞）上单调递减，∴f（2）＜f（1）＜f（0），又∵f（x）＝－x2＋2为偶函数，∴f（2）＝f（－2）.即f（－2）＜f（1）＜f（0）.
10.解：（1）因为函数f（x）的图象关于原点对称，
所以f（x）为奇函数，则f（0）＝0.
设x＜0，则－x＞0，
因为当x＞0时，f（x）＝x2－2x＋3.
所以当x＜0时，f（x）＝－f（－x）＝－（x2＋2x＋3）＝－x2－2x－3.
于是有f（x）＝
（2）先画出函数在y轴右侧的图象，再根据对称性画出y轴左侧的图象，如图.
由图象可知函数f（x）的单调递增区间是（－∞，－1]，[1，＋∞），单调递减区间是（－1，0），（0，1）.
11.A 由题意知，f（x）为偶函数，所以f（－2）＝f（2）.又x∈[0，＋∞）时，f（x）单调递减，且3＞2＞1，所以f（3）＜f（2）＜f（1），即f（3）＜f（－2）＜f（1），故选A.
12.C 根据题意，偶函数f（x）在（－∞，0）上单调递增，且f（－2）＝0，则函数f（x）在（0，＋∞）上单调递减，且f（－2）＝f（2）＝0，作出函数f（x）的草图如图所示，
又由xf（x）＜0，可得或由图可得－2＜x＜0或x＞2，即不等式的解集为（－2，0）∪（2，＋∞）.故选C.
13.1 解析：∵f（x）－g（x）＝x3＋x2＋1，∴f（－x）－g（－x）＝－x3＋x2＋1.∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，∴f（－x）＝f（x），g（－x）＝－g（x）.∴f（x）＋g（x）＝－x3＋x2＋1.∴f（1）＋g（1）＝－1＋1＋1＝1.
14.解：（1）∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），
∴－ax－＋c＝－ax－－c，
∴c＝0，∴f（x）＝ax＋.
又∵f（1）＝，f（2）＝，
∴
∴a＝2，b＝.
综上，a＝2，b＝，c＝0.
（2）由（1）可知f（x）＝2x＋.
函数f（x）在区间（0，）上单调递减.
证明如下：任取0＜x1＜x2＜，
则f（x1）－f（x2）＝2x1＋－2x2－
＝（x1－x2）（2－）
＝（x1－x2）.
∵0＜x1＜x2＜，∴x1－x2＜0，＞2x1x2＞0，
4x1x2－1＜0.
∴f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）.
∴f（x）在（0，）上单调递减.
15.AD 化简函数解析式可得，
f（x）＝x－{x}＝
画出函数的图象，如图所示，由图象可知函数y＝f（x）的定义域是R，值域是（－，］，故A为真命题；由图可以得出，函数图象既不关于y轴对称，也不关于坐标原点对称，且f（x）在（－，］上单调递增，故函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数，从而B，C为假命题，D为真命题.
16.解：（1）因为a＞b，所以a－b＞0，
由题意得＞0，
所以f（a）＋f（－b）＞0.
又f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（－b）＝－f（b），
所以f（a）－f（b）＞0，即f（a）＞f（b）.
（2）由（1）知f（x）为增函数，
因为f（1＋m）＋f（3－2m）≥0，所以f（1＋m）≥－f（3－2m），
即f（1＋m）≥f（2m－3），
所以1＋m≥2m－3，所以m≤4.
所以实数m的取值范围为（－∞，4].
1 / 2第二课时 奇偶性的应用
题型一 利用函数的奇偶性求解析式（值）
角度1 定义法求函数解析式
【例1】 已知f（x）为R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝－2x2＋3x＋1.
（1）求f（－1）；
（2）求f（x）的解析式.
尝试解答
【母题探究】
（变条件）若将本例中的“奇”改为“偶”，“x＞0”改为“x≥0”，其他条件不变，求f（x）的解析式.
通性通法
利用函数奇偶性定义求函数解析式的3个步骤
（1）“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设；
（2）转化到已知区间上，代入已知的解析式；
（3）利用f（x）的奇偶性写出－f（－x）或f（－x），从而解出f（x）.
角度2 方程组法求函数解析式
【例2】 设f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝，求函数f（x），g（x）的解析式.
尝试解答
通性通法
已知函数f（x），g（x）组合运算与奇偶性，则把x换为－x，构造方程组求解.
【跟踪训练】
已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8，且f（－2）＝10，则f（2）＝（ ）
A.－26 B.－18
C.－10 D.10
题型二 利用函数的奇偶性与单调性比较大小
【例3】 设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，＋∞）时，f（x）单调递增，则f（－2），f（π），f（－3）的大小关系是（ ）
A.f（π）＞f（－3）＞f（－2）
B.f（π）＞f（－2）＞f（－3）
C.f（π）＜f（－3）＜f（－2）
D.f（π）＜f（－2）＜f（－3）
尝试解答
通性通法
利用函数的奇偶性与单调性比较大小
（1）自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
（2）自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.
【跟踪训练】
已知函数f（x）在[－5，5]上是偶函数，在[0，5]上是单调函数，且f（－4）＜f（－2），则下列不等式一定成立的是（ ）
A.f（－1）＜f（3） B.f（2）＜f（3）
C.f（－3）＜f（5） D.f（0）＞f（1）
题型三 利用函数的单调性和奇偶性解不等式
【例4】 已知定义在[－2，2]上的奇函数f（x）在区间[0，2]上单调递减，若f（1－m）＜f（m），求实数m的取值范围.
尝试解答
【母题探究】
（变条件）若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，把区间“[0，2]”改为“[－2，0]”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
通性通法
利用函数奇偶性与单调性解不等式的步骤
（1）将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；
（2）由已知或利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的对应法则“f”，转化为解不等式（组）的问题.
提醒 在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有写成“f（x）”的形式时，需转化为“f（x）”的形式，如0＝f（1），f（x－1）＜0，则f（x－1）＜f（1）.注意偶函数f（x）中结论f（x）＝f（｜x｜）的灵活运用.
【跟踪训练】
已知函数f（x）是定义在（－2，2）上的奇函数，又是增函数.解关于t的不等式f（t－1）＋f（2t－3）＜0.
1.下列函数中，既是偶函数又在（0，＋∞）上单调递增的是（ ）
A.f（x）＝ B.f（x）＝－x2＋1
C.f（x）＝ D.f（x）＝｜x｜－1
2.设f（x）是R上的偶函数，且在（0，＋∞）上单调递减，若x1＜0且x1＋x2＞0，则（ ）
A.f（－x1）＞f（－x2）
B.f（－x1）＝f（－x2）
C.f（－x1）＜f（－x2）
D.f（－x1）与f（－x2）的大小不确定
3.已知函数f（x）＝为奇函数，则a＋b＝（ ）
A.－1 B.1
C.0 D.2
4.定义在R上的偶函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增，若f（a）＜f（b），则一定可得（ ）
A.a＜b
B.a＞b
C.｜a｜＜｜b｜
D.0≤a＜b或a＞b≥0
5.已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝2x－x2.则当x＜0时，f（x）＝ .
第二课时 奇偶性的应用
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）因为函数f（x）为奇函数，
所以f（－1）＝－f（1）＝－（－2×12＋3×1＋1）＝－2.
（2）当x＜0时，－x＞0，则f（－x）＝－2（－x）2＋3（－x）＋1＝－2x2－3x＋1.
由于f（x）是奇函数，则f（x）＝－f（－x），
所以f（x）＝2x2＋3x－1.
当x＝0时，f（－0）＝－f（0），则f（0）＝－f（0），即f（0）＝0.
所以f（x）的解析式为f（x）＝
母题探究
解：当x＜0时，－x＞0，此时f（－x）＝－2（－x）2＋3（－x）＋1＝－2x2－3x＋1.
由于f（x）是偶函数，则f（x）＝f（－x）＝－2x2－3x＋1，
所以f（x）的解析式为f（x）＝
【例2】 解：∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，∴f（－x）＝f（x），g（－x）＝－g（x），
由f（x）＋g（x）＝， ①
用－x代替x，
得f（－x）＋g（－x）＝，
∴f（x）－g（x）＝， ②
（①＋②）÷2，得f（x）＝；
（①－②）÷2，得g（x）＝.
跟踪训练
A 法一 令g（x）＝x5＋ax3＋bx，易知g（x）是R上的奇函数，从而g（－2）＝－g（2），又f（x）＝g（x）－8，∴f（－2）＝g（－2）－8＝10，∴g（－2）＝18，∴g（2）＝－g（－2）＝－18，∴f（2）＝g（2）－8＝－18－8＝－26.
法二 由已知条件，得
①＋②得f（2）＋f（－2）＝－16.又f（－2）＝10，∴f（2）＝－26.
【例3】 A 因为函数f（x）为R上的偶函数，所以f（－3）＝f（3），f（－2）＝f（2）.又当x∈[0，＋∞）时，f（x）单调递增，且π＞3＞2，所以f（π）＞f（3）＞f（2），故f（π）＞f（－3）＞f（－2）.
跟踪训练
D 因为函数f（x）在[－5，5]上是偶函数，且f（－4）＜f（－2），所以f（4）＜f（2）.又f（x）在[0，5]上是单调函数.所以f（x）在[0，5]上单调递减，从而f（0）＞f（1），故选D.
【例4】 解：因为f（x）在区间[－2，2]上为奇函数，且在区间[0，2]上单调递减，所以f（x）在区间[－2，2]上是减函数.
又f（1－m）＜f（m），所以
即解得－1≤m＜.
故实数m的取值范围是［－1，）.
母题探究
解：因为函数为[－2，2]上的偶函数，又函数在区间[－2，0]上单调递减，所以函数在区间[0，2]上单调递增，
原不等式可化为f（｜1－m｜）＜f（｜m｜），
故可得即
解得＜m≤2.故实数m的取值范围为（，2］.
跟踪训练
解：因为f（x）为（－2，2）上的奇函数，所以f（t－1）＋f（2t－3）＜0可化为f（t－1）＜f（3－2t），
又因为函数f（x）是定义在（－2，2）上的增函数，所以－2＜t－1＜3－2t＜2，解得＜t＜，
所以关于t的不等式f（t－1）＋f（2t－3）＜0的解集为（，）.
随堂检测
1.D A中的函数的定义域关于原点不对称，不具有奇偶性，故排除；B中的函数为偶函数，但在（0，＋∞）上单调递减，故排除；C中的函数是奇函数，故排除；D中的函数是偶函数，且在（0，＋∞）上单调递增.
2.A ∵x1＜0，x1＋x2＞0，∴x2＞－x1＞0，又f（x）在（0，＋∞）上单调递减，∴f（x2）＜f（－x1），∵f（x）是偶函数，∴f（－x2）＝f（x2）＜f（－x1）.
3.C 当x＜0时，－x＞0，∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x）.即ax2－bx＝－x2－x，∴a＝－1，b＝1.故a＋b＝0.
4.C
5.2x＋x2 解析：当x＜0时，－x＞0，于是f（－x）＝2（－x）－（－x）2＝－2x－x2.因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（x）＝－f（－x）＝－（－2x－x2）＝2x＋x2，即f（x）＝2x＋x2（x＜0）.
2 / 3(共53张PPT)
第二课时 奇偶性的应用
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 利用函数的奇偶性求解析式（值）
角度1 定义法求函数解析式
【例1】 已知 f （ x ）为R上的奇函数，当 x ＞0时， f （ x ）＝－2 x2＋
3 x ＋1.
（1）求 f （－1）；
解：因为函数 f （ x ）为奇函数，
所以 f （－1）＝－ f （1）＝－（－2×12＋3×1＋1）＝－2.
（2）求 f （ x ）的解析式.
解：当 x ＜0时，－ x ＞0，则 f （－ x ）＝－2（－ x ）2＋3（－
x ）＋1＝－2 x2－3 x ＋1.
由于 f （ x ）是奇函数，则 f （ x ）＝－ f （－ x ），
所以 f （ x ）＝2 x2＋3 x －1.
当 x ＝0时， f （－0）＝－ f （0），则 f （0）＝－ f （0），即 f
（0）＝0.
所以 f （ x ）的解析式为 f （ x ）＝
【母题探究】
（变条件）若将本例中的“奇”改为“偶”，“ x ＞0”改为“ x
≥0”，其他条件不变，求 f （ x ）的解析式.
解：当 x ＜0时，－ x ＞0，此时 f （－ x ）＝－2（－ x ）2＋3（－ x ）
＋1＝－2 x2－3 x ＋1.
由于 f （ x ）是偶函数，则 f （ x ）＝ f （－ x ）＝－2 x2－3 x ＋1，
所以 f （ x ）的解析式为 f （ x ）＝
通性通法
利用函数奇偶性定义求函数解析式的3个步骤
（1）“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式， x 就应在哪个区
间上设；
（2）转化到已知区间上，代入已知的解析式；
（3）利用 f （ x ）的奇偶性写出－ f （－ x ）或 f （－ x ），从而解出 f
（ x ）.
角度2 方程组法求函数解析式
【例2】 设 f （ x ）是偶函数， g （ x ）是奇函数，且 f （ x ）＋ g
（ x ）＝ ，求函数 f （ x ）， g （ x ）的解析式.
解：∵ f （ x ）是偶函数， g （ x ）是奇函数，∴ f （－ x ）＝ f （ x ），
g （－ x ）＝－ g （ x ），
由 f （ x ）＋ g （ x ）＝ ， ①
用－ x 代替 x ，得 f （－ x ）＋ g （－ x ）＝ ，
∴ f （ x ）－ g （ x ）＝ ， ②
（①＋②）÷2，得 f （ x ）＝ ；
（①－②）÷2，得 g （ x ）＝ .
通性通法
已知函数 f （ x ）， g （ x ）组合运算与奇偶性，则把 x 换为－ x ，构
造方程组求解.
【跟踪训练】
已知 f （ x ）＝ x5＋ ax3＋ bx －8，且 f （－2）＝10，则 f （2）＝（ ）
A. －26 B. －18 C. －10 D. 10
解析： 法一 令 g （ x ）＝ x5＋ ax3＋ bx ，易知 g （ x ）是R上的奇
函数，从而 g （－2）＝－ g （2），又 f （ x ）＝ g （ x ）－8，∴ f （－
2）＝ g （－2）－8＝10，∴ g （－2）＝18，∴ g （2）＝－ g （－2）
＝－18，∴ f （2）＝ g （2）－8＝－18－8＝－26.
法二 由已知条件，得
①＋②得 f （2）＋ f （－2）＝－16.又 f （－2）＝10，∴ f （2）＝－
26.
题型二 利用函数的奇偶性与单调性比较大小
【例3】 设偶函数 f （ x ）的定义域为R，当 x ∈[0，＋∞）时， f
（ x ）单调递增，则 f （－2）， f （π）， f （－3）的大小关系是（ ）
A. f （π）＞ f （－3）＞ f （－2）
B. f （π）＞ f （－2）＞ f （－3）
C. f （π）＜ f （－3）＜ f （－2）
D. f （π）＜ f （－2）＜ f （－3）
解析： 因为函数 f （ x ）为R上的偶函数，所以 f （－3）＝ f
（3）， f （－2）＝ f （2）.又当 x ∈[0，＋∞）时， f （ x ）单调递
增，且π＞3＞2，所以 f （π）＞ f （3）＞ f （2），故 f （π）＞ f （－
3）＞ f （－2）.
通性通法
利用函数的奇偶性与单调性比较大小
（1）自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
（2）自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转
化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.
【跟踪训练】
已知函数 f （ x ）在[－5，5]上是偶函数，在[0，5]上是单调函数，
且 f （－4）＜ f （－2），则下列不等式一定成立的是（ ）
A. f （－1）＜ f （3） B. f （2）＜ f （3）
C. f （－3）＜ f （5） D. f （0）＞ f （1）
解析： 因为函数 f （ x ）在[－5，5]上是偶函数，且 f （－4）＜ f
（－2），所以 f （4）＜ f （2）.又 f （ x ）在[0，5]上是单调函数.所
以 f （ x ）在[0，5]上单调递减，从而 f （0）＞ f （1），故选D.
题型三 利用函数的单调性和奇偶性解不等式
【例4】 已知定义在[－2，2]上的奇函数 f （ x ）在区间[0，2]上单
调递减，若 f （1－ m ）＜ f （ m ），求实数 m 的取值范围.
解：因为 f （ x ）在区间[－2，2]上为奇函数，且在区间[0，2]上单调
递减，所以 f （ x ）在区间[－2，2]上是减函数.
又 f （1－ m ）＜ f （ m ），所以
即解得－1≤ m ＜ .
故实数 m 的取值范围是［－1， ）.
【母题探究】
（变条件）若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，把区间“[0，
2]”改为“[－2，0]”，其他条件不变，求实数 m 的取值范围.
解：因为函数为[－2，2]上的偶函数，又函数在区间[－2，0]上单调
递减，所以函数在区间[0，2]上单调递增，
原不等式可化为 f （｜1－ m ｜）＜ f （｜ m ｜），
故可得即
解得 ＜ m ≤2.故实数 m 的取值范围为（ ，2］.
通性通法
利用函数奇偶性与单调性解不等式的步骤
（1）将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；
（2）由已知或利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱
去”函数的对应法则“ f ”，转化为解不等式（组）的问题.
提醒 在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当
不等式一边没有写成“ f （ x ）”的形式时，需转化为“ f
（ x ）”的形式，如0＝ f （1）， f （ x －1）＜0，则 f （ x －
1）＜ f （1）.注意偶函数 f （ x ）中结论 f （ x ）＝ f （｜
x ｜）的灵活运用.
【跟踪训练】
已知函数 f （ x ）是定义在（－2，2）上的奇函数，又是增函数.解
关于 t 的不等式 f （ t －1）＋ f （2 t －3）＜0.
解：因为 f （ x ）为（－2，2）上的奇函数，所以 f （ t －1）＋ f （2 t
－3）＜0可化为 f （ t －1）＜ f （3－2 t ），
又因为函数 f （ x ）是定义在（－2，2）上的增函数，所以－2＜ t －1
＜3－2 t ＜2，解得 ＜ t ＜ ，
所以关于 t 的不等式 f （ t －1）＋ f （2 t －3）＜0的解集为（ ， ）.
1. 下列函数中，既是偶函数又在（0，＋∞）上单调递增的是（ ）
A. f （ x ）＝ B. f （ x ）＝－ x2＋1
C. f （ x ）＝ D. f （ x ）＝｜ x ｜－1
解析： A中的函数的定义域关于原点不对称，不具有奇偶性，
故排除；B中的函数为偶函数，但在（0，＋∞）上单调递减，故
排除；C中的函数是奇函数，故排除；D中的函数是偶函数，且在
（0，＋∞）上单调递增.
2. 设 f （ x ）是R上的偶函数，且在（0，＋∞）上单调递减，若 x1＜0
且 x1＋ x2＞0，则（ ）
A. f （－ x1）＞ f （－ x2）
B. f （－ x1）＝ f （－ x2）
C. f （－ x1）＜ f （－ x2）
D. f （－ x1）与 f （－ x2）的大小不确定
解析： ∵ x1＜0， x1＋ x2＞0，∴ x2＞－ x1＞0，又 f （ x ）在
（0，＋∞）上单调递减，∴ f （ x2）＜ f （－ x1），∵ f （ x ）是偶
函数，∴ f （－ x2）＝ f （ x2）＜ f （－ x1）.
3. 已知函数 f （ x ）＝为奇函数，则 a ＋ b ＝（ ）
A. －1 B. 1
C. 0 D. 2
解析： 当 x ＜0时，－ x ＞0，∵ f （ x ）为奇函数，∴ f （－
x ）＝－ f （ x ）.即 ax2－ bx ＝－ x2－ x ，∴ a ＝－1， b ＝1.故
a ＋ b ＝0.
4. 定义在R上的偶函数 f （ x ）在[0，＋∞）上单调递增，若 f （ a ）
＜ f （ b ），则一定可得（ ）
A. a ＜ b B. a ＞ b
C. ｜ a ｜＜｜ b ｜ D. 0≤ a ＜ b 或 a ＞ b ≥0
5. 已知 f （ x ）是定义在R上的奇函数，且当 x ≥0时， f （ x ）＝2 x －
x2.则当 x ＜0时， f （ x ）＝ .
解析：当 x ＜0时，－ x ＞0，于是 f （－ x ）＝2（－ x ）－（－ x ）2
＝－2 x － x2.因为 f （ x ）是定义在R上的奇函数，所以 f （ x ）＝－
f （－ x ）＝－（－2 x － x2）＝2 x ＋ x2，即 f （ x ）＝2 x ＋ x2（ x ＜0）.
2 x ＋ x2
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 设函数 f （ x ）＝且 f （ x ）为偶函数，则 g （－2）＝（ ）
A. 6 B. －6
C. 2 D. －2
解析： g （－2）＝ f （－2）＝ f （2）＝22＋2＝6.
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2. 如果奇函数 f （ x ）在区间[－3，－1]上单调递增且有最大值5，那
么函数 f （ x ）在区间[1，3]上（ ）
A. 单调递增且最小值为－5
B. 单调递增且最大值为－5
C. 单调递减且最小值为－5
D. 单调递减且最大值为－5
解析： f （ x ）为奇函数，∴ f （ x ）在[1，3]上的单调性与[－
3，－1]上一致且 f （1）为最小值，又已知 f （－1）＝5，∴ f （－
1）＝－ f （1）＝5，∴ f （1）＝－5，故选A.
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3. 已知函数 y ＝ f （ x ）是R上的偶函数，且 f （ x ）在[0，＋∞）上单
调递减，若 f （ a ）≥ f （－2），则 a 的取值范围是（ ）
A. a ≤－2 B. a ≥2
C. a ≤－2或 a ≥2 D. －2≤ a ≤2
解析： 由 f （ a ）≥ f （－2）得 f （｜ a ｜）≥ f （2），∴｜
a ｜≤2，∴－2≤ a ≤2.
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4. 已知函数 y ＝ f （ x ）是偶函数，其图象与 x 轴有4个交点，则方程 f
（ x ）＝0的所有实根之和是（ ）
A. 4 B. 2
C. 1 D. 0
解析： y ＝ f （ x ）是偶函数，所以 y ＝ f （ x ）的图象关于 y 轴
对称，所以 f （ x ）＝0的所有实根之和为0.
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5. （多选）已知定义在区间[－7，7]上的一个偶函数，它在[0，7]上
的图象如图，则下列说法正确的有（ ）
A. 这个函数有两个单调递增区间
B. 这个函数有三个单调递减区间
C. 这个函数在其定义域内有最大值7
D. 这个函数在其定义域内有最小值－7
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解析： 根据偶函数在[0，7]上的图象及
其对称性，作出其在[－7，7]上的图象，如
图所示.由图象可知这个函数有三个单调递增
区间，有三个单调递减区间，在其定义域内
有最大值7，最小值不是－7，故选B、C.
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6. （多选）已知函数 f （ x ）是R上的奇函数，且当 x ≥0时， f （ x ）
＝ x2＋ x ＋ a －2，则（ ）
A. a ＝2 B. f （2）＝2
C. f （ x ）是R上的增函数 D. f （－3）＝－12
解析： f （ x ）是R上的奇函数，故 f （0）＝ a －2＝0，得 a
＝2，故A正确. f （2）＝4＋2＝6，故B错误.当 x ≥0时， f （ x ）＝
x2＋ x 在[0，＋∞）上单调递增，利用奇函数的对称性可知， f （ x ）在（－∞，0]上单调递增，故 f （ x ）是R上的增函数，故C正确. f （－3）＝－ f （3）＝－9－3＝－12，故D正确.故选A、C、D.
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7. 已知函数 f （ x ）＝ 为奇函数，则实数 a ＝ .
解析：根据题意，函数 f （ x ）＝ 的定义域为{ x ｜
x ≠0}，且为奇函数，则有 f （ x ）＋ f （－ x ）＝0，即
＋ ＝0，变形整理得2（ a ＋1）＝
0，解得 a ＝－1.
－1
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8. 已知函数 f （ x ）为偶函数，且当 x ＜0时， f （ x ）＝ x ＋1，则 x ＞0
时， f （ x ）＝ .
解析：当 x ＞0时，－ x ＜0，∴ f （－ x ）＝－ x ＋1，又 f （ x ）为偶
函数，∴ f （ x ）＝－ x ＋1.
－ x ＋1
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9. 若 f （ x ）＝（ m －1） x2＋6 mx ＋2是偶函数，则 f （0）， f
（1）， f （－2）从小到大的排列是 .
解析：∵ f （ x ）是偶函数，∴ f （－ x ）＝ f （ x ）恒成立，即（ m
－1） x2－6 mx ＋2＝（ m －1） x2＋6 mx ＋2恒成立，∴ m ＝0，即 f
（ x ）＝－ x2＋2.∵ f （ x ）的图象开口向下，对称轴为 y 轴，在
[0，＋∞）上单调递减，∴ f （2）＜ f （1）＜ f （0），又∵ f
（ x ）＝－ x2＋2为偶函数，∴ f （2）＝ f （－2）.即 f （－2）＜ f
（1）＜ f （0）.
f （－2）＜ f （1）＜ f （0）
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10. 已知函数 y ＝ f （ x ）的图象关于原点对称，且当 x ＞0时， f （ x ）
＝ x2－2 x ＋3.
（1）试求 f （ x ）在R上的解析式；
解：因为函数 f （ x ）的图象关于原点对称，
所以 f （ x ）为奇函数，则 f （0）＝0.
设 x ＜0，则－ x ＞0，
因为当 x ＞0时， f （ x ）＝ x2－2 x ＋3.
所以当 x ＜0时， f （ x ）＝－ f （－ x ）＝－（ x2＋2 x ＋3）
＝－ x2－2 x －3.
于是有 f （ x ）＝
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（2）画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.
解：先画出函数在 y 轴右侧的图象，再根据对称性画出 y 轴左侧的图象，如图.
由图象可知函数 f （ x ）的单调递增区间
是（－∞，－1]，[1，＋∞），单调递
减区间是（－1，0），（0，1）.
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11. 定义在R上的偶函数 f （ x ），对任意 x1， x2∈[0，＋∞）（ x1≠
x2），有 ＜0，则（ ）
A. f （3）＜ f （－2）＜ f （1）
B. f （1）＜ f （－2）＜ f （3）
C. f （－2）＜ f （1）＜ f （3）
D. f （3）＜ f （1）＜ f （－2）
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解析： 由题意知， f （ x ）为偶函数，所以 f （－2）＝ f （2）.
又 x ∈[0，＋∞）时， f （ x ）单调递减，且3＞2＞1，所以 f （3）
＜ f （2）＜ f （1），即 f （3）＜ f （－2）＜ f （1），故选A.
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12. 设 f （ x ）为偶函数，且在区间（－∞，0）上单调递增， f （－
2）＝0，则 xf （ x ）＜0的解集为（ ）
A. （－1，0）∪（2，＋∞）
B. （－∞，－2）∪（0，2）
C. （－2，0）∪（2，＋∞）
D. （－2，0）∪（0，2）
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解析： 根据题意，偶函数 f （ x ）在（－∞，0）上单调递增，
且 f （－2）＝0，则函数 f （ x ）在（0，＋∞）上单调递减，且 f
（－2）＝ f （2）＝0，作出函数 f （ x ）的草图如图所示，又由 xf
（ x ）＜0，可得或由图可得－2＜ x ＜
0或 x ＞2，即不等式的解集为（－2，0）∪（2，＋∞）.故选C.
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13. 已知 f （ x ）， g （ x ）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且 f
（ x ）－ g （ x ）＝ x3＋ x2＋1，则 f （1）＋ g （1）＝ .
解析：∵ f （ x ）－ g （ x ）＝ x3＋ x2＋1，∴ f （－ x ）－ g （－
x ）＝－ x3＋ x2＋1.∵ f （ x ）是偶函数， g （ x ）是奇函数，∴ f
（－ x ）＝ f （ x ）， g （－ x ）＝－ g （ x ）.∴ f （ x ）＋ g （ x ）
＝－ x3＋ x2＋1.∴ f （1）＋ g （1）＝－1＋1＋1＝1.
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14. 已知函数 f （ x ）＝ ax ＋ ＋ c （ a ， b ， c 是常数）是奇函数，且
满足 f （1）＝ ， f （2）＝ .
（1）求 a ， b ， c 的值；
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解：∵ f （ x ）为奇函数，∴ f （－ x ）＝－ f （ x ），
∴－ ax － ＋ c ＝－ ax － － c ，
∴ c ＝0，∴ f （ x ）＝ ax ＋ .
又∵ f （1）＝ ， f （2）＝ ，∴
∴ a ＝2， b ＝ .
综上， a ＝2， b ＝ ， c ＝0.
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（2）试判断函数 f （ x ）在区间（0， ）上的单调性并证明.
解：由（1）可知 f （ x ）＝2 x ＋ .
函数 f （ x ）在区间（0， ）上单调递减.
证明如下：任取0＜ x1＜ x2＜ ，
则 f （ x1）－ f （ x2）＝2 x1＋ －2 x2－
＝（ x1－ x2）（2－ ）＝（ x1－ x2） .
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∵0＜ x1＜ x2＜ ，∴ x1－ x2＜0， ＞2 x1 x2＞0，
4 x1 x2－1＜0.
∴ f （ x1）－ f （ x2）＞0，即 f （ x1）＞ f （ x2）.
∴ f （ x ）在（0， ）上单调递减.
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15. （多选）给出定义：若 m － ＜ x ≤ m ＋ （其中 m 为整数），则
称 m 为离实数 x 最近的整数，记作{ x }，即{ x }＝ m .则下列关于函
数 f （ x ）＝ x －{ x }的四个命题中是真命题的有（ ）
A. 函数 y ＝ f （ x ）的定义域是R，值域是（－ ， ］
B. 函数 y ＝ f （ x ）是偶函数
C. 函数 y ＝ f （ x ）是奇函数
D. 函数 y ＝ f （ x ）在（－ ， ］上单调递增
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解析： 化简函数解析式可得，
f （ x ）＝ x －{ x }＝
画出函数的图象，如图所示，由图象可知函数 y ＝ f （ x ）的定义域是R，值域是（－ ， ］，故A为真命题；由图可以得出，函数图象既不关于 y 轴对称，也不关于坐标原点对称，且 f
（ x ）在（－ ， ］上单调递增，故函数 f （ x ）既不是奇函数，也不是偶函数，从而B，C为假命题，D为真命题.
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16. 设 f （ x ）是定义在R上的奇函数，且对任意 a ， b ∈R，当 a ＋ b
≠0时，都有 ＞0.
（1）若 a ＞ b ，试比较 f （ a ）与 f （ b ）的大小关系；
解：因为 a ＞ b ，所以 a － b ＞0，
由题意得 ＞0，
所以 f （ a ）＋ f （－ b ）＞0.
又 f （ x ）是定义在R上的奇函数，
所以 f （－ b ）＝－ f （ b ），
所以 f （ a ）－ f （ b ）＞0，即 f （ a ）＞ f （ b ）.
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（2）若 f （1＋ m ）＋ f （3－2 m ）≥0，求实数 m 的取值范围.
解：由（1）知 f （ x ）为增函数，
因为 f （1＋ m ）＋ f （3－2 m ）≥0，所以 f （1＋ m ）≥－ f
（3－2 m ），即 f （1＋ m ）≥ f （2 m －3），
所以1＋ m ≥2 m －3，所以 m ≤4.
所以实数 m 的取值范围为（－∞，4].
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谢 谢 观 看！
