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人教九上数学单元测试（二） 二次函数
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（共10题，每题3分，共30分.在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.下列函数解析式中，是二次函数的是( )
A. B.
C. D.
D
2.抛物线 的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
C
3.抛物线经过变换后,得到抛物线 ,则这个变换方式可以是( )
A. 向左平移2个单位长度 B. 向右平移2个单位长度
C. 向上平移2个单位长度 D. 向下平移2个单位长度
D
4.下表给出了二次函数的自变量与函数值 的部分对应值：那么关于的方程 的一个根的近似值可能是( )
A. 1.07 B. 1.17 C. 1.27 D. 1.37
C
… 1 1.1 1.2 1.3 1.4 …
… 0.14 0.62 …
5.顶点坐标为,且开口方向、形状与函数 的图象相同的抛物线是( )
A. B.
C. D.
C
6.已知二次函数 的图象如图所示，当 时，下列说法正确的是( )
A. 有最小值 、最大值0
B. 有最小值 、最大值6
C. 有最小值0、最大值6
D. 有最小值2、最大值6
B
7.已知抛物线（,,为常数）， ,,是抛物线上三点，则,, 由小到大依次排列为( )
A. B.
C. D.
A
8.对于二次函数 ，下列说法正确的是( )
A. 图象开口向下
B. 与轴交点坐标是和
C. 时，随 的增大而减小
D. 图象的对称轴是直线
C
9.二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象经过( )
A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限
C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限
C
10.如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，抛物线的对称轴为 ，与轴的一个交点位于， 两点之间.下列结论：；； ；④若，为方程 的两个根，则 .其中正确的有( B )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11.若二次函数的图象经过点 ，则 的值是___.
12.若二次函数的图象上有两点和 ,则此抛物线的对称轴是直线 ____.
13.二次函数的图象与轴交于，两点，与 轴交于点，则 的面积为___.
14.某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出300个，根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出20个.设每个商品降价（元），每天获得的利润为（元），则与 的函数关系式是__________________________.
15.在平面直角坐标系中，将抛物线 向上（下）或向左（右）平移个单位长度，使平移后的抛物线恰好经过原点，则 的最小值为___，最大值为___.
三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（6分）已知二次函数的图象经过点 ,.试确定此二次函数的解析式,并判断点 是否在这个二次函数的图象上.
解：由题意，得解得
二次函数的解析式为 .
当时, ,
点 在这个二次函数的图象上.
17.（6分）已知抛物线 是常数且.若抛物线与抛物线 的形状相同、开口方向相反，求抛物线 的解析式.
解： 抛物线与抛物线 的形状相同，开口方向相反，
.
抛物线的解析式为 .
18.（6分）已知二次函数的图象与 轴有两个交点.
（1）求 的取值范围.
解：由题意，得，解得 .
（2）当时，求抛物线与轴的交点和 的坐标.
解：当时，二次函数为 ，
令，得，解得， .
抛物线与轴的交点和的坐标分别是， .
19.（8分）已知函数 .
（1）函数图象的开口方向是______,对称轴是__________,顶点坐标为________.
向下
直线
（2）当_____时,随 的增大而减小.
（3）怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 .
解：将抛物线 向右平移4个单位长度,再向下平移1个单位长
度就可以得到抛物线 .
20.（8分）二次函数 的图象经过点， .
（1）求, 的值.
解：将， 坐标代入函数解析式，
得解得
（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴.
解：函数解析式为 ，
图象的顶点坐标为，对称轴是直线 .
（3）在所给的平面直角坐标系中画出二次函数 的图象，并根据图象在抛物线的对称轴上找点，使得 的周长最短（直接写出点 的坐标）.
解：设抛物线与轴的另一个交点为点，则点 与点关于对称轴对称，连接，与对称轴的交点即为点.求得直线 的解析式为，当时，，即 ，图略.
21.（8分）如图，在一面靠墙的空地上用长为 的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的矩形花圃.设垂直于墙的一面篱笆长为，花圃的总面积为 .
（1）若围成花圃的总面积为 ，请设计方案.
解：方案一：设计为花圃垂直墙的一边长为 ，平行于墙的一边为 .
方案二：设计为花圃垂直墙的一边长为，平行于墙的一边为.
（2）求关于 的函数关系式，并求出最大面积.
解： .
， 当时， 有最大值为 .
22.（10分）如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 .
（1）已知点是抛物线上的点，将点 向左平移3个单位长度得到点，若点 恰好也在该抛物线上，求点 的坐标.
解：抛物线 的对称轴为直线
.
将点向左平移3个单位长度可得到点 ，
是抛物线上的点，，解得 .
把代入，得 .
.
（2）在（1）的条件下，记点与点之间的抛物线为图象 （含点和点），当直线与图象只有一个交点时，求 的取值范围.
解：在中，当 时，
,解得, .当
经过点时， .
当经过点时，，解得 .
联立得 ，整理，
得 .
，解得 .
综上所述,当直线与图象 只有一个交点时，
或 .
23.（11分）跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线.正在甩绳的甲、
乙两名同学拿绳的手间距为6米，到地面的距离和 均为0.9米，
身高为1.4米的小丽站在距点的水平距离为1米的点 处，绳子甩到最
高处时刚好通过她的头顶点.以点 为原点建立如图所示的平面直角
坐标系，设此抛物线的解析式为 .
（1）求该抛物线的解析式.
解：由题意，得 ，
，代入
，
得
解得
抛物线的解析式是 .
（2）如果身高为1.7米的张老师也想参加跳绳，问绳子能否顺利从他头顶越过？请说明理由.
解：能.理由：
.
，
当时， 有最大值，最大值为1.8.
，
绳子能顺利从他头顶越过.
（3）如果一群身高在1.4米到1.7米之间的人站在之间，且到点 的距离为 米，绳子甩到最高处时必须超过他们的头顶，请结合图象，直接写出 的取值范围为____________.
24.（12分）如图，抛物线交 轴于，两点，交轴于点，直线 经过点， .
（1）求抛物线的解析式.
解：由直线经过点，，可得点， 的坐标分别为， .
将点， 的坐标代入抛物线解析式，得， .
抛物线的解析式为 .
（2）点是直线上方抛物线上一动点，设点 的横坐标为 .
①求面积的最大值和此时 的值.
[答案] 过点作轴的平行线交直线于点，连接， .
则， .
.
， 当时， 存在最大值为8.
②是直线上一动点，是否存在点，使以，，， 为顶点的四边形是平行四边形 若存在，直接写出点 的坐标.
[答案] 设， ，其中 .
令，解得, .
.
当是平行四边形的边时，则 ,
， .
解得（舍去）或（舍去）或 .
当 是平行四边形的对角线时，由中点公式，得
， ，
解得（舍去）或 （舍去）.
综上所述，点的坐标为，或， .
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人教九上数学单元测试（二）二次函数
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（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（共10题，每题3分，共30分.在每题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求）
1.下列函数解析式中，是二次函数的是( )
D
A. B.
C. D.
2.抛物线 的顶点坐标是( )
C
A. B. C. D.
3.抛物线经过变换后,得到抛物线 ,则这个变换方式可
以是( )
D
A. 向左平移2个单位长度 B. 向右平移2个单位长度
C. 向上平移2个单位长度 D. 向下平移2个单位长度
4.下表给出了二次函数的自变量与函数值 的部分对
应值：
… 1 1.1 1.2 1.3 1.4 …
… 0.14 0.62 …
那么关于的方程 的一个根的近似值可能是( )
C
A. 1.07 B. 1.17 C. 1.27 D. 1.37
5.顶点坐标为,且开口方向、形状与函数 的图象相同
的抛物线是( )
C
A. B.
C. D.
第6题图
6.已知二次函数 的图象如图
所示，当 时，下列说法正确的是( )
B
A. 有最小值 、最大值0
B. 有最小值 、最大值6
C. 有最小值0、最大值6
D. 有最小值2、最大值6
7.已知抛物线（,,为常数）， ,
,是抛物线上三点，则,, 由小到大依次排列为
( )
A
A. B.
C. D.
8.对于二次函数 ，下列说法正确的是( )
C
A. 图象开口向下
B. 与轴交点坐标是和
C. 时，随 的增大而减小
D. 图象的对称轴是直线
第9题图
9.二次函数 的图象如图所示，则一
次函数 的图象经过( )
C
A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限
C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限
第10题图
10.如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，
抛物线的对称轴为 ，与
轴的一个交点位于， 两点之间.下列结
论：；； ；④若
，为方程 的两个根，则
.其中正确的有( )
B
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11.若二次函数的图象经过点 ，则
的值是___.
3
12.若二次函数的图象上有两点和 ,则此抛
物线的对称轴是直线 ____.
13.二次函数的图象与轴交于，两点，与 轴交于
点，则 的面积为___.
6
14.某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每
天可卖出300个，根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出20个.设每
个商品降价（元），每天获得的利润为（元），则与 的函数关系
式是__________________________.
15.在平面直角坐标系中，将抛物线 向上（下）或向左
（右）平移个单位长度，使平移后的抛物线恰好经过原点，则
的最小值为___，最大值为___.
2
6
三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤）
16.（6分）已知二次函数的图象经过点 ,
.试确定此二次函数的解析式,并判断点 是否在这个二次
函数的图象上.
解：由题意，得解得
二次函数的解析式为 .
当时, ,
点 在这个二次函数的图象上.
17.（6分）已知抛物线 是常数且
.若抛物线与抛物线 的形状相同、开口方向相反，求抛
物线 的解析式.
解： 抛物线与抛物线 的形状相同，开口方向相反，
.
抛物线的解析式为 .
18.（6分）已知二次函数的图象与 轴有两个交点.
（1）求 的取值范围.
解：由题意，得，解得 .
（2）当时，求抛物线与轴的交点和 的坐标.
解：当时，二次函数为 ，
令，得，解得， .
抛物线与轴的交点和的坐标分别是， .
19.（8分）已知函数 .
（1）函数图象的开口方向是______,对称轴是__________,顶点坐标为
________.
（2）当_____时,随 的增大而减小.
向下
直线
（3）怎样移动抛物线 就可以得到抛物线
.
解：将抛物线 向右平移4个单位长度,再向下平移1个单位长
度就可以得到抛物线 .
20.（8分）二次函数 的图象经过点
， .
（1）求, 的值.
解：将， 坐标代入函数解析式，
得解得
（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴.
解：函数解析式为 ，
图象的顶点坐标为，对称轴是直线 .
（3）在所给的平面直角坐标系中画出二次函数
的图象，并根据图象在抛物线的
对称轴上找点，使得 的周长最短
（直接写出点 的坐标）.
解：设抛物线与轴的另一个交点为点，则点 与
点关于对称轴对称，连接，与对称轴的交点即为点.求得直线 的
解析式为，当时，，即 ，图略.
21.（8分）如图，在一面靠墙的空地上用
长为 的篱笆，围成中间隔有二道篱
笆的矩形花圃.设垂直于墙的一面篱笆长
为，花圃的总面积为 .
（1）若围成花圃的总面积为 ，请设计方案.
解：方案一：设计为花圃垂直墙的一边长为 ，平行于墙的一边为
.
方案二：设计为花圃垂直墙的一边长为，平行于墙的一边为.
（2）求关于 的函数关系式，并求出最大面积.
解： .
， 当时， 有最大值
为 .
22.（10分）如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线
.
（1）已知点是抛物线上的点，将点 向左平
移3个单位长度得到点，若点 恰好也在该抛物线上，
求点 的坐标.
解：抛物线 的对称轴为直线
.
将点向左平移3个单位长度可得到点 ，
是抛物线上的点，，解得 .
把代入，得 .
.
（2）在（1）的条件下，记点与点之间的抛物线为图象
（含点和点），当直线与图象只有一个交点时，求 的
取值范围.
解：在中，当 时，
,解得, .当
经过点时， .
当经过点时，，解得 .
联立得 ，整理，
得 .
，解得 .
综上所述,当直线与图象 只有一个交点时，
或 .
23.（11分）跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线.正在甩绳的甲、
乙两名同学拿绳的手间距为6米，到地面的距离和 均为0.9米，
身高为1.4米的小丽站在距点的水平距离为1米的点 处，绳子甩到最
高处时刚好通过她的头顶点.以点 为原点建立如图所示的平面直角
坐标系，设此抛物线的解析式为 .
（1）求该抛物线的解析式.
解：由题意，得 ，
，代入
，
得
解得
抛物线的解析式是 .
（2）如果身高为1.7米的张老师也想参
加跳绳，问绳子能否顺利从他头顶越
过？请说明理由.
解：能.理由：
.
，
当时， 有最大值，最大值为1.8.
，
绳子能顺利从他头顶越过.
（3）如果一群身高在1.4米到1.7米之间的人站在之间，且到点 的
距离为 米，绳子甩到最高处时必须超过他们的头顶，请结合图象，
直接写出 的取值范围为____________.
24.（12分）如图，抛物线交 轴于
，两点，交轴于点，直线 经过点
， .
（1）求抛物线的解析式.
解：由直线经过点，，可得点， 的
坐标分别为， .
将点， 的坐标代入抛物线解析式，得
， .
抛物线的解析式为 .
（2）点是直线上方抛物线上一动点，设点 的横坐标
为 .
①求面积的最大值和此时 的值.
[答案] 过点作轴的平行线交直线于点，连接， .
则， .
.
， 当时， 存在最大值为8.
②是直线上一动点，是否存在点，使以，，，
为顶点的四边形是平行四边形 若存在，直接写出点 的坐
标.
[答案] 设， ，其中
.
令，解得, .
.
当是平行四边形的边时，则 ,
， .
解得（舍去）或（舍去）或 .
当 是平行四边形的对角线时，由中点公式，得
， ，
解得（舍去）或 （舍去）.
综上所述，点的坐标为，或， .
Thanks!
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人教九上数学单元测试（二） 二次函数
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（共10题，每题3分，共30分.在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.下列函数解析式中，是二次函数的是( )
A. B.
C. D.
D
2.抛物线 的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
C
3.抛物线经过变换后,得到抛物线 ,则这个变换方式可以是( )
A. 向左平移2个单位长度 B. 向右平移2个单位长度
C. 向上平移2个单位长度 D. 向下平移2个单位长度
D
4.下表给出了二次函数的自变量与函数值 的部分对应值：那么关于的方程 的一个根的近似值可能是( )
A. 1.07 B. 1.17 C. 1.27 D. 1.37
C
… 1 1.1 1.2 1.3 1.4 …
… 0.14 0.62 …
5.顶点坐标为,且开口方向、形状与函数 的图象相同的抛物线是( )
A. B.
C. D.
C
6.已知二次函数 的图象如图所示，当 时，下列说法正确的是( )
A. 有最小值 、最大值0
B. 有最小值 、最大值6
C. 有最小值0、最大值6
D. 有最小值2、最大值6
B
7.已知抛物线（,,为常数）， ,,是抛物线上三点，则,, 由小到大依次排列为( )
A. B.
C. D.
A
8.对于二次函数 ，下列说法正确的是( )
A. 图象开口向下
B. 与轴交点坐标是和
C. 时，随 的增大而减小
D. 图象的对称轴是直线
C
9.二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象经过( )
A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限
C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限
C
10.如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，抛物线的对称轴为 ，与轴的一个交点位于， 两点之间.下列结论：；； ；④若，为方程 的两个根，则 .其中正确的有( B )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11.若二次函数的图象经过点 ，则 的值是___.
3
12.若二次函数的图象上有两点和 ,则此抛物线的对称轴是直线 ____.
13.二次函数的图象与轴交于，两点，与 轴交于点，则 的面积为___.
6
14.某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出300个，根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出20个.设每个商品降价（元），每天获得的利润为（元），则与 的函数关系式是__________________________.
15.在平面直角坐标系中，将抛物线 向上（下）或向左（右）平移个单位长度，使平移后的抛物线恰好经过原点，则 的最小值为___，最大值为___.
2
6
三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（6分）已知二次函数的图象经过点 ,.试确定此二次函数的解析式,并判断点 是否在这个二次函数的图象上.
解：由题意，得解得
二次函数的解析式为 .
当时, ,
点 在这个二次函数的图象上.
17.（6分）已知抛物线 是常数且.若抛物线与抛物线 的形状相同、开口方向相反，求抛物线 的解析式.
解： 抛物线与抛物线 的形状相同，开口方向相反，
.
抛物线的解析式为 .
18.（6分）已知二次函数的图象与 轴有两个交点.
（1）求 的取值范围.
解：由题意，得，解得 .
（2）当时，求抛物线与轴的交点和 的坐标.
解：当时，二次函数为 ，
令，得，解得， .
抛物线与轴的交点和的坐标分别是， .
19.（8分）已知函数 .
（1）函数图象的开口方向是______,对称轴是__________,顶点坐标为________.
向下
直线
（2）当_____时,随 的增大而减小.
（3）怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 .
解：将抛物线 向右平移4个单位长度,再向下平移1个单位长
度就可以得到抛物线 .
20.（8分）二次函数 的图象经过点， .
（1）求, 的值.
解：将， 坐标代入函数解析式，
得解得
（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴.
解：函数解析式为 ，
图象的顶点坐标为，对称轴是直线 .
（3）在所给的平面直角坐标系中画出二次函数 的图象，并根据图象在抛物线的对称轴上找点，使得 的周长最短（直接写出点 的坐标）.
解：设抛物线与轴的另一个交点为点，则点 与点关于对称轴对称，连接，与对称轴的交点即为点.求得直线 的解析式为，当时，，即 ，图略.
21.（8分）如图，在一面靠墙的空地上用长为 的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的矩形花圃.设垂直于墙的一面篱笆长为，花圃的总面积为 .
（1）若围成花圃的总面积为 ，请设计方案.
解：方案一：设计为花圃垂直墙的一边长为 ，平行于墙的一边为 .
方案二：设计为花圃垂直墙的一边长为，平行于墙的一边为.
（2）求关于 的函数关系式，并求出最大面积.
解： .
， 当时， 有最大值为 .
22.（10分）如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 .
（1）已知点是抛物线上的点，将点 向左平移3个单位长度得到点，若点 恰好也在该抛物线上，求点 的坐标.
解：抛物线 的对称轴为直线
.
将点向左平移3个单位长度可得到点 ，
是抛物线上的点，，解得 .
把代入，得 .
.
（2）在（1）的条件下，记点与点之间的抛物线为图象 （含点和点），当直线与图象只有一个交点时，求 的取值范围.
解：在中，当 时，
,解得, .当
经过点时， .
当经过点时，，解得 .
联立得 ，整理，
得 .
，解得 .
综上所述,当直线与图象 只有一个交点时，
或 .
23.（11分）跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线.正在甩绳的甲、
乙两名同学拿绳的手间距为6米，到地面的距离和 均为0.9米，
身高为1.4米的小丽站在距点的水平距离为1米的点 处，绳子甩到最
高处时刚好通过她的头顶点.以点 为原点建立如图所示的平面直角
坐标系，设此抛物线的解析式为 .
（1）求该抛物线的解析式.
解：由题意，得 ，
，代入
，
得
解得
抛物线的解析式是 .
（2）如果身高为1.7米的张老师也想参加跳绳，问绳子能否顺利从他头顶越过？请说明理由.
解：能.理由：
.
，
当时， 有最大值，最大值为1.8.
，
绳子能顺利从他头顶越过.
（3）如果一群身高在1.4米到1.7米之间的人站在之间，且到点 的距离为 米，绳子甩到最高处时必须超过他们的头顶，请结合图象，直接写出 的取值范围为____________.
24.（12分）如图，抛物线交 轴于，两点，交轴于点，直线 经过点， .
（1）求抛物线的解析式.
解：由直线经过点，，可得点， 的坐标分别为， .
将点， 的坐标代入抛物线解析式，得， .
抛物线的解析式为 .
（2）点是直线上方抛物线上一动点，设点 的横坐标为 .
①求面积的最大值和此时 的值.
[答案] 过点作轴的平行线交直线于点，连接， .
则， .
.
， 当时， 存在最大值为8.
②是直线上一动点，是否存在点，使以，，， 为顶点的四边形是平行四边形 若存在，直接写出点 的坐标.
[答案] 设， ，其中 .
令，解得, .
.
当是平行四边形的边时，则 ,
， .
解得（舍去）或（舍去）或 .
当 是平行四边形的对角线时，由中点公式，得
， ，
解得（舍去）或 （舍去）.
综上所述，点的坐标为，或， .
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