15.4 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 课件(共30张PPT) 2025-2026学年沪科版（2024）八年级数学上册

(共30张PPT)
沪科版八年级数学上册
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.4 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.4 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
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将一张纸对折，然后剪去一个角，得到一个三角形，再将这个三角形展开.如图所示.
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思考：1.折叠得到的△ABC是什么三角形？
由操作知，△ABC是等腰三角形.
2.折叠得到的△ABC是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，对称轴是什么？
△ABC是轴对称图形，对称轴是折痕AD所在的直线.
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3.△ABD与△ACD有什么关系？哪些线段或角相等？AD与BC垂直吗？
△ABD与△ACD全等，相等的角有：∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90°.相等的线段有：AB=AC，BD=CD.AD与BC垂直.
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活动一：探究等腰三角形的性质
问题1：∠B与∠C是等腰三角形ABC的两个底角，∠B=∠C，你能用语言表示吗？
等腰三角形两个底角相等.
等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两底角相等，简称“等边对等角”.
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如何用所学的知识证明等腰三角形的性质定理1？
已知：如图，在△ABC中，AB=AC.
求证：∠B=∠C.
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证明 ：如图，取BC的中点D，连接AD.
在△ABD和△ACD中，
AB=AC，(已知)；AD=AD，(公共边)；BD=CD，(已作)
∴△ABD≌△ACD.(SSS)
∴∠B=∠C.(全等三角形的对应角相等)
等腰三角形性质定理1用几何语言表示为：
在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C.
你还有其他辅助线作法吗？
作BC边上的高或顶角的平分线.
在等边三角形中，三个内角之间的数量关系如何？它们的度数确定吗？
等边三角形是特殊的等腰三角形，得出等边三角形三个内角相等，再结合三角形内角和定理得出每个内角都等于60°.
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证明 如图，在等边三角形ABC中，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
又∵AB=CB，
∴∠A=∠C，∴∠A=∠B=∠C.
又∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=∠B=∠C=60°.
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等腰三角形性质定理的推论：等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°.
练习 (1)等腰三角形的顶角为80°，则它另外两个角的度数分别是_______________.
(2)已知等腰三角形的底角为50°，则它另外两个角的度数分别是_________________.
(3)已知等腰三角形的一个内角为80°，则它另外两个角的度数分别是____________________________.
(4)等腰三角形的一个内角为90°，则另外两个角的度数分别是____________.
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50°，50°或80°，20°
45°，45°
80°，50°
50°，50°
问题2：如图，在△ABC中，AB=AC.
(1)如果作BC边上的高线AD，那么AD平分BC吗？AD平分∠BAC吗？
(2)如果作△ABC的顶角平分线AD，那么AD垂直平分BC吗？
(3)如果作底边上的中线AD，那么AD垂直BC吗？AD平分∠BAC吗？
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等腰三角形的性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高重合.简称“三线合一”.
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练习：如图，在△ABC中，AB=AC.
(1)若∠1=∠2，BD=3 cm，则BC=_______cm；
(2)若AD⊥BC，CD=5 cm，则BD=______cm；
(3)若BD=CD，∠1=25°，则∠BAC=_______.
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6
5
50°
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活动二：拓展与应用
例1 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D，E是底边上两点，且BD=AD，CE=AE.求∠DAE的度数.
解：∵AB=AC，∠BAC=120°，(已知)
∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)=×(180°-120°)=30°.(等边对等角)
又∵BD=AD，(已知)
∴∠BAD=∠B=30°.(等边对等角)
同理：∠CAE=∠C=30°.
∴∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠CAE=120°-30°-30°=60°.
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例2 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，点E是AD上一点.
求证：BE=CE.
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证明 ∵AB=AC，AD是边BC上的中线，(已知)
∴AD是边BC上的高.(三线合一)
∴AD垂直平分线段BC.(线段垂直平分线的定义)
∵点E是AD上一点，(已知)
∴BE=CE.(线段垂直平分线的性质)
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例3 求证：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
已知：如图1，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'.
求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.
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证明 如图2，在平面内移动Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使点A和A'、点C和C'重合，点B和B'在AC的两侧.
∵∠BCB'=90°+90°=180°，(等式性质)
∴B，C，B'三点在同一直线上.(平角的定义)
∵AB=AB'，(已知)
∴∠B=∠B'.(等边对等角)
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，
∵∠ACB=∠A'C'B'，(已知)；∠B=∠B'，(已证)；AB=A'B'，(已知)
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.(AAS)
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课堂评价
1.下列关于等边三角形的说法不成立的是( )
A.三边相等 B.三角相等
C.是等腰三角形 D.有一条对称轴
2.在△ABC中，AB=AC，AD是高，且∠BAD=20°，则△ABC 的三个内角的度数分别为_________________________.
3.等腰三角形的一个内角为68°，则其余两角的度数分别为__________________________.
D
40°，70°，70°
68°，44°或56°，56°
课堂评价
4.如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE.求证：BD=CE.(用两种方法证)
课堂评价
方法一：如图，过点A作AP⊥BC于P.
∵AB=AC，(已知)
∴BP=PC.(三线合一)
∵AD=AE，(已知)
∴DP=PE.(三线合一)
∴BP-DP=PC-PE，(等式的性质)
∴BD=CE.
课堂评价
方法二：∵AB=AC，(已知)
∴∠B=∠C，(等边对等角)
∵AD=AE，(已知)
∴∠ADE=∠AED，(等边对等角)
∴∠ADB=∠AEC，(等角的补角相等)
在△ADB和△AEC中，
∵∠B=∠C，(已证)；∠ADB=∠AEC，(已证)；AD=AE，(已知)
∴△ADB≌△AEC(AAS)，
∴BD=CE.
课堂总结
通过本节课的学习，你学到了哪些内容？学习了本节课，你有何感想？
(1)等腰三角形的性质，即等边对等角、三线合一.这些性质只有在等腰三角形中才适用.
(2)等边对等角是证明两个角相等的方法之一.
作业设计
基础性作业：教材例1后面的练习第2，3题；教材例3后面的练习第3题.
提高性作业：教材习题15.4第6题.
作业设计
拓展性作业：如图1，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE.
(1)线段AF和BE有怎样的大小关系？请证明你的结论.
(2)将图1中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图2，(1)中的结论还成立吗？作出判断并说明理由.
感 谢 观 看