一、数学运算
数学运算是解决数学问题的基本手段，又是计算机解决问题的基础.本章中求函数的定义域、值域及解析式都体现了学科素养中的数学运算.
培优一 函数的定义域
【例1】 （1）若函数y＝f（x）的定义域是[0，2]，则函数g（x）＝的定义域是（ ）
A.（1，］ B.［1，］ C.（1，3] D.[1，3]
（2）（2022·北京高考11题）函数f（x）＝＋的定义域是 .
尝试解答
培优二 函数的值域（值）
【例2】 （1）已知a∈R，函数f（x）＝若f（f（））＝3，则a＝ ；
（2）已知函数f（x）的值域是［，4］，则g（x）＝f（x）－2的值域为 .
尝试解答
培优三 函数的解析式
【例3】 （1）已知f（＋1）＝x＋2，则f（x）的解析式是（ ）
A.f（x）＝x2－1
B.f（x）＝x2－1（x≥1）
C.f（x）＝x2－4x－1（x≥1）
D.f（x）＝x2＋1
（2）已知对于任意的x，函数f（x）满足f（x）＋2f（2－x）＝x，则f（x）的解析式为 .
尝试解答
二、直观想象
直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养，主要表现为：建立形与数的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物.本章主要体现在利用函数的图象研究函数的性质中.
培优四 函数图象的识别及应用
【例4】 函数y＝的图象大致为（ ）
尝试解答
【例5】 对于函数f（x）＝x2－2｜x｜.
（1）判断其奇偶性，并指出图象的对称性；
（2）画此函数的图象，并指出单调区间和最小值.
尝试解答
三、逻辑推理
逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，本章中函数单调性、奇偶性的判断及应用体现了学科素养中的逻辑推理.
培优五 函数单调性、奇偶性的应用
【例6】 （1）设f（x）是定义域为R的奇函数，且f（1＋x）＝f（－x）.若f（－）＝，则f（）＝（ ）
A.－ B.－ C. D.
（2）已知定义域为R的函数f（x）在[1，＋∞）上单调递增，且f（x＋1）为偶函数，若f（3）＝1，则不等式f（2x＋1）＜1的解集为（ ）
A.（－1，1）
B.（－1，＋∞）
C.（－∞，1）
D.（－∞，－1）∪（1，＋∞）
尝试解答
【例7】 已知函数f（x）＝是奇函数.
（1）求实数m的值；
（2）若函数f（x）在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.
尝试解答
四、数学建模
数学模型搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式.数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力.在本章中，数学建模主要体现在函数模型的应用中.
培优六 函数的应用
【例8】 国庆期间，某旅行社带旅游团去风景区旅游，若旅游团人数不超过30，游客需付给旅行社飞机票每张900元；若旅游团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到最多人数75为止.旅行社需付给航空公司包机费15 000元.
（1）写出每张飞机票的价格y（单位：元）关于旅游团人数x（单位：人）的函数关系式；
（2）旅游团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
尝试解答
【例9】 某水果批发商销售进价为每箱40元的苹果，假设每箱售价不低于50元且不得高于55元.市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.
（1）求平均每天的销售量y（箱）与销售单价x（元）之间的函数解析式；
（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式；
（3）当每箱苹果的售价为多少元时，每天可以获得最大利润？最大利润是多少？
尝试解答
章末复习与总结
【例1】 （1）A （2）（－∞，0）∪（0，1] 解析：（1）由函数y＝f（x）的定义域是[0，2]，得0≤2x－1≤2，解得≤x≤.再由x－1＞0成立，解得x＞1.综上，可得1＜x≤.故选A.
（2）因为f（x）＝＋，所以x≠0，1－x≥0，解得x∈（－∞，0）∪（0，1].
【例2】 （1）2 （2）[－1，0] 解析：（1）因为＞2，所以f（）＝6－4＝2，所以f（f（））＝f（2）＝1＋a＝3，解得a＝2.
（2）因为f（x）∈［，4］，所以∈［，2］，设＝t∈［，2］，所以g（t）＝t2－2t＝（t－1）2－1∈[－1，0]，所以函数g（x）的值域为[－1，0].
【例3】 （1）B （2）f（x）＝－x＋ 解析：（1）法一 ∵（＋1）2＝x＋2＋1，∴x＋2＝（＋1）2－1.∴f（＋1）＝（＋1）2－1，其中＋1≥1.∴f（x）＝x2－1（x≥1）.
法二 令＋1＝t，则t≥1，x＝（t－1）2，∴f（t）＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－1，∴f（x）＝x2－1（x≥1）.
（2）∵f（x）＋2f（2－x）＝x①，将原式中的x替换为2－x，得f（2－x）＋2f（x）＝2－x②.②×2－①，得3f（x）＝4－2x－x，即f（x）＝－x＋.
【例4】 A 法一 令f（x）＝，显然f（－x）＝－f（x），f（x）为奇函数，排除C、D，由f（1）＞0，排除B，故选A.
法二 令f（x）＝，由f（1）＞0，f（－1）＜0，故选A.
【例5】 解：（1）函数的定义域为R，关于原点对称，
f（－x）＝（－x）2－2｜－x｜＝x2－2｜x｜.
则f（－x）＝f（x），
所以f（x）是偶函数，图象关于y轴对称.
（2）f（x）＝x2－2｜x｜
＝
画出图象如图所示，
根据图象知，函数f（x）的最小值是－1.单调递增区间是[－1，0]，[1，＋∞）；单调递减区间是（－∞，－1]，[0，1].
【例6】 （1）C （2）A 解析：（1）因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（－x）＝－f（x）.又f（1＋x）＝f（－x），所以f（2＋x）＝f[1＋（1＋x）]＝f[－（1＋x）]＝－f（1＋x）＝－f（－x）＝f（x），所以函数f（x）是以2为周期的周期函数，所以f（）＝f（－2）＝f（－）＝.故选C.
（2）∵f（x＋1）是偶函数，∴f（1－x）＝f（1＋x），故y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称.又∵f（x）在[1，＋∞）上单调递增，∴f（x）在（－∞，1）上单调递减.∵f（3）＝1，∴f（－1）＝f（3）＝1，∴f（2x＋1）＜1 －1＜2x＋1＜3，解得－1＜x＜1.故选A.
【例7】 解：（1）设x＜0，则－x＞0，
所以f（－x）＝－（－x）2＋2（－x）＝－x2－2x.
又f（x）为奇函数，所以f（－x）＝－f（x），
所以x＜0时，f（x）＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
（2）
要使f（x）在[－1，a－2]上单调递增，结合f（x）的图象（如图所示），知
所以1＜a≤3，
故实数a的取值范围是（1，3].
【例8】 解：（1）由题意，得
y＝
即y＝
（2）设旅行社获利S（x）元，
则S（x）＝
即S（x）＝
因为S（x）＝900x－15 000在区间（0，30]上单调递增，所以当x＝30时，S（x）取最大值12 000；又S（x）＝－10（x－60）2＋21 000，x∈（30，75]，所以当x＝60时，S（x）取得最大值21 000.
因为21 000＞12 000，所以当旅游团人数为60时，旅行社可获得最大利润.
【例9】 解：（1）根据题意，得y＝90－3（x－50），
化简得y＝－3x＋240（50≤x≤55，x∈N）.
（2）因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润，所以w＝（－3x＋240）（x－40）＝－3x2＋360x－9 600（50≤x≤55，x∈N）.
（3）因为w＝－3x2＋360x－9 600＝－3（x－60）2＋1 200，
所以当x＜60时，w随x的增大而增大.
又50≤x≤55，x∈N，
所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1 125.
所以当每箱苹果的售价为55元时，每天可以获得最大利润，最大利润是1 125元.
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章末复习与总结
一、数学运算
数学运算是解决数学问题的基本手段，又是计算机解决问题的基
础.本章中求函数的定义域、值域及解析式都体现了学科素养中的数
学运算.
培优一 函数的定义域
【例1】 （1）若函数 y ＝ f （ x ）的定义域是[0，2]，则函数 g
（ x ）＝ 的定义域是（ A ）
C. （1，3] D. [1，3]
解析：由函数 y ＝ f （ x ）的定义域是[0，2]，得0≤2 x －1≤2，解得
≤ x ≤ .再由 x －1＞0成立，解得 x ＞1.综上，可得1＜ x ≤ .故选A.
A
（2）（2022·北京高考）函数 f （ x ）＝ ＋ 的定义域是
.
解析：因为 f （ x ）＝ ＋ ，所以 x ≠0，1－ x ≥0，解得 x
∈（－∞，0）∪（0，1].
（－
∞，0）∪（0，1]
培优二 函数的值域（值）
【例2】 （1）已知 a ∈R，函数 f （ x ）＝若 f
（ f （ ））＝3，则 a ＝ ；
解析：为 ＞2，所以 f （ ）＝6－4＝2，所以 f （ f （ ））＝ f
（2）＝1＋ a ＝3，解得 a ＝2.
2
（2）已知函数 f （ x ）的值域是［ ，4］，则 g （ x ）＝ f （ x ）－2
的值域为 .
解析：因为 f （ x ）∈［ ，4］，所以 ∈［ ，2］，设
＝ t ∈［ ，2］，所以 g （ t ）＝ t2－2 t ＝（ t －1）2－
1∈[－1，0]，所以函数 g （ x ）的值域为[－1，0].
[－1，0]
培优三 函数的解析式
【例3】 （1）已知 f （ ＋1）＝ x ＋2 ，则 f （ x ）的解析式是
（ B ）
A. f （ x ）＝ x2－1
B. f （ x ）＝ x2－1（ x ≥1）
C. f （ x ）＝ x2－4 x －1（ x ≥1）
D. f （ x ）＝ x2＋1
B
解析：法一 ∵（ ＋1）2＝ x ＋2 ＋1，∴ x ＋2 ＝（ ＋1）
2－1.∴ f （ ＋1）＝（ ＋1）2－1，其中 ＋1≥1.∴ f （ x ）＝
x2－1（ x ≥1）.
法二 令 ＋1＝ t ，则 t ≥1， x ＝（ t －1）2，∴ f （ t ）＝（ t －1）2
＋2（ t －1）＝ t2－1，∴ f （ x ）＝ x2－1（ x ≥1）.
（2）已知对于任意的 x ，函数 f （ x ）满足 f （ x ）＋2 f （2－ x ）＝
x ，则 f （ x ）的解析式为 .
解析：∵ f （ x ）＋2 f （2－ x ）＝ x ①，将原式中的 x 替换为2－
x ，得 f （2－ x ）＋2 f （ x ）＝2－ x ②.②×2－①，得3 f （ x ）
＝4－2 x － x ，即 f （ x ）＝－ x ＋ .
f （ x ）＝－ x ＋
二、直观想象
直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，
利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养，主要表现
为：建立形与数的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解
问题，运用空间想象认识事物.本章主要体现在利用函数的图象研究
函数的性质中.
培优四 函数图象的识别及应用
【例4】 函数 y ＝ 的图象大致为（ ）
解析： 法一 令 f （ x ）＝ ，显然 f （－ x ）＝－ f （ x ）， f
（ x ）为奇函数，排除C、D，由 f （1）＞0，排除B，故选A.
法二 令 f （ x ）＝ ，由 f （1）＞0， f （－1）＜0，故选A.
【例5】 对于函数 f （ x ）＝ x2－2｜ x ｜.
（1）判断其奇偶性，并指出图象的对称性；
解：函数的定义域为R，关于原点对称，
f （－ x ）＝（－ x ）2－2｜－ x ｜＝ x2－2｜ x ｜.
则 f （－ x ）＝ f （ x ），
所以 f （ x ）是偶函数，图象关于 y 轴对称.
（2）画此函数的图象，并指出单调区间和最小值.
解： f （ x ）＝ x2－2｜ x ｜
＝
画出图象如图所示，
根据图象知，函数 f （ x ）的最小值是－1.
单调递增区间是[－1，0]，[1，＋∞）；
单调递减区间是（－∞，－1]，[0，1].
三、逻辑推理
逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严
谨性的基本保证，本章中函数单调性、奇偶性的判断及应用体现了学
科素养中的逻辑推理.
培优五 函数单调性、奇偶性的应用
【例6】 （1）设 f （ x ）是定义域为R的奇函数，且 f （1＋ x ）＝ f
（－ x ）.若 f （－ ）＝ ，则 f （ ）＝（ C ）
C
解析：因为 f （ x ）是定义在R上的奇函数，所以 f （－ x ）＝－ f
（ x ）.又 f （1＋ x ）＝ f （－ x ），所以 f （2＋ x ）＝ f [1＋（1＋ x ）]
＝ f [－（1＋ x ）]＝－ f （1＋ x ）＝－ f （－ x ）＝ f （ x ），所以函数 f
（ x ）是以2为周期的周期函数，所以 f （ ）＝ f （ －2）＝ f （－ ）
＝ .故选C.
（2）已知定义域为R的函数 f （ x ）在[1，＋∞）上单调递增，且 f
（ x ＋1）为偶函数，若 f （3）＝1，则不等式 f （2 x ＋1）＜1的
解集为（ A ）
A. （－1，1）
B. （－1，＋∞）
C. （－∞，1）
D. （－∞，－1）∪（1，＋∞）
A
解析：∵ f （ x ＋1）是偶函数，∴ f （1－ x ）＝ f （1＋ x ），故 y
＝ f （ x ）的图象关于直线 x ＝1对称.又∵ f （ x ）在[1，＋∞）
上单调递增，∴ f （ x ）在（－∞，1）上单调递减.∵ f （3）＝
1，∴ f （－1）＝ f （3）＝1，∴ f （2 x ＋1）＜1 －1＜2 x ＋1
＜3，解得－1＜ x ＜1.故选A.
（1）求实数 m 的值；
解：设 x ＜0，则－ x ＞0，
所以 f （－ x ）＝－（－ x ）2＋2（－ x ）＝－ x2－2 x .
又 f （ x ）为奇函数，所以 f （－ x ）＝－ f （ x ），
所以 x ＜0时， f （ x ）＝ x2＋2 x ＝ x2＋ mx ，所以 m ＝2.
【例7】 已知函数 f （ x ）＝是奇函数.
（2）若函数 f （ x ）在区间[－1， a －2]上单调递增，求实数 a 的取值
范围.
解：要使 f （ x ）在[－1， a －2]上单调递增，结合 f （ x ）的图
象（如图所示），知
所以1＜ a ≤3，
故实数 a 的取值范围是（1，3].
四、数学建模
数学模型搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要
形式.数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学
发展的动力.在本章中，数学建模主要体现在函数模型的应用中.
培优六 函数的应用
【例8】 国庆期间，某旅行社带旅游团去风景区旅游，若旅游团人
数不超过30，游客需付给旅行社飞机票每张900元；若旅游团人数多
于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到最多人
数75为止.旅行社需付给航空公司包机费15 000元.
（1）写出每张飞机票的价格 y （单位：元）关于旅游团人数 x （单
位：人）的函数关系式；
解：由题意，得
y ＝
即 y ＝
（2）旅游团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解：设旅行社获利 S （ x ）元，
则 S （ x ）＝
即 S （ x ）＝
因为 S （ x ）＝900 x －15 000在区间（0，30]上单调递增，所以
当 x ＝30时， S （ x ）取最大值12 000；又 S （ x ）＝－10（ x －
60）2＋21 000， x ∈（30，75]，所以当 x ＝60时， S （ x ）取得
最大值21 000.
因为21 000＞12 000，所以当旅游团人数为60时，旅行社可获得
最大利润.
【例9】 某水果批发商销售进价为每箱40元的苹果，假设每箱售价
不低于50元且不得高于55元.市场调查发现，若每箱以50元的价格销
售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.
（1）求平均每天的销售量 y （箱）与销售单价 x （元）之间的函数解
析式；
解：根据题意，得 y ＝90－3（ x －50），
化简得 y ＝－3 x ＋240（50≤ x ≤55， x ∈N）.
（2）求该批发商平均每天的销售利润 w （元）与销售单价 x （元）之
间的函数解析式；
解：因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润，所以 w ＝（－3 x ＋240）（ x －40）＝－3 x2
＋360 x －9 600（50≤ x ≤55， x ∈N）.
（3）当每箱苹果的售价为多少元时，每天可以获得最大利润？最大
利润是多少？
解：因为 w ＝－3 x2＋360 x －9 600＝－3（ x －60）2＋1 200，
所以当 x ＜60时， w 随 x 的增大而增大.
又50≤ x ≤55， x ∈N，
所以当 x ＝55时， w 有最大值，最大值为1 125.
所以当每箱苹果的售价为55元时，每天可以获得最大利润，最
大利润是1 125元.
谢 谢 观 看！
