培优课 函数性质的综合问题
1.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋2）＝f（x），则f（2）＝（ ）
A.0 B.1
C.2 D.4
2.已知f（x）＝（m－1）x2＋2mx＋3为偶函数，则f（x）在区间（2，5）上（ ）
A.单调递增 B.单调递减
C.先增后减 D.先减后增
3.已知函数f（x）满足f（2x＋1）＝4x2－6x＋5，则f（x）＝（ ）
A.f（x）＝x2＋5x＋9 B.f（x）＝x2＋5x－9
C.f（x）＝x2－5x＋9 D.f（x）＝x2－5x－9
4.已知函数y＝f（x）的定义域为[－8，1]，则函数g（x）＝的定义域为（ ）
A.［－，－2）∪（－2，0]
B.[－8，－2）∪（－2，1]
C.（－∞，－2）∪（－2，3]
D.［－，－2］
5.已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且f（x）＝f（4－x），当－2≤x＜0时，f（x）＝，则f（）＝（ ）
A.－2 B.－
C. D.2
6.已知定义在R上的奇函数f（x），且当x∈[0，＋∞）时，f（x）单调递增，则不等式f（2x＋1）＋f（1）≥0的解集是（ ）
A.（－∞，1） B.（－1，＋∞）
C.[－1，＋∞） D.（－∞，1]
7.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x－4）＝－f（x），且在区间[0，2]上单调递增，则（ ）
A.f（－1）＜f（3）＜f（4）
B.f（4）＜f（3）＜f（－1）
C.f（3）＜f（4）＜f（－1）
D.f（－1）＜f（4）＜f（3）
8.若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R，有f（x1＋x2）＝f（x1）＋f（x2）＋1，则下列说法一定正确的是（ ）
A.f（x）－1为奇函数 B.f（x）－1为偶函数
C.f（x）＋1为奇函数 D.f（x）＋1为偶函数
9.（多选）已知函数f（x）＝则（ ）
A.f（x）为偶函数
B.f（x）在区间［，1］上单调递减
C.f（x）的最大值为
D.f（x）的最小值为－2
10.（多选）关于函数g（x）＝，下列结论中正确的是（ ）
A.g（x）的图象过原点
B.g（x）是奇函数
C.g（x）在区间（1，＋∞）上单调递增
D.g（x）是定义域上的增函数
11.（多选）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A.f（0）＝0
B.若f（x）在[0，＋∞）上有最小值－1，则f（x）在（－∞，0]上有最大值1
C.若x＞0时，f（x）＝x2－2x，则x＜0时，f（x）＝－x2－2x
D.若f（x）在[1，＋∞）上单调递增，则f（x）在（－∞，－1]上单调递减
12.（多选）已知定义在R上的函数f（x）在（－∞，2]上单调递增，且f（x＋2）为偶函数，则（ ）
A.f（x）的对称中心为（2，0）
B.f（x）的对称轴为直线x＝2
C.f（－1）＞f（4）
D.不等式f（x＋3）＞f（4x）的解集为（－∞，）∪（1，＋∞）
13.写出一个同时满足下列条件的非常数函数 .
①在[0，＋∞）上单调递增；②值域为[1，＋∞）；③f（x）＝f（－x）.
14.已知函数f（x）＝若f（x）值域为［－，2］，则实数c的范围是 .
15.已知偶函数f（x）和奇函数g（x）的定义域都是（－4，4），且在（－4，0]上的图象如图所示，则关于x的不等式f（x）·g（x）＜0的解集是 .
16.已知函数f（x）＝若f（x－1）＜f（2x＋1），则x的取值范围为 .
17.已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＜0时，f（x）＝1＋.
（1）求f（2）的值；
（2）用定义法判断y＝f（x）在区间（－∞，0）上的单调性；
（3）求当x＞0时，f（x）的解析式.
18.已知函数f（x）＝x2－mx（m＞0）在区间[0，2]上的最小值为g（m）.
（1）求函数g（m）的解析式；
（2）定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的函数h（x）为偶函数，且当x＞0时，h（x）＝g（x）.若h（t）＞h（4），求实数t的取值范围.
培优课 函数性质的综合问题
1.A 由题意得f（0＋2）＝f（2）＝f（0）＝0.
2.B 由f（x）是偶函数，即f（－x）＝f（x），得m＝0，所以f（x）＝－x2＋3，画出函数f（x）＝－x2＋3的图象（图略）知，在区间（2，5）上单调递减.
3.C 因为f（2x＋1）＝4x2－6x＋5，x∈R，令t＝2x＋1，则x＝（t－1），t∈R，所以f（t）＝4×（t－1）2－6×（t－1）＋5＝t2－2t＋1－3t＋3＋5＝t2－5t＋9，故f（x）＝x2－5x＋9，故选C.
4.A 因为函数y＝f（x）的定义域为[－8，1]，对于函数g（x）＝，则有解得－≤x＜－2或－2＜x≤0.因此，函数g（x）的定义域为［－，－2）∪（－2，0]，故选A.
5.D ∵f（x）＝f（4－x），∴f（x）的图象关于直线x＝2对称，∴f（）＝f（）.又∵函数f（x）为奇函数，∴f（）＝－f（－）＝－（－2）＝2，即f（）＝2.
6.C 因为函数f（x）是奇函数，所以不等式f（2x＋1）＋f（1）≥0等价于f（2x＋1）≥f（－1）.又当x≥0时，函数f（x）单调递增，所以函数f（x）在R上为增函数，所以f（2x＋1）≥f（－1）等价于2x＋1≥－1，解得x≥－1.
7.D 因为f（x）满足f（x－4）＝－f（x），则f（－4）＝－f（0），又f（x）在R上是奇函数，所以f（0）＝0，故f（－4）＝－f（0）＝0，所以f（4）＝－f（－4）＝0.由f（x）＝－f（－x）及f（x－4）＝－f（x），得f（3）＝－f（－3）＝－f（1－4）＝f（1），又f（x）在区间[0，2]上单调递增，所以f（1）＞f（0）， 即f（1）＞0，所以f（－1）＝－f（1）＜0，f（3）＝f（1）＞0，于是f（－1）＜f（4）＜f（3）.
8.C ∵对任意x1，x2∈R有f（x1＋x2）＝f（x1）＋f（x2）＋1，令x1＝x2＝0，得f（0）＝－1.令x1＝x，x2＝－x，得f（0）＝f（x）＋f（－x）＋1.∴f（x）＋1＝－f（－x）－1＝－[f（－x）＋1]，∴f（x）＋1为奇函数.
9.BCD 作出f（x）在区间[－1，2]上的大致图象如图所示，f（x）的定义域不关于原点对称，不是偶函数，故A错误；由图象可知，f（x） 在区间［，1］上单调递减，故B正确；当x＝－或时，f（x）max＝，当x＝2时，f（x）min＝－2，故C、D正确.
10.AC 因为g（0）＝0，故选项A正确；又g（x）的定义域为（－∞，1）∪（1，＋∞），不关于原点对称，故g（x）不是奇函数，故选项B错误；又g（x）＝＝＝－2＋，则当x∈（1，＋∞）时，g（x）单调递增，故选项C正确；又g（0）＝0，g（2）＝－4，g（0）＞g（2），故选项D错误.故选A、C.
11.ABC 对于A，f（0）＝－f（－0）＝－f（0），∴f（0）＝0，正确；对于B，由于f（x）是在R上的奇函数，若x≥0则－x≤0，由f（－x）＝－f（x）且f（x）≥－1，∴f（－x）≤1，即（－∞，0]上最大值为1，正确；对于C，当x＜0时，f（x）＝－f（－x）＝－（－x）2＋2（－x）＝－x2－2x，正确；对于D，根据函数图象关于原点对称，当f（x）在[1，＋∞）上单调递增，则在（－∞，－1]上也单调递增，错误.
12.BD 因为f（x＋2）为偶函数，其图象关于y轴对称，所以f（x）图象的对称轴为直线x＝2，故A错误，B正确；又f（x）在（－∞，2]上单调递增，所以f（x）在[2，＋∞）上单调递减，所以f（－1）＝f（5）＜f（4），故C错误；由不等式f（x＋3）＞f（4x）结合f（x）的对称性及单调性，得｜x＋3－2｜＜｜4x－2｜，即（x＋3－2）2＜（4x－2）2，即（5x－1）·（3x－3）＞0，解得x＜或x＞1，所以不等式f（x＋3）＞f（4x）的解集为（－∞，）∪（1，＋∞），故D正确.
13.f（x）＝x2＋1（答案不唯一） 解析：由f（x）＝f（－x）得函数为偶函数，关于y轴对称，结合单调性及值域，可以为f（x）＝x2＋1.
14.［－1，－］ 解析：当x＝2时，f（2）＝4－2＝2，f（x）＝x2－x＝（x－）2－≥－，∵f（x）值域为［－，2］，∴由f（x）＝－＝2，得x＝－，
由f（x）＝x2－x＝2，得x2－x－2＝0，解得x＝2或x＝－1，作出图象如图.由图象可得，要满足题意则－1≤c≤－.即实数c的取值范围是［－1，－］.
15.（－4，－2）∪（0，2） 解析：设h（x）＝f（x）g（x），则h（－x）＝f（－x）·g（－x）＝－f（x）g（x）＝－h（x），所以h（x）是奇函数，由图象可知，当－4＜x＜－2时，f（x）＞0，g（x）＜0，即h（x）＜0，当0＜x＜2时，f（x）＜0，g（x）＞0，即h（x）＜0，所以h（x）＜0的解集为（－4，－2）∪（0，2）.
16.（－∞，－2）∪（0，＋∞） 解析：若x＞0，则－x＜0，f（－x）＝（－x）2＋2x＝x2＋2x＝f（x），同理可得，当x＜0时，f（－x）＝f（x），且x＝0时，f（0）＝f（0），所以f（x）是偶函数.因为当x＞0时，函数f（x）单调递增，所以不等式f（x－1）＜f（2x＋1）等价于｜x－1｜＜｜2x＋1｜，整理得x（x＋2）＞0，解得x＞0或x＜－2.
17.解：（1）根据题意，得函数f（x）为奇函数，
当x＜0时，f（x）＝1＋，
则f（2）＝－f（－2）＝－（1＋）＝－.
（2）根据题意得，当x＜0时，f（x）＝1＋.
在（－∞，0）上任取x1，x2，且x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）＝（1＋）－（1＋）＝－＝.
又由x1－1＜0，x2－1＜0，x2－x1＞0，
可得f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）.
由定义可知，函数y＝f（x）在区间（－∞，0）上单调递减.
（3）当x＞0时，－x＜0，则f（－x）＝1－，
由函数f（x）为奇函数知f（x）＝－f（－x），
所以f（x）＝－1＋＝－.
18.解：（1）因为f（x）＝x2－mx＝（x－）2－（m＞0），所以当0＜≤2，即0＜m≤4时，
此时g（m）＝f（）＝－.
当m＞4时，函数f（x）＝（x－）2－在区间[0，2]上单调递减，
此时g（m）＝f（2）＝4－2m.
综上可知，g（m）＝
（2）因为当x＞0时，h（x）＝g（x），
所以当x＞0时，h（x）＝
易知函数h（x）在（0，＋∞）上单调递减，
因为定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的函数h（x）为偶函数，且h（t）＞h（4），
所以0＜｜t｜＜4，
解得－4＜t＜0或0＜t＜4.
综上所述，实数t的取值范围为（－4，0）∪（0，4）.
2 / 3培优课 函数性质的综合问题
题型一 函数图象的对称性
【例1】 已知函数f（x）的定义域为R，若f（1－x）为奇函数，f（x－1）为偶函数.设f（－2）＝1，则f（2）＝（ ）
A.－1 B.0
C.1 D.2
尝试解答
通性通法
1.函数图象关于直线对称
y＝f（x）在定义域内 恒满足的条件 y＝f（x）的图象的 对称轴
f（a＋x）＝f（a－x） 直线x＝a
f（x）＝f（a－x） 直线x＝
f（a＋x）＝f（b－x） 直线x＝
2.函数图象关于点对称
y＝f（x）在定义域内 恒满足的条件 y＝f（x）的图象的 对称中心
f（a－x）＝－f（a＋x） （a，0）
f（x）＝－f（a－x） （，0）
f（a＋x）＝－f（b－x） （，0）
f（a＋x）＋f（b－x）＝c （，）
【跟踪训练】
1.定义在R上的偶函数y＝f（x），其图象关于点（，0）对称，且x∈[0，1]时，f（x）＝－x＋，则f（）＝（ ）
A.－1 B.0
C.1 D.
2.已知图象开口向上的二次函数f（x），对任意x∈R，都满足f（－x）＝f（x＋），若f（x）在区间（a，2a－1）上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A.（－∞，］ B.（1，］
C.［－，＋∞） D.（－∞，2]
题型二 函数性质的综合应用
【例2】 已知函数f（x）＝是定义在（－1，1）上的奇函数，且f（）＝.
（1）确定函数f（x）的解析式；
（2）用定义法证明f（x）在（－1，1）上是增函数；
（3）解不等式：f（t－1）＋f（t）＜0.
尝试解答
通性通法
奇偶性、单调性的综合应用
利用函数的奇偶性将函数式转化，利用单调性解决常见不等式问题，在综合性题目中，要熟练掌握奇偶性、单调性的性质及变形，适当应用解题技巧，化简求值，解题时，一定要特别注意函数的定义域.
【跟踪训练】
已知函数f（x）的定义域为（－2，2），函数g（x）＝f（x－1）＋f（3－2x）.
（1）求函数g（x）的定义域；
（2）若f（x）为奇函数，并且是减函数，求不等式g（x）≤0的解集.
培优课 函数性质的综合问题
【典型例题·精研析】
【例1】 A ∵f（x－1）为偶函数，∴f（－x－1）＝f（x－1），∴f（x）图象关于直线x＝－1对称，∴f（－2）＝f（0）＝1；∵f（1－x）为奇函数，∴f（1＋x）＝－f（1－x），∴f（x）图象关于点（1，0）对称，∴f（2）＝－f（0）＝－1，故选A.
跟踪训练
1.B ∵y＝f（x）的图象关于点（，0）对称，∴f（＋x）＋f（－x）＝0，即f（1＋x）＋f（－x）＝0.又∵y＝f（x）为偶函数，∴f（－x）＝f（x），∴f（1＋x）＋f（x）＝0，即f（1＋x）＝－f（x），∴f（）＝－f（）＝0.
2.B 由f（－x）＝f（x＋），得函数f（x）图象的对称轴是直线x＝，又二次函数f（x）图象开口向上，若f（x）在区间（a，2a－1）上单调递减，则解得1＜a≤.故选B.
【例2】 解：（1）根据题意得即
解得∴f（x）＝.
（2）证明：任取x1，x2∈（－1，1），且令x1＜x2，
f（x1）－f（x2）＝－＝.
∵－1＜x1＜x2＜1，
∴x1－x2＜0，1＋＞0，1＋＞0，1－x1x2＞0，
∴f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（－1，1）上是增函数.
（3）f（t－1）＜－f（t）＝f（－t）.
∵f（x）在（－1，1）上是增函数，
∴解得0＜t＜.
∴不等式的解集为t｜0＜t＜.
跟踪训练
解：（1）由题意可知
所以解得＜x＜，
故函数g（x）的定义域为（，）.
（2）由g（x）≤0，得f（x－1）＋f（3－2x）≤0，
所以f（x－1）≤－f（3－2x）.
因为f（x）为奇函数，所以f（x－1）≤f（2x－3）.
又f（x）是减函数，
所以解得＜x≤2.
所以不等式g（x）≤0的解集为（，2］.
1 / 2(共50张PPT)
培优课 函数性质的综合问题
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 函数图象的对称性
【例1】 已知函数 f （ x ）的定义域为R，若 f （1－ x ）为奇函数， f
（ x －1）为偶函数.设 f （－2）＝1，则 f （2）＝（ ）
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
解析： ∵ f （ x －1）为偶函数，∴ f （－ x －1）＝ f （ x －1），∴ f
（ x ）图象关于直线 x ＝－1对称，∴ f （－2）＝ f （0）＝1；∵ f （1
－ x ）为奇函数，∴ f （1＋ x ）＝－ f （1－ x ），∴ f （ x ）图象关于
点（1，0）对称，∴ f （2）＝－ f （0）＝－1，故选A.
通性通法
1. 函数图象关于直线对称
y ＝ f （ x ）在定义域内 恒满足的条件 y ＝ f （ x ）的图象的
对称轴
f （ a ＋ x ）＝ f （ a － x ） 直线 x ＝ a
f （ x ）＝ f （ a － x ）
f （ a ＋ x ）＝ f （ b － x ）
2. 函数图象关于点对称
y ＝ f （ x ）在定义域内 恒满足的条件 y ＝ f （ x ）的图象的
对称中心
f （ a － x ）＝－f （ a ＋ x ） （ a ，0）
f （ x ）＝－ f （ a － x ）
f （ a ＋ x ）＝－ f （ b － x ）
f （ a ＋ x ）＋ f （ b － x ）＝ c
【跟踪训练】
1. 定义在R上的偶函数 y ＝ f （ x ），其图象关于点（ ，0）对称，且
x ∈[0，1]时， f （ x ）＝－ x ＋ ，则 f （ ）＝（ ）
A. －1 B. 0
C. 1
解析： ∵ y ＝ f （ x ）的图象关于点（ ，0）对称，∴ f （ ＋
x ）＋ f （ － x ）＝0，即 f （1＋ x ）＋ f （－ x ）＝0.又∵ y ＝ f
（ x ）为偶函数，∴ f （－ x ）＝ f （ x ），∴ f （1＋ x ）＋ f （ x ）
＝0，即 f （1＋ x ）＝－ f （ x ），∴ f （ ）＝－ f （ ）＝0.
2. 已知图象开口向上的二次函数 f （ x ），对任意 x ∈R，都满足 f （
－ x ）＝ f （ x ＋ ），若 f （ x ）在区间（ a ，2 a －1）上单调递
减，则实数 a 的取值范围为（ ）
D. （－∞，2]
解析： 由 f （ － x ）＝ f （ x ＋ ），得函数 f （ x ）图象的对称
轴是直线 x ＝ ，又二次函数 f （ x ）图象开口向上，若 f （ x ）在区
间（ a ，2 a －1）上单调递减，则解得1＜ a ≤ .故
选B.
题型二 函数性质的综合应用
【例2】 已知函数 f （ x ）＝ 是定义在（－1，1）上的奇函
数，且 f （ ）＝ .
（1）确定函数 f （ x ）的解析式；
解：根据题意得即
解得∴ f （ x ）＝ .
（2）用定义法证明 f （ x ）在（－1，1）上是增函数；
解：证明：任取 x1， x2∈（－1，1），且令 x1＜ x2，
f （ x1）－ f （ x2）＝ － ＝ .
∵－1＜ x1＜ x2＜1，
∴ x1－ x2＜0，1＋ ＞0，1＋ ＞0，1－ x1 x2＞0，
∴ f （ x1）－ f （ x2）＜0，即 f （ x1）＜ f （ x2），
∴ f （ x ）在（－1，1）上是增函数.
（3）解不等式： f （ t －1）＋ f （ t ）＜0.
解： f （ t －1）＜－ f （ t ）＝ f （－ t ）.
∵ f （ x ）在（－1，1）上是增函数，
∴解得0＜ t ＜ .
∴不等式的解集为{ t ｜0＜ t ＜ }.
通性通法
奇偶性、单调性的综合应用
利用函数的奇偶性将函数式转化，利用单调性解决常见不等
式问题，在综合性题目中，要熟练掌握奇偶性、单调性的性质及
变形，适当应用解题技巧，化简求值，解题时，一定要特别注意
函数的定义域.
【跟踪训练】
已知函数 f （ x ）的定义域为（－2，2），函数 g （ x ）＝ f （ x －1）＋ f （3－2 x ）.
（1）求函数 g （ x ）的定义域；
解：由题意可知
所以解得 ＜ x ＜ ，
故函数 g （ x ）的定义域为（ ， ）.
（2）若 f （ x ）为奇函数，并且是减函数，求不等式 g （ x ）≤0
的解集.
解：由 g （ x ）≤0，得 f （ x －1）＋ f （3－2 x ）≤0，
所以 f （ x －1）≤－ f （3－2 x ）.
因为 f （ x ）为奇函数，所以 f （ x －1）≤ f （2 x －3）.
又 f （ x ）是减函数，
所以解得 ＜ x ≤2.
所以不等式 g （ x ）≤0的解集为（ ，2］.
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 已知定义在R上的奇函数 f （ x ）满足 f （ x ＋2）＝ f （ x ），则 f
（2）＝（ ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 4
解析： 由题意得 f （0＋2）＝ f （2）＝ f （0）＝0.
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2. 已知 f （ x ）＝（ m －1） x2＋2 mx ＋3为偶函数，则 f （ x ）在区间
（2，5）上（ ）
A. 单调递增 B. 单调递减
C. 先增后减 D. 先减后增
解析： 由 f （ x ）是偶函数，即 f （－ x ）＝ f （ x ），得 m ＝0，
所以 f （ x ）＝－ x2＋3，画出函数 f （ x ）＝－ x2＋3的图象（图
略）知，在区间（2，5）上单调递减.
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3. 已知函数 f （ x ）满足 f （2 x ＋1）＝4 x2－6 x ＋5，则 f （ x ）＝（ ）
A. f （ x ）＝ x2＋5 x ＋9
B. f （ x ）＝ x2＋5 x －9
C. f （ x ）＝ x2－5 x ＋9
D. f （ x ）＝ x2－5 x －9
解析： 因为 f （2 x ＋1）＝4 x2－6 x ＋5， x ∈R，令 t ＝2 x ＋1，
则 x ＝ （ t －1）， t ∈R，所以 f （ t ）＝4× （ t －1）2－6× （ t
－1）＋5＝ t2－2 t ＋1－3 t ＋3＋5＝ t2－5 t ＋9，故 f （ x ）＝ x2－5 x
＋9，故选C.
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4. 已知函数 y ＝ f （ x ）的定义域为[－8，1]，则函数 g （ x ）＝
的定义域为（ ）
B. [－8，－2）∪（－2，1]
C. （－∞，－2）∪（－2，3]
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解析： 因为函数 y ＝ f （ x ）的定义域为[－8，1]，对于函数 g
（ x ）＝ ，则有解得－ ≤ x ＜－2或
－2＜ x ≤0.因此，函数 g （ x ）的定义域为［－ ，－2）∪（－
2，0]，故选A.
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5. 已知函数 f （ x ）是定义域为R的奇函数，且 f （ x ）＝ f （4－ x ），
当－2≤ x ＜0时， f （ x ）＝ ，则 f （ ）＝（ ）
A. －2
D. 2
解析： ∵ f （ x ）＝ f （4－ x ），∴ f （ x ）的图象关于直线 x ＝
2对称，∴ f （ ）＝ f （ ）.又∵函数 f （ x ）为奇函数，∴ f （ ）
＝－ f （－ ）＝－（－2）＝2，即 f （ ）＝2.
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6. 已知定义在R上的奇函数 f （ x ），且当 x ∈[0，＋∞）时， f （ x ）
单调递增，则不等式 f （2 x ＋1）＋ f （1）≥0的解集是（ ）
A. （－∞，1） B. （－1，＋∞）
C. [－1，＋∞） D. （－∞，1]
解析： 因为函数 f （ x ）是奇函数，所以不等式 f （2 x ＋1）＋ f
（1）≥0等价于 f （2 x ＋1）≥ f （－1）.又当 x ≥0时，函数 f
（ x ）单调递增，所以函数 f （ x ）在R上为增函数，所以 f （2 x ＋
1）≥ f （－1）等价于2 x ＋1≥－1，解得 x ≥－1.
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7. 已知定义在R上的奇函数 f （ x ）满足 f （ x －4）＝－ f （ x ），且在
区间[0，2]上单调递增，则（ ）
A. f （－1）＜ f （3）＜ f （4）
B. f （4）＜ f （3）＜ f （－1）
C. f （3）＜ f （4）＜ f （－1）
D. f （－1）＜ f （4）＜ f （3）
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解析： 因为 f （ x ）满足 f （ x －4）＝－ f （ x ），则 f （－4）＝
－ f （0），又 f （ x ）在R上是奇函数，所以 f （0）＝0，故 f （－
4）＝－ f （0）＝0，所以 f （4）＝－ f （－4）＝0.由 f （ x ）＝－ f
（－ x ）及 f （ x －4）＝－ f （ x ），得 f （3）＝－ f （－3）＝－ f
（1－4）＝ f （1），又 f （ x ）在区间[0，2]上单调递增，所以 f
（1）＞ f （0）， 即 f （1）＞0，所以 f （－1）＝－ f （1）＜0， f
（3）＝ f （1）＞0，于是 f （－1）＜ f （4）＜ f （3）.
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8. 若定义在R上的函数 f （ x ）满足：对任意 x1， x2∈R，有 f （ x1＋
x2）＝ f （ x1）＋ f （ x2）＋1，则下列说法一定正确的是（ ）
A. f （ x ）－1为奇函数 B. f （ x ）－1为偶函数
C. f （ x ）＋1为奇函数 D. f （ x ）＋1为偶函数
解析： ∵对任意 x1， x2∈R有 f （ x1＋ x2）＝ f （ x1）＋ f （ x2）
＋1，令 x1＝ x2＝0，得 f （0）＝－1.令 x1＝ x ， x2＝－ x ，得 f
（0）＝ f （ x ）＋ f （－ x ）＋1.∴ f （ x ）＋1＝－ f （－ x ）－1＝
－[ f （－ x ）＋1]，∴ f （ x ）＋1为奇函数.
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9. （多选）已知函数 f （ x ）＝则（ ）
A. f （ x ）为偶函数
D. f （ x ）的最小值为－2
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解析： 作出 f （ x ）在区间[－1，2]
上的大致图象如图所示， f （ x ）的定义域
不关于原点对称，不是偶函数，故A错
误；由图象可知， f （ x ） 在区间［ ，1］
上单调递减，故B正确；当 x ＝－ 或
时， f （ x ）max＝ ，当 x ＝2时， f （ x ）min
＝－2，故C、D正确.
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10. （多选）关于函数 g （ x ）＝ ，下列结论中正确的是（ ）
A. g （ x ）的图象过原点
B. g （ x ）是奇函数
C. g （ x ）在区间（1，＋∞）上单调递增
D. g （ x ）是定义域上的增函数
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解析： 因为 g （0）＝0，故选项A正确；又 g （ x ）的定义域
为（－∞，1）∪（1，＋∞），不关于原点对称，故 g （ x ）不是
奇函数，故选项B错误；又 g （ x ）＝ ＝ ＝－2＋
，则当 x ∈（1，＋∞）时， g （ x ）单调递增，故选项C正
确；又 g （0）＝0， g （2）＝－4， g （0）＞ g （2），故选项D
错误.故选A、C.
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11. （多选）已知函数 f （ x ）是定义在R上的奇函数，则下列结论正
确的是（ ）
A. f （0）＝0
B. 若 f （ x ）在[0，＋∞）上有最小值－1，则 f （ x ）在（－∞，0]
上有最大值1
C. 若 x ＞0时， f （ x ）＝ x2－2 x ，则 x ＜0时， f （ x ）＝－ x2－2 x
D. 若 f （ x ）在[1，＋∞）上单调递增，则 f （ x ）在（－∞，－1]上
单调递减
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解析： 对于A， f （0）＝－ f （－0）＝－ f （0），∴ f
（0）＝0，正确；对于B，由于 f （ x ）是在R上的奇函数，若 x
≥0则－ x ≤0，由 f （－ x ）＝－ f （ x ）且 f （ x ）≥－1，∴ f （－
x ）≤1，即（－∞，0]上最大值为1，正确；对于C，当 x ＜0时，
f （ x ）＝－ f （－ x ）＝－（－ x ）2＋2（－ x ）＝－ x2－2 x ，正
确；对于D，根据函数图象关于原点对称，当 f （ x ）在[1，＋
∞）上单调递增，则在（－∞，－1]上也单调递增，错误.
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12. （多选）已知定义在R上的函数 f （ x ）在（－∞，2]上单调递
增，且 f （ x ＋2）为偶函数，则（ ）
A. f （ x ）的对称中心为（2，0）
B. f （ x ）的对称轴为直线 x ＝2
C. f （－1）＞ f （4）
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解析： 因为 f （ x ＋2）为偶函数，其图象关于 y 轴对称，所
以 f （ x ）图象的对称轴为直线 x ＝2，故A错误，B正确；又 f
（ x ）在（－∞，2]上单调递增，所以 f （ x ）在[2，＋∞）上单
调递减，所以 f （－1）＝ f （5）＜ f （4），故C错误；由不等式 f
（ x ＋3）＞ f （4 x ）结合 f （ x ）的对称性及单调性，得｜ x ＋3－
2｜＜｜4 x －2｜，即（ x ＋3－2）2＜（4 x －2）2，即（5 x －
1）·（3 x －3）＞0，解得 x ＜ 或 x ＞1，所以不等式 f （ x ＋3）＞
f （4 x ）的解集为（－∞， ）∪（1，＋∞），故D正确.
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13. 写出一个同时满足下列条件的非常数函数
.
①在[0，＋∞）上单调递增；②值域为[1，＋∞）；③ f （ x ）＝
f （－ x ）.
解析：由 f （ x ）＝ f （－ x ）得函数为偶函数，关于 y 轴对称，结
合单调性及值域，可以为 f （ x ）＝ x2＋1.
f （ x ）＝ x2＋1（答案
不唯一）
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14. 已知函数 f （ x ）＝若 f （ x ）值域为［－
，2］，则实数 c 的范围是 ［－1，－ ］
解析：当 x ＝2时， f （2）＝4－2＝2， f （ x ）＝ x2－ x ＝（ x －
）2－ ≥－ ，∵ f （ x ）值域为［－ ，2］，∴由 f （ x ）＝－
＝2，得 x ＝－ ，
［－1，－ ］
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由 f （ x ）＝ x2－ x ＝2，得 x2－ x －2＝0，解得 x ＝2或 x ＝－1，作
出图象如图.由图象可得，要满足题意则－1≤ c ≤－ .即实数 c
的取值范围是［－1，－ ］.
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15. 已知偶函数 f （ x ）和奇函数 g （ x ）的定义域都是（－4，4），
且在（－4，0]上的图象如图所示，则关于 x 的不等式 f （ x ）· g
（ x ）＜0的解集是 .
（－4，－2）∪（0，2）
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解析：设 h （ x ）＝ f （ x ） g （ x ），则 h （－ x ）＝ f （－ x ）· g
（－ x ）＝－ f （ x ） g （ x ）＝－ h （ x ），所以 h （ x ）是奇函
数，由图象可知，当－4＜ x ＜－2时， f （ x ）＞0， g （ x ）＜0，
即 h （ x ）＜0，当0＜ x ＜2时， f （ x ）＜0， g （ x ）＞0，即 h
（ x ）＜0，所以 h （ x ）＜0的解集为（－4，－2）∪（0，2）.
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16. 已知函数 f （ x ）＝若 f （ x －1）＜ f （2 x ＋
1），则 x 的取值范围为 .
解析：若 x ＞0，则－ x ＜0， f （－ x ）＝（－ x ）2＋2 x ＝ x2＋2 x
＝ f （ x ），同理可得，当 x ＜0时， f （－ x ）＝ f （ x ），且 x ＝0
时， f （0）＝ f （0），所以 f （ x ）是偶函数.因为当 x ＞0时，函
数 f （ x ）单调递增，所以不等式 f （ x －1）＜ f （2 x ＋1）等价
于｜ x －1｜＜｜2 x ＋1｜，整理得 x （ x ＋2）＞0，解得 x ＞0或 x
＜－2.
（－∞，－2）∪（0，＋∞）
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17. 已知函数 f （ x ）是定义域为R的奇函数，当 x ＜0时， f （ x ）＝1
＋ .
（1）求 f （2）的值；
解：根据题意，得函数 f （ x ）为奇函数，
当 x ＜0时， f （ x ）＝1＋ ，
则 f （2）＝－ f （－2）＝－（1＋ ）＝－ .
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（2）用定义法判断 y ＝ f （ x ）在区间（－∞，0）上的单调性；
解：根据题意得，当 x ＜0时， f （ x ）＝1＋ .
在（－∞，0）上任取 x1， x2，且 x1＜ x2，
则 f （ x1）－ f （ x2）＝（1＋ ）－（1＋ ）＝
－ ＝ .
又由 x1－1＜0， x2－1＜0， x2－ x1＞0，
可得 f （ x1）－ f （ x2）＞0，即 f （ x1）＞ f （ x2）.
由定义可知，函数 y ＝ f （ x ）在区间（－∞，0）上单调递减.
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（3）求当 x ＞0时， f （ x ）的解析式.
解：当 x ＞0时，－ x ＜0，则 f （－ x ）＝1－ ，
由函数 f （ x ）为奇函数知 f （ x ）＝－ f （－ x ），
所以 f （ x ）＝－1＋ ＝－ .
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18. 已知函数 f （ x ）＝ x2－ mx （ m ＞0）在区间[0，2]上的最小值为
g （ m ）.
（1）求函数 g （ m ）的解析式；
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解：因为 f （ x ）＝ x2－ mx ＝（ x － ）2－ （ m ＞0），所以当0＜ ≤2，即0＜ m ≤4时，
此时 g （ m ）＝ f （ ）＝－ .
当 m ＞4时，函数 f （ x ）＝（ x － ）2－ 在区间[0，2]上
单调递减，
此时 g （ m ）＝ f （2）＝4－2 m .
综上可知， g （ m ）＝
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（2）定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的函数 h （ x ）为偶函
数，且当 x ＞0时， h （ x ）＝ g （ x ）.若 h （ t ）＞ h
（4），求实数 t 的取值范围.
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解：因为当 x ＞0时， h （ x ）＝ g （ x ），
所以当 x ＞0时， h （ x ）＝
易知函数 h （ x ）在（0，＋∞）上单调递减，
因为定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的函数 h （ x ）为
偶函数，且 h （ t ）＞ h （4），
所以0＜｜ t ｜＜4，
解得－4＜ t ＜0或0＜ t ＜4.
综上所述，实数 t 的取值范围为（－4，0）∪（0，4）.
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谢 谢 观 看！
