【新冀教】2016年秋八年级数学上册全一册学案（打包42套）

勾股定理
第3课时
勾股定理的逆定理及其应用
学习目标：
1.掌握勾股定理的逆定理.
2.会利用勾股定理的逆定理判断直角三角形及解决实际问题.
学习重点：勾股定理的逆定理.
学习难点：勾股定理的逆定理的应用.
知识链接
1.
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么
．
文字叙述：
2.写出下列命题的逆命题：
（1）同位角相等，两直线平行．
它的逆命题是：
（2）如果天空在下雨，那么地面是湿的．
它的逆命题是：
（3）对顶角相等．
它的逆命题是：
新知预习
1.画图：画出边长分别是下列各组数的三角形（单位：厘米）
A.3、4、3
；
B.3、4、5；
C.3、4、6；D.6、8、10
2.测量：用你的量角器分别测量一下上述各三角形的最大角的度数，并记录如下：
A._______
B._______
C.______
D.______
3.判断:请判断一下上述你所画的三角形的形状.
A.______
B._______
C.______
D.______
4.找规律:根据上述每个三角形所给的各组边长
( http: / / www.21cnjy.com )请你找出最长边的平方与其他两边的平方和之间的关系.
A.______
B._______
C.______
D.______
猜想：一个三角形各边长数量应满足怎样的关系时，这个三角形才可能是直角三角形呢？
（1）结论：如果一个三角形的三条边长a、b、c
满足
，那么这个三角形是直角三角形．
（2）由于以上结论是勾股定理的
命题，所以我们把这个结论叫做
．
自学自测
1.判断由a、b、c组成的三角形是否是直角三角形：
（1）a＝15，b＝8，c＝17
（2）a＝13，b＝14，c＝15
（3）a＝，b＝4，c＝5
（4）a＝，b＝1，c＝
（5）a＝0.5，b＝1.2，c＝1.3
(6)
a＝，b＝，c＝
2.若一个三角形的三边之比为5∶12∶13，且周长为60cm，则它的面积为
．
四、我的疑惑
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_____________________________________________________________________________
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要点探究
探究点1：勾股定理的逆定理的证明
问题：试证明勾股定理的逆定理．
【提示】
构造一个与该三角形全等的直角三角形．
已知：如图，在△ABC中，AB=a，BC=b，CA=c，且______________．
求证：∠C=90°．
证明：
作△A’B’C’，使A’B
( http: / / www.21cnjy.com )’=a，B’C’=b，∠____=_____°．
由勾股定理，可得
_____________________________________________
_____________________________________________
____________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
∴△ABC≌△A’B’C’(
_______
)
∴∠____=∠_____=90°．
探究点2：利用勾股定理的逆定理判断直角三角形
例1．已知a，b，c为△ABC的三边，满足
，试判断△ABC的形状.
【归纳总结】对已知条件进行等式变形，化简，看是否能得到
【针对训练】
已知的三边分别a，b，c，其中a
=，b
=2mn，c
=(m>n，m，n是正整数)，是直角三角形吗？说明理由.
例2．如图，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AD＝12，BD＝13，试判断△ABD的形状，并说
明理由．
【归纳总结】先求出该三角形的三边长，然后验证这三边是否满足勾股定理的逆定理．
【针对训练】
如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=BC，求证：AF⊥EF．
【提示】
要证AF⊥EF，只需证△AE
( http: / / www.21cnjy.com )F是直角三角形．不防设正方形的边长为1(或x),然后利用勾股定理分别求出AE，EF，AF的长，最后进行验证．
探究点3：勾股定理的逆定理的实际应用
例3．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口
( http: / / www.21cnjy.com )，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后相距30海里。如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
【归纳总结】先判断△OPR为直角三角形，便可知道PR的方向了．
【针对训练】
如图，一块四边形地ABCD，已知AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m，则这块地的面积为（　　）㎡．
A．24
B．30
C．48
D．60
二、课堂小结
勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三条边长a、b、c
满
足
，那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理的逆定理及其应用
勾股定理的逆定理的应用
1．分别以下列四组数为一个三角形的边长：
（1）3，4，5；
（2）5，12，13；
（3）8，15，17；
（4）4，5，6．
其中能构成直角三角形的有（
）
A．4组
B．3组
C．2组
D．1组
2.三角形ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,且
c+a=2b,
c
–
a=
,则△ABC的形状是
.
3.△ABC的三边长分别为
9
,40
,41
,则△ABC的面积为＿＿＿＿;
4.如图，在7×4的网格上有一个△ABC（A、B、C分别在小正方形的顶点上）．若每个小正方形的边长都为1，则△ABC是（　　）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形
自主学习
合作探究
当堂检测利用图形的平移、旋转和轴对称设计图案
学习目标：
1.利用旋转、轴对称或平移进行简单的图案设计.（重点）
2.认识和欣赏平移、旋转在现实生活中的应用.
3.灵活运用平移与旋转组合的方式进行一些图案设计.（难点）
学习重点：利用旋转、轴对称或平移进行图案设计理.
学习难点：运用平移与旋转组合的方式进行图案设计.
知识链接
观察下列图片中的图案，想想它们是如何设计出来的.
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二、新知预习
2.如图，请将这个图形沿着箭头所示的方向和距离平移三次（保留作图痕迹）.
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3.如图，将这个三角形绕两条虚线的交点，先旋转90°，再将整个图形旋转180°，画出旋转后的图形（保留作图痕迹）.
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4.观察下图中的图案，请你分别说出图案的变化过程.
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图案设计与日常生活息息相关，
( http: / / www.21cnjy.com )它通常是利用基本图形的变换来进行图案设计，图形之间的基本关系有_______、_______、_______这三种基本形式，但较多的形式都是经过组合变化而成的.
自学自测
旦前，市园林部门准备在文
( http: / / www.21cnjy.com )化广场摆设直径均为4米的八个圆形花坛，在坛内放置面积相同的两种颜色的盆栽花草，要求各个花坛内两种花草的摆设不能相同，如图所示的（1）（2），请你再设计出至少四种方案.
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( http: / / www.21cnjy.com )
四、我的疑惑
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_
要点探究
探究点：利用平移、旋转和轴对称设计图案
问题1：分析左边的树形图案，经过怎样的图形变换就可能得到右边的树形图案．
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【归纳总结】形的变换可以通过
( http: / / www.21cnjy.com )选择不同的变换方式得到，可能需要旋转、轴对称、平移等多种变换组合才能得到完美的图案，希望同学们认真分析，精心设计一定也能设计出漂亮的图案来．
【针对训练】
如图，若要将图①变成图②，经过的变换过程可能是（
）
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A.旋转、平移
B.轴对称、旋转
C.平移、旋转
D.轴对称、平移
问题2：用四块如图(1)所示的正方形卡片
( http: / / www.21cnjy.com )拼成一个新的正方形，使拼成的图案是一个轴对称图形，请你在图(2)、图(3)、图(4)中各画出一种拼法(要求三种画法各不相同，且其中至少有一个既是轴对称图形，又是中心对称图形)．
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【归纳总结】求解时只要符合题意即可，另外，在平时的学习生活中一定要留意身边的各种形状的图案，这样才能在具体求解问题时如鱼得水，一蹴而就．
【针对训练】
如图是某地板厂生产的一种地面砖，有一下四种样式：
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请你选其中的几种用来铺设地面，并组成一个优美的图案，要求构成这个图案的基本图形既是轴对称图形又是中心对称图形.
二、课堂小结
内容
分析图形之间的基本变换
根据平移、旋转、轴对称的特点，不断把复杂图形细分至一个简单图形；在倒过来用简洁的文字语言描述这个行程过程.
利用平移、旋转和轴对称设计图案
图案的组合一般有以下几种形式：①
( http: / / www.21cnjy.com )先平移后旋转；②先旋转后平移；③先平移后轴对称；④先作轴对称后平移；⑤先旋转后作轴对称；⑥先作轴对称后旋转.
1.如图所示，该图案可以看做是一个菱形通过_______次旋转得到的，每次旋转______度.
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2.如图，把边长为3的正方形，按下图①~④的方式进行变换后拼成图⑤，则图⑤的面积等于______.
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3.用直尺,圆规,三角尺再设计一个新颖的(课堂上未见过的)美丽图案.
当堂检测参考答案：
1.6
60
2.36
3.图略
自主学习
合作探究
当堂检测平方根
第2课时
算术平方根
学习目标：
1.理解算术平方根的概念.
2.根据算术平方根的概念求一个数的算术平方根.(重点）
3.理解平方根与算术平方根的区别和联系.（难点）
学习重点：求一个数的算术平方根.
学习难点：平方根与算术平方根的区别和联系.
知识链接
1.什么叫平方根？
答:一般地，如果一个数x的平方等于a，即=a，那么这个数______就叫做a的_________．也叫a的_________．
2.平方根的性质有哪些？
答：一个正数有_____个平方根，它们互为________.
0只有_____平方根，是____本身，负数____平方根.
新知预习
一个正数的两个平方根互为________，我们把一个正数a的____的平方根______，叫做a的算数平方根.
正数a的算数平方根记作_______.
正数有
的算术平方根，0的算数平方根是_____，负数___算数平方根.
三、自学自测
1.非负数的算术平方根表示为___，225的算术平方根是____，
的算术平方根____，0的算术平方根是____
2.
的算术平方根是（
）
A．
B．
C．
D．
3.若是49的算术平方根，则=（
）
A.
7
B.
－7
C.
49
D.－49
四、我的疑惑
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要点探究
探究点：算术平方根
问题1：求下列各数的算术平方根：
(1)64；(2)2；(3)0.36；(4).
【归纳总结】(1)求一个数的算术平方根时，首
( http: / / www.21cnjy.com )先要弄清是求哪个数的算术平方根，分清求与81的算术平方根的不同意义，不要被表面现象迷惑．(2)求一个非负数的算术平方根常借助平方运算，因此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用．
【针对训练】
.在下列式子中，正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
问题2：3＋a的算术平方根是5，求a的值．
【归纳总结】已知一个数的算术平方根，可以根据平方运算来解题．
【针对训练】
若4x＋6的算术平方根是2，则x＝______________.
问题3：计算：＋－.
【归纳总结】解题时容易出现如＝＋的错误．
【针对训练】
计算：.
问题4：已知x，y为有理数，且＋3(y－2)2＝0，求x－y的值．
【归纳总结】算术平方根、绝对值和完全平方都具有非负性，即≥0，|a|≥0，a2≥0，当几个非负数的和为0时，各数均为0.
【针对训练】
.若x、y满足，求xy的值.
问题5：全球气候变暖导致一些冰川融
( http: / / www.21cnjy.com )化并消失，在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓开始在岩石上生长．每个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下关系式：d＝7×(t≥12)．其中d代表苔藓的直径，单位是厘米；t代表冰川消失的时间，单位是年．
(1)计算冰川消失16年后苔藓的直径；
(2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，则冰川约是在多少年前消失的？
【归纳总结】本题考查算术平方根的定义，注意实际问题中涉及开平方通常取算术平方根．
【针对训练】
小刚同学的房间地板面积为16米2，恰好由64块正方形的地板砖铺成，求每块地板砖的边长是多少？
二、课堂小结
内容
算术平方根
一个正数的两个平方根互为________，我们把一个正数a的____的平方根______，叫做a的算数平方根.
正数有
的算术平方根，0的算数平方根是_____，负数___算数平方根.
1.若的算术平方根是3，则a
=________
2.下列命题中，正确的个数有(
)
　①1的平方根是1
；②1是1的算术平方根；③( 1)2的平方根是 1；④0的算术平方根是它本身
　A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.已知x，y满足，则xy的值是(
)
A.4
B.－4
C.
D.
4.求下列各数的算术平方根：
36，
，15，0.64，，，
．
5.如果将一个长方形ABCD折叠，得到
( http: / / www.21cnjy.com )一个面积为144cm2的正方形ABFE，已知正方形ABFE的面积等于长方形CDEF面积的2倍，求长方形ABCD的长和宽．
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当堂检测参考答案：
81
B
B
（1）6；（2）；（3）；（4）0.8；（5）10-2；（6）；（7）1.
设正方形ABFE的边长为a，
有a2=144，所以
，
所以．
又因为
，
设FC=x，
所以，x=6
．
所以(cm)．
所以长方形的长为18cm，宽为12cm．
自主学习
合作探究
当堂检测直角三角形全等的判定
学习目标：
1.理解直角三角形全等的判定方法“HL”，会用“HL”判定两个直角三角形全等.
2.理解角平分线性质定理的逆定理.
学习重点：理解直角三角形全等的判定方法“HL”.
学习难点：“HL”的应用.
知识链接
1.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，
那么
（或
）
变形：
（或
），
（或
）
2.判定两个三角形全等的方法有：
、
、
、
二、新知预习
1.动手试一试
已知：两条线段（两条线段长度不相等），一条
( http: / / www.21cnjy.com )为2cm，一条为3cm.试着画出一个直角三角形，使3cm长的线段为三角形的斜边，2cm长的线段为其一条直角边.
作法：
(1)作一条线段CB，使它等于2cm；
(2)过点C，作直线MC⊥CB；
(3)以点B为圆心，3cm长为半径画圆弧，交射线CM于点A；
(4)连接AB.△ABC即为所求
2.将你画的三角形和同桌画的三角形进行比较，由此你能猜想到什么呢？
【结论】由上面的画图实验可以得到直角三角形全等的判定定理：
斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形
（可以简写成“
”或“
”）
3.
尝试证明以上结论
已知：如图，在Rt△ABC和Rt中,
∠C=∠C’=90°，AB=A’B’，AC=A’C’
求证：Rt△ABC≌Rt
【提示】先利用勾股定理证明另一条直角边相等，再用“SAS”或“SSS”证明这两个三角形全等
证明：
自学自测
1.判断题：
（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等（
）
（2）一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等（
）
（3）一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等（
）
（4）两直角边对应相等的两个直角三角形全等（
）
（5）两边对应相等的两个直角三角形全等（
）
（6）两锐角对应相等的两个直角三角形全等（
）
（7）一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等（
）
（8）一直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等（
）
2.如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（　　）
A．∠BAC=∠BAD
B．AC=AD或BC=BD
C．AC=AD且BC=BD
D．以上都不正确
四、我的疑惑
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要点探究
探究点：利用“HL”判定两个直角三角形全等
例1．如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，
AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？说说你的理由
解：AB平行于CD
理由：∵
AF⊥BC，DE⊥BC
（已知）
∴
∠AFB=∠DEC=
°（垂直的定义）
∵BE=CF，∴BF=CE
在Rt△
和Rt△
中
∵∴
≌
（
）
∴
=
（
）
∴
（内错角相等，两直线平行）
【归纳总结】用“HL”判定两个直角三角形全等时，要找到一组斜边和一组直角边对应相等．
【针对训练】
求证：有一条直角边及斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．
例2．请写出角平分线的性质定理的逆命题，并判断该命题的真假．
【归纳总结】通过做辅助线构造两个全等的直角三角形，也是证明线段相等的常用方法．
【针对训练】
如图：AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，EF过点C，BE⊥EF于E，DF⊥EF于F，BE=DF．
求证：Rt△BCE≌Rt△DCF
二、课堂小结
内容
直角三角形全等的判定定理
和
对应相等的两个直角三角形全等．（可以简写成“
”或“
”）
角平分线性质定理的逆定理定理
到　　　　　　距离相等的点在这个角的平分线上．
1．判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（
）
A．两条直角边对应相等
B．斜边和一锐角对应相等
C．斜边和一条直角边对应相等
D．两个锐角对应相等
2．如图，∠A=∠D=90°，再添加一个条件
，即可使Rt△ABC≌Rt△DCB，理由是
．
3．如图，∠B=∠D=90°，BC=DC，∠1=40°，则∠2=
．
4．如图所示，已知在△ABC中，∠C=90°，AD=AC，DE⊥AB交
BC于点E，若∠B=28°，则∠AEC=（　　）
A．28°
B．59°
C．60
D．62°
5．如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？
6．如图，公路上A、B两站相距25km，
( http: / / www.21cnjy.com )在公路AB附近有C、D两学校，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B．已知DA=15km，CB=10km，现要在公路上建设一个青少年活动中心E，要使得C、D两学校到E的距离相等，则E应建在距A多远处？
自主学习
A
B
C
A’
B’
C’
合作探究
当堂检测轴对称
学习目标：
1.认识轴对称图形，能够识别简单的轴对称图形.
2.理解两个图形成轴对称的概念，能够运用轴对称的性质作图.（难点）
3.理解线段垂直平分线的意义和线段的轴对称性并用其作图.(重点）
学习重点：轴对称的性质.
学习难点：利用轴对称的性质作图.
知识链接
观察、讨论、交流，尝试用自己的语言描述这些实物、图片的共同特征.
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( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
答：_______________________________________________________________________.
二、新知预习
2.轴对称图形
（1）做一做
把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），想一想,展开后会是一个什么样的图形？位于折痕两侧图案有什么关系？
（2）想一想
日常生活中常见的动物图片如：蝴蝶、蜻蜓、对称简笔画等,能发现它们有什么共同特征？
（3）轴对称图形定义：
如果一个图形沿一条
折叠，直线两旁的部分能够
这个图形就叫做轴对称图形。
就是它的对称轴。
3．轴对称
（1）、做一做
折纸印墨迹
问题1：你发现折痕两边的墨迹形状一样吗？
问题2：两边墨迹的位置与折痕有什么关系？
（2）、轴对称定义
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果
( http: / / www.21cnjy.com )它能够与
重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。这条直线就是
，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重叠的点）叫做
。
4．轴对称与轴对称图形的联系与区别．
轴对称图形
轴对称
区别
联系
如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，
( http: / / www.21cnjy.com )那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；反过来，如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
三、自学自测
1.下面的十个英文字母A,E,F,G,H,K,M,N,O,R中是轴对称图形的是
.
2.汉字中“品,土,日”等都是轴对称图形,请写出三个这样的汉字
.
3.下图是从视力表中挑出的几对图形,选项的右边图形与左边图形成轴对称的序号是
.
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4.这些汽车的标志你认识吗 其中是轴对称图形的有(
)
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四、我的疑惑
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要点探究
探究点1：轴对称图形与轴对称的概念
问题：
下列体育运动标志中，从图案看不是轴对称图形的有(　　)
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A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【归纳总结】要确定一个图形是否是轴对称图形要根据定义进行判断，关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
【针对训练】
下列四种图形中，一定是轴对称图形的有（
）
①
等腰三角形
②
等边三角形
③
直角三角形
④
等腰直角三角形
A.
1种
B.
2种
C.
3种
D.
4种
探究点2：轴对称图形的对称轴
问题：下列轴对称图形中，恰好有两条对称轴的是(　　)
A．正方形
B．等腰三角形
C．长方形
D．圆
【归纳总结】判断轴对称的条数，仍然是根据定义进行判断，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，注意不要遗漏．
【针对训练】
我国国旗上的每一个五角星的对称轴有
条.
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探究点3：轴对称图形和轴对称的性质
问题：如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B＝40°，则∠BCD的度数是(　　)
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A．130°
B．150°
C．40°
D．65°
【归纳总结】轴对称其实就是一种全等变换，所以轴对称往往和三角形的内角和、外角的性质综合考查．
【针对训练】
.如图，△ABC与△关于直线MN对称，P为MN上任一点，下列结论中错误的是（　　）
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A．AP=
B．MN垂直平分AA′，CC′
C．△ABC与△面积相等
D．直线AB、的交点不一定在MN上
二、课堂小结
相关概念
性质
轴对称图形
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够____________，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做__________．
轴对称
把一个图形沿着某一条直线折叠，如
( http: / / www.21cnjy.com )果它能够与另一个图形________，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做__________，折叠后重叠的点是对应点，叫做对称点.
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区别与联系
区别：①前者是一个图形，
( http: / / www.21cnjy.com )后者是两个图形；②后者对称轴只有一条，前者的对称轴可能有多条(如等边三角形有三条对称轴、长方形有两条对称轴等)．(2)联系：①都能沿某条直线翻折后互相重叠，即两者的对应线段________，对应角________；②若把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它也是一个轴对称图形；若把轴对称图形分成两部分，那么这两部分也可看成关于这条直线成轴对称.
1.你能找出这些图形的对称轴吗
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2.找出下列各图形中的对称轴，并说明哪一个图形的对称轴最多.
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3.（1）整个图形是轴对称图形吗？对称轴是什么？
（2）图形可以看作某两个图形成轴对称吗？
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4.请你利用一个等腰三角形、两个长方形、三个圆，设计一些具有轴对称特征的图案,
并用简练的文字说明你的创意.
当堂检测参考答案：
1.
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2.
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（1）是，如图所示；
（2）可以.
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4.略.
自主学习
合作探究
当堂检测用计算器求平方根与立方根
学习目标：
1.会用计算器求非负数的算术平方根、平方根.立方根.（难点）
2.根通过利用计算器开平（立），解决一些简单的实际问题.(重点）
学习重点：利用计算器开平（立）解决实际问题.
学习难点：用计算器开方.
知识链接
1.计算:________;____________;_____________.
2.计算:
(1)=______;(2)=______;(3)=______;(4)=______.
二、新知预习
3.（1）如何用计算器计算平方根呢？
按照要求用计算器求下列各数的值，并将结果填在表格中：（结果精确到0.001）
输入数
按键顺序
计算结果
（2）如果用计算器计算立方根根呢？
NOTE：2ndF是第二功能键，按下此键后，计算器将按键盘上红字所显示的功能进行计算
输入数
按键顺序
计算结果
三、自学自测
1.用计算器求下列各式的近似值：（精确到0.001）
（1）；（2）；（3）；（4）.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：用计算器求平方根
问题：用计算器求下列各式的近似值：（精确到0.001）
（1）；（2）.
【归纳总结】在计算本题时，要认真仔细，防止少按键，注意取近似值的方法；计算器开平方的结果应根据需要惊喜取舍.
【针对训练】
用计算器求下列各式的近似值：（精确到0.001）
（1）；（2）.
探究点2：用计算器求立方根
问题：用计算器求下列各式的近似值：（精确到0.001）
（1）；（2）.
【归纳总结】本题主要考察了实数与数轴之间的对应关系，两点之间的距离为两数之差的绝对值.
【针对训练】
用计算器求下列各式的近似值：（精确到0.001）
（1）；（2）.
二、课堂小结
内容
用计算器求平方根
按键顺序：
用计算器求立方根
按键顺序：
1.用计算器计算：
（1）（2）；（3）
2.随着“神州”十号的升空，中国人又走出了探索宇宙的一大步，但是你知道吗，要想围绕着地球旋转，飞船的速度必须达到“第一宇宙速度”，其计算公式是（单位：km/s，其中g=0.0098km/s2，为重力加速度，R为6370km，为地球半径）请你求出第一宇宙速度的值（结果保留两位有效数字）.
3.求下列各式中x的值.（精确到0.01）
（1）x3-800=0；（2）27x3-8=0.
当堂检测参考答案：
1.（1）=2.426
932
22；；（2）=0.658
633
756；（3）=－10.871
789
69.
2.km/s.
答：第一宇宙速度的值约为7.90km/s.
（1）x3-800=0，x3=800，x=；
（2）27x3-8=0，，.
自主学习
合作探究
当堂检测全等三角形的判定
第4课时
具有特殊位置关系的三角形的全等
学习目标：
1.复习并回顾全等三角形的判定方法.（重点）
2.根据平移或旋转证明两个三角形全等并掌握其规律.（难点）
学习重点：全等三角形的判定方法.
学习难点：平移或旋转与三角形全等的综合.
知识链接
观察下面几组图形，其中△ABC≌△A'B'C'，请写出它们的对应角和对应边.
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答：___________________________________________________________________.
参照1中两个三角形的位置关系，请尝试画出几个与△ABC全等的三角形.
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二、新知预习
3.如图，每组图形中的两个三角形都是全等三角形.
( http: / / www.21cnjy.com )
观察每组中的两个三角形，请你说出其中一个三角形经过怎样的变换（平移或旋转）后，能够与另一个三角形的重合.
请你分别再画出几组具有类似位置关系两个全等三角.
实际上，在我们遇到的两个全等三角
( http: / / www.21cnjy.com )形中，有些图形具有特殊的位置关系，即其中一个三角形是由另一个三角形经过平移或旋转（有时是两种变换）得到的.发现两个三角形间的这种特殊关系，能够帮助我们找到命题证明的途径，较快解决问题.
自学自测
如图所示，E为BC的中点.
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当AB=DE，∠B=∠DEC时，可用___________证明△ABE≌△DEC；
当AB=DE，AE=DC时，可用___________证明△ABE≌△DEC；
2.如图，AB与CD相交
( http: / / www.21cnjy.com )于点O，且AC∥BD，AC+BD，那么________≌_______，理由是_________________________________.
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四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点：具有特殊位置关系的三角形的全等
问题1：已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE∥AB，交AC于点E，DF∥AC，交AB于点F.求证：△BDF≌△DCE.
( http: / / www.21cnjy.com )
【归纳总结】本题运用了转化的思想，将题目中相等的线段转化为两三角形中一对相等的边，即可证明全等.
【针对训练】
已知：如图，AC=EF，AB∥CD，AB=CD.求证：BE∥DF.
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问题2：已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，CF∥AB，交DE的延长线于点F.求证：DE=FE.
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【归纳总结】本题运用了转化的思想，观察可知，将△ECF绕着点E逆时针旋转180°，它可与△EAD重合，即可证明全等得到等量关系.
【针对训练】
已知：如图，D是△ABC的边BC的中点，过C，B分别作AD及AD的延长线的垂线CF，BE，垂足分别为F，E，求证：BE=CF.
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二、课堂小结
基本图形
平移全等形
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旋转全等形
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翻折全等形
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已知，如图，AB∥CD，BF∥DE且AE=2，AC=10，则EF=_______.
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2.已知：如图，BE=CF，AB∥ED，AC∥DF.求证：△ABC≌△DEF.
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3.已知：如图，AB=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE.求证：∠1=∠2.
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当堂检测参考答案：
1.6
2.∵AB∥ED，AC∥DF（已知），
∴∠B=∠DEF，∠F=∠ACB（两直线平行，同位角相等）.
∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC（等式的性质），即BC=EF.
在△ABC和△DEF中
∠B=∠DEF（已推出），
BC=EF（已推出）
∠F=∠ACB（已推出），
∴△ABC≌△DEF（ASA）.
3.∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
即∠ACE=∠DCB.
在△ACE和△DCB中，
AC=DC（已知），
∠ACE=∠DCB（已证），
EC=BC（已知），
∴△ACE≌△DCB（SAS）.∴∠1=∠2
自主学习
合作探究
当堂检测分式
12.1
分式
第1课时
分式及其基本性质
学习目标：
1.理解分式的概念，能判断一个代数式是否为分式.
2.知道分式有意义、无意义和方式值为0的条件.
3.能够运用分式的基本性质对分式进行变形.
学习重点：会求分式有意义时，字母的取值范围.
学习难点：求分式值为零时，字母的取值.
知识链接
1.
用代数式填空：
（1）一项工程，甲施工队5天可以完成.甲
( http: / / www.21cnjy.com )施工队每天完成的工作量是______________，三天完成的工作量是_______，如果乙施工队a天可以完成这项工程，那么乙施工队每天完成的工作量是________，b（b（2）已知甲乙两地之间的路程为m
km.如果
( http: / / www.21cnjy.com )A车的速度为n
km/h，B车比A车每小时多行20km，那么从甲地到乙地，A车所用的时间是_____h，B车车所用的时间是_____h.
2.下列数或算式：2÷1，3÷0，
3.（1）将下列分数化简为最简分数：
（2）分数的性质：分数的分子和分母同乘（或除以）一个________0的数，其值______.
二、新知预习
1.“知识链接”1中，我们可以得到一些代数式：________________________.
(
1
)
将这些代数式分类，可分成怎样的两类，并完成下表：
名称
代数式
不同点
共同点
分数
？
根据以上对比，上表中“？”所代表的名称是_________.你能归纳出它的概念吗？
【自主归纳】
一般地，我们把形如的代数式叫做分式，其中A，B都是______，且B含有______,
其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.
2.分式可以看成两个整式相除的商：
除数不能为_______→分数的分母不能为_____→分式的分母不能为______
【自主归纳】分式有意义的条件是___________.
类比分数的性质，猜想：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的
值______.
三、自学自测
1.在代数式－3x、、、、、中是整式的有
，
是分式的有________________.
2
填空：
（1）当x
时，分式有意义；当x
时，分式无意义.
（2）当m=____时的值为0；若的值为0，则m=_______.
3.判断下列分式是否相等，并说明理由.
（1）
；（2）.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
合作探究
探究点1：分式的概念
例1：在式子、、、、＋、9x＋,中，分式的个数有
(　　)
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
疑惑思考：①π是字母吗？②化简后的结果为1，能完全等同于1吗？它成立的条件是什么？
【归纳总结】分母中含有字母的式子就是分式，注意①π不是字母，是常数；②判断分式要看化简之前的式子.
【针对训练】
1.下列式子:①；②；③；④；⑤.其中是分式的是_______.
探究点2：分式有（无）意义及分式值为0的条件
例2：分式有意义，则x应满足的条件是
(　　)
A.x≠1
B．x≠2
C．x≠1且x≠2
D．以上结果都不对
【归纳总结】分式有意义的条件是分母不等于零.
例3：若使分式的值为零，则x的值为
(　　)
A．－1
B．1或－1
C．1
D．1和－1
【归纳总结】分式的值为零求字母的值：先根据
( http: / / www.21cnjy.com )分子为0，得出字母的值，然后一定要注意若分子中的整式是二次式或含有绝对值，解出的值一般有两个，要注意舍去使分母为0的值.
【针对训练】
1.使分式无意义的x的值是(　　)
A.x＝0
B．x≠0
C．x＝
D．x≠
2.
若的值为0，则x=_______.
3.当x取何值时，下列分式有意义？
（1）
（2）
（3）
【师生合作】探究点3：分式的基本性质
问题1：
如何用字母表示分数的基本性质？
一般地，对于任意一个分数，有(c≠0)，其中a,b,c表示数.
问题2：仿照分数的基本性质，你能说出分式的基本性质吗？
[做一做]分式
分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值_____.
即：，，其中A,B,M表示整式且M是不等于0的整式.
例4：下列式子从左到右的变形一定正确的是
(　　)
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
【归纳总结】分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．
【针对训练】
1.不改变分式的值，把它的分子、分母的各项系数都化为整数，所得结果为(　　)
A.
B.
C.
D.
2.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号．
=_______；
(2)=______；(3)=________.
3.下列等式的右边是怎样从左边得到的？
(1)；(2).
二、课堂小结
分式
内容
概念
一般地，我们把形如______的代数式叫做分式，其中A，B都是______，且B含有______.A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.
有意义、值为0的条件
分式有意义的条件是__________;值为0的条件是_____________.
基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以
( http: / / www.21cnjy.com ))一个不等于________的整式，分式的值________．即＝，＝(C≠0)，其中A、B、C是整式．注意：B≠0是隐含条件.
符号法则
分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值________．即＝－＝－＝.
下列代数式中，属于分式的有
（
）
A
.-
B.
C.
D.
2.当a＝－1时,分式的值
(
)
A.没有意义
B.等于零
C.等于1
D.等于－1
3.下列分式中一定有意义的是(
)
A.
B.
C.
D.
4.下列各式从左到右的变形正确的是(
)
A.
( http: / / www.21cnjy.com )
B.
C.
D.
5.使分式有意义的x的取值范围是_____________.
6..填空
（1）；　　　　（2）；
（3）；　　　　（4）．
7.（能力拓展）已知y=，x取哪些值时：
（1）分式无意义；（2）y的值是零；（3）y的值是负数.
当堂检测参考答案：
C
2.A
3.A
4.A
5.
x≠-3
⑴，⑵x，⑶4n，⑷x-y；
7.（1）由题意得：2-3x=0
，∴x=.
（2）由题意得：
∴x=1；
（3）由题意得：＜0，∴或
∴x＞1或x＜.
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合作探究
数
式
当堂检测实数
第1课时
无理数及实数的概念
学习目标：
1.理解无理数的概念.（难点）
2.理解实数的概念.(重点）
学习重点：开平方运算.
学习难点：平方根的性质及开平方运算.
知识链接
1.
（1）
（2）—=
（3）
（4）
二、新知预习
2.如图所示，在Rt△A
( http: / / www.21cnjy.com )BC中，两条直角边AC=BC=2,如果将Rt△ABC延斜边AB上的高CD剪开后，拼成如图（2）所示的正方形，那么这个正方形的边长是多少？
( http: / / www.21cnjy.com )
讨论：
（1）对于整数—3，—2，—1，0，1，2
( http: / / www.21cnjy.com )，3，它们的的平方分别等于
结果是怎样的数
，有平方等于2的正数吗？
.
（2）对于分数—，—，—，，—，—，它们的平方分别等于
，结果是怎样的数？
有平方以后等于2的分数吗？
（3）m是有理数吗？
探究：
（1）通过计算器得=1.414213562373·······根据以上的结果，我们知道不是有理数而是一个
小数
（2）我们知道的圆周率也是一个
小数.你还可以举出类似的小数吗？
我们把这样的数叫无理数，即无理数：无限不循环小数像π，
，，0.101001……..
实数：_______和_________统称为实数.
三、自学自测
1、判断下列说法是否正确：
（1）无限小数都是无理数.（
）
（2）无理数都是无限小数.（
）
（3）带根号的数都是无理数.（
）
2.在下列各数中，哪些数是有理数，哪些数是无理数？
—，
3.14，2.8
，，，，，—
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点：无理数及实数的概念
问题：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
3．14，－，0.，－0.125，－5π，0.35，，5.3131131113…(相邻两个3之间1的个数逐次加1)．
【归纳总结】准确理解有理数和无理数的概念是
( http: / / www.21cnjy.com )解答本题的关键．任何有限小数或无限循环小数都是有理数；无限不循环小数称为无理数，故－5π，5.3131131113…是无理数，其他都是有理数．
【针对训练】
1.把下列各数分别填入相应的集合里:
－|－3|，21.3，－1.234，,0，,,,,，3－2，1.212
112
111
2….
(1)无理数集合｛_____________…｝;
(2)有理数数集合｛___________…｝.
2.下列说法正确的有（
）
⑴不存在绝对值最小的无理数；
⑵不存在绝对值最小的实数；
⑶不存在与本身的算术平方根相等的数；
⑷比正实数小的数都是负实数；
⑸非负实数中最小的数是0.
A.
2个
B.
3个
C.
4个
D.5个
二、课堂小结
内容
无理数
___________小数.
实数
_______和_________统称为实数.
有理数与无理数的主要区别
(1)无理数是无限不循环小数，而有理数可以用有限小数或无限循环小数表示．(2)任何一个有理数都可以化为分数形式，而无理数则不能．
1.下列说法中正确的是
（
）
A.不存在最小是实数
B.有理数、是有限小数
C.无限小数都是无理数
D.带根号的数都是无理数
2.把下列各数分别填入相应的集合内：
（相邻两个3之间的7的个数逐次加1）
HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com"
有理数集合
无理数集合
3.已知长方体的体积是1
620，它的长、宽、高的比是5∶4∶3，问该长方体的长、宽、高是无理数吗？为什么？
当堂检测参考答案：
A
有理数集合：
无理数集合：（相邻两个3之间的7的个数逐次加1）
3.该长方体的长、宽、高不是无理数.理由如下：
设长方体的长、宽、高分别是5k、4k、3k.
根据题意得5k·4k·3k＝1
620，k3＝27，k＝3.所以5k＝15，4k＝12，3k＝9.
所以该长方体的长、宽、高均为有理数，不是无理数.
自主学习
合作探究
当堂检测勾股定理
第2课时
勾股定理的应用
学习目标：
1.能熟练运用勾股定理计算.
2.会用勾股定理解决简单的实际问题.
学习重点：用勾股定理解决实际问题.
学习难点：勾股定理的熟练运用.
知识链接
1.
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，
那么
（或
）
变形：
（或
），
（或
）
2．填空题：在Rt△ABC，∠C=90°，
⑴如果a=7，c=25，则b=
；
⑵如果∠A=30°，a=4，则b=
；
⑶如果∠A=45°，a=3，则c=
；
（4）如果b=8，a：c=3：5，则c=
.
二、新知预习
如图，一个3m长的梯子AB，斜靠在一竖直
( http: / / www.21cnjy.com )的墙AO上，这时AO的距离为2.5
m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5
m吗
提示：
梯子底端B随着梯子顶端A沿墙下滑而外移到D，那么
　　　　的长度就是梯子外移的距离．
②BD＝　　　－　　　，求BD，关键是要求出　　和　　的长．
③梯子在下滑的过程中，梯子的长度变了吗？
④在Rt△AOB中，已知　　和　　　，如何求OB？
　在Rt△COD中，已知　　和　　　，如何求OD？
自学自测
1.小军量得家里新购置的彩电荧光屏的长为58厘米，宽为46厘米，则这台电视机的尺寸是（实际测量的误差可不计）（　　）
A．9英寸（23厘米）
B．21英寸（54厘米）
C．29英寸（74厘米）
D．34英寸（87厘米）
2.如图所示：是一段楼梯，高BC是3m，斜边AC是5m，
如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯　　　m.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点：勾股定理的实际应用
例1．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米？
【归纳总结】解题关键是利用转化思想将实际问题转化成直角三角形模型，然后利用勾股定理求出未知的边长.
【针对训练】
如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点AB之间的距离是（　　）
A．13
B．9
C．18
D．10
例2．一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过 为什么
思考：①薄木板怎样好通过？
；
②在长方形ABCD中，
是斜着能通过的最大长度；
③薄模板能否通过，关键是比较
与
的大小.
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理
AC2＝（
）2＋（
）2＝
2＋
2＝
．
因此AC＝
≈
．
因为AC
（填“＞”、
“＜”、或“＝”）木板的宽2.2m，
所以木板
从门框内通过．（填“能”或“不能”）
【归纳总结】根据门框的尺寸，可以求出能通过此门框的薄木板的最大宽度,然后与之作比较
【针对训练】
小东拿着一根长竹竿进一个宽3米的
( http: / / www.21cnjy.com )城门，他先横着拿进不去，又竖起来拿，结果竿比城门高1米，当他把竿斜着时，两端正好顶着城门的对角，问竿长几米？
二、课堂小结
利用勾股定理求长度
勾股定理的应用
利用勾股定理解决实际问题
1.现有两根木棒的长度分别是40cm和50cm，若要钉成一个直角三角形框架，那么可以选用的木棒是（　　）
A．30cm
B．40cm
C．50cm
D．60cm
2.如图，在5×5的正方形网格中，下列数据与线段AB长最接近的是（　　）
A．4
B．5
C．6
D．7
3.小明用火柴棒摆直角三角形，已知他摆两条直角边分别用了6根和8根火柴棒，他摆完这个直角三角形共用火柴棒（　　）
A．20根
B．14根
C．24根
D．30根
4.一架2.5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙角0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯脚移动的距离是（　　）
A．0.4m
B．0.9m
C．0.8m
D．1.8m
5.如图，能否将一根70㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为40cm、30cm、50cm
的长方体盒子中？
自主学习
合作探究
当堂检测分式的约分
学习目标：
1.理解约分和最简分式的意义，并会进行约分.
2.理解分式求值的意义，学会根据已知条件求分式值.
学习重点：分式的约分.
学习难点：分式求值.
自主学习
知识链接
（1）把下列分数化为最简分数：
（2）分数约分的办法：先将分数的分子和分母__________,再约去分子分母上相同因数，
把分数化为最简分数.
结合分式的基本性质，判断正误：
①
因式分解:
①x2+xy=____________;②4m2-n2=_____________;③a2+8a+16=___________________.
4.
分式的基本性质是__________________________________________.
5.
在下面的括号内填上适当的整式，使等式成立：
二.新知预习
类比分数的约分，完成下列流程图：
=
=_____________.
=
=____________.
2.根据分式的性质，试着将化简：
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【概念归纳】1.像这样，把分式中的分子和分母的__________约去，叫做分式的约分.
2.分子和分母没有______的分式叫做最简分式.
三、自学自测
化简下列各分式：
（1）-___________=_________;（2）=________________=__________.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_
合作探究
要点探究
探究点1：分式的约分
【例1】约分：(1)；
(2).
【思考】通过上面的约分，你能说出分式约分的关键步骤是__________________.
【归纳总结】1.约分的步骤
( http: / / www.21cnjy.com )：(1)找公因式．当分子、分母是多项式时应先分解因式；(2)约
去分子、分母的公因式．
【针对训练】
1.化简分式的结果是
（
）
A.
B.
C.
D.
约分：
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探究点2：最简分式
【议一议】下面是小亮和小妮两位同学在进行一道分式的化简时，结果出现了分歧，谁的结果正确？
小亮：
小妮：
正确的是_______；
错误的原因是_____________________________.
【结论】在进行分式的约分时，一定要把结果化到最简.
【例2】下列分式是最简分式的是(　　)
A.
B.
C.
D.
【归纳总结】最简分式的标准是分子，分母中不含公因式．分子、分母中含多项式的分式，判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无公因式．
【针对训练】
下列分式:、、、、中,是最简分式的有(
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
探究点3：分式的化简求值
【做一做】当p=12，q=-8时，求分式的值.
（1）说说你的思路.
（2）以下两位同学的解法和你想法一样吗？谁的解法更简便？
小亮的解法如下：
解：把p=12，q=-8代入所求分式中，得原式==
小妮的解法如下：
解：=
将分子和分母分解因式确定分子和分母的公因式
=
约去公因式，得到最简分式
当p=12，q=-8时，原式==.
【方法归纳】分式的求值问题与整式一样，要先化简，再求值.
【针对训练】
化简求值：
二、课堂小结
内容
分式的约分
概念
约去分式的分子和分母的________，叫做分式的约分．即＝(C为公因式)．
步骤
(1)确定分子与分母的公因式．当分子、分母中有多项式时，应先__________，再确定公因式；(2)将分子、分母表示成某个因式与公因式乘积的形式；(3)约去公因式；(4)化为最简分式或整式.
最简分式
分子与分母没有________的分式叫做最简分式．
当堂检测
化简的结果是
（
）
A.
B.
C.
D.4y
下列约分正确的是
（
）
3.下列分式是最简分式的是（
）
A.
B.
C.
D.
4.化简的结果是_______________.
5.化简下列分式:
(1);
(2);
(3);
(4).
6.求下列各分式的值.
(1),其中x＝5,y＝－10；
(2),其中a＝－2,b＝－3.
(拓展提升)先化简，再求值：
（1），其中x2=4.
（2）当时，求的值.
当堂检测参考答案：
1.C
2.C
3.C
4.
5.(1)；
(2)；
(3)；
(4).
6.(1),当x＝5,y＝－10时,原式.
(2),当a＝－2,b＝－3时,原式.
7.（1）当x2=4时，原式==-.
（2）==-，当时，原式=.
最简分数
约去公因数
找公因数
？分式
约去公因式
找公因式二次根式
第2课时
二次根式的性质
学习目标：
1.理解复习巩固二次根式的相关概念及其非负性.
2.理解并掌握二次根式的性质.（难点）
3.灵活运用二次根式的性质进行计算.(重点）
学习重点：二次根式的性质的运用.
学习难点：二次根式的性质.
知识链接
1.若，则a,b应满足的条件是
。
2.若，则a,b应满足的条件是
。
新知预习
（1）与是否相等？与呢？
猜想：当a≥0，b≥0时，和的关系是________.
验证：∵当a≥0，b≥0时，=________，=__________=__________.
∴______.
与是否相等？与呢？
猜想：当a≥0，b>0时，和的关系是________.
验证：∵当a≥0，b>0时，=________，=__________=__________.
∴______.
于是我们得到二次根式的性质：
①积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根，即______________；
②商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商，即______________.
（1）化简：①；②；③；④.
解：①=________；②=________；
③=________；④=________.
化简前，被开方数是怎样的数？
答：_______________________________________________________________________.
化简后，被开方数是怎样的数？它们还含有能开方开得尽的因数吗？
答：_______________________________________________________________________.
一般地，如果一个二次根式满足下面两个条件，那么，我们把这样的二次根式叫做最简二次根式.
①被开方数的因式是______，因式是_______；
②被开方数不能含有_______的因式或因式.
自学自测
1.计算的结果是（
）
A．
B．
C．
D．3
2.化简的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
3.下列二次根式中，最简二次根式是（
）
A、
B、
C、
D、
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：积的算术平方根
问题1：化简：
(1)；　(2)；
(3)(a≥0，b≥0)．
【归纳总结】利用积的算术平方根的性质进
( http: / / www.21cnjy.com )行计算或化简，其实质就是把被开方数中的完全平方数或偶次方开出来，要注意的是，如果被开方数是几个负数的积，先要把符号进行转化，如(2)小题．
【针对训练】
计算：(1)
(2)
问题2：若＝a成立，则a的取值范围是(　　)
A．a≥0
B．a＞0
C．a≥1
D．0≤a≤1
【归纳总结】利用积的算术
( http: / / www.21cnjy.com )平方根的性质确定字母的取值范围时，根据积的算术平方根的性质得出的每一个因式(包括被开方数)都是非负数，再列不等式(组)求解．
【针对训练】
等式的成立的条件是（
）
A.
a≥
2
或a≤-2
B.
a≥
2
C.
a≥
-2
D.
-2≤a<2
探究点2：商的算术平方根
问题1：若＝，则a的取值范围是(　　)
A．a＜2
B．a≤2C．0≤a＜2
D．a≥0
【归纳总结】运用商的算术平方根的性质：＝(a＞0，b≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件．
【针对训练】
成立的条件是(
)．
A．x＜1且x≠0
B．x＞0且x≠1
C．0＜x≤1
D．0＜x＜1
问题2：化简：
；(2)(a＞0，b＞0，c＞0)．
【归纳总结】按商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根．
【针对训练】
化简：
（2）
探究点3：最简二次根式
问题1：下列二次根式中，最简二次根式是(　　)
A.
B.
C.
D.
【归纳总结】最简二次根式必须同时满足下
( http: / / www.21cnjy.com )列两个条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母．判定一个二次根式是不是最简二次根式，就是看是否同时满足最简二次根式的两个条件，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【针对训练】
下列各式中，最简二次根式是(
)．
A．
B．
C．
D．
问题2：把下列各式化成最简二次根式．
(1)；(2)；(3)；(4).
【归纳总结】把二次根式化成最
( http: / / www.21cnjy.com )简二次根式时，如果被开方数不含分母，则把被开方数尽量写成一个数的平方的形式，再利用积的算术平方根的性质化简；如果被开方数含有分母，可把分子、分母同乘以一个数，把分母化为一个数或式的平方的形式，再把分母开方后移到根号外，与此同时，分子中能开方的也要移到根号外．
【针对训练】
把下列各式化成最简二次根式：
(1)______；(2)______；(3)______；(4)_____
_；
(5)______；(6)______；(7)______；(8)______．
二、课堂小结
内容
积的算术平方根
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的________．
商的算术平方根
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．
最简二次根式
具有特征：(1)被开方数中不含开得尽方的因数(或因式)；(2)被开方数不含分母，计算结果必须是________二次根式.
解题策略
化成最简二次根式的一般方法：①若被
( http: / / www.21cnjy.com )开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数，再化简；②若被开方数中含有小数，应先将小数化成分数，再化简；③被开方数是多项式的要进行因式分解；2.化简时先将被开方数化为一个数(式)的平方与另一个因数(式)的乘积；再将根号内开得尽方的因数(式)移到根号外．注：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数.
1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（
）
2.化简下列各式：
3.把下列各式化简成最简二次根式：
当堂检测参考答案：
1.D
2.
自主学习
合作探究
当堂检测线段的垂直平分线
第1课时
线段垂直平分线的性质定理
学习目标：
1.掌握线段垂直平分线的性质定理的证明和简单应用.（重点）
2.会用尺规作已知线段的垂直平分线及过已知点作已知直线的垂线过程.（难点）
学习重点：线段垂直平分线的性质定理.
学习难点：线段垂直平分线的性质定理的运用.
知识链接
如图，下列哪些图形是轴对称图形？请把轴对称图形的对称轴画出来.
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新知预习
如图，已知线段AB和它的中垂线l，O为垂足.在直线l上取一点P，连接PA，PB.线段PA和线段PB有怎样的数量关系？
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猜想：_____________________________________________________.
证明如下：
已知：如图，线段AB和它的垂直平分线l，垂足为O，点P为直线l上任意一点，连接PA，PB.
求证：______________________.
证明：在△_______和△________中，
∵___________________________________________,
∴△_______≌△________.
∴_______________________.
于是我们得到线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离______.
三、自学自测
1.如图1，EF是△ABC中BC边上的垂直平分线，若FC=5，则BF=
2.如图2，
AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，
（1）如果△EBC的周长是24cm，那么BC=
（2）如果BC=8cm，那么△EBC的周长是
（3）如果∠A=28度，那么∠EBC是
图1
图2
图3
3.如图3，△ABC中AC>BC，边AB的垂直平分线与AC交于点D，已知AC=5，BC=4，则△BCD的周长是（
）
A．9
B．8
C．7
D．6
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：线段垂直平分线的性质定理
问题1：如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为(　　)
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A．5cm
B．10cm
C．15cm
D．17.5cm
【归纳总结】利用线段垂直平分线的性质，可以实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
【针对训练】
1.撑伞时，把伞“两侧的伞骨
( http: / / www.21cnjy.com )”和支架分别看作AB,AC和DB,DC，始终有AB=AC，DB=DC，则伞杆AD与B,C的连线BC的位置关系为
_________.
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2.如图所示，在△ABC中，DM,EN分别垂直平分AB和AC，交BC于D,E，若∠DAE=50°，则∠BAC=
_____度，若△ADE的周长为19
cm，则BC=__________cm．
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探究点2：线段垂直平分线的性质定理的运用
问题1：如图，某地由于居民增多，要在公路l边
( http: / / www.21cnjy.com )增加一个公共汽车站，A，B是路边两个新建小区，这个公共汽车站C建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长？(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写画法)
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【归纳总结】对于作图题首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
【针对训练】
如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄．欲
( http: / / www.21cnjy.com )在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（　　）
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二、课堂小结
内容
线段的垂直平分线
线段垂直平分线上的点，与这条线段两个端点的距离________.
解题策略
三角形中与线段垂直平分线结合求周长：一般先根
( http: / / www.21cnjy.com )据线段垂直平分线的性质进行线段间的转化，把三角形的周长转化成两条线段的和甚至是一条线段的长．如：如图，已知DE垂直平分BC，则有C△ABE＝AB＋BE＋AE＝AB＋(CE＋AE)＝AB＋________.
1.如图，BD是AC的垂直平分线，若AD=1.6cm，BC=2.3cm，则四边形ABCD的周长是
(
)
( http: / / www.21cnjy.com )
A.3.9cm
B.7.8cm
C.4cm
D.4.6cm
2.在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=PB=PC,则点P是△ABC
(
)
A.三条角平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条高的交点
D.三边垂直平分线的交点
3.如图，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于E,连接BE，AB+BC=16cm,则△BCE的周长是_______
cm.
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4.如图，牧童在A处放牛，其家
( http: / / www.21cnjy.com )在B处，点A、B到河边的距离分别为AC、BD且AC=BD，点A、B到CD的中点的距离均为500m.牧童从A出把牛牵到河边饮水后再回家，请你设计出最短路线.
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当堂检测参考答案：
B
D
16
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自主学习
B
A
C
D
E
A
B
C
E
F
合作探究
当堂检测分式的加减
第2课时
分式的混合运算
学习目标：
1.复习并巩固分式的运算法则.
2.能熟练地进行分式的混合运算.（难点）
学习重点：分式的运算法则.
学习难点：分式的混合运算.
知识链接
1.
( http: / / www.21cnjy.com )
分数的混合运算法则是什么？
答：___________________________________________________________________.
二、新知预习
3.类比分数的混合运算法则，完成下面运算：
有括号要先算括号内的
（异分母的分式的加减转化为同分母分式的加减）
先算乘除，后算加减
（将分式的除法转化为分式的乘法）
（异分母的分式的加减转化为同分母分式的加减）
在进行分式的加、减、乘、除混合运算
( http: / / www.21cnjy.com )时，一般按照运算顺序进行：先算_______，再算_______；如果有括号，先算____________.
三、自学自测
1.计算：
2..先化简，再求值：，其中x=4.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：分式的混合运算
问题：
计算：
(1)(－)·；(2)(x＋)÷(2＋－)．
【归纳总结】分式的混合运算，要注意运算顺序，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
【针对训练】
计算：
(1)
;
(2)
;
探究点2：分式的化简求值
问题1：
先化简代数式÷(1－)，再从－4＜x＜4的范围内选取一个合适的整数x代入求值．
【归纳总结】把分式化成最简分式是解题的关键，通分、因式分解和约分是基本环节，注意选数时，要求分母不能为0.
【针对训练】
先化简代数式，再从-3问题2：已知a＋＝5，求的值．
【归纳总结】利用x和互为倒数的关系，沟通已知条件与所求未知代数式的关系，可以使一些分式求值问题的思路豁然开朗，使解题过程简洁．
【针对训练】
已知，求的值.
问题3：
甲、乙两人同时在同一
( http: / / www.21cnjy.com )个超市分两次购买同一种水果，甲每次都买了20千克水果，乙每次都用20元去买水果．两次水果的价格分别为a元/千克和b元/千克(a、b为正整数且a≠b)．
甲、乙两人所购水果的平均价格各是多少？
(2)谁的购买方式更合算？请说明理由．
【针对训练】
甲乙两位采购员同去一家饲料公司分别采购两次饲
( http: / / www.21cnjy.com )料，两次购买的价格有变化，两位采购员的购货方式也有所不同.其中，甲每次购买1000kg，乙每次用去800元，设两次购买饲料的价格分别为m元/kg，n元/kg（m，n是正数，且m≠n），那么甲乙所购买饲料的平均价格是多少？哪一个比较低？
二、课堂小结
内容
解题策略
分式的混合运算
先________，再__
( http: / / www.21cnjy.com )______，然后________，有括号的先算括号里面的．最后结果中分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成____________或整式.
分式的混合运算，在运算过程中要注意观察，可灵活运用交换律、结合律、分配律可使运算过程变得更简便.
1.化简的结果是(
)
A．1
B．
C．
D．－1
2.计算：
(1)
;
(2)
.
已知，求的值．
4.有这样一道题:“先化简,再求值:,其中x＝－3.5.”小玲做题时把“x＝－3.5”错抄成了“x＝3.5”,但她的计算结果也是正确的,请你解释这是怎么回事？
当堂检测参考答案：
B
2.(1)原式=x.
(2)原式=.
3.
4..
因为x＝3.5或x＝－3.5时,x2的值均为12.25,原式的计算结果都为16.25.
所以把“x＝－3.5”错抄成“x＝3.5”,计算结果也是正确的.
自主学习
合作探究
当堂检测分式的乘除
第1课时
分式的乘法
学习目标：
1.理通过类比分数的乘法法则，探索分式的乘法法则并运用.
2.理通过类比整式的乘方法则，探索分式的乘方法则.
学习重点：分式的乘法法则.
学习难点：分式的乘法运算..
知识链接
×＝_______;×＝_______;
××=_______;×××=_______.
2一个长方体容器的容积为V,底面的长为a,宽为b,当容器的水占容积的时,求水的高为________
.
二、新知预习
3.我们已经熟悉分数的乘法运算，那么怎样进行分式的乘法运算呢？
类比分数的乘法运算，可知
分式的乘法法则：分式与分式相乘，用_________作为积的分子，_________作为积的分母.
NOTE:分式的运算结果要化为最简分式或整式.
4.类比：
(ab)n=an
bn
，那么
分式的乘方法则：分式的乘方就是分子、分母分别_________.
三、自学自测
1.计算等于(
)
A.
B.
C.
D.xy2
2计算下列各分式：
；
(2).
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：分式的乘法
问题1：(1)·；(2)·.
【归纳总结】分子和分母都是单项
( http: / / www.21cnjy.com )式的分式的乘法，直接按“分子乘分子，分母乘分母”进行运算，其运算步骤为：(1)符号运算；(2)按分式的乘法法则运算；(3)各分式中的分子、分母都是多项式时，先因式分解，再约分．
【针对训练】
下列各式的计算结果中，是分式的是
（
）
①；
②；
③；
④.
A.
①
B.①④
C.
②④
D.①③
问题2：先化简，再求值：·，其中x＝，y＝.
【归纳总结】根据分式乘法法则将代数式进行计算化简，再代入求值．
【针对训练】
先化简，再求值：，其中x＝．
问题3：计算：（1）；（2）.
【归纳总结】根整式与分式相乘，可以将整式的分母看成是1，在根据分式的乘法法则进行计算.
【针对训练】
计算：（1）；（2）.
探究点2：分式的乘方
问题：下列运算结果不正确的是(　　)
A．()2＝()2＝
B．[－()2]3＝－()6＝－
C．[]3＝()3＝
D．(－)n＝
【归纳总结】分式的乘方就是分子、分母分别乘方，最后化为最简分式．
【针对训练】
计算：(－)2·(－)3·(－)4；
二、课堂小结
内容
分式的乘法
法则
分式乘分式，用分子的________作为积的分子，分母的________作为积的分母．
解题策略
如果分式的分子、分母是多项式，一般要先将其因式分解，再运算.
分式的乘方
法则
一般地，当n是正整数时，＝________．即分式乘方要把分子、分母分别________.
解题策略
分式乘方时，确定乘方结果的符号与有理数乘方相同，即正分式的任何次幂都为正；负分式的偶次幂为________，奇次幂为________.
计算:（1）_______________；（2）=_______________.
若分式的值与分式的值互为倒数，则x=______.
3.计算.
(1)
;
(2)
;
4.已知|a-4|+（b-9）2=0，计算·的值.
当堂检测参考答案：
1.（1）
（2）－a
2.6
3.(1)原式=-.
(2)原式=8x2+10x-3.
4.∵|a-4|+，∴
a-4=0，b-9=0，∴a=4，b=9，∴原式=·===.
自主学习
合作探究
当堂检测全等图形
学习目标：
1理解全等图形的概念，会找全等图形的对应边和对应角.（重点）
2.根据掌握全等三角形的概念及两个三角形全等的表示方法.
3.理掌握全等三角形的性质，并会运用其性质解决有关角度、线段的计算问题.(难点）
学习重点：全等三角形的性质.
学习难点：找全等三角形的对应边、对应角.
知识链接
1.在我们的周围，经常可以看到形状、大小
( http: / / www.21cnjy.com )完全相同的图形，这类图形在几何学中具有特殊的意义．观察下列图案，指出这些图案中形状与大小相同的图形．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
二、新知预习
2.如图，观察给出的几组图形.
( http: / / www.21cnjy.com )
每组图形中，两个图形的形状和大小各有怎样的关系？
答：_________________________________________________________________________.
（2）先在半透明纸上画出同样大小的图形，再将每组中的一个图形叠放到另一个图形上，观察它们是否能够完全重合.
形状与大小都完全相同的两个图形就是
．（要是把两个图形放在一起，能够完全重合，就可以说明这两个图形的形状、大小相同．）
即：全等形的准确定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形．
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推得出全等三角形的概念：
对应顶点：
、对应角：
、
对应边：
。
“全等”符号：
读作“全等于”.
自学自测
写出下列每组全等图形中的对应边和对应角.
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如图，△AMB≌△AMC，请写出图中的相等线段.
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四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：认识全等图形及全等三角形
问题1：
2013年第十二届全运会在辽宁举行，下图中的图形是全运会的会徽，其中是全等形的是(　　)
A．(1)(2)
B．(2)(3)
C．(1)(3)
D．(1)(4)
【归纳总结】判断两个图形是不
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【针对训练】
指出图中的全等图形．
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问题2：
如图，若△BOD≌△COE，∠B＝∠C，指出这两个全等三角形的对应边；若△ADO≌△AEO，指出这两个三角形的对应角．
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【归纳总结】找全等三角形的对
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【针对训练】
已知△ABC≌△A′B′C′，且AB=4，∠C′=30°，则A′B′=
，∠C=
．
探究点2：全等三角形的性质
问题：
如图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，求∠DEF的度数和CF的长．
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【归纳总结】本题主要是考查运用全等三角形的性质求角的度数和线段的长，解决问题的关键是准确识别图形．
【针对训练】
1.
在△ABC中，∠A=∠B，若△DEF≌△ABC，且△DEF中有一角是100°，则这个角在△ABC中的对应角是（
）
A.
∠A
B.∠B
C.∠C
D.
∠A或∠B
2.
如图所示，在△ABC中，A
( http: / / www.21cnjy.com )B=11
cm，BC=8
cm，AC=6
cm，沿着过点B的直线折叠，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为_______cm.
二、课堂小结
内容
解题策略
全等图形及全等三角形
能够__________的两个图形叫做全等形．能够____________的两个三角形叫做全等三角形.对应元素：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．
记两个三角形全等时，对应顶点的字母应写在对应
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全等三角形的性质
全等三角形的对应边________；全等三角形的对应角________.
如图所示，已知△ABC≌△BAD，点A，C的对应点分别为B，D，如果AB=5
cm，
BC=7
cm，AC=10
cm，那么BD等于(
)
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A．10
cm
B．7
cm
C．5
cm
D．不确定
2.如图所示，沿AM折叠，使D点落在BC上的N点处，若AD=7cm，DM=5
cm，∠DAM=30°，则AN=
cm，NM=
cm，∠NAM=
．
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3.如图，△ABE和△ACD是由△ABC分别沿着AB，AC边翻折形成的，若∠BAC=140°，则∠α=_______.
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4.如图，△ABC≌△DEF，且B、C、F、E在同一直线上，判断AC与DF的位置关系，并证明.
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5.如图，△ABC≌△ADE，∠CAD＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠ACB的度数．
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当堂检测参考答案：
A
7
5
30°
3.80°
解析：由折叠知△BAC≌△BAE≌△DAC，∴∠ABC=∠ABE，
∠ACB=∠ACD.∵∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=40°，
∴∠EBC+∠DCB=80°，∴∠α=∠EBC+∠DCB=80°.
解：AC∥DF，
证明如下：∵
△ABC≌△DEF，
∴∠ACB=∠DFE，
∴180°-∠ACB=180°-∠DFE.
即∠ACF=∠DFC，∴AC∥DF.
5.∵△ABC≌△ADE，∴∠
( http: / / www.21cnjy.com )CAB＝∠EAD.∵∠EAB＝120°，∠CAD＝10°，∴∠EAB＝∠EAD＋∠CAD＋∠CAB＝2∠CAB＋10°＝120°，∴∠CAB＝55°.∵∠B＝∠D＝25°，∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠B＝180°－55°－25°＝100°，即∠ACB的度数是100°.
自主学习
合作探究
当堂检测命题与证明
学习目标：
1.理解逆命题和逆定理的概念，能写出一个命题的逆命题，并会识别互逆命题.（重点）
2.了解证明的含义，通过具体例子掌握证明的步骤和书写的格式.（难点）
3.理能够判定一个命题的真假，并能进行说明，能够判定一个命题是否存在逆命题.
学习重点：判断命题的真假.
学习难点：掌握证明的步骤和书写的格式及反证法.
知识链接
判断下列说法的正误：
对顶角相等.（
）
同位角相等，两直线平行.（
）
若a2=b2，则a=b.（
）
若x=3，则x2-3x=0
二、新知预习
2.对于平行线，我们知道：
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这两个命题中，其中一个命题的条件和结论，与另一个命题的条件和结论有怎样的关系？
答：_______________________________________________________________________.
请再举例说明两个具有这种关系的命题.
答：_______________________________________________________________________.
像这样，一个命题的条
( http: / / www.21cnjy.com )件和结论分别为另一个命题的结论和条件的两个命题，称为互逆命题.在两个互逆命题中，如果我们将其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就是这个原命题的逆命题.
根据已经学过的基本事实、定义、性质和定理等，进行有理有据的推理.这种推理的过程叫做证明.请将下面的证明过程补充完整.
证明：平行于同一条直线的两条直线平行.
已知：如图，直线a，b，c，a∥c，b∥c.
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求证：a∥b.
证明：如图，作直线d，分别于直线a，b，c相交.
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∵a∥c（已知），
∴_____=_____（两直线平行，同位角相等）.
∵b∥c（已知），
∴_____=_____（两直线平行，同位角相等）.
∴_____=_____（等量代换）.
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）.
即平行于同一条直线的两条直线平行.
像这样用文字叙述的命题的证明，应当按照下列步骤进行：
第一步，依据题意画图，将文字语言转换为符号（图形）语言.
第二步，根据图形写出已知、求证.
第三步，根据基本事实、已有定理进行证明.
要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可.
自学自测
1.
下列说法中，正确的是（
）
A.每一个命题都有逆命题
B.假命题的逆命题一定是假命题
C.每个定理都有逆定理
D.假命题没有逆命题
2．请你写出下列命题的逆命题．并判断真假性，若是假命题，请举出一个反例．
(1)如果a能被4整除，那么a一定是偶数；
(2)若|a|=|b|，则a=b．
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：真命题与假命题
问题：命题：①对顶角相等；②垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等。其中假命题有（
）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
【归纳总结】识别命题真假的关键是在条件成立的前提下，看结论是否正确，可以举“特例”验证.
【针对训练】
下列命题中真命题是（
）
A、两个锐角之和为钝角
B、两个锐角之和为锐角
C、钝角大于它的补角
D、锐角小于它的余角
探究点2：互逆命题
问题：下列命题中，逆命题正确的是（
）
对顶角相等
B.若a=b，则
C.末尾是0的整数能被5整除
D.直角三角形的两个锐角互余
【针对训练】
下列说法正确的个数是（
）
①每个命题都有逆命题；②互逆命题的真假性一致；③每个定理都有逆定理.
A.1个
B.2个
C.3个
D.0个
探究点3：证明与举反例
问题：判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题请举一个反例加以说明．
(1)两个角的和是180°，则这两个角是邻补角；
(2)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
(3)如果x>y，那么x2>y2.
【归纳总结】特例成立还不能证明其为真命题，要由特殊形式转化为一般形式，再用推理的方法证明结论正确；若特例不成立，则原命题一定是假命题．
【针对训练】
写出下列定理的逆命题，并判断真假，是假命题的举例说明.
（1）互为邻补角的两个角的和为180°；
（2）对顶角相等；
（3）平行于同一条直线的两条直线平行.
问题2：已知：如图AB⊥BC，BC⊥CD且∠1=∠2，求证：BE∥CF
证明：∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知）
∴
=
=90°（
）
∵∠1=∠2（已知）∴
=
（等式性质）
∴BE∥CF（
）
【归纳总结】从结论逆推进行分析得出条件，反过来的过程就是证明结论的过程．
【针对训练】
求证：直角三角形的两个锐角互余．
二、课堂小结
内容
互逆命题
一个命题的条件和结论分别为另一
( http: / / www.21cnjy.com )个命题的_____和_____的两个命题，称为互逆命题.在两个互逆命题中，如果我们将其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就是这个原命题的_________.
证明
第一步，依据题意画图，将文字语言转换为符号（图形）语言.第二步，根据图形写出已知、求证.第三步，根据基本事实、已有定理进行证明.
举反例
特例成立还不能证明其为真命题，要由特殊形式转化为一般形式，再用推理的方法证明结论正确；若特例不成立，则原命题一定是假命题．
如图所示，下面证明正确的是(
)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．因为AB∥CD，所以∠1=∠3
B．因为∠2=∠4，所以AB∥CD
C．因为AE∥CF，所以∠2=∠4
D．因为∠1=∠4，所以AE∥CD
2.如图所示，完成下列证明过程.
( http: / / www.21cnjy.com )
①∵∠1=∠2(已知)，∴
∥
(
)．
②∵∠3=∠4(已知)，∴
∥
(
)．
③∵
+
=180°，∴AB∥CD．
3.请你写出下列命题的逆命题．并判断真假性，若是假命题，请举出一个反例．
(1)如果a能被4整除，那么a一定是偶数；
(2)若|a|=|b|，则a=b．
4.如图所示，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，且DE∥BC，EF∥AB．求证：∠ADE=∠EFC．
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当堂检测参考答案：
B
2.①AD
BC
内错角相等，两直线平行
②AB
CD
内错角相等，两直线平行
③∠ABC
∠BCD(或∠BAD
∠ADC)
(1)如果a是偶数，那么a能被4整除．假命题．反例：如a=2是偶数，但2不能被4整除．(2)若a=b，则=．真命题．
4.∵DE∥BC(已知)，
∴∠ADE=∠B
(两直线平行．同位角相等)．
又∵EF∥AB(已知)，
∴∠EFC=∠B(两直线平行，同位角相等)．
∴∠ADE=∠EFC(等量代换)．
自主学习
合作探究
C
A
B
D
E
F
1
2
当堂检测中心对称图形
学习目标：
1.了解中心对称图形的概念，会识别常见的中心对称图形.
2.理解中心对称的意义，掌握中心对称的性质.（难点）
3.理解并掌握中心对称图形和两个图形成中心对称的区别与联系.(重点）
学习重点：中心对称图形和两个图形成中心对称的区别与联系.
学习难点：中心对称的性质.
知识链接
观察下列图形，指出其中的轴对称图形，并画出它的对称轴.
二、新知预习
2.（1）观察下面几幅图，将它们分别绕着各图中标注的“中心点”旋转180°后，能不能与它们自身重合？
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如图，已知线段AB和它的中心点O.当线段AB绕点O旋转180°后，这条线段能不能与它自身重合？
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你还能举出具有上述特征的例子吗？
像这样，如果一个图形绕某一点旋转
( http: / / www.21cnjy.com )180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，其中对称的点叫做对应点.
根据（2）我们知道：线段是_______图形，线段的中点是________对称中心，两个端点是___________.
中心对称图形是指一个图形的中心对称性，两个图形之间往往也具有这种对应关系.
如图，△ABC和△DEF的顶点A，C，F，D在同一直线上，点O为线段CF的中点，AC=DF。BC=EF.∠ACB=∠DEF.
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将△ABC绕点O旋转180°后，它能与△DEF重合吗？
答：_______________________________________________________________________.
如果能重合，那么线段AB，AC和BC分别与哪些线段重合？
答：_______________________________________________________________________.
请你再画出两个具有上述特征的图形.
像这样，如果一个图形绕某一点旋转18
( http: / / www.21cnjy.com )0°后与另一图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称.这个点叫做对称中心，其中成中心对称的点、线段和角，分别叫做_____、______和________.
（1）如果将成中心对称的两个图形看成是一个图形，那么这个图形是不是中心对称图形？
答：_______________________________________________________________________.
我们已经学习过图形的旋转，中心对称图形和图形的旋转之间有什么关系？
答：_______________________________________________________________________.
对于图形的旋转，有基本性质：“
( http: / / www.21cnjy.com )一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.”中心对称图形具有怎样的性质？
我们可以得到：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，并且被对称中心______.
自学自测
如图所示，在△ABC中，AB>AC,AD是中线.
（1）读语句画图：延长AD到点E，使DE=AD，连结BE，
CE；
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填空：点A与点___关于点____成中心对称，点B与点____关于点____成中心对称，线段AB与线段___关于点____成中心对称；
写出所有关于点D成中心对称的三角形；
（4）探索△ABC的边AB与AC的和与中线AD之间的关系，并说明理由.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：中心对称图形与成中心对称的图形
问题1：下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(　　)
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【归纳总结】别中心对称图形的方法是根据概念，将这个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与自身重合，那么这个图形就是中心对称图形．
【针对训练】
下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(　　)
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问题2：
如图，矩形ABCD
( http: / / www.21cnjy.com )的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2，BC＝3，试求图中阴影部分的面积．
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【归纳总结】利用中心对称的性质将阴影部分转化到一个直角三角形中来解决更简单．
【针对训练】
如图，△ABC与△成中心对称，下列说法不正确的是（　　）
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A．
B．AB=，AC=，BC=
C．AB∥，AC∥，BC∥
D．
探究点2：作中心对称图形
问题1：如图，已知四边形ABCD.
（1）请作出四边形关于点D中心对称的图形，写出作法并回答．
（2）点A、B、C、D关于中心的对称点是哪些点？
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【归纳总结】对称中心是对称点所连线段的
( http: / / www.21cnjy.com )中点，可利用这一特性找到已知图形各点的对应点，再顺次拦截所找到的对应点，所得图形就与已知图形成中心对称.
【针对训练】
如图，已知点M的△ABC的边BC的中点，O是△ABC外一点.
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画△A'B'C'，使△A'B'C'与△ABC关于点M成中心对称；
画△A''B''C''，使△A''B''C''与△ABC关于点M成中心对称.
二、课堂小结
内容
中心对称图形
如果一个图形绕某一点旋转______°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的______，其中对称的点叫做______.
成中心对称的图形
如果一个图形绕某一点旋转180°后与另一
( http: / / www.21cnjy.com )图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称.这个点叫做对称中心，其中成中心对称的点、线段和角，分别叫做_____、______和________.
成中心对称图形的性质
成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，并且被对称中心______.
作中心对称图形
对称中心是对称点所连线段的中点，可利用这一特性找到已知图形各点的对应点，再顺次拦截所找到的对应点，所得图形就与已知图形成中心对称.
1.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（
）
A
.
角
B.
等边三角形
C
.
线段
D
.
平行四边形
2.下列图形中是中心对称图形而不是轴对称图形的是(
）
A
.
平行四边形
B.
矩形
C
.
菱形
D
.
正方形
世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，
( http: / / www.21cnjy.com )以下来自现实生活的图形中都有圆，它们看上去是那么美丽与和谐，这正是因为圆具有
轴对称和中心对称性.
请问以下三个图形中是轴对称图形的有_________，是中心对称图形的有_________.
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4.图中网格中有一个四边形和两个三角形,
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(1)请你先画出三个图形关于点O的中心对称图形;
(2)将(1)中画出的图形与原图形看成一个整体图形,请写出这个整体图形对称轴的条数;这个整体图形至少旋转多少度与自身重合
当堂检测参考答案：
C
A
①②③
①③
（1）
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（2）有四条对称轴，至少旋转90°可以与自身重合.
自主学习
合作探究
当堂检测平方根
第1课时
平方根
学习目标：
1.理解平方根的概念及表示方法.
2.理解并掌握平方根的性质.（难点）
3.理解开平方运算，体会数学中的互逆思想.(重点）
学习重点：开平方运算.
学习难点：平方根的性质及开平方运算.
知识链接
1.（1）10与-10的平方等于________,
与-
的平方等于________,
平方等于100的数有________,平方等于的数有__________.
满足=25的x的值是__________.
新知预习
2.一般地，如果一个数x的平方等于a，即=a，那么这个数______就叫做a的_________．也叫a的_________．
(1)因为_____2=64，所以64的平方根是______.
(2)因为_____2=0.25，所以0.25的平方根是______.
(3)因为_____2=，所以的平方根是______.
(4)因为_____2=0，所以0的平方根是______.
3.若正方形的面积如下，请填表：
正方形的面积/dm2
1
9
16
36
正方形的边长/dm2

你能指出它们的共同特点吗？
答：一个正数有_____个平方根，它们互为________.
0只有_____平方根，是____本身，负数____平方根.
4.完成框图，说一说求一个数的平方运算和求一个数的平方根运算具有怎样的关系.
.
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我们把求一个数的__________的运算，叫做_______。因为负数没有平方根，所以被开方数一定是_________.
对于正数来说，开平方与平方互为逆运算.
三、自学自测
1.144的平方根是________(-3)2的平方根是________(-1.5)2的平方根是________
2.求下列各数的平方根
（1）100；(2)
；(3)
0.0001
；（4）；　（5）；
3.求下列各式中的x的值
（1）=169
（2）-4=0
(3)=2
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
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要点探究
探究点1：平方根的概念及性质
问题1：求下列各数的平方根：
(1)1；(2)0.0001；(3)(－4)2；(4)10－6；(5).
【归纳总结】把带分数化为假分数，含有乘方运算先求出它的幂．注意正数有两个互为相反数的平方根．
【针对训练】
求下列各数的平方根
(1)225；
(2)1600；
(3)0.36；
(4)0.0144；（5）（-1.7）2
（6）
（7）10-6
问题2：一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，求这个数．
【归纳总结】一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，即它们的和为零．
【针对训练】
一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是多少？这个正数是多少？
探究点2：开平方运算
问题1：求下列各式中x的值．
x2＝361；
(2)81x2－49＝0；
(3)49(x2＋1)＝50；
(3x－1)2＝(－5)2.
【归纳总结】利用平方根的定义进行开平方解方程，从而求出未知数的值，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；开平方时，不要漏掉负平方根．
【针对训练】
求下列各式中的x.
(x－1)2＝36;(2)4x2－16＝0.
二、课堂小结
内容
平方根的概念
一般地，如果一个数x的平方等于a，即=a，那么这个数______就叫做a的_________．也叫a的_________．
平方根的性质
一个正数有_____个平方根，它们互为________.0只有_____平方根，是____本身，负数____平方根.
开平方运算
我们把求一个数的__________的运算，叫做_______。因为负数没有平方根，所以被开方数一定是_________.
1.下列个数有平方根吗？如果有，写出它的平方根，如果没有，说明理由.
（1）64；
（2）
（3）0；
（4）
；
（5）.
如果一个数的两个平方根时a+3,2a-15,那么这个数是多少？
3.　求下列各式中x的值
　　①x2
=
361；　②81x2 49
=
0；　③49(x2+1)
=
50.
当堂检测参考答案：
1.（1）有平方根，±8；
（2）有平方根，±
；
（3）有平方根，0；
（4）有平方根，±；
（5）没有有平方根，负数没有平方根；
2.因为一个数正数的两个平方根互为相反数，
( http: / / www.21cnjy.com )所以（a+3）+（2a-15）=0,解得a=4，当a=4，a+3=7，2a-15=-7.即这个数是7，-7.
3.①x
=±19；②x
=±；③x
=±.
自主学习
合作探究
当堂检测直角三角形
学习目标：
1.理解直角三角形的定义及直角三角形的两个锐角互余这一性质.
2.会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形.
3.理解并掌握“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”这一性质，并能灵活运用.
4.理解并掌握“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”这一性质.
学习重点：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.
学习难点：“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”的运用
知识链接
1.下面的图案都是由七巧板拼成的，你能从图中找出多少个直角三角形呢？
( http: / / www.21cnjy.com )
三角形按内角的大小可分为
三角形、
三角形、
三角形.
三角形的内角和是
.
新知预习
定义：
的三角形叫做直角三角形.
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，例如，直角三角形ABC可以表示成“
”.
2.由于三角形的内角和是
°，直角三角形有一个角是
°，所以另外两个角的和是
°.于是有
直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角
.
3.试写出该定理的逆命题：如果
，那么
.
4.上面的逆命题是
命题，于是有
直角三角形的判定定理：有两个角
的三角形是直角三角形.
自学自测
已知△ABC中∠A：∠B：∠C=1:2:3，那么这个三角形是（
）
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等腰角三角形
如图：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若∠A=40°，
则∠BCD=_____.
3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90 ,CD是∠ACB的平分线，CE是边AB上的中线，CF是边AB上的高.求证：∠ECD＝∠FCD.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：直角三角形的性质定理
问题：在一张半透明纸上画出Rt△ABC，∠C=90°；如图，将∠B折叠，使点B与点C重合，折痕为ED，连接CE.
⑴∠ECD与∠B有怎样的关系？线段EC与线段EB有怎样的关系？
⑵∠ACE与∠A有怎样的关系？线段EC与线段EA有怎样的关系？
⑶由此，你发现了什么结论？你能给出证明吗？试试看.
已知：如图，在Rt△ABC，
，
.
求证：
.
证明：
【归纳总结】直角三角形的性质定理：直角三角形
等于
的一半.
例1．如图，AD是Rt△ABC斜边上中线，若BC=10，则AD=
.
【针对训练】
AD是Rt△ABC斜边BC上中线，若AD+BC=15cm,则AD=
,CB=
.
探究点2：含30°角的直角三角形
问题：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边与斜边有何关系？请说明理由．
已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
求证：BC=AB．
【归纳总结】在直角三角形中，
所对的直角边等于斜边的一半.
例2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB+BC=12cm，则AB等于
.
例3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，DE⊥AB，且BE=AE．求证：DC=2BD．
【归纳总结】“30°角”的性质常常用来证明线段的倍分关系，在含30°角的直角三角形中证明有关结论，有以下四种常见思路：
（1）若题目中出现含30°或60°角的直角三角形，则可直接运用性质证明；
（2）若题目中只出现30°或60°的角，则可通过作高等方法构造直角三角形；
（3）若题目中出现15°或150°的角，则在三角形外作高线构造直角三角形；
（4）若题目中出现90°和60°（或30°）的角，但没有出现三角形，则可通过延长边等方法构造直角三角形．
【针对训练】如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC
=15°．求S△ABC．
二、课堂小结
内容
直角三角形的判定定理
如果一个三角形的两个角
，那么这个三角形是
三角形.
直角三角形的性质定理
（1）直角三角形的两个锐角
.（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的
.
特殊的直角三角形
在直角三角形中，
所对的直角边等于斜边的一半.
1.在Rt△ABC中，∠C=900，∠A
-∠B
=300，那么∠A=
，∠B=
；
2.如图，在△ABC中，∠B=50°高AD、CE交于H，则∠AHC=_______.
3.在直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为________．
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，CD是斜边AB
上的高，AD=3cm，则AB的长度是（　　）
A．3cm
B．6cm
C．9cm
D．12cm
5.如图，在△ABC中，AD⊥BC，E、F分别是AB、AC的中点，且DE=DF.
求证：AB=AC
6.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E，若∠B=30°，CD=5．
（1）求BD的长；
（2）AE与BE相等吗？说明理由．
自主学习
合作探究
当堂检测
D
C
A
B
E
F近似数
学习目标：
1.理解准确数与近似数的概念，并能够进行判断.（难点）
2.根据理解精准度的概念，能够按照要求近似数.(重点）
3.能运用近似数解决一些简单实际问题.
学习重点：按照要求近似数.
学习难点：准确数与近似数的概念.
知识链接
1.1.6和1.60表示的含义相同吗？
答：___________________________________________________________________________.
二、新知预习
2.宇宙现在的年龄是200亿年，
长江长约是6300千米，像这样接近实际数值的数，叫做近似数.
(1)下面实际问题中的数，哪些是近似数，哪些是精确数？
①八（1）班有55名学生
②地球的半径约为6370千米
③中华人民共和国现有31个省级行政单位
④小明的身高接近1.6米.
你还能举出一些实际问题中的近似数和精确数吗？
答：___________________________________________________________________________.
3.在一些实际问题中，常用四舍五入法得到一个数的近似数
在利用近似数解决问题之前，必须对近似数的近似程度（也就是精确度）作出要求.如：
计算圆的周长和面积要用到圆周率
,对于经常按四舍五入法取它的近似值，如取3,3.1,3.14等，
取3，就说精确到
位，记作
取3.1，就说精确到
位（或精确到0.1）,记作
取3.14，就说精确到
位（或精确到0.01）,记作
一般地,一个近似数四舍五入到哪一位,就说这个数精确到哪一位.
三、自学自测
1.下列叙述中，出现近似数的是
(
)
A．八年级(1)班有46名学生
B．小李买了5支笔
C．晶晶向希望工程捐款200元
D．小芳体重为46千克
2.已知地球的表面积约等于5.1亿平方千米，其中海洋面积约等于陆地面积的倍，则地球上陆地面积约等于(精确到0.1亿平方千米)(
)
A．1.5亿平方千米
B．2.1亿平方千米
C．3.6亿平方千米
D．12.5亿平方千米
3..用四舍五入法写出下列各数的近似数
（1）1.538(精确到0.01)
；
（2）0.3654（精确到0.01）；
（3）15.96（精确到十分位）；
（4）257.47（或精确到个位）.
四、我的疑惑
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_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：准确数与近似数
问题：判断下列各数哪些是准确数，哪些是近似数．
(1)
一本小说有200页．
(
)
(2)
小明的步长有1米．
(
)
(3)
长江三峡水库的容量为390亿立方米．
(
)
(4)
南京紫峰大厦地上有89层．
(
)
(5)
英才中学师生共有4
356人．
(
)
【归纳总结】本题主要考察了实数与数轴之间的对应关系，两点之间的距离为两数之差的绝对值.
【针对训练】
下列各数中，近似数有________，准确数______________.
（1）小刚买了3本书；（2）我国的国土面积
( http: / / www.21cnjy.com )是960万平方千米；（3）我国共有34个省、直辖市、自治区和特别行政区；（4）一双没有洗的手，带有细菌约80000万个；（5）一天有24小时.
探究点2：近似数的精确度
问题：用四舍五入法，按要求对下列各数取近似值．
(1)0.851
49(保留三位小数)；
(2)47
600(精确到千位)；
(3)0.298(精确到0.01)；
(4)8
903
000(精确到万位)．
【归纳总结】本题主要考察了实数与数轴之间的对应关系，两点之间的距离为两数之差的绝对值.
【针对训练】
1．(1)
对398．15取近似值，精确到百分位是
，精确到个位是
．
(2)
近似数0．020精确到
位；近似数3．10×104精确到
位．
(3)
2．598精确到百分位是
；23
560精确到千位是
．
2．用四舍五入法对0．807
5取近似值为
．(精确到0．01)
二、课堂小结
内容
准确数
能表示原来物体或时间的实际数量的数.
近似数
能接实际的数或在计算中按要求所取的某个准确数接近的数.
精准度
一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到哪一位.
1.下列问题中出现的数，哪些是准确数？哪些是近似数？
（1）某中学八年级（3）班有64名学生；
（2）小兰的身高接近1.6m；
（3）数学课本共有178页；
（4）某十字路口每天的车流量大约有10000辆；
（5）我们居住的地球的半径约为6710km；
（6）某小区在入冬以后35户人家向物业部门保修暖气.
2.下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？
（1）32.9；（2）0.8960；（3）5.8×103；（4）2.40万.
3.向月球发射无线电波，无线电波到月球并返
( http: / / www.21cnjy.com )回地面需要2.57s已知无线电波每秒传播3×105km，求地球和月球之间的距离（结果精确到千分位）.
当堂检测参考答案：
1.（1）准确数；（2）近似数；（3）准确数；（4）近似数；（5）准确数；（6）近似数.
2.（1）32.9精确到十分位（精确到0.1）；
（2）0.8960精确到万分位（精确到0.0001）；
（3）5.8×103精确到百位；
（4）2.40万精确到百位.
答：地球和月球之间的距离是.
自主学习
合作探究
当堂检测二次根式的加减运算
学习目标：
1.掌握二次根式的加减运算法则，并进行计算.（难点）
2.灵活运用二次根式的加减运算解决有关问题.(重点）
学习重点：二次根式的加减运算.
学习难点：运用二次根式的加减法解决实际问题.
知识链接
满足什么条件的根式是最简二次根式？
答：___________________________________________________________________________.
化简下列二次根式
⑴ ；
⑵ ；
⑶ ；
⑷；
⑸
；⑹.
新知预习
计算下列各式：
①，②，③；
请将你的做法和大家进行交流；
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
NOTE：就像整式合并同类项那样，被开方数相同的最简二次根式与可以合并.
二次根式的加减运算
二次根式的加减运算，其
( http: / / www.21cnjy.com )实是将被开方数相同的项进行合并.为此，首先应将每个二次根式化简为___________，然后将________相同的最简二次根式进行合并.
自学自测
1．计算﹣，正确的结果是（
）
A．
B．
C．
D．3
2.计算：的值是（
）
A．0
B．
C．
D．或
3.计算：
（1）　；　
.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点：二次根式的加减运算
问题1：计算：(1)＋；　(2)＋；(3)4－3；　(4)18－.
【归纳总结】二次根式加减的实质就是合并同类二次根式，合并同类二次根式可以类比合并同类项进行，不是同类二次根式的不能合并．
【针对训练】
下列计算正确的是（
）
A．2--=2
B．a+b=a+b
C．5+=a+
D．-=
问题2：计算：
(1)－－；(2)－3＋3x；
(3)3－＋2－；(4)－2－(－)．
【归纳总结】二次根式的加减混合
( http: / / www.21cnjy.com )运算步骤：①把每个二次根式化为最简二次根式；②运用加法交换律和结合律把同类二次根式移到一起；③把同类二次根式的系数相加减，被开方数不变．
【针对训练】
计算：（1）5+-7；
++-+.
问题3：一个三角形的周长是(2＋3)cm，其中两边长分别是(＋)cm，(3－2)cm，求第三边长．
【归纳总结】由三角形周长的意义可知，三角
( http: / / www.21cnjy.com )形的周长减去已知两边的长，可得第三边的长．解决问题的关键在于把实际问题转化为二次根式的加减混合运算．
【针对训练】
母亲节到了，为了表达对母亲的爱，小明做了两幅大小不同的正方形卡片送给妈妈，其中一个面积为8cm2,另一个为18cm2，他想如果再用金彩带把卡片的边镶上会更漂亮，他现在有长为50cm的金彩带，请你帮忙算一算，他的金彩带够用吗？
二、课堂小结
内容
二次根式的加减法
在进行二次根式的加减运算时，通常
( http: / / www.21cnjy.com )先将每个二次根式化简，然后再将被开方数________的二次根式的________相加减，但被开方数________．即m±n＝(m±n)(a≥0)．
步骤：(1)化：将每个二次根式化成最简二次根式；找：找出被开方数相同的最简二次根式；(3)并：将被开方数相同的最简二次根式合并成一项(即系数直接相加减，被开方数与根指数不变).
解题策略
化成最简二次根式的一般方法：①若被开
( http: / / www.21cnjy.com )方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数，再化简；②若被开方数中含有小数，应先将小数化成分数，再化简；③被开方数是多项式的要进行因式分解；2.化简时先将被开方数化为一个数(式)的平方与另一个因数(式)的乘积；再将根号内开得尽方的因数(式)移到根号外．注：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数.
1.已知最简二次根式与能合并成一项，则x的值为（
）
A.5
B.2
C.3
D.4
2.下列计算中正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
3.计算的结果是（
）
A.
B.
C.
D.
4.已知等腰三角形的两边长分别为和，则这个等腰三角形的周长为（
）
A.
B.
C.
D.或
5.计算：
当堂检测参考答案：
1.C
2.C
3.A
4.B
5.
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自主学习
合作探究
当堂检测立方根
学习目标：
理解立方根的概念与表示方法，并掌握其性质.(重点）
2.根据理解开立方与立方互为逆运算，会求一个数的立方.
3.能够利用立方根的相关知识解决一些实际问题.（难点）
学习重点：立方根的性质.
学习难点：平方根的性质及开平方运算.
知识链接
1.平方根、算术平方根概念。
平方根：
算术平方根：
计算：
（1）x2=625,则x=
,(2)=
(3)43=
,
(5)(-5)3=
,(6)73=
新知预习
要做一只容积为125cm3的正方体木箱，它的棱长是多少
( http: / / www.21cnjy.com )
与“平方根”类似，讨论和研究以下问题：
（1）
这个实际问题，在数学上提出怎样的一个计算问题 如何解？
答：_________________________________________________________________________.

你能找一个数，使这个数的立方等于125吗
答：_________________________________________________________________________.
类似平方值定义可知,若=则为的立方根,记为,读作“三次根号”
.
求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
4.讨论以下问题：
（1）27的立方根是什么
（2）－27的立方根是什么
（3）0的立方根是什么
我们可以得到：正数有_____个立方根; 0有_____个立方根;负数有_____个立方根.
三、自学自测
1.
判断正误:
（1）64的立方根是8；（
）
（2）互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数；（
）
（3）任何数的立方根只有一个；（
）
（4）如果一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1；（
）
（5）如果一个数的立方根是这个数的本身，那么这个数一定是零；（
）
（6）一个数的立方根不是正数就是负数.（
）
（7）–8没有立方根.(
)
2.下列各组数中，互为相反数的一组是(
)
A.－3和
B.和
C.－3和
D.和|－3|
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：立方根的概念及性质
问题1：立方根等于本身的数有________个．
【归纳总结】不论正数、负数还是零，都有立方根．
【针对训练】
若有意义，则x的取值范围是____________.
问题2：
已知x－2的平方根是±2，2x＋y＋7的立方根是3，求x2＋y2的算术平方根．
【归纳总结】先根据平方根和立方根的定义，运用方程思想列方程求出x，y的值，再根据算术平方根的定义求出x2＋y2的算术平方根．
【针对训练】
已知的立方根是4，求的算术平方根.
问题3：已知球的体积公式是V＝πr3(r为球的半径，π取3.14)，现已知一个小皮球的体积是113.04cm3，求这个小皮球的半径r.
【归纳总结】灵活应用球的体积公式，并将公式适当变形．
【针对训练】
已知一个正方体的棱长是5cm，再做一个正方体，使它的体积等于原正方体的体
积的8倍，
求要做的正方体的棱长.
探究点2：开立方运算
问题1：求下列各式的值．
－；(2)；(3)－÷＋.
【归纳总结】做开平方或开立方运算时，一般都是利用它们的定义去掉根号；当被开方数不是单独一个数时，则需先将它们进行化简，再进行开方运算．
【针对训练】
求下列各式的值：
；(2)　
(3)　
；(4)
.
二、课堂小结
内容
立方根的概念
若_________则为的立方根,记为_________,读作“_________”
.
平方根的性质
正数有_____个立方根; 0有_____个立方根;负数有_____个立方根.
开平方运算
我们把求一个数的__________的运算，叫做开立方.
下列说法中正确的是
（
）
负数没有立方根
B.一个数的立方根不是正数，就是负数
C.一个数的立方根等于它本身，这个数一定是0
D.一个非负数的立方根和这个数同好，0的立方根是0
已知a2=4，b3=27，则ab的值为______.
求下列各式的值
：
4.在做浮力实验时，小华用一
( http: / / www.21cnjy.com )根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一量筒量得被铁块排开的水的体积为64立方厘米，小华又将铁块从烧杯中提起，量得烧杯中的水位下降了3厘米.请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少(π取3，结果保留整数)？
5.已知,,求的值.
当堂检测参考答案：
B
8或-8
4.设正方体铁块的棱长是x厘米，烧杯内部的底面半径是r厘米，根据题意列方程得
x3＝64，解得x＝4，所以正方体铁块的棱长是4厘米.
设烧杯内部的底面半径是r厘米，根据题意列方程得
πr2×3＝64，所以.因为r＞0，解得.
所以烧杯内部的底面半径是厘米.
∵，∴（2x-y）2=9，2x-y=±3.∵，∴x-2y=-3.
当2x-y=3，x-2y=-3时，解得x=y=3，∴无意义.
当2x-y=-3，x-2y=-3时，解得x=-1，y=1，∴=.
自主学习
合作探究
当堂检测反证法
学习目标：
1.了解反证法的意义及用反证法证明一个命题是真命题的一般步骤.
2.学会运用反证法证明有关命题.
学习重点：反证法的一般步骤.
学习难点：运用反证法证明有关命题.
知识链接
1.在证明一些命题是真命题时，一般采用__________证明的方法.
2.在证明与图形有关的命题时，一般有哪些步骤？
答：第一步_________________________________________________________
第二步_________________________________________________________
第三步_________________________________________________________
预习新知
除了直接证明的方法，还有_________证明的方法，_________法就是常用的间接证明方法.
在证明一个命题时,有时先假设命题的___
( http: / / www.21cnjy.com )_____不正确,然后从这个___________出发,经过逐步_______________,最后推出与___________、__________、____________相矛盾的结果,从而得出________是错误的,__________正确的.这种证明命题的方法叫做反证法.
用反证法证明一个命题是真明题的一般步骤是：
第一步_________________________________________________________
第二步_________________________________________________________
第三步_________________________________________________________
自学自测
1.写出下列各结论的反面：
（1）a//b；
（2）a≥0；
（3）b是正数；
（4）有且只有一个交点；
（5）一个三角形中最多有一个直角；
（6）a，b中至少有一个等于0.
2.求证：在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.
已知：如图，a∥b，c与a相交于点P
求证：
c与b相交
四、我的疑惑
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要点探究
探究点：用反证法证明有关命题
例1.试证明命题“三角形中最多有一个角是直角”.
【归纳总结】若结论的反面不止一种情况，必须把各种可能情况全部列举出来，并逐一加以否定，才能肯定原结论是正确的.
【针对训练】
试证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
已知：
.
求证：
.
证明：假设　　　　　　　　　　　　　　　　　，则　　　　　　　　　　　　　　　　　.
∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　.
即　　　　　　　　　　　.
这与　　　　　　　　　　　矛盾．假设不成立．
∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．
例2.试证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行.
已知：
.
求证：
.
证明：假设
，则可设它们相交于点A.那么过点A
就有
条直线与直线c平行，这与“过直线外一点
”矛盾.
∴假设不成立.
∴
.
【归纳总结】在推理论证时，要把新增的已知条件（即假设的内容）加进去，然后逐步推出与已知公理或定理之间的矛盾.
【针对训练】
用反证法证明平行线的性质定理一：
.
已知：如图，直线AB∥CD，直线EF分别与直线AB、CD交于点G、H，∠1和∠2是同位角.
求证：∠1＝∠2.
例3.如图，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内的一点，且∠APB
＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法）
【归纳总结】反证法主要用于直接证明比较困难的命题.如结论以否定形式出现的命题，唯一性命题，结论含有“至少”“至多”等词.
【针对训练】
如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是内角平分线，AM是BC边上的中线，求证：点M不与点D重合
二、课堂小结
反证法的意义
反证法
反证法的一般步骤
用反证法证明有关命题
1.用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时第一步应先假设（　　）
A．每一个内角都小于60°
B．至多有一个内角小于60°
C．每一个内角大于或等于60°
D．至多有一个内角小于或等于60°
2.在证明“在△ABC中至少有一个角是直角和钝角”时，第一步应假设（　　）
A．三角形至少有一个角是直角或钝角
B．三角形中至少有两个直角或钝角
C．三角形中没有直角或钝角
D．三角形中三个角都是直角或钝角
3.反证法证明命题“同旁内角不互补
( http: / / www.21cnjy.com )的两条直线不平行”时，应先假设
.
4.已知直线m、n是相交线，且直线l1⊥m，直线l2⊥n．求证：直线l1与l2必相交．
5.已知a2=5，证明：a是无理数．
6.如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的中点，且BD≠CE，求证：AB≠AC
自主学习
合作探究
当堂检测分式方程的应用
学习目标：
1.会列分式方程解决实际问题，学会建立数学模型.
2.掌握列分式方程解决实际问题的一般方法.(重点）.（难点）
学习重点：列分式方程解决实际问题的一般方法.
学习难点：列分式方程解决实际问题.
知识链接
列方程解应用题的一般步骤是什么？
答：___________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
甲乙两班学生参加植树活动，
( http: / / www.21cnjy.com )已知甲班每天比乙班多植树5棵，甲班植树80棵所以的天数与乙班植树70棵所用的天数相同，若设甲班每天植树x棵，根据题意可得方程_______________.
二、新知预习
3.完成下面解题过程：
小红和小丽分别将9000
( http: / / www.21cnjy.com )字和7500字的两篇文稿录入计算机，所用时间相同.已知两人每分钟录入计算机字数的和是220字.两人每分钟各录入多少字？
请找出上述问题中的等量关系；
答：_________________________________________________________________________.
试列出方程，并求方程的解；
解：设小红每分钟录入x字，则小丽每分钟录入______字.根据题意，得
_________________________.
解这个方程得_____________________.
经检验，__________________________.
答：_____________________________________________________________.
根据3中的解题步骤，归纳用分式方程解决实际问题的一般步骤为：
第一步，审清题意；
第二步，根据题意设未知数；
第三步，根据题目中的数量关系列出式子，并找准等量关系，列出方程；
第四步，解方程，并验根，还要看方程的解______________；最后作答．
自学自测
1.九年级(1)班全体师生义务植树300棵．原计划每小时植树x棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务．则下面所列方程中，正确的是(　　)
A.－＝
B.－＝20
C.－＝
D.＝－
2.阅读下面对话：

小红妈：“售货员，请帮我买些梨.”

售货员：“小红妈，您上次买的那种梨都卖完了，我们还没来得及进货.我建议您买些新进的苹果，价格比梨贵一点，不过苹果的营养价值更高.”

小红妈：“好，你们很讲信用，这次我和上次一样，也花30元钱.”

对照前后两次购物的电脑小票，小红妈发现：每千克苹果的价钱是梨的1.5倍，所买的苹果的总质量比梨轻2.5
kg.
试根据上面的对话和小红妈的发现，分别求出梨和苹果的单价.
3.某人骑自行车比步行每小时多走8
km，如果他步行12
km所用的时间与骑车行36
km所用的时间相等，求他步行40
km用多少小时？
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点：分式方程的应用
问题1：
几名同学包租一辆
( http: / / www.21cnjy.com )面包车去旅游，面包车的租价为180元，出发前，又增加两名同学，结果每个同学比原来少分摊3元车费，若设原来参加旅游的学生有x人，则所列方程为(　　)
A.－＝3
B.－＝3
C.－＝3
D.－＝3
【归纳总结】解题的关键是首先弄清题意，根据关键描述语，找到合适的等量关系．
【针对训练】
有两块面积相同的小麦试验田，分别收获小麦9
000
kg和15
000
kg.已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3
000
kg，若设第一块试验田每公顷的产量为x
kg，根据题意，可得方程(　　)
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
问题2：
抗洪抢险时，需要在一
( http: / / www.21cnjy.com )定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3个小时才能完成．现甲、乙两队合作2个小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时？
【归纳总结】解决工程问题的思路方法：各部分工作量之和等于1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系．
【针对训练】
某市正在进行“打造宜居靓城、建设幸福之都”活动.在城区美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算，获得如下信息：
信息一：乙队单独完成这项工程需要60天；
信息二：若先由甲、乙两队合做16天，剩下的工程再由乙队单独做20天可完成；
信息三：甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲队单独完成这项工程需要多少天？
（2）若该工程计划在50天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合做完成该工程省钱？
问题3：
从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．
(1)求普通列车的行驶路程；
(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普
( http: / / www.21cnjy.com )通列车平均速度(千米/时)的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．
【归纳总结】解决问题的关键是分析题意，找到关键描述语和合适的等量关系是解决问题的关键．此题涉及的公式是：路程＝速度×时间．
【针对训练】
已知A，B两地相距36千
( http: / / www.21cnjy.com )米，甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，相向而行，相遇时，甲距B地还有16千米，相遇后，继续前进，甲到B地比乙到A地早1.8小时，求甲、乙两人速度．
问题4：佳佳果品店在批发市场购买某种水
( http: / / www.21cnjy.com )果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．
【归纳总结】本题具有一定的综合性，应该把问题分解成购买水果和卖水果两部分分别考虑.
【针对训练】
某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多40元，用1500元购进的篮球个数与900元购进的足球个数相等．
(1)篮球与足球的单价各是多少元？
(2)该校打算用1000元购进篮球和足球，问恰好用完1000元，并且篮球、足球都买的购买方案有哪几种？
二、课堂小结
内容
解题策略
分式方程的应用
审清题意；设出________；找出__________；列出分式方程；解这个分式方程；________，看方程的解是否满足方程和符合题意；(7)写出实际问题的答案.
常见实际问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程/时间；工作量问题：工作效率＝工作量/工作时间等.
1．甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用
( http: / / www.21cnjy.com )时间相同，已知乙车每小时比甲车多行驶15千米，设甲车的速度为x千米／小时，依题意列方程正确的是
(
)
A．
B．
C．
D．
2．某工厂生产，种零件，计划在20天内完
( http: / / www.21cnjy.com )成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个，设原计划每天生产x个，根据题意可列分式方程为
(
)
A．
B．
C．
D．
3．为改善环境，张村拟在荒山上种植960
( http: / / www.21cnjy.com )棵树，由于共青团的支持，每日比原计划多种20棵，结果提前4天完成任务，原计划每天种植多少棵树？设原计划每天种植x棵树，根据题意列方程_______．
4．小明计划用360元从大型系列科普丛书《什么是什么》（每本价格相同）中选购部分图书．“六·一”期间，书店推出优惠政策：该系列丛书8折销售，这样，小明比原计划多买了6本，求每本书的原价，设每本书的原价为x元，可列方程为_______．
5．某工厂现在平均每天比原计划多生产50
( http: / / www.21cnjy.com )台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产_______台机器．
6．在创建“国家卫生城市”的活动中，市园林公司加大了对市区主干道两旁植“景观树”的力度，平均每天比原计划多植5棵，现在植60棵所需的时间与原计划植45棵所需的时间相同，问现在平均每天植多少棵？
7.某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题：
( http: / / www.21cnjy.com )
同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元？
8.某工程准备招标，指挥部现接到
( http: / / www.21cnjy.com )甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知：乙队单独完成这项工程所需天数是甲队单独完成这项工程所需天数的2倍；该工程若由甲队先做6天，剩下的工程再由甲、乙两队合作16天可以完成．
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天？
(2)已知甲队每天的施工费用为0.67万元，乙队每天的施工费用为0.33万元，该工程预算的施工费用为19万元．为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，问：该工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需要追加预算多少万元？请说明理由．
当堂检测参考答案：
1．C　2．A　3．　4．　5．200
6．20棵
7.设排球的单价为x元，则
( http: / / www.21cnjy.com )篮球的单价为(x＋60)元，根据题意，列方程得：＝.解得x＝100.经检验，x＝100是原方程的根，当x＝100时，x＋60＝160.
答：排球的单价为100元，篮球的单价为160元．
8.(1)设甲队单独完成这项工程需要x天，则乙队单独完成这项工程需要2x天．
根据题意，得＋16(＋)＝1，
解得x＝30.
经检验，x＝30是原方程的根．
则2x＝2×30＝60.
答：甲、乙两队单独完成这项工程各需要30天和60天．
(2)设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天．
则有y(＋)＝1，解得y＝20.
需要施工费用：20×(0.67＋0.33)＝20(万元)．
因为20＞19，
所以工程预算的施工费用不够用，需追加预算1万元.
自主学习
合作探究
当堂检测全等三角形的判定
第1课时
运用“边边边”（SSS）判定三角形全等
学习目标：
1.探索三角形全等条件.（重点）
2.掌握“边边边”（SSS）判定三角形全等的方法并能够应用.（难点）
3.理解三角形的稳定性.
学习重点：探索三角形全等条件.
学习难点：掌握“边边边”（SSS）判定三角形全等的方法.
知识链接
1.
什么叫全等三角形？
答：____________________________________________________________________.
2.已知△ABC
≌△DEF，找出其中相等的边与角.
( http: / / www.21cnjy.com )
答：____________________________________________________________________.
二、新知预习
3.准备一些长都是13cm的细铁丝.
（1）和同学一起，每人用一根铁丝，折成一个边
( http: / / www.21cnjy.com )长分别是3cm，4cm，6cm的三角形.把你作出的三角形和同学作出的三角形进行比较，它们能重合吗？
( http: / / www.21cnjy.com )
和同学一起，每人用一根铁丝，余下1cm，用
( http: / / www.21cnjy.com )其余部分折成边长分别是是3cm，4cm，5cm的三角形.再和同学作出的三角形进行比较，它们能重合吗？
( http: / / www.21cnjy.com )
（3）每人用一根铁丝，任取一组能够构成三角形的三边长的数据，和同桌分别按这些数据折三角形，折成的两个三角形能重合吗？
基本事实一
如果两个三角形的三边对应相等，那么这两个三角形全等.
4.准备几根木条，应图钉
( http: / / www.21cnjy.com )把这三根木条钉成一个三角形框架，拉动它，观察它的外形是否发生变化.如果用四根木条钉成一个四边形的框架，在拉动它时，它的外形是否发生变化？
答：____________________________________________________________________.
自学自测
已知：如图，AB=CB,AD=CD.求证：△ABD≌△CBD.
( http: / / www.21cnjy.com )
工人师傅在安装木质门框时，为了防止门框变形，常常先在门框上钉两个斜拉的木条，请说明这样做的道理.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：用“SSS”判定三角形全等
问题1：如图，AB＝DE，AC＝DF，点E、C在直线BF上，且BE＝CF.求证：△ABC≌△DEF.
【归纳总结】判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
【针对训练】
如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE.求证：△ACD≌△CBE.
( http: / / www.21cnjy.com )
问题2：如图所示，△ABC是一个风筝架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，求证：AD⊥BC.
【归纳总结】将垂直关系转化为证两角相等，利用全等三角形证明两角相等是全等三角形的间接应用．
【针对训练】
雨伞的截面图如图所示，伞背AB=AC,支撑杆OE=OF，AE=AB，AF=AC，当O沿AD滑动时，雨伞开闭，问雨伞开闭过程中，∠BEO与∠CFO有何关系？说明理由
( http: / / www.21cnjy.com )
探究点2：三角形的稳定性
问题：
要使四边形木架(用4根木
( http: / / www.21cnjy.com )条钉成)不变形，至少需要加钉1根木条固定，要使五边形木架不变形，至少需要加2根木条固定，要使六边形木架不变形，至少需要加3根木条固定，…，那么要使一个n边形木架不变形，至少需要几根木条固定？
【归纳总结】将多边形转化为三角形时，所需要的木条根数，可从具体到一般去发现规律，然后验证求解．
【针对训练】
王师傅用4根木条钉成一四边形木架，如图，要使得这个木架不变形，他至少要再钉上木条的根数为（
）
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A.0根
B.1根
C.2根
D.3根
二、课堂小结
内容
“边边边”
三边分别相等的两个三角形________(可以简写为“边边边”或“________”)．
在△ABC和△A′B′C′中，∵∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)．
在所给的两个三角形中，如果有两边对应相等，而又没有角对应相等时，往往通过寻找或构造另一组边也相等，从而利用“SSS”证明全等.
三角形的稳定性
三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性.
1.如图，D、F是线段B
( http: / / www.21cnjy.com )C上的两点，AB=CE，AF=DE，要使
△ABF≌△ECD
，还需要条件___________________.
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2.工人师傅砌门时，常用木条EF固定门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是(
)
( http: / / www.21cnjy.com )
A.两点之间线段最短
B.三角形两边之和大于第三边
C.长方形的四个角都是直角
D.三角形的稳定性
3.如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？请完成下列解题步骤.
解：
△ABC≌△DCB.
理由如下：
在△ABC和△DCB，
AB
=
DC，
AC
=
DB，
_________=_________，
∴△ABC
≌
________（
________
）.
3.已知：如图
，AC=FE，AD=FB,BC=DE.
求证：(1)△ABC≌△FDE;
(2)
∠C=
∠E.
( http: / / www.21cnjy.com )
当堂检测参考答案：
BF=CD或
BD=FC
2.D
3.BC
CB
△DCB
SSS
4.证明：(1)∵
AD=FB，
∴AB=FD（等式性质）.
在△ABC和△FDE
中，
AC=FE（已知），
BC=DE（已知），
AB=FD（已证），
∴△ABC≌△FDE（SSS）；
（2）∵
△ABC≌△FDE（已证）.
∴
∠C=∠E（全等三角形的对应角相等）.
(1)∵四边形ABCD、DEFG都是正方形，
∴AD＝CD，GD＝ED.
∵∠CDG＝90°＋∠ADG，∠ADE＝90°＋∠ADG∴∠CDG＝∠ADE＝90°.
在△ADE和△CDG中，
∵
∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE＝CG；
设AE与DG相交于M，AE与CG相交于N，
在△GMN和△DME中，由(1)得∠CGD＝∠AED，
又∵∠GMN＝∠DME，∠DEM＋∠DME＝90°，
∴∠CGD＋∠GME＝90°，
∴∠GNM＝90°，
∴AE⊥CG.
自主学习
合作探究
当堂检测等腰三角形
第2课时
等腰（边）三角形的判定定理
学习目标：
1.掌握判定等腰（边）三角形的判定定理
2.能运用等腰（边）三角形的判定定理解决有关问题.
学习重点：等腰（边）三角形的判定定理.
学习难点：运用等腰（边）三角形的判定定理解决有关问题.
知识链接
1．等腰三角形的性质：
（1）从边看：等腰三角形的
相等．
（2）从角看：等腰三角形的
相等．简写成“
”．
（3）从重要线段看：等腰三角形底边上的
、
与顶角的
互相重合．简称“
”．
2．如图，在△ABC中，AB=AC，
（1）若AD平分∠BAC，那么
，
．
（2）若BD＝CD，那么
，
．
（3）若AD⊥BC,那么
，
．
新知预习
我们知道，等腰三角形的两个底角相等．反过来，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它是等腰三角形吗？
2．请拿出一张半透明纸，按以下方法进行操作：
（1）在半透明纸上画一条线段BC；
（2）以BC为始边，分别以点B和点C为顶点，在BC的同侧用量角器画两个相等的角，两角终边的交点为A；
（3）用刻度尺找出BC的中点D，连接AD，然后将△ABC沿AD对折．
问题1．AB与AC是否重合？
问题2．本实验的条件与结论如何用文字语言加以叙述？
三、自学自测
1．如图，其中△ABC是等腰三角形的是（
）
2．三角形的一个外角为130°，不相邻的一个内角为65
°
，这个三角形是（
）
A钝角三角形
B直角三角形
C等腰三角形
D等边三角形
3．如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB，求证：OC=OD
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：等腰三角形的判定
问题：在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？（补齐证明过程）
已知：在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC．
证明：过A作∠BAC的平分线AD，交BC于点D
【归纳总结】
等腰三角形的判定定理
如果一个三角形有　　　　　相等，那么这个三角形是等腰三角形．其中，两个相等的角所对的边相等．（简称“　　　　　　”）．
例1．如图，在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，∠ABC的平分线交AC于点D，则图中共有几个等腰三角形？请一一证明.
【归纳总结】要证一个三角形是等腰三角形，就要证出有两条边相等，而“等角对等边”是证明两边相等的一个重要且常用的方法．
【针对训练】
已知：AE是△ABC的外角平分线，且AE∥BC．求证：△ABC是等腰三角形．
( http: / / www.21cnjy.com )
探究点2：等边三角形的判定
问题1：如图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C，
则、、之间的关系怎样？
理由是：
问题2：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，△ABC是什么三角形？
理由是：
【归纳总结】
等边三角形的判定定理
（1）　　　　　　都相等的三角形是等边三角形．
符号语言：
∵∠
=∠
=∠
∴△ABC是
（2）有一个角　　　　　　　的等腰三角形是等边三角形．
符号语言：
∵
=
，∠
=
°，
∴△ABC是
例2．已知：在△ABC中，∠A=60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．
现有下面三种说法：
①如果添加条件“AB=AC”，那么△ABC是等边三角形；
②如果添加条件“∠B=∠C”，那么△ABC是等边三角形；
③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．
上述说法中，正确的说法有（
）
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
【归纳总结】等边三角形有下面三个判定方法：
（1）三边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
【针对训练】
下列四个说法中，正确的有（
）个．
①三个角都相等的三角形是等边三角形．②有两
( http: / / www.21cnjy.com )个角等于60°的三角形是等边三角形．③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
探究点3：已知底边及底边上的高作等腰三角形
例3．如图，已知线段a，h
求作△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h．
【归纳总结】
等腰三角形的高在底边的垂直平分线上，也可利用等腰三角形的轴对称性作图．
二、课堂小结
内容
等腰三角形的判定定理
如果一个三角形有　　　　　相等，那么这个三角形是等腰三角形．其中，两个相等的角所对的边相等．（简称“　　　　　　”）．
等边三角形的判定定理
（1）　　　　　　都相等的三角形是等边三角形．（2）有一个角　　　　　　　的等腰三角形是等边三角形．
如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（
）
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
( http: / / www.21cnjy.com )
2.在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发
( http: / / www.21cnjy.com )，要到A地的北偏东
60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距　
　m．
( http: / / www.21cnjy.com )
3.如图，△ABC中，AE为中线，AD为高，∠BAD=∠EAD．若BC=10cm，则DC=　
　．
( http: / / www.21cnjy.com )
4.如图，CD平分∠ACB，AE∥DC，AE交BC的延长线于点E，且∠ACE=60°。
求证：△ACE是等边三角形.
5.如图，AB=BC，∠CDE=120，DF∥BA，且DF平分CDE。
求证：△ABC是等边三角形.
6.如图，已知：△ABC中，∠B、∠C的角平分线相交于点D，过D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，AB=8cm，AC=6cm．
（1）求证：BE+CF=EF．
（2）求△ADE的周长．
( http: / / www.21cnjy.com )
7.如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上一点，CE平分∠ACD,CE=BD,
求证：△ADE是等边三角形
自主学习
合作探究
当堂检测线段的垂直平分线
第2课时
线段垂直平分线的逆定理及尺规作图
学习目标：
1.理解并掌握线段垂直平分线的逆定理并学会运用.（难点）
2.根据能够运用尺规作线段的垂直平分线.
3.能够运用线段垂直平分线的性质定理和逆定理解决实际问题．（难点）
学习重点：线段垂直平分线的逆定理.
学习难点：线段垂直平分线的逆定理的运用.
知识链接
写出线段垂直平分线的性质定理，再根据其写出其逆命题.
答：_______________________________________________________________________.
新知预习
结合下图，写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题.
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已知：如图，点P为线段AB外一点且_____________.
求证：点P在线段AB的垂直平分线上.
证明：设线段AB的中点为O，连接PO并延长.
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在△_______和△________中，
∵___________________________________________,
∴△_______≌△________.
∴_______________________.
∵_______________________.
∴_______________________.
∵_______________________.
∴_______________________.
于是我们得到线段垂直平分线性质定理的逆定理：
到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的____________上．
三、自学自测
1在锐角△ABC内一点P满足PA=PB=PC，则点P是△ABC（
）
A．三条角平分线的交点
B．三条中线的交点
C．三条高的交点
D．三边垂直平分线的交点
2、如图1，四边形ABCD，AB=AD，BC=DC，
则AC与BD的位置关系是
，
点A在线段BD的
上，
点C在线段BD的
上.
3、如图2，AD是△ABC的高，E为AD上一点，且BE=CE，
则△ABC为
三角形。
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：线段垂直平分线的性质定理的逆定理
问题1：如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD和∠BCD，连接BD，则AC与BD交于点E.求证：直线AC垂直平分线段BD.
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【归纳总结】到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
【针对训练】
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点且OB=OC.求证AO⊥BC.
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探究点2：用尺规作垂线或线段的垂直平分线
问题1：如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？(注：作一对对应点的对称轴就是作线段AB的垂直平分线)
【归纳总结】要熟练掌握线段垂直平分线的作法，作出的图形中的作图痕迹要保留．
问题2：如图，已知△ABC，用尺规求作△ACB的中线CD.
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【归纳总结】要熟练掌握线段垂直平分线的作法，作出的图形中的作图痕迹要保留．
【针对训练】
已知△ABC中，试画出三边的垂直平分线.
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二、课堂小结
内容
线段的垂直平分线性质的逆定理
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的____________上．直线l是线段AB的垂直平分线，P为l上一点，则PA＝PB；反过来，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上.
用尺规作垂线或线段的垂直平分线
A，B两点关于某直线对称，则连接AB
( http: / / www.21cnjy.com )，分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于E、F两点，作直线EF，则EF就是其垂直平分线.
1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（　　　）
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A．AB垂直平分CD；
B
．CD垂直平分AB
；
C．AB与CD互相垂直平分；
D．CD平分∠
ACB
．
已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB,FA＝FB，这样的点的组合共有________种.
3.如图，点D在△ABC的边BC上且BC=BD+AD，则点D在线段_______垂直平分线上.
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4.如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，请用无刻度的直尺作出它们的对称轴.
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当堂检测参考答案：
A
无数
AC
4.
.
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自主学习
A
B
C
D
图1
A
B
C
D
E
图2
合作探究
当堂检测二次根式的混合运算
学习目标：
1.了解二次根式的混合运算的顺序.
2.掌握二次根式运算中的运算律和乘法公式.（难点）
3.能熟练进行二次根式的混合运算.(重点）
学习重点：二次根式的混合运算.
学习难点：掌握二次根式运算中的运算律和乘法公式.
知识链接
如图，一个底面积为24cm2，长、宽、高的比为4：2：1的长方体，请回答下列问题：
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（1）这个长方体的长、宽、高分别是多少？
答：___________________________________________________________________________.
这个长方体的体积是多少？
答：___________________________________________________________________________.
（3）这个长方体的表面积是多少？
答：___________________________________________________________________________.
新知预习
与数、整式和分式的混合运算一样，二次根式的混合运算，也应该先算_______，后算_______;有括号时，先算______的.
计算下列各式：
；（2）；
；（4）.
谈一谈你在运算时，用到了哪些运算律和乘法公式.
答：___________________________________________________________________________.
NOTE：乘法公式在实数范围内也是成立的.
计算下列各式：
自学自测
计算下列各式：
；（2）；
；（4）.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点一：加、减、乘、除的混合运算
问题：计算：
(1)÷－×＋；(2)÷×－.
【归纳总结】二次根式的混合运算与实数的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的．
【针对训练】
计算：
探究点二：利用乘法公式化简二次根式
问题1：计算：(1)(＋)(－)；(2)(3－2)2－(3＋2)2.
【归纳总结】多项式的乘法公式在二次根式的混合运算中仍然适用，计算时应先观察式子的特点，能用乘法公式的用乘法公式计算．
【针对训练】
计算：
问题2：计算：
(1)；(2)＋.
【归纳总结】把分母中的根号化去就是分母
( http: / / www.21cnjy.com )有理化，分母有理化时，分子、分母应同乘以一个适当的式子，如果分母只有一个二次根式，则乘以一项的二次根式，使得分母能写成×的形式；如果分母有两项，分子、分母乘以一个二项式，使得能运用平方差公式计算．如分母是＋，则分子、分母同乘以－.
【针对训练】
计算：
二、课堂小结
内容
二次根式的混合运算
运算顺序：先算______(或开方)，再算______，最后算________，如果有括号就先算括号里的.
运算律：实数运算中的运算律和整式乘法中的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用．在进行混合运算时，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式．
要注意的问题
二次根式的混合运算的结果应写成______二次根式或整式；进行二次根式开方运算时应使开出的因数(或因式)是________数(或式)；3.计算时注意观察，有时可利用乘法公式简便运算．即(＋)(－)＝a－b；(±)2＝a±2＋b.
1.计算的结果为（
）
A.1
B.-1
C.
D.
下列计算或化简错误的是（
）
已知，则
计算下列各式：
化简下列各式：
6.有一直角三角形，两条直角边长分别是和，求此直角三角形的面积.
当堂检测参考答案：
A
B
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此直角三角形的面积为
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自主学习
合作探究
当堂检测全等三角形的判定
第2课时
运用“边角边”（SAS）判定三角形全等
学习目标：
1.探索并正确理解三角形全等的判定方法“SAS”.（重点）
2.会用“SAS”判定方法证明两个三角形全等及进行简单的应用．（难点）
3.了解“SSA”不能作为两个三角形全等的条件．
学习重点：三角形全等的判定方法“SAS”.
学习难点：“SAS”判定方法证明两个三角形全等.
知识链接
若△AOC≌△BOD，则有
对应边:AC=_______，AO=_______，CO=_______，
对应角有:
∠A=_______，∠C=_______，
∠AOC=_______.
2.填空：
已知：AC=AD,BC=BD,
求证：AB是∠DAC的平分线.
证明:在△ABC和△ABD中，
AC=AD
(
)，
BC=BD
(
)，
_____=______（
）
∴△ABC≌△ABD(
).
∴∠1=∠2
（
）.
∴AB是∠DAC的平分线（角平分线定义）.
二、新知预习
3.探究：两条边和一个角分别对应相等的两个三角形是不是全等的呢？
（1）画一个三角形，使它的两条边长分别是3cm，.5cm，并且使长为1.5cm的这条边所对的角是30°.
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（2）从（1）的操作过程中我们可以发现：两个三角形的两条边和其中一边的对应角相等时，这两个三角形_________.
（3）画一个三角形，使得它的两条边长分别是3cm，5cm，并且使两边夹角为30°.
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（4）从（1）的操作过程中我们可以发现：两个三角形的两边和它们的夹角对应相等那么这两个三角形_________.
于是我们可以得到关于三角形全等的另一个基本事实：
基本事实二
如果两个三角形的两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角________.
自学自测
1.如图，AB=CB
，∠
ABD=
∠
CBD，那么
△
ABD
和△
CBD
全等吗？
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2.如图，有一池塘，要测池塘两端
( http: / / www.21cnjy.com )A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么
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四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点：用“SAS”判定三角形全等
问题1：
下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF的是(　　)
A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF
B．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF
C．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DF
D．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF
【归纳总结】全等三角形是证明线段和角相等的重要工具．
【针对训练】
下列条件中，可以保证△ABC≌△A'B'C'的是（
）
AB=A'B'，AC=A'C'，∠C=∠C'
AB=A'B'，AC=A'C'，∠B=∠B'
AB=A'B'，BC=B'C'，∠A=∠A'
AB=A'B'，BC=B'C'，∠B=∠B'
问题2：
如图，A、D、F、B在同一直线上，AD＝BF，AE＝BC，且AE∥BC.求证：△AEF≌△BCD.
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【归纳总结】判定两个三角形全等时，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【针对训练】
已知：如图，点E，A，C在同一条直线上，AB∥CD，AB=CE，AC=CD.
求证：BC=ED.
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问题3：
已知：如图，BC∥EF，BC＝BE，AB＝FB，∠1＝∠2，若∠1＝45°，求∠C的度数．
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【归纳总结】全等三角形是证明线段和角相等的重要工具．
【针对训练】
已知：如图，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2.
求证：BD=CE.
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二、课堂小结
内容
“边角边”
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写为“边角边”或“________”)．
在△ABC和△A′B′C′中，∵∴△ABC≌△A′B′C′(SAS)．
易错提醒
“SAS”中的角必须是两条边
( http: / / www.21cnjy.com )的夹角，而不是其中一边的对角，两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形________全等(填“一定”或“不一定”)．如图所示的两个三角形的两组边及一条边的对角相等，很明显这两个三角形不全等.
1.下列图形中有没有全等三角形，并说明全等的理由．
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2.在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立.
在△AEC和△ADB中，
_______=________（已知）
∠A=∠A（公共角），
_______=________，
∴△AEC≌△ADB
(
).
3.已知:如图,AB=DB,CB=EB,∠1＝∠2，
求证:∠A=∠D.
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4.如图，点E、F在AC上，AD//BC，AD=CB，AE=CF.
求证：△AFD≌△CEB.
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5.如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG.求证：(1)AE＝CG；(2)AE⊥CG.
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当堂检测参考答案：
1.甲与丙全等，SAS.
2.AB
AC
AD
AE
SAS
3.证明:∵
∠1＝∠2(已知)
∴∠1+∠DBC＝
∠2+
∠DBC(等式的性质)，
即∠ABC＝∠DBE.
在△ABC和△DBE中,
AB＝DB(已知)，
∠ABC＝∠DBE(已证)，
CB＝EB(已知)，
∴△ABC≌△DBE(SAS).
∴
∠A=∠D(全等三角形的对应角相等).
4.证明：∵AD//BC，
∴
∠A=∠C，
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE.
在△AFD和△CEB中，
AD=CB(已知），
∠A=∠C(已知），
AF=CE(已知），
∴△AFD≌△CEB（SAS）.
5.
自主学习
合作探究
当堂检测勾股定理
第1课时
勾股定理
学习目标：
1.掌握勾股定理，能用拼图的方法验证勾股定理.
2.会用勾股定理解决简单的问题.
学习重点：勾股定理.
学习难点：勾股定理的验证.
知识链接
如果一个正方形的边长是a，那么它的面积是
.
2.如果一个直角三角形的两直角边分别为a，b，那么它的面积是
.
新知预习
1.下图是用大小相同的两种颜色的正方形瓷砖铺成的地面.
（1）图（1）中用白色框标出的三个正方形，他们的面积之间具有怎样的等量关系？
（2）根据图（2），你能说出正方形面积之间的等量关系反映了Rt ABC三边之间怎样的关系吗？把它写出来.
（3）如图（3）， ABC是直角三角形，∠ACB=90°.
如果每个小方格子都是边长
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对于更一般的情形，如果这个直角三角形的三边长分别是a，b，c，那么可以怎样用a，b，c把图中三个正方形面积之间的关系表示出来呢？
本实验的结论如何用文字语言加以叙述？
4.如图是用四个全等的直角三角形拼成的，请根据此图验证你所得到的结论．
【提示】：用两种方法表示出大正方形的面积．
【归纳总结】
勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么
．
自学自测
1.图中已知数据表示面积，求表示面积的未知数、的值.
2.图中已知数据表示边长，求表示边长的未知数、的值.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：勾股定理的验证
例1.比较图中两个正方形的面积，并验证勾股定理.
【归纳总结】利用面积验证勾股定理，即从两个不同角度看一个图形的面积，建立含直角三角形三边的等式得到a2+b2=c2．
【针对训练】
如图是由三个直角三角形组成的直角梯形，请证明a2+b2=c2．
探究点2：利用勾股定理求值
例2.如图，已知在Rt△ABC中，∠C=，
（1）若
；
（2）若
；
（3）若
．
（4）若
，
．
【归纳总结】由勾股定理的基本关系式a2+b2=c2，还可以得到一些变形式．如：
等.
【针对训练】
若直角三角形的两边长分别为3cm、4cm，则第三边长为
．
二、课堂小结
勾股定理的推导及验证
勾股定理
利用勾股定理求值
1．若一个直角三角形的三边长为8，15，，则=
．
2．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角
走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了
步路（假设2步为1m），却踩伤了花草.
3．如图，分别以Rt△ABC的三边为直径作半圆，其面积分别为、、，且，，则=
.
直线同侧有三个正方形、、，若、的
面积分别为5和12，则的面积为
.
5．已知：如图，等边△ABC的边长是6cm.
⑴求等边△ABC的高.
⑵求S△ABC.
自主学习
A
B
C
图（2）
图（1）
A
C
B
a
c
b
图（3）
合作探究
b
a
c
a
b
c
A
B
D
C
当堂检测
图5
图6
图7
图5
图6
图7
图5
图6
图7全等三角形的判定
第3课时
运用“角边角”（ASA）及“角角边”（AAS）判定三角形全等
学习目标：
1．探索并正确理解三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”．
2．会用三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”证明两个三角形全等．
学习重点：三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”.
学习难点：用三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”证明两个三角形全等.
知识链接
1.如图,小明不慎将一块三角形玻璃打碎为
( http: / / www.21cnjy.com )三块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具吗
如果可以,带哪块去合适
你能说明其中理由吗
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答：__________________________________________________________________________.
二、新知预习
2.如图，在△ABC和△A'B'C
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验证如下：将△ABC叠放在△A'B'C'上，
( http: / / www.21cnjy.com )使边BC落在边____上，顶点A与顶点____在边B'C'同侧，由____=____，可得边BC与边B'C'完全重合，因为∠B=∠B'，∠C=∠C'，∠B的另一边BA落在边B'A'上，∠C的另一边落在边C'A'上，所以____与____完全重合，____与____完全重合，由于“____”，所以点____与点____重合.
所以，△ABC____△A'B'C'.
于是我们得到关于三角形全等的另一个基本事实：
基本事实三
如果两个三角形的两个角和它们的夹边对应相等，那么这个两个三角形全等.
全等三角形和判定定理
如果两个三角形的两边及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角对应全等.
自学自测
1.有△ABC和△DEF，下列各组条件中，若能判定这两个三角形全等，在后面的括号内打“√”，若不能，则在后面的括号内打“×”．
(1)AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E.(　　)
(2)AB＝DE，BC＝EF，CA＝FD.(　　)
(3)∠A＝∠D，∠B＝∠E，CA＝FD.(　　)
(4)AB＝DE，∠A＝∠D，BC＝EF.(　　)
(5)∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F.(　　)
2.已知：如图，AD=BE，∠A=∠FDE，BC∥EF.
求证：△ABC≌△DEF.
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四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：用“ASA”判定三角形全等
问题：
如图，AD∥BC，BE∥DF，AE＝CF，求证：△ADF≌△CBE.
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【归纳总结】在“ASA”中，包含“边
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【针对训练】
如图，点A，C，B，D，在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD.
求证：AE=FC.
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探究点2：用“AAS”判定三角形全等
问题：
如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于E.AD与BE交于F，若BF＝AC，求证：△ADC≌△BDF.
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【归纳总结】在“ASA”中，
( http: / / www.21cnjy.com )包含“边”和“角”两种元素，是两角夹一边而不是两角及一角的对边对应相等，应用时要注意区分；在“ASA”中，“边”必须是“两角的夹边”．
【针对训练】
已知：如图，点A，B，D，E，在同一直线上，AD=EB，BC∥DF，∠C=∠F.求证：AC=DF.
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二、课堂小结
内容
联系
“角边角”
两角和它们的________对应相等的两个三角形全等．简记为“角边角”或“________”
两个三角形，如果具备两个
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在△ABC和△A′B′C′中，∵∴△ABC≌△A′B′C′(ASA)
“角角边”
两个角和其中一个角的________对应相等的两个三角形全等．简记为“角角边”或“________”
在△ABC和△A′B′C′中，∵∴△ABC≌△A′B′C′(AAS)
易错提醒
三个角分别相等的两个三角形________全等(填“一定”或“不一定”)
1.如图∠ACB=∠DFE，BC=EF，那么应补充一个条件___________，才能使△ABC≌△DEF
（写出一个即可）.
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2.
如图，已知∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠CDB，判别下面的两个三角形是否全等，并说明理由.
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3.已知：如图，
AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2,
求证：AB=AD.
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4.已知：在△ABC中，∠BAC＝90°
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当堂检测参考答案：
1.∠B=∠E或∠A=∠D或
AC=DF
2.不全等，因为BC虽然是公共边，但不是对应边.
3.证明：
∵
AB⊥BC，AD⊥DC，
∴
∠
B=∠D=90
°.
在△ABC和△ADC中，
∠1=∠2
（已知），
∠
B=∠D（已证），
AC=AC
（公共边），
∴
△ABC≌△ADC（AAS)，
∴AB=AD.
(1)∵BD⊥m，CE⊥m，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠ABD＋∠BAD＝90°.
∵AB⊥AC，
∴∠BAD＋∠CAE＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE.
在△BDA和△AEC中，
∵
∴△BDA≌△AEC(AAS)；
∵△BDA≌△AEC，
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE.
自主学习
合作探究
当堂检测角的平分线
学习目标：
1.理解并掌握角平分线的性质定理及其逆定理.（难点）
2.能利用角平分线的性质定理及其逆定理证明相关结论并应用.(重点）
3.能利用尺规作出一个已知角的角平分线.
学习重点：角平分线的性质定理及其逆定理.
学习难点：角平分线的性质定理及其逆定理的应用.
知识链接
角是轴对称图形吗？你能确定角的对称轴吗？试着在下图中画出∠ABC的对称轴.
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二、新知预习
2.在一张半透明的纸上画出一个角（∠AOB），将纸对折，使得这个角的两边重合，从中你能得什么结论？
答：________________________________________________________________________.
按照下图所示的过程，将你画出的∠AOB，依照
( http: / / www.21cnjy.com )上述方法对折后；设折痕为直线OC；再折纸，设折痕为直线n，直线n与边OA，OB分别交于点D，E，与折线OC交于点P；将纸展开平铺后，猜想线段PD与线段PE，线段OD与线段OE分别具有怎样的数量关系，并说明理由.
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猜想：_____________________________________________.
得出结论：__________________________________________________.
下面我们就来证明折纸过程中发现的结论：
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
求证：PD=PE.
证明：在△______和△______中，
∵__________________________________________________,
∴△______≌△______.
∴____________________________.
于是我们得到角平分线的性质定理：
角平分线上的点到角的两边的距离______.
我们已经学习过线段垂直平分线的性质的逆命题是一个真命题（定理）.角平分线的性质定理的逆命题呢？
（1）角平分线的性质定理的逆命题：
________________________________________________________________.
根据这个逆命题的内容，画出图形；
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解题图形，提出你对这个逆命题是否正确的猜想；
猜想：_____________________________________________.
设法验证你的猜想；
已知：如图，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E且PD=PE.
求证：OC是∠AOB的平分线
证明：在△______和△______中，
∵__________________________________________________,
∴△______≌△______.
∴____________________________.
于是我们得到角平分线性质定理的逆命题是一个_____命题.
即_____________________________________________________________________.
自学自测
1.如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是________．
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2.如图，在△ABC中，∠B=45°，AD是∠BAC的角平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于点F．则∠FAC=_______．
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四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：角平分线的性质定理
问题1：如图：在△ABC中，∠C＝90
( http: / / www.21cnjy.com )°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF.证明：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.
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【归纳总结】角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在运用时一定要注意是两条“垂线段”相等．
【针对训练】
如图所示，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF.
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问题2：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是(　　)
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A．6
B．5
C．4
D．3
【归纳总结】利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．
【针对训练】
如图，OP是∠MON的角平分线，点
( http: / / www.21cnjy.com )A是ON上一点，作线段OA的垂直平分线交OM于点B，过点A作CA⊥ON交OP于点C，连结BC，AB=10
cm，CA=4
cm，则△OBC的面积为
________cm2．
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探究点2：角平分线的性质定理的逆定理
问题1：
如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线．
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【归纳总结】证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上．
【针对训练】
如图，已知：△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点D.求证：AD是∠BAC的平分线．
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（提示：作辅助线如图所示）
问题2：如图所示，△ABC中，A
( http: / / www.21cnjy.com )B＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，下面给出四个结论，①AD平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等．其中正确的结论有(　　)
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A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【归纳总结】运用角平分线的性质或判定时，可以省去证明三角形全等的过程，可以直接得到线段或角相等．
【针对训练】
如图，在△ABC中，∠C=90°，AD
( http: / / www.21cnjy.com )平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①DA平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB；⑤A，D两点一定在线段EC的垂直平分线上，其中正确的有（　　）
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A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
探究点3：用尺规作已知角的角平分线
问题：如图，AB∥CD，以点A为圆
( http: / / www.21cnjy.com )心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M.若∠ACD＝120°，求∠MAB的度数．
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【归纳总结】通过本题要掌握角平分线的作图步骤，根据作图明确AM是∠BAC的角平分线是解题的关键．
【针对训练】
如图，有一块三角形的闲地，其三边长分
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m，40
m，50
m，现要把它分成面积比为3:4:5的三部分，分别种植不同的花.请你设计一种方案，保留作图痕迹.
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二、课堂小结
内容
角平分线的性质定理
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
如果点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，那么PD＝________．
角平分线性质定理的逆定理
角的内部到角的两边距离________的点在角的平分线上．
如果点P为∠AOB内一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，且PD＝PE，那么点P在∠AOB的平分线上.
角平分线的作法
(1)作法：①以点O为圆心，适当长为半
( http: / / www.21cnjy.com )径画弧，交OA于点M，交OB于点N；②分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧相交在∠AOB的内部于点C；③画射线OC，射线OC即为所求．(2)上述作角平分线的理论依据是________．
1.
如图，DE⊥AB
( http: / / www.21cnjy.com )，DF⊥BG，垂足分别是E，F，
DE
=DF，
∠EDB=
60°，则
∠EBF=
_______度，BE=________
.
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2.△ABC中,
∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是______.
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3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（
）
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A.SSS
B.ASA
C.AAS
D.角平分线上的点到角两边的距离相等
4.如图所示，已知△ABC中，PE
( http: / / www.21cnjy.com )∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．
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5.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，\
求证：点F在∠DAE的平分线上．
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当堂检测参考答案：
1.60
BF
2.3
A
解：AD平分∠BAC．理由如下：
∵D到PE的距离与到PF的距离相等，
∴点D在∠EPF的平分线上．
∴∠1＝∠2．
又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．
同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．
5.过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M.
∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，
FM⊥BC.
∴FG＝FM.
又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD，
FM⊥BC，
∴FM＝FH，∴FG＝FH.∴点F在∠DAE的平分线上.　　　
.
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自主学习
合作探究
当堂检测分式的加减
第1课时
分式的加减运算
学习目标：
1.通过类比同分母分数的加减法则，探索同分母分式的加减法则.
2.能准确确定几个异分母分式的最简公分母，并会运用通分进行转化成同分母分式的加减运算.（难点）
学习重点：分式的加减运算法则.
学习难点：分式的加减运算.
知识链接
1.
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将下列分式通分：（1）；（2）.
答：___________________________________________________________________.
二、新知预习
3.类比同分母分数的加减法运算法则，完成下面同分母分式的加减运算：
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类比同分母分数的加减法运算，可知
同分母分式的加减法法则：同分母的两个分式相加（减），分母不变，把分子相加（减）.
NOTE：分式加减运算的结果要化为最简分式.
类比异分母分数的加减，异分母分式的加减应当怎样进行？
计算：
( http: / / www.21cnjy.com )
像这样，把几个异分母分式分别化为与它们______的同分母分式，叫做分式的通分，这个______的分母叫做几个分式的公分母.
类比异分母分数的加减法运算，可知
异分母分式加减法法则：异分母的两个分式相加（减），先通分，化为同分母的分式，再相加（减）.
三、自学自测
1.计算的结果是(
)
A.
B.
C.
D.
2.分式、、的最简公分母是(
)
A.(a2－b2)(a+b)(b－a)
B.(a2－b2)(a+b)
C.(a2－b2)(b－a)
D.a2－b2
3..化简的结果是
（
）
A.
B.
C.
D.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：同分母分式的加减
问题：
计算：(1)－；(2)＋.
【归纳总结】(1)当分子是多项式，把分子
( http: / / www.21cnjy.com )相减时，千万不要忘记加括号；(2)分式加减运算的结果，必须要化成最简分式或整式；(3)当两个分式的分母互为相反数时可变形为同分母的分式．
【针对训练】
下列计算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
探究点2：通分
问题：通分：
(1)，，；(2)，，.
【归纳总结】通分的一般步骤：(1)确定
( http: / / www.21cnjy.com )分母的最简公分母．(2)用最简公分母分别除以各分母求商．(3)用所得到的商分别乘以分式的分子、分母，化成同分母的分式．
【针对训练】
通分：（1）；（2）.
探究点3：异同分母分式的加减
问题1：
计算：
(1)－x－1；(2)－.
【归纳总结】在分式的加减运算中，如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．
【针对训练】
分式a-b+的值为
（
）
A.
B.a+b
C.
D.以上都不对
问题2：先化简，再求值：－，其中x＝2015.
【归纳总结】先通分并利用同分母分式的减法法则计算，后约分化简，最后代入求值．
【针对训练】
请你先对进行化简,再选取一个使原式有意义,而你又喜爱的数代入求值.
问题3：
某商店有一个不准确的天平(其臂长不等)和一个10克的砝码．一位顾客想购买20克化学药品，售货员先将砝码放在左盘上，放置药品于右盘，待平衡后交给顾客．然后又将砝码放在右盘上，放置药品于左盘，待平衡后交给顾客．请判断在这次买卖中，是商店吃亏还是顾客吃亏，并说明理由．
【归纳总结】此题属于分式的加减与实际问题的综合，熟练掌握分式加减运算法则是解本题的关键．
【针对训练】
在下图的电路中，已测定CAD支
( http: / / www.21cnjy.com )路的电阻是R1，又知CBD支路的电阻R2比R1大50欧姆，根据电学有关定律可知总电阻R与R1、R2满足关系式＝＋，试用含有R1的式子表示总电阻R.
二、课堂小结
内容
解题策略
同分母分式的加减
分母________，把________相加减．即：±＝_______.
(1)一个分式与一个整式相加减时，可以把整式看做是分母为1的分式，整式前面是负号时，要加括号，进行通分；(2)结果一定要化成最简分式或整式.
通分
把几个异分母分式分别化为与它们______的同分母分式，叫做分式的通分，这个______的分母叫做几个分式的公分母.
异分母分式的加减
先________，变为同分母的分式，再________．即：±＝____±____＝________.
1.已知,则M＝___________.
2.通分：（1）；（2）.
3.计算.
(1)
;
(2)
;
(3)
;
(4)
.
4.甲、乙二人一个月里两次同时到一家粮油商店买大米,两次大米的价格有变化,但他们两人购买的方式不一样,其中甲每次总是购买相同重量的大米,乙每次只能拿出相同数量的钱来买米,而不管能买多少,问这两种买米方式哪一种更合算？请说明理由.
当堂检测参考答案：
1.x2
2.（1）；
（2）.
3.(1)原式=.
(2)原式=x-y
(3)原式=
.
(4)原式=.
4.设两次大米的单价分别为x元/千克、y元/千克(x＞0,y＞0,x≠y),则甲平均每千克花了元,乙平均每千克花了元.而
( http: / / www.21cnjy.com ),所以乙的购买方式合算.
自主学习
合作探究
当堂检测分式的乘除
第2课时
分式的除法
学习目标：
1.理通过类比分数的除法法则，探索分式的除法法则并运用.
2.能够熟练的进行分式的乘除法混合运算.
学习重点：分式的除法法则.
学习难点：分式的乘除法运算..
知识链接
÷＝____×____＝____，÷＝____×____＝____.
大拖拉机m天耕地a公顷,小拖拉机n天耕地b公顷,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的____________倍.
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二、新知预习
3.我们已经熟悉分数的除法运算，那么怎样进行分式的除法运算呢？
类比分数的除法运算，可知
分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子与分母_________后，与被除式相乘.
由此可知，分式的除法运算时转化为分式的乘法运算进行的.
三、自学自测
1.计算的结果为(
)
A.
B.x2y
C.－x2y
D.－xy
2．计算：
(1)
；
.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：分式的除法
问题1：(1)－3xy÷；(2)(xy－x2)÷.
【归纳总结】先将除法变为乘法，再利用分式的乘法法则进行运算，做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，再约分．
【针对训练】
计算：
.
问题2：先化简，再求值：÷，其中x＝π＋1.
【归纳总结】将除法转化为乘法后约分化简，然后代入求值．
【针对训练】
先化简,然后请你选择一个合适的x的值代入求值:.
问题3：若式子÷有意义，则x的取值范围是(　　)
x≠－2，x≠－4
B．x≠－2
C．x≠－2，x≠－3，x≠－4
D．x≠－2，x≠－3
【归纳总结】在分式的除法中，求字母的取值范围时要使被除式的分母不为0，同时还要使除式的分子、分母不为0.
【针对训练】
若代数式有意义,则x的取值范围是__________．
问题4：老王家种植两块正方形土地，边长
( http: / / www.21cnjy.com )分别为a米和b米(a≠b)，老李家种植一块长方形土地，长为2a米，宽为b米．他们种的都是花生，并且总产量相同，试问老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的多少倍？
【归纳总结】此题考查分式乘除运算的运用，注意理清题意，正确列式计算即可．
【针对训练】
通常购买同一品种的西瓜时
( http: / / www.21cnjy.com )，西瓜的质量越大，花费的钱越多，因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好．假如我们把西瓜都看成球形，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西瓜的皮厚都是d，已知球的体积公式为V＝πR3(其中R为球的半径)，求：
西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少？
(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积比是多少？
探究点2：分式的乘除混合运算
问题1：计算：·÷.
【归纳总结】分式乘除混合运算要注意以下几点：
( http: / / www.21cnjy.com )(1)利用分式除法法则把除法变成乘法；(2)进行约分，计算出结果．特别提醒：分式运算的最后结果是最简分式或整式．
【针对训练】
计算等于(
)
A.a2
B.
C.
D.其他结果
问题2：计算：÷()2·.
【归纳总结】进行分式的乘除、乘方混合运算时，要严格按照运算顺序进行运算．先算乘方，再算乘除．注意结果一定要化成一个整式或最简分式的形式．
【针对训练】
计算：.
问题3：化简求值：()3÷()2·[]2，其中x＝－，y＝.
【归纳总结】先算乘方再算乘除，将原式化为最简形式，是解决此类问题的常用方法．
【针对训练】
化简求值：，其中x=-2.
二、课堂小结
内容
分式的除法
法则
分式除以分式，把除式中的分子、分母____________后，与被除式________．
解题策略
(1)当除式(或被除式)是整式时，可以看做分母是1的式子，然后按分式乘除法法则计算；(2)如果分式的分子、分母是多项式，一般要先将其因式分解，再运算.
乘除混合运算
先将除法统一成乘法，再按从左至右的顺序计算，若有括号要先算括号里面的.
乘方、乘除混合运算
先乘方、再乘除，含有多项式时，通常应先分解因式，能约分的要先约分，再计算.
分式化简求值的方法
(1)先把所给式子化简成最简分式或整式的形式，再将字母的值代入化简后的式子；(2)若题目中给出自主取数值代入求值时，要注意所选取的数值一定要使原分式有意义，即所取数值要使所给式子的分母及除数________0.
1.已知，则M等于
（
）
A.
B.
C.
D.
2.下列计算结果正确的有
（
）
①；②8a2b2=-6a3；③；④a÷b·=a
；
⑤.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3.计算：（1）；（2）.
4..先化简再求值:,其中a满足a2－a＝0.
小明和小华在计算机课上进行打字比赛，小明n小时打了a个字，小华只用了小明打字时间的，结果比小明还多打了，小华的工作效率是小明工作效率的几倍？
当堂检测参考答案：
A
C
(1)原式==;
(2)原式=.
4.原式,
由a2－a＝0得原式＝0－2＝－2.
5.
( http: / / www.21cnjy.com ).
答：小华的工作效率是小华工作效率的2倍.
自主学习
合作探究
当堂检测等腰三角形
第1课时
等腰（边）三角形的认识及性质定理
学习目标：
1.理解等腰三角形和等边三角形的有关概念.
2.借助轴对称图形的性质来理解等腰（边）三角形的性质.
3.能运用等腰（边）三角形的性质解决有关问题.
学习重点：等腰（边）三角形的性质.
学习难点：等腰（边）三角形的性质的运用.
知识链接
三角形按边来分类可分为
三角形和
三角形.
证明两个三角形全等的方法有
、
、
、
.
新知预习
1.如图，把一张长方形的纸片按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特点？
2.有两边相等的三角形叫
，相等的两边叫
，另一边叫
，
两腰的夹角叫
，腰和底边的夹角叫
(请在下图中标出来）
3．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．
4.把上面活动中剪出的△ABC
对折，折痕为AD.找出其中重合的线段和角填入下表：
重合的线段
重合的角
5.你能验证折纸得到的结论吗？试试看.
三、自学自测
如果等腰三角形的一个内角为50°，那么它的另外两个角为_____________
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°
( http: / / www.21cnjy.com )，AD是底边BC上的高，则∠B=
°，∠C=
°，∠BAD=
°，∠CAD=
°.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：等腰三角形的相关概念
例1.已知等腰三角形的周长是14cm，若一边长是6cm，则另外两边长为
.
【归纳总结】遇到等腰三角形的问题时，注意：边有腰与底边之分，角有底角和顶角之分，没有说明的情况下要分类讨论．
【针对训练】一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（　　）
A．12
B．16
C．20
D．16或20
探究点2：等腰三角形的性质
问题：如图，在等腰△ABC中,AB=AC,点D是边BC上一点
已知：AD平分∠BAC．
求证：∠B=∠C，AD⊥BC，BD=DC．
证明：
已知：AD⊥BC．
求证：AD平分∠BAC，BD=DC．
证明：
（3）已知：BD=DC．
求证：AD平分∠BAC,AD⊥BC．
证明：
【总结归纳】
1.等腰三角形的性质定理
（1）等腰三角形的
角相等.（简称“
”）
（2）等腰三角形的
平分线、
中线、
高重合.
（简称“
”）
2.用符号语言表述为：
⑴∵AB=AC，
∴∠
=∠
；
⑵∵AB=AC
，AD⊥BC，∴∠
=∠
，
=
；
⑶∵AB=AC
，
，∴
⊥
，∠BAD=
∠CAD
⑷∵
，AD是顶角的平分线，∴AD⊥BC，
=
例2.如图，△ABC中，AB=AC,BD、CE分别为∠ABC和∠ACB的平分线.
求证：BD＝CE.
【归纳总结】“等边对等角”常用来证明两角相等.注意：应用的时候，两个角必须在同一个三角形中．
【针对训练】
如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F，求证：EC∥DF.
( http: / / www.21cnjy.com )
例3.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠ACB的平分线交AD于点E，求证：点E在∠ABC的平分线上．
【归纳总结】1．“三线合一”是用来证明两角相等、两线段相等及两条直线互相垂直的重要依据.
2．“三线合一”不能逆过来用，即：一个三
( http: / / www.21cnjy.com )角形中，已知三线中的“二线”重合（如高和角平分线重合），那么不能直接说明这个三角形是等腰三角形.但可以通过三角形全等来证明这个三角形是等腰三角形.
【针对训练】
如图，点D,E在△ABC的边BC上,AD=AE,AB=AC,求证：BD=CE．
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探究点3：等边三角形的概念及性质
问题1．三条边都的三角形叫等边三角形．
问题2．等边三角形是特殊的等腰三角形，所以它具备
三角形的所有性质．
问题3．如图，在△ABC中，若AB=BC=CA，
则∠A=
∠B=
∠C=
；
理由是：．
【总结归纳】
等边三角形的性质定理：等边三角形的
角相等，并且每个角都等于
．
例4.如图，若△ABC是等边三角形，AB=6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE=CD，则BE=（
）
A．7
B．8
C．9
D．10
【归纳总结】当题中出现等边三角形时，要充分利用等边三角形的性质，尤其是三边相等，三个内角都为60°.
【针对训练】
已知：如图，l∥m，等边△ABC的顶点B
( http: / / www.21cnjy.com )在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠α的度数为（
）
A．60°
B．45°
C．40°
D．30°
二、课堂小结
内容
等腰三角形
概念
有
相等的三角形叫做等腰三角形.
性质定理
等腰三角形的
相等.（简称“
”）等腰三角形的
、
、
重合.（简称“
”）
等边三角形
概念
三边
的三角形叫做等边三角形.
性质定理
等边三角形的
都相等，并且每个角都等于
.
1．等腰三角形的一个外角等于100°，则与它不相邻的两个内角的度数分别为（　　）
A．40°
40°
B．80°
20°
C．50°
50°
D．50°
50°或80°
20°
2．如图，△ABC中，AE为中线，AD为高，∠BAD=∠EAD．若BC=10cm，则DC=　
　．
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3．如图，在△ABC中，AB=AC，D是△ABC内一点，且BD=DC．求证：∠ABD=∠ACD．
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4.如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．则∠DFC=________度．
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当堂检测实数
第3课时
实数的大小比较及估算
学习目标：
1.复习并巩固实数的概念及分类.
2.掌握实数的大小比较法则和估算.(重点）
学习重点：实数的大小比较.
学习难点：实数的大小比较及估算.
知识链接
下列说法：
①有限小数和无限小数都是有理数。②分数是有理数。③无限小数是无理数④是分数
其中正确的有（
）
A
1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.实数与数轴上的点有什么关系？
答：_______________________________________________________________________.
新知预习
3.如图，将面积分别为2和3的两个正方形
( http: / / www.21cnjy.com )放置在数轴上，使得正方形的一个顶点和原点O重合，一条边恰好落在数轴正方向上，其另一个顶点分别为数轴上的点A和点B.
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我们已经知道AO=，BO=.
我们由这两个正方形的面积大小，能不能得到它们边长的大小？
将面积大小为a和b（a>b）的两个正方形按照上图所示的方式摆放，它们的边长大小和关系是怎样的呢？
一般地，已知两个正数a和b，如果a>b那么_____；反过来如果_____，那么a>b.
数轴上的两个点，_____的点表示的数大于______的点表示的数.
三、自学自测
1.比较下列各组数的大小
（1）
和
;（2）和;
（3）0.5和
;（4）和.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：实数的大小比较
问题1：已知0A．x<B．xC．x2D.【归纳总结】当直接比较大小较困难时，我们可
( http: / / www.21cnjy.com )以采用特殊值法，所取特殊值必须符合两个条件：(1)在字母取值范围内；(2)求值计算简单．而求实数的相反数、倒数、绝对值的方法与求有理数的相反数、倒数、绝对值的方法是一样的．
【针对训练】
已知-1探究点2：实数的估算
问题1：估算－2的值(　　)
A．在1和2之间
B．在2和3之间
C．在3和4之间
D．在4和5之间
【归纳总结】利用被开方数两边比较接近的完全平方数的算术平方根估计这个数的算术平方根的大小．
【针对训练】
1.设，则下列结论正确的是(
)
A.4.5＜a＜5.0
B.5.0＜a＜5.5
Ｃ.5.5＜a＜6.0
D.6.0＜a＜6.5
在两个连续整数和之间，即，那么、的值是
问题2：已知a是的整数部分，b是的小数部分，求(－a)3＋(b＋2)2的值．
【归纳总结】解此题的关键是确定的整数部分和小数部分(用这个无理数减去它的整数部分即为小数部分)．
【针对训练】
1.已知的整数部分为a，小数部分为b，则（1）a+b=
（2）a－b=
.
2.的整数部分为a，小数部分为b，求的值．
二、课堂小结
内容
实数的大小比较
一般地，已知两个正数a和b，如果a>b那么_____；反过来如果_____，那么a>b.数轴上的两个点，_____的点表示的数大于______的点表示的数.
常用方法：①作差比较法；②求值比较法；③移因式于根号内，再比较大小；④利用平方法比较无理数的大小等．
实数的估算
用被开方数两边比较接近的完全平方数的算术平方根估计这个数的算术平方根的大小．
1.比较下列各组里两个数的大小：
2.你能估算它们的大小吗？说出你的方法
（
①②误差小于0.1，③误差小于10，④误差小于1）.
①②③④
3.已知M是满足不等式的所有整数的和，N是满足不等式x≤的最大整数，求M＋N的平方根.
当堂检测参考答案：
①
②
③
④
3.因为，所以整数的值可以为－1、0、1、2，则M＝－1＋0＋1＋2＝2.又因为，所以x≤的最大整数解为2，即N＝2.
所以M＋N的平方根为±2.
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当堂检测实数
第2课时
实数的性质及分类
学习目标：
1.能够根据实数的定义对实数进行分类.(重点）
2.理解实数和数轴上的点成一一对应关系.
3.理解实数的相反数、绝对值、倒数的意义.（难点）
学习重点：实数的分类.
学习难点：实数的相反数、绝对值、倒数的意义.
知识链接
1.在下列各数中，哪些数是有理数，哪些数是无理数？
，0.8482
，—
，
，
，
，0.015.
答：__________________________________________________________________________.
二、新知预习
2.如图，将面积分别为2和3的两个正方形放置
( http: / / www.21cnjy.com )在数轴上，使得正方形的一个顶点和原点O重合，一条边恰好落在数轴正方向上，其另一个顶点分别为数轴上的点A和点B.
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线段OA,OB的长分别是多少？
点A,B在数轴上对应的数分别是哪两个数？
实际上，图中小正方形的边长是________;所以线段OA的长为________.同理，线段OB的长为________与点B对应的数是______________；
由此可知，无理数、可以用数轴上的点来表示.在数轴上，按负方向取点A`，使OA`=OA,则点A'对应的数是—.
同理可知，无理数也可以用数轴上的点来表示.
事实上，每个有理数或无理数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的点表示的数是有理数或无理数.
那么，实数和数轴上的点是什么关系呢？
在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和在
( http: / / www.21cnjy.com )有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义是一样的；例如果a是一个正实数那么—a就是一个
，它们互为
.
的倒数是
.
没有倒数，除
外的任意实数a的倒数为
.︱︱=
，︱-︱=
所以
一个正实数的绝对值是
;
一个负实数的绝对值是
;
0的绝对值是
.
3.思考：实数可以分为哪几类？
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三、自学自测
1.（1）的相反数为
，绝对值为
，倒数是
.
（2）的相反数是
，绝对值为
，倒数是
.
（3）的相反数是
，绝对值为
，倒数是
.
（4）的相反数是
，绝对值为
，倒数是
.
2.有理数、无理数都有正数和负数之分，请将实数按正实数和负实数另行分类.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：实数与数轴上的点
问题1：如图所示，数轴上AB两点表示的数分别是-1和，点C在点B的右侧且AB=BC，求点C所表示的实数.
【归纳总结】本题主要考察了实数与数轴之间的对应关系，两点之间的距离为两数之差的绝对值.
【针对训练】
如图，数轴上点N表示的数可能是(
)
A.
B.
Ｃ.
D.
问题2：如图所示，数轴上AB两地那表示的数分别是和5.1，则AB两点之间表示整数的点共有(
)
A
.6个
B.5个
C.4个
D.3个
【归纳总结】本题要确定两点之间的整数点的个数，也就是需要比较两个端点与邻近整点的大小，牢记数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.
【针对训练】
如图所示，数轴上AB两地那表示的数分别是和5.1，则AB两点之间表示整数的点的和是(
)
A
.6
B.7
C.8
D.9
探究点2：实数的倒数、相反数及绝对值
问题2：实数在数轴上的对应点如图所示，化简：.
【归纳总结】本根据绝对值的意义正确地去绝对值是解题的关键.
【针对训练】
实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示.化简＝________________.
问题1：求下列各数的倒数、相反数和绝对值.
；（2）-；（3）-1+.
【归纳总结】只有符号不同的两个数互为相反数，
( http: / / www.21cnjy.com )求一个数的相反数时，只需要在这个数前面加上“-”号再去括号即可.求一个数的倒数要注意这个数是否为0.求一个数的绝对值，需要分清这个数的正负.
【针对训练】
1.有一个数的相反数、平方根、立方根都等于它本身，这个数是（
）。
A.－1
B.1
C.0
D.±1
2.绝对值是的数是
；的相反数是
,绝对值是
.
探究点3：实数的分类
问题：把下列各数分别填入相应的集合里:
－|－3|，21.3，－1.234，,0，,,,,，3－2，1.212
112
111
2….
(1)无理数集合｛_____________…｝;
(2)负分数集合｛___________…｝;
(3)整数集合｛___________…｝;
(4)非负数集合｛___________…｝.
【归纳总结】正确理解实数和有理数的概念，做到分类比遗漏不重复.
【针对训练】
把下列各数填入相应的集合内：
有理数集合{
…}
无理数集合{
…}
整数集合{
…}
分数集合{
…}
实数集合{
…}
二、课堂小结
内容
实数与数轴
每个有理数或无理数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的点表示的数是有理数或无理数.
实数的倒数、相反数和绝对值
在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和在有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义是一样的.a是一个正实数那么—a就是一个
，它们互为
.
没有倒数，除
外的任意实数a的倒数为
.一个正实数的绝对值是
;一个负实数的绝对值是
;
0的绝对值是
.
实数的分类
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1.判断：
（1）实数不是有理数就是无理数.（
）
（2）无理数都是无限不循环小数.（
）
（3）无理数都是无限小数.（
）
（4）带根号的数都是无理数.（
）
（5）无理数一定都带根号.（
）
（6）两个无理数之积不一定是无理数.（
）
（7）两个无理数之和一定是无理数.（
）
（8）数轴上的任何一点都可以表示实数.（
）
2.两个实数在数轴上的对应点和原点的距离相等，则这两个数(
)
A.一定相等
B.一定不相等
C.相等或互为相反数
D.以上都不对
3.下列各组数中，互为相反数的是(
)
A.－3与
B.|－3|与
C.|－3|与
D.－3与
4．求下列各数的相反数、倒数和绝对值：
当堂检测参考答案：
（1）√（2）√（3）√（4）×（5）×（6）√（7）×（8）√
C
3.D
4.
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自主学习
合作探究
当堂检测三角形的尺规作图
学习目标：
1.了解尺规作图的概念，会用尺规作图法作线段和角.
2.熟悉尺规作图的步骤并能熟练运用作图语言.
3.以三角形全等的判定方法为基础，利用尺规作三角形.(重点）
学习重点：尺规作图的步骤.
学习难点：利用尺规作三角形.
知识链接
如图，已知线段a，b.
求作：线段c，使线段c的长度为线段a，b长度的和.
如图，已知∠1.
求作：∠2，使∠2=2∠1.
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二、新知预习
3.只用直尺（没有刻度）和圆规也可以画出一些图形，这种画图方法被称为尺规作图.
由三角形全等判定可以知道，每一种判定两个三角形全等的条件（_____，_____，_____，_____），都只能作出唯一的三角形.
如图，已知线段a，b，c.
求作：△ABC，使AB=c，BC=a，AC=b.
分析：由作一条线段等于已知线段，能够作出边A
( http: / / www.21cnjy.com )B，即A，B两点确定，而BC=a，AC=b，故以点A为圆心，b为半径画弧长，以点B为圆心，a为半径画弧，两弧的交点就是点C.
作法：
第一步：作线段AB等于c；
第二步：以点A为圆心，以b为半径画弧长；
第三步：一点B为圆心，以a为半径画弧，两弧交于点C；
第四步：连接AC，BC，△ABC即为所求.
自学自测
如图，已知线段a，b.
求作：△ABC，使得CB=a，AC=AB=b.
如图，已知线段a，b，∠1.
求作：△ABC，使得∠BAC=∠1.AB=a，AC=b.
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四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
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要点探究
探究点：用尺规作三角形
问题1：如图，已知线段a，b（a>b），∠α.
求作：△ABC，使得∠A=∠α，AB=a，BC=b.
【归纳总结】判定作出符合要求的三角形，
( http: / / www.21cnjy.com )关键是根据条件确定三角形的三个顶点的位置.解题时候要根据实际情况判断是否存在多个符合题设条件的△ABC.
【针对训练】
已知：线段a、b和∠α，如图所示.
求作：△ABC，使AB=3a，AC=b，∠A=∠α.
问题2：已知：线段a，b，c，如图所示.
求作：△ABC，使得AB=a，AC=b且BC边上的中线AD=c.
【归纳总结】判定作在作较复杂的三角形时，先画草图，从中找出一个较容易作出的三角形，然后以它为基础作所求作的三角形就比较方便了.
【针对训练】
已知：如图所示，已知线段a，b和m.
求作：△ABC，使得BC=a，AC=b，AC上的中线BM=m.
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二、课堂小结
类型
三角形的尺规作图
①已知三边作三角形
②已知两边及其夹角作三角形
③已知两角及其夹边作三角形
④已知两角和其中一角的对边作三角形
下列条件能作一个唯一三角形的是_________（填序号）.
①∠A=65°，∠B=45°，∠C=90°；
②∠A=60°，∠B=60°，∠C=60°；
③AB=4cm，BC=3cm，AC=5cm；
④AB=2cm，BC=5cm，AC=3cm；
如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D，E为两个顶点作三角形，使所作出的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以作出（
）
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A.2个
B.4个
C.6个
D.1个
已知线段b，∠β，如图所示.
求作：△ABC，使得BC=b，∠B=∠C=∠β.
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当堂检测参考答案：
③
B
作法：（1）作线段BC=b；
以B为顶点，射线BC为一边，作∠MBC=∠β，
以C为顶点，射线CB为一边，在BC同侧作∠NCB=∠β；
射线BM，CN交于点A，则△ABC就是所求作的△ABC.
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自主学习
合作探究
当堂检测分式方程
学习目标：
1.理解分式方程的意义，掌握解分式方程的基本思路和解法.（重点）
2.理解分式方程无解及出现增根的原因，掌握分式方程验根的方法.（难点）
学习重点：解分式方程.
学习难点：分式方程无解和增根的情况.
知识链接
1.
下列方程哪些是一元一次方程
一元一次方程的特征是什么？
答：___________________________________________________________________.
二、新知预习
3.完成下面解题过程：
小红家到学校的路程为18km.小红从家去
( http: / / www.21cnjy.com )学校总是先乘坐公共汽车，下车后再步行1km，才能到学校，路途所用时间是1h，已知公共汽车是速度是小红步行速度的9倍，求小红步行的速度.
( http: / / www.21cnjy.com )
上述问题中有哪些等量关系？
答：①_____________________+_______________________=小红上学路上的时间；
②公共汽车的速度=_______________________________.
如果设小红步行的速度为x
km/h
( http: / / www.21cnjy.com )，那么公共汽车的速度为_____
km/h,根据等量关系①，可以得到方程：_______________________________.
如果设小红步行的时间为x
( http: / / www.21cnjy.com )h，那么她乘坐公共汽车的时间为______h，根据等量关系②，可以得到方程：_______________________________.
在（2）（3）中得到的方程与我们学过的一元一次方程有什么不同？这两个方程有哪些共同特点？
答：___________________________________________________________________.
像这样，分母中含有________的方程叫做分式方程.使得分式方程等号两端相等的未知数叫做分式方程的解（也叫做分式方程的根）.
试着解下列分式方程：
；
解：方程两边同乘___________，得
去分母（乘最简公分母）
___________________.
解这个整式方程，得____________.
解整式方程
经检验，__________________________.
验根（原分式方程是否有意义）
.
解：方程两边同乘___________，得
去分母（乘最简公分母）
___________________.
解这个整式方程，得____________.
解整式方程
经检验，__________________________.
验根（原分式方程是否有意义）
像这样，解得的根使得分母的值为0，分式方程______，我们把这样的根叫做分式方程的增根.
NOTE：分式方程可能无解.解分式方程一定要注意验根.
自学自测
1.下列各式中，分式方程是　（　　）A.
B.
C.
D.
2.解分式方程＝3时，去分母后变形为　（　　）
A．2＋(x＋2)＝3(x－1)
B．2－x＋2＝3(x－1)
C．2－
(x＋2)＝3(1－x)
．
D．2－(x＋2)＝3(x－1)
3.若分式的值为零，则x的值是(　　)
A．0
B．1
C．－1
D．－2
4.如果关于x的方程＝无解，那么m的值为(　　)
A．－2
B．5
C．2
D．－3
5.解方程：(1)－1＝；(2)－＝1.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：分式方程的相关概念
问题：
下列关于x的方程中，是分式方程的是(　　)
A.＝
B.＝
C.＋1＝
D.＝1－
【归纳总结】判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母)．
【针对训练】
下列各式中，分式方程是　（　　）
A．
B．
C．
D．
探究点2：分式方程的解法
问题1：
解方程：
(1)＝；(2)＝－3.
【归纳总结】解分式方程的步骤：①去分
( http: / / www.21cnjy.com )母；②解整式方程；③检验；④写出方程的解．注意检验有两种方法，一是代入原方程，二是代入去分母时乘的最简公分母，一般是代入公分母检验．
【针对训练】
解方程：
(1)；(2).
问题2：关于x的方程＝1的解是正数，则a的取值范围是____________．
【归纳总结】求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0.
【针对训练】
当m为何值时，关于x的方程＝－的解是正数．
探究点3：分式方程的增根
问题1：若方程＝＋有增根，则增根可能为(　　)
A．0
B．2
C．0或2
D．1
【归纳总结】增根是使分式方程的分母为0的根．所以判断增根只需让分式方程的最简公分母为0；注意应舍去不合题意的解．
【针对训练】
若关于x的方程＝2有增根，则增根是_____．
问题2：如果关于x的分式方程＝1－有增根，则m的值为(　　)
A．－3
B．－2
C．－1
D．3
【归纳总结】增根是使分式方程的分母为0的根．所以判断增根只需让分式方程的最简公分母为0；注意应舍去不合题意的解．
【针对训练】
当m为何值时，方程＋3＝会产生增根．
问题3：若关于x的分式方程＋＝无解，求m的值．
【归纳总结】分式方程无解与分式方程有增根所表
( http: / / www.21cnjy.com )达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．
【针对训练】
若关于x的方程无解，求a的值.
二、课堂小结
内容
易错提醒
分式方程的相关概念
分母中含有________的方程叫做分式方程.使得分式方程等号两端相等的未知数叫做分式方程的解（也叫做分式方程的根）.
(1)用分式方程中的最简公分母同乘
( http: / / www.21cnjy.com )方程两边，注意不要漏乘没有分母的项，另外得出解后，要注意检验；(2)分式方程无解的两种情况：①将分式方程通过“去分母”变成整式方程后，整式方程是类似“0x＝1”的形式，即整式方程无解；②整式方程求得的根使得原分式方程的最简公分母等于0.
分式方程的解法
(1)去分母：在方程的两边都乘以__
( http: / / www.21cnjy.com )_________，化成整式方程；(2)解这个整式方程：去括号、移项、合并同类项；(3)检验：把解得的根代入______________，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则这个解不是原分式方程的解(使最简公分母为零的根是原方程的增根).
分式方程的增根
解得的根使得分母的值为0，分式方程______，我们把这样的根叫做分式方程的增根.
下列各式中是关于x的分式方程的是_____________________.
①;②;③;④,⑤;
⑥;⑦;⑧;⑨;
⑩
2.解分式方程＝1时，去分母后可得到
(
)
A．x(2＋x)－2(3＋x)＝1
B．x(2＋x)－2＝2＋x
C．x(2＋x)－2(3＋x)＝(2＋x)(3＋x)
D．x－2(3＋x)＝3＋x
3．分式方程＝0的根是
(
)
A．x＝1
B．x＝－1
C．x＝2
D．x＝－2
4．若关于x的分式方程无解，则m的值为
(
)
A．－1，5
B．1
C．－1.5或2
D．－0.5或－1.5
5.若关于x的方程－＝不会产生增根，则m为(　　)
A．m≠0
B．m≠
C．m≠0且m≠－
D．m≠且m≠－
6.解方程：
(1);(2).
7.关于x的方程，当k为何值时，会产生增根？
当堂检测参考答案：
②③④⑥⑧⑨
C
D
D
D
(1)x＝3;(2)x＝－.
x＝－1时k＝3
.
自主学习
合作探究
当堂检测二次根式
第1课时
二次根式的相关概念及应用
学习目标：
1.理解二次根式的概念，能够识别二次根式.
2.根据理解二次根式及二次根式中被开方数的非负性.（难点）
学习重点：二次根式的概念.
学习难点：二次根式及二次根式中被开方数的非负性.
知识链接
1.
若一个正数的平方等于，即，则为
的
,这个正数为
的
.
2.9的平方根是
；9的算术平方根是
.
新知预习
3.（1）2,18，，的算术平方根是怎样表示的？
答：__________________________________________________________________________.
非负数m，p+q，t2-1的算术平方根又是怎样表示的？
答：__________________________________________________________________________.
由（1）（2）中得到是式子有怎样的特点？
答：我们已遇到的
，这样的式子是二次根式.
二次根式满足①一定要
带
,
②在二次根式中，被开方数
.
4.（1）填空（）2=_______；（）2=______；
同理可得：（）2=
，（）2=
，（）2=______，（）2=0，
所以
（）2＝
（其中a≥0）
（2）_____
；=_____
；
=_____
；
=_____
；
____；
=_____
；
=_____
；
=_____
；
总结规律，得出：=
.
自学自测
下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、、（x≥0，y≥0）．
.2.化简（1）
（2）
（3）
（4）
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：二次根式的相关概念
问题1：下列式子中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？
(1)；(2)；(3)；(4)；
(5)(x≥0，y≥0)；(6)；
(7).
【归纳总结】在判断一个代数式是不是二次根式
( http: / / www.21cnjy.com )时，应该在原始形式的基础上进行判断，不能先化简再作判断，如本题＝2，是二次根式，但2不是二次根式.
【针对训练】
下列式子一定是二次根式的是（
）
A.
B.
C.
D.
问题2：当x是多少时，+在实数范围内有意义？
【归纳总结】使一个代数式有意义的未知数的取
( http: / / www.21cnjy.com )值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数是非负数，三是零次幂的底数不为零．
【针对训练】
已知y＝－＋5，则＝________．
探究点2：的应用
问题1：计算：(1)()2；(2)(2)2；(3)(－3)2.
【归纳总结】利用()2(a≥0)计算时，幂的运算法则仍然适用．
【针对训练】
探究点3：的应用
问题1：化简下列二次根式．
(1)；(2)(a≥0，b≥0)；(3).
【归纳总结】(1)若被开方数中含有负
( http: / / www.21cnjy.com )因数，则应先化成正因数，如(3)题．(2)将二次根式尽量化简，使被开方数(式)中不含能开得尽方的因数(因式)，即化为最简二次根式(后面学到)．
【针对训练】
计算的值是___________.
问题2：如图所示为a，b在数轴上的位置，化简2－＋.
【归纳总结】利用化简时，先必须弄清楚被开方数的底数的正负性，计算时应包括两个步骤：①把被开方数的底数移到绝对值符号中；②根据绝对值内代数式的正负性去掉绝对值符号．
【针对训练】
已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为（
）
A.2
B.-8
C.
D.
二、课堂小结
内容
二次根式的概念
形如(a≥0)的式子叫二次根式，根号下的数叫____________．“”称为二次根号，根指数为______，可省略.
二次根式有意义的条件
被开方数(式)为________，即有意义等价于a≥0
二次根式的基本性质
(1)一个非负数的算术平方根的平方等于它________，即：()2＝a(a≥0)；(2)一个数的平方的算术平方根等于它的________．即：＝|a|＝
解题策略
要判别一个式子是不是二次根式(不要将式子化简)一定要具备两个特征：(1)含根号且根指数为2；(2)被开方数为非负数.
1.下列各式中：①，②，③，④，⑤，⑥，一定是二次根式的有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2.已知，那么的值为（
）
A.
－1
B.
1
C.2
D.3
3.为要使二次根式
有意义，x应取
（
）
A.x>1
B.x<1
C.x=1
D.x=-1
4.等式成立的条件是（
）
A.a≥2或a≤-2
B.a≥2
C.a≥-2
D.-2≤a<2
5.计算：
6.已知a，b，c在数轴上的位置如图，化简：.
当堂检测参考答案：
C
A
D
B
5.
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由题意得a所以=-a+a+b+c-a+b+b+c+b=-a+4b+2c.
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当堂检测二次根式的乘除运算
学习目标：
1.掌握二次根式的乘除法法则，会进行简单计算.(重点）
2.运用二次根式的乘除法解决有关实际问题.（难点）
学习重点：二次根式的乘除法法则.
学习难点：运用二次根式的乘除法解决实际问题.
知识链接
1.化简二次根式：(1)________；(2)_______
__；(3)_________.
2.计算下列各式，使得结果的分母中不含有二次根式：
(1)____
；(2)_________；(3)__________；(4)__________.
新知预习
3.（1）二次根式的乘法法则：=
（a≥0，b≥0）.
即两个二次根式相乘，将它们的
相乘，根指数
.
二次根式的除法法则：=
（a≥0，b>0）.
即两个二次根式相除，把被开方数
，根指数
.
计算下列各式：
①；②；③.
解：①=
；②=
；③=
.
NOTE：二次根式运算的结果，应化为最简二次根式.
在解题过中，将分母中含二次根式的式子化为分母中不含二次根式的式子叫做分母有理化.
自学自测
计算下列各式：
；（2）（3）；（4）.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
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要点探究
探究点1：二次根式的乘法
问题1：式子·＝成立的条件是(　　)
A．x≤2
B．x≥－1
C．－1≤x≤2
D．－1＜x＜2
【归纳总结】运用二次根式的乘法法则：·＝(a≥0，b≥0)，必须注意被开方数是非负数这一条件．
【针对训练】
式子成立的条件是(　　)
A．x≥2
B．x≥6
C．2≤x≤6
D．x为任意实数
问题2：计算：
(1)×；(2)9×(－)；
(3)·2·(－)；(4)2a·(－)·(a≥0，b≥0)．
【归纳总结】二次根式与二次根式相乘时，可类
( http: / / www.21cnjy.com )比单项式与单项式相乘，把系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘．最后结果要化为最简二次根式，计算时要注意积的符号．
【针对训练】
计算：
（1）；（2）.
探究点2：二次根式的除法
问题1：计算：
；　(2)；　(3)；(4)÷(－)(a＞0，b>0)．
【归纳总结】①二次根式的除法运算，
( http: / / www.21cnjy.com )可以类比单项式的除法运算，当被除式或除式中有负号时，要先确定商的符号．②二次根式相除，根据除法法则，把被开方数与被开方数相除，转化为一个二次根式．③二次根式的除法运算还可以与商的算术平方根的性质结合起来，灵活选取合适的方法．④最后结果要化为最简二次根式．
【针对训练】
计算：
（1）；（2）.
问题2：计算：
(1)3×÷(－5)；(2)÷×12.
【归纳总结】二次根式的乘除混合运算，与有理数的乘除混合运算一样，按从左到右的顺序进行，也可以先统一为乘法运算，再进行运算．
【针对训练】
计算：
（1）；（2）.
二、课堂小结
内容
二次根式的乘法
两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数______．
二次根式的除法
两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数________．
分母有理化
概念：化去分母中根号的变形.
方法：利用分式的基本性质，分子与分母同乘以分母的有理化因式，化去分母的根号，结果化为最简分式．分母的有理化因式不唯一，以运算最简为宜.
解题策略
1.多个二次根式相乘：可将根号前的系数对应相乘，再将被开方数对应相乘后开方化简．多个二次根式相乘可适当交换它们的位置使运算简便.2.如果被开方数是带分数，应先将它化成假分数；如果是几个二次根式相除，应按除法法则依次计算，也可以把除法运算转化为乘法运算.
1.若成立，则下列结论正确的是（
）
A.x≥6
B.0≤x≤6
C.x≥0
D.x为任意实数
2.若等式成立，则字母m的取值范围是__________.
已知某长方体的体积为cm3，长为cm，宽为cm，求长方体的高为_______cm．
4.计算下列各式：
5.小明的爸爸做了一个长为cm，宽为cm的矩形木板，还想做一个与它面积相等的圆形木板，请你帮他计算一下这个圆的半径．
当堂检测参考答案：
A
m>1
5.设圆的半径为rcm.
因为矩形木板的面积为×＝168π(cm)2.
所以πr2＝168π，r＝(cm)(r＝－舍去)．
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当堂检测