15.4 等腰三角形 第2课时 等腰三角形的判定 课件(共24张PPT) 2025-2026学年沪科版（2024）八年级数学上册
文档属性
| 名称 | 15.4 等腰三角形 第2课时 等腰三角形的判定 课件(共24张PPT) 2025-2026学年沪科版（2024）八年级数学上册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 557.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-09 12:28:56 | ||
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文档简介
(共24张PPT)
沪科版八年级数学上册
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.4 等腰三角形 第2课时 等腰三角形的判定
导入新课
某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树(点A)为目标，然后在这棵树的正南方南岸点B插一小旗作标志，沿南偏东60度方向走一段距离到C处时，测得∠ACB为30度，这时，地质专家测得BC的长度是50米，就可知河流宽度是50米.这样估测河流宽度的根据是什么吗？他是怎么知道BC的长度是等于河流宽度的呢？
高效课堂
活动一：探究等腰三角形的判定定理
问题1：(1)等腰三角形有什么性质？
(2)“等腰三角形两底角相等”的逆命题是什么？它是真命题吗？
“等腰三角形两底角相等”的逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，且逆命题正确.
高效课堂
已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C.
求证：AB=AC.
证明 过点A作AD⊥BC，点D为垂足，
∴∠ADB=∠ADC=90°.(垂直的定义)
在△ADB和△ADC中，
∵∠B=∠C，(已知)；∠ADB=∠ADC，(已证)；AD=AD，(公共边)
∴△ADB≌△ADC.(AAS)
∴AB=AC.(全等三角形的对应边相等)
高效课堂
思考：过点A作BC的中线AD，能证明这个判定定理吗？
不能，“SSA”不能保证两个三角形全等.
高效课堂
等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称“等角对等边”.
①这个定理的应用格式是：
在△ABC中，
∵∠B=∠C，(已知)
∴AC=AB.(等角对等边)
即△ABC 为等腰三角形.
②这一判定定理可作为判定两条线段相等的根据之一.
高效课堂
③“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两条腰相等.因为在未判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“顶角”“腰”这些名词.
④“等边对等角”和“等角对等边”的区别：
由三角形的两边相等得出它们所对的角相等是性质，它是判断两角相等的根据之一；
由三角形的两角相等得出它是等腰三角形是判定，它是判断两条线段相等的根据之一.
练习 (1)在下面的三角形中，不可能是等腰三角形的是( )
A.有两个内角分别是70°，55°的三角形
B.有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形
C.有一个外角为100°，一个内角为80°的三角形
D.有两个内角分别为110°和40°的三角形
(2)完成情境引入中的问题.
∠A=∠C=30°，所以AB=CB.
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D
问题2：(1)三个角都相等的三角形是等边三角形吗？为什么？
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
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(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？为什么？
如图，AB=AC，则∠B=∠C.
①∠B=60°，那∠C=∠B=60°，所以∠A=180°-(∠B+∠C)=60°，所以∠A=∠B=∠C.所以△ABC是等边三角形.
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②如果∠A=60°，那么由∠A+∠B+∠C=180°和∠B=∠C，得∠B=(180°-∠A)=60°，于是∠A=∠B=∠C.所以△ABC是等边三角形.
由①②可知，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.
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活动二：拓展与应用
根据要求画出图形.
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，延长BC到点D，使CD=BC.连接AD.
问题：(1)△ACD和△ACB全等吗？你能求出图中哪些角的度数？
(2)△ABD是一个什么三角形？
(3)BC和AB的数量关系是什么？
(4)用语言叙述你找到的BC和AB的数量关系.
作图，利用“SAS”易证△ABC≌△ADC.
∴AD=AB，∠BAC=∠DAC=30°，∠BAD=60°.
由推论2，得△AB是等边三角形.
∴BD=AB.
∴BC=BD=AB.
于是得定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
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例 一艘船上午8：00从A处出发，以10 nmile/h的速度向正北航行，从A处测得一礁石C在北偏西30°方向上.这艘船上午10：00到达B处，并测得礁石C在北偏西60°方向上.
(1)画出礁石C的位置；
(2)求从B处到礁石C的距离；
(3)这艘船继续向正北方向航行多少海里与礁石C的距离最小？
高效课堂
解：(1)如图，以A为顶点，向北偏西30°作射线AD，在点
A的正北方向上取一点B，以B为顶点，向北偏西60°作射线BE，AD与BE交于点C，则点C为礁石所在地.
(2)如图，由题意得∠ACB=60°-30°=30°.
∵∠BAC=30°，
∴∠BCA=∠BAC.
∴BC=BA.
∵BA=10×(10-8)=20 (nmile)，
∴BC=20 (nmile).
答：从B处到礁石C的距离是20 nmile.
高效课堂
(3)如图，过点C作CF⊥AB，垂足为点F.
∵∠CBF=60°，∠CFB=90°，
∴∠BCF=30°.
∴BF=BC=10(nmile).
答：这艘船继续向正北方向航行10 nmile与礁石C的距离最小.
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课堂评价
1.在△ABC中，∠B=∠C，AB=BC=3，则AC=___________.
点拨 △ABC是等边三角形.
2.已知直角三角形中30°角所对的直角边长是23 cm，则斜边的长是 ( )
A.4 cm B.43 cm C.6 cm D.63 cm
3
B
课堂评价
3.如图，∠B=∠C=36°，∠ADE=∠AED=72°，则图中的等腰三角形有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
D
课堂评价
4.如图，等腰三角形ABC的顶角∠A=36°，CD是底角∠ACB的平分线，DE∥BC.
(1)求证：△CDE是等腰三角形.
(2)图中除了△ABC和△CDE外还有等腰三角形吗？若还有等腰三角形，则还有几个等腰三角形.(直接写出个数即可)
课堂评价
(1)∵CD是底角∠ACB的平分线，(已知)
∴∠ACD=∠BCD.(角平分线的定义)
又∵DE∥BC，(已知)
∴∠EDC=∠BCD，(两直线平行，内错角相等)
∴∠EDC=∠ACD，(等量代换)
即△CDE是等腰三角形.(等角对等边)
(2)还有3个等腰三角形.
课堂总结
通过本节课的学习，你学到了哪些内容？学习了本节课，你有何感想？
等腰三角形(含等边三角形)的性质与判定.
作业设计
基础性作业：教材练习第1，3题.
提高性作业：教材习题15.4第10，12题.
拓展性作业：在一个3×3的正方形网格中，A，B是如图所示的两个格点，如果C也是格点，且△ABC是等腰三角形.试用尺规作图的方法，确定顶点C的位置，你发现点C所有可能的位置共有多少个？
感 谢 观 看
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第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.4 等腰三角形 第2课时 等腰三角形的判定
导入新课
某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树(点A)为目标，然后在这棵树的正南方南岸点B插一小旗作标志，沿南偏东60度方向走一段距离到C处时，测得∠ACB为30度，这时，地质专家测得BC的长度是50米，就可知河流宽度是50米.这样估测河流宽度的根据是什么吗？他是怎么知道BC的长度是等于河流宽度的呢？
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活动一：探究等腰三角形的判定定理
问题1：(1)等腰三角形有什么性质？
(2)“等腰三角形两底角相等”的逆命题是什么？它是真命题吗？
“等腰三角形两底角相等”的逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，且逆命题正确.
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已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C.
求证：AB=AC.
证明 过点A作AD⊥BC，点D为垂足，
∴∠ADB=∠ADC=90°.(垂直的定义)
在△ADB和△ADC中，
∵∠B=∠C，(已知)；∠ADB=∠ADC，(已证)；AD=AD，(公共边)
∴△ADB≌△ADC.(AAS)
∴AB=AC.(全等三角形的对应边相等)
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思考：过点A作BC的中线AD，能证明这个判定定理吗？
不能，“SSA”不能保证两个三角形全等.
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等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称“等角对等边”.
①这个定理的应用格式是：
在△ABC中，
∵∠B=∠C，(已知)
∴AC=AB.(等角对等边)
即△ABC 为等腰三角形.
②这一判定定理可作为判定两条线段相等的根据之一.
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③“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两条腰相等.因为在未判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“顶角”“腰”这些名词.
④“等边对等角”和“等角对等边”的区别：
由三角形的两边相等得出它们所对的角相等是性质，它是判断两角相等的根据之一；
由三角形的两角相等得出它是等腰三角形是判定，它是判断两条线段相等的根据之一.
练习 (1)在下面的三角形中，不可能是等腰三角形的是( )
A.有两个内角分别是70°，55°的三角形
B.有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形
C.有一个外角为100°，一个内角为80°的三角形
D.有两个内角分别为110°和40°的三角形
(2)完成情境引入中的问题.
∠A=∠C=30°，所以AB=CB.
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D
问题2：(1)三个角都相等的三角形是等边三角形吗？为什么？
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
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(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？为什么？
如图，AB=AC，则∠B=∠C.
①∠B=60°，那∠C=∠B=60°，所以∠A=180°-(∠B+∠C)=60°，所以∠A=∠B=∠C.所以△ABC是等边三角形.
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②如果∠A=60°，那么由∠A+∠B+∠C=180°和∠B=∠C，得∠B=(180°-∠A)=60°，于是∠A=∠B=∠C.所以△ABC是等边三角形.
由①②可知，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.
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活动二：拓展与应用
根据要求画出图形.
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，延长BC到点D，使CD=BC.连接AD.
问题：(1)△ACD和△ACB全等吗？你能求出图中哪些角的度数？
(2)△ABD是一个什么三角形？
(3)BC和AB的数量关系是什么？
(4)用语言叙述你找到的BC和AB的数量关系.
作图，利用“SAS”易证△ABC≌△ADC.
∴AD=AB，∠BAC=∠DAC=30°，∠BAD=60°.
由推论2，得△AB是等边三角形.
∴BD=AB.
∴BC=BD=AB.
于是得定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
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例 一艘船上午8：00从A处出发，以10 nmile/h的速度向正北航行，从A处测得一礁石C在北偏西30°方向上.这艘船上午10：00到达B处，并测得礁石C在北偏西60°方向上.
(1)画出礁石C的位置；
(2)求从B处到礁石C的距离；
(3)这艘船继续向正北方向航行多少海里与礁石C的距离最小？
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解：(1)如图，以A为顶点，向北偏西30°作射线AD，在点
A的正北方向上取一点B，以B为顶点，向北偏西60°作射线BE，AD与BE交于点C，则点C为礁石所在地.
(2)如图，由题意得∠ACB=60°-30°=30°.
∵∠BAC=30°，
∴∠BCA=∠BAC.
∴BC=BA.
∵BA=10×(10-8)=20 (nmile)，
∴BC=20 (nmile).
答：从B处到礁石C的距离是20 nmile.
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(3)如图，过点C作CF⊥AB，垂足为点F.
∵∠CBF=60°，∠CFB=90°，
∴∠BCF=30°.
∴BF=BC=10(nmile).
答：这艘船继续向正北方向航行10 nmile与礁石C的距离最小.
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1.在△ABC中，∠B=∠C，AB=BC=3，则AC=___________.
点拨 △ABC是等边三角形.
2.已知直角三角形中30°角所对的直角边长是23 cm，则斜边的长是 ( )
A.4 cm B.43 cm C.6 cm D.63 cm
3
B
课堂评价
3.如图，∠B=∠C=36°，∠ADE=∠AED=72°，则图中的等腰三角形有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
D
课堂评价
4.如图，等腰三角形ABC的顶角∠A=36°，CD是底角∠ACB的平分线，DE∥BC.
(1)求证：△CDE是等腰三角形.
(2)图中除了△ABC和△CDE外还有等腰三角形吗？若还有等腰三角形，则还有几个等腰三角形.(直接写出个数即可)
课堂评价
(1)∵CD是底角∠ACB的平分线，(已知)
∴∠ACD=∠BCD.(角平分线的定义)
又∵DE∥BC，(已知)
∴∠EDC=∠BCD，(两直线平行，内错角相等)
∴∠EDC=∠ACD，(等量代换)
即△CDE是等腰三角形.(等角对等边)
(2)还有3个等腰三角形.
课堂总结
通过本节课的学习，你学到了哪些内容？学习了本节课，你有何感想？
等腰三角形(含等边三角形)的性质与判定.
作业设计
基础性作业：教材练习第1，3题.
提高性作业：教材习题15.4第10，12题.
拓展性作业：在一个3×3的正方形网格中，A，B是如图所示的两个格点，如果C也是格点，且△ABC是等腰三角形.试用尺规作图的方法，确定顶点C的位置，你发现点C所有可能的位置共有多少个？
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