15.3 角的平分线 第1课时 角的平分线的作法 课件(共25张PPT) 2025-2026学年沪科版（2024）八年级数学上册
文档属性
| 名称 | 15.3 角的平分线 第1课时 角的平分线的作法 课件(共25张PPT) 2025-2026学年沪科版（2024）八年级数学上册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 561.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-09 12:24:04 | ||
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文档简介
(共25张PPT)
沪科版八年级数学上册
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.3 角的平分线 第1课时 角的平分线的作法
导入新课
1.在纸上画一个角，如何得到这个角的平分线？
类比作线段垂直平分线的方法，用量角器度量或用折纸的方法.
角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
高效课堂
活动一：探究用尺规作一个角的平分线
问题1：如图是平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画出一条射线AE，那么AE就是角的平分线.你能说明它的道理吗？
根据“SSS”，全等三角形对应角相等.
高效课堂
问题2：(1)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，它的实质是什么？怎样在作图中体现这个过程呢？
在角两边上各取一点B，D，使这两点到顶点A的距离相等，可以以点A为圆心，相同的半径画弧得到.
(2)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？
BC=CD的实质就是在角的内部找一个点C，使它到B，D的距离相等，可分别以B，D为圆心，适当的长为半径画弧得到.
高效课堂
根据上面的讨论，你能用直尺和圆规作一个角的平分线吗？
①以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点M，N.
②分别以点M，N为圆心，以大于MN长为半径在角的内部作弧，两弧交于点P.
③作射线OP，则OP为所求作的∠AOB的平分线.
高效课堂
问题3：如何证明所作射线OP就是∠AOB的平分线？
利用“SSS”证出△PON≌△POM，全等三角形的对应角相等，证出OP是∠AOB的平分线.
高效课堂
活动二：探究过一点作已知直线的垂线
问题1：当∠AOB的两边成一直线时(即∠AOB=180°)，如何作这个角的平分线？这时的角平分线与直线AB是什么位置关系？
OP⊥AB.
高效课堂
问题2：如何过一点C作已知直线AB的垂线？
提问1:如何经过已知直线上的一点作这条直线的垂线
已知：直线AB和AB上一点C.
求作：AB的垂线，使它经过点C.
如图，作平角ACB的平分线CF.
则直线CF就是所求作的垂线.
高效课堂
思考：直线CF是线段DE的垂直平分线吗？
CF是线段DE的垂直平分线，可通过作线段垂直平分线的方法作出CF.
还有没有别的方法作过直线上一点与已知直线垂直的直线？
在直线AB上作出以点C为中点的线段DE，然后作线段DE的垂直平分线即可.
高效课堂
提问2：如何经过已知直线外一点作这条直线的垂线？
已知：直线AB和AB外一点C.
求作：AB的垂线，使它经过点C.
如图.
①任意取一点K，使点K和点C在直线AB的两旁；
②以点C为圆心，CK长为半径作弧，交直线AB于点D，E.
③分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F；
④作直线CF.则直线CF就是所求作的垂线.
高效课堂
为什么这样作出的直线CF就是所求作的垂线？你能说说其中的道理吗？
利用垂直平分线判定或全等三角形证得.
提问3：你能将这两种情况统一为一种情况吗？
以点C为圆心，适当的长为半径画弧，使其与直线AB相交于D，E两点，然后作线段DE的垂直平分线，垂直平分线就是所求作的垂线.
高效课堂
练习：用尺规作一直角，再将这个角平分.
如图，∠BOC为求作的直角，OA为求作的平分线.
高效课堂
课堂评价
1.用尺规作角平分线的依据是( )
A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS
2.已知△ABC，下列尺规作图的方法中，能确定∠BAD=∠CAD 的是( )
D
D
课堂评价
3.如图1，已知△ABC，试作出∠ABC的平分线及BC边上的高.(保留作图痕迹，不写作法)
如图2中BD就是∠ABC的平分线，AE就是BC边上的高
4．(人教8上P49、北师8下P28)(2022广东)证明“角平分线上的点到角两边的距离相等”．
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E．求证：PD＝PE．
证明：在△OPD和△OPE中，
，
∴△OPD≌△OPE(AAS)，∴PD＝PE．
5．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，且BC＝DC，你能说出BE与DF的数量关系吗？为什么？
解：BE＝DF．理由如下：
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CF，
在Rt△DCF和Rt△BCE中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△BCE(HL)，∴BE＝DF．
A．M点
B．N点
C．P点
D．Q点
6．(2024山东模拟)在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是( )
A
小结：根据角平分线的性质得出△BCE的高，再根据公式求面积.
7．(2024汕头期末)如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于( )
A．8 B．6 C．5 D．4
C
8．(2024湖北一模)如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是72 cm2，AB＝14 cm，AC＝10 cm，则DE的长为 ．
6 cm
9．(人教8上P51、北师8下P30)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，
DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：∠B＝∠C．
证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
∵D是BC的中点，∴BD＝CD．
在Rt△BDE和Rt△CDF中，DE＝DF，DB＝DC，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴∠B＝∠C．
小结：根据角平分线的性质可得DE=DF，则可证△BDE≌△CDF.
课堂总结
通过本节课的学习，你学到了哪些内容？学习了本节课，你有何感想？
(1)用尺规作角平分线的步骤.
(2)过一点作已知直线的垂线的步骤，注意分点在直线上和点在直线外两种情况.
作业设计
基础性作业：教材练习第1题，教材习题15.3第1题.
提高性作业：教材习题15.3第2题.
拓展性作业：如图，C，D是∠AOB内的两点，你能在角的内部找到一点P，使得点P到∠AOB的两边距离相等，并且到点C和点D的距离也相等吗？利用尺规作出这个点.
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第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.3 角的平分线 第1课时 角的平分线的作法
导入新课
1.在纸上画一个角，如何得到这个角的平分线？
类比作线段垂直平分线的方法，用量角器度量或用折纸的方法.
角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
高效课堂
活动一：探究用尺规作一个角的平分线
问题1：如图是平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画出一条射线AE，那么AE就是角的平分线.你能说明它的道理吗？
根据“SSS”，全等三角形对应角相等.
高效课堂
问题2：(1)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，它的实质是什么？怎样在作图中体现这个过程呢？
在角两边上各取一点B，D，使这两点到顶点A的距离相等，可以以点A为圆心，相同的半径画弧得到.
(2)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？
BC=CD的实质就是在角的内部找一个点C，使它到B，D的距离相等，可分别以B，D为圆心，适当的长为半径画弧得到.
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根据上面的讨论，你能用直尺和圆规作一个角的平分线吗？
①以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点M，N.
②分别以点M，N为圆心，以大于MN长为半径在角的内部作弧，两弧交于点P.
③作射线OP，则OP为所求作的∠AOB的平分线.
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问题3：如何证明所作射线OP就是∠AOB的平分线？
利用“SSS”证出△PON≌△POM，全等三角形的对应角相等，证出OP是∠AOB的平分线.
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活动二：探究过一点作已知直线的垂线
问题1：当∠AOB的两边成一直线时(即∠AOB=180°)，如何作这个角的平分线？这时的角平分线与直线AB是什么位置关系？
OP⊥AB.
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问题2：如何过一点C作已知直线AB的垂线？
提问1:如何经过已知直线上的一点作这条直线的垂线
已知：直线AB和AB上一点C.
求作：AB的垂线，使它经过点C.
如图，作平角ACB的平分线CF.
则直线CF就是所求作的垂线.
高效课堂
思考：直线CF是线段DE的垂直平分线吗？
CF是线段DE的垂直平分线，可通过作线段垂直平分线的方法作出CF.
还有没有别的方法作过直线上一点与已知直线垂直的直线？
在直线AB上作出以点C为中点的线段DE，然后作线段DE的垂直平分线即可.
高效课堂
提问2：如何经过已知直线外一点作这条直线的垂线？
已知：直线AB和AB外一点C.
求作：AB的垂线，使它经过点C.
如图.
①任意取一点K，使点K和点C在直线AB的两旁；
②以点C为圆心，CK长为半径作弧，交直线AB于点D，E.
③分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F；
④作直线CF.则直线CF就是所求作的垂线.
高效课堂
为什么这样作出的直线CF就是所求作的垂线？你能说说其中的道理吗？
利用垂直平分线判定或全等三角形证得.
提问3：你能将这两种情况统一为一种情况吗？
以点C为圆心，适当的长为半径画弧，使其与直线AB相交于D，E两点，然后作线段DE的垂直平分线，垂直平分线就是所求作的垂线.
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练习：用尺规作一直角，再将这个角平分.
如图，∠BOC为求作的直角，OA为求作的平分线.
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课堂评价
1.用尺规作角平分线的依据是( )
A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS
2.已知△ABC，下列尺规作图的方法中，能确定∠BAD=∠CAD 的是( )
D
D
课堂评价
3.如图1，已知△ABC，试作出∠ABC的平分线及BC边上的高.(保留作图痕迹，不写作法)
如图2中BD就是∠ABC的平分线，AE就是BC边上的高
4．(人教8上P49、北师8下P28)(2022广东)证明“角平分线上的点到角两边的距离相等”．
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E．求证：PD＝PE．
证明：在△OPD和△OPE中，
，
∴△OPD≌△OPE(AAS)，∴PD＝PE．
5．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，且BC＝DC，你能说出BE与DF的数量关系吗？为什么？
解：BE＝DF．理由如下：
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CF，
在Rt△DCF和Rt△BCE中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△BCE(HL)，∴BE＝DF．
A．M点
B．N点
C．P点
D．Q点
6．(2024山东模拟)在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是( )
A
小结：根据角平分线的性质得出△BCE的高，再根据公式求面积.
7．(2024汕头期末)如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于( )
A．8 B．6 C．5 D．4
C
8．(2024湖北一模)如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是72 cm2，AB＝14 cm，AC＝10 cm，则DE的长为 ．
6 cm
9．(人教8上P51、北师8下P30)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，
DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：∠B＝∠C．
证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
∵D是BC的中点，∴BD＝CD．
在Rt△BDE和Rt△CDF中，DE＝DF，DB＝DC，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴∠B＝∠C．
小结：根据角平分线的性质可得DE=DF，则可证△BDE≌△CDF.
课堂总结
通过本节课的学习，你学到了哪些内容？学习了本节课，你有何感想？
(1)用尺规作角平分线的步骤.
(2)过一点作已知直线的垂线的步骤，注意分点在直线上和点在直线外两种情况.
作业设计
基础性作业：教材练习第1题，教材习题15.3第1题.
提高性作业：教材习题15.3第2题.
拓展性作业：如图，C，D是∠AOB内的两点，你能在角的内部找到一点P，使得点P到∠AOB的两边距离相等，并且到点C和点D的距离也相等吗？利用尺规作出这个点.
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