北京版2024·八年级上册
二、分式的运算
10.4 分式的加减法
第一课时 分式的加减法
第十章 分式
学 习 目 标
1
2
3
掌握同分母分式加减法的运算法则并能熟练计算.
理解异分母分式加减法的通分原理，掌握通分方法.
能够正确进行异分母分式的加减运算.
知识回顾
1.分数加减法复习:
同分母分数加减：分母不变，分子相加减
例：27+37=57
?
异分母分数加减：先通分，再加减
例：12+13=36+26=56
?
知识回顾
2.分式的基本性质回顾:
分式的分子分母同时乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变。用式子表示为：
????????=????×????????×???? （M≠0）
?
????????=????÷????????÷???? （M≠0）
?
情景导入
"同学们，我们在小学就学过分数的加减法，现在学习了分式，你们觉得分式的加减法和分数的加减法有什么相似之处吗？能否用类似的方法进行分式的加减运算呢？"
新知讲解
我们可以像做分数的加减运算那样进行分式的加减运算：
(1)类比同分母分数的加减运算，进行同分母分式的加减运算：
37+17=
?
25?35=
?
47
?
- 15
?
12????+????2????=
?
2?????????3????????=
?
1+????2????
?
- ????????
?
同分母的分式相加减步骤:
分母不变
分子相加减
新知讲解
我们可以像做分数的加减运算那样进行分式的加减运算：
(2)类比异分母分数的加减运算，进行异分母分式的加减运算：
12+13=
?
14?23=
?
36+26=56
?
12????+13????=
?
1?????1????=
?
异分母的分式相加减步骤:
先通分化为同分母分式
再进行加减
312?812=?512
?
36????+26????=56????
?
?????????????????????????=?????????????????
?
新知讲解
12????+13????=
?
1?????1????=
?
36????+26????=56????
?
?????????????????????????=?????????????????
?
通过以上分数与分式加减运算的类比，我们可以得到：
在不改变分式值的情况下，把几个异分母的分式化为同分母的分式的变形，叫作通分.
新知讲解
法则归纳
分式加减法的运算法则
同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减。
上述法则可用式子表示为
新知讲解
法则归纳
分式加减法的运算法则
异分母的分式相加减，先通分化为同分母分式，再进行加减运算。
上述法则可用式子表示为
典例解析
例1 计算：
(1)?????1????+1+????+1????+1
?
观察分母：两个分式分母相同，都是(a+1)
解：原式=
运算法则：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减。
(?????1)+(????+1)????+1
?
直接分子相加：（b-1）+(c+1)
= ?????1+????+1????+1
?
合并同类项：b-1+c+1=b+c
= ????+????????+1
?
保持分母不变
典例解析
例1 计算：
(1)?????1????+1+????+1????+1
?
解：原式=
运算法则：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减。
(?????1)+(????+1)????+1
?
= ?????1+????+1????+1
?
= ????+????????+1
?
方法点拨
确认分母相同后直接分子相加减
注意分子是多项式时要加括号
合并同类项时要仔细
典例解析
例1 计算：
(2)????2?????????+????2?????????
?
观察分母：(a-b)和(b-a)是相反数关系
解：原式=
运算法则：异分母的分式相加减，先通分化为同分母分式，再进行加减运算。
????2??????????????2?????????
?
统一分母：将第二个分式变形为：-????2?????????
?
= ????2?????2?????????
?
分子相减：????2?????2?????????
?
= （????+????）(?????????)?????????
?
因式分解：（????+????）(?????????)?????????
?
典例解析
例1 计算：
(2)????2?????????+????2?????????
?
解：原式=
运算法则：异分母的分式相加减，先通分化为同分母分式，再进行加减运算。
????2??????????????2?????????
?
= ????2?????2?????????
?
= （????+????）(?????????)?????????
?
方法点拨
识别分母关系（相同、相反、不同）
处理相反分母时注意符号变化
结果要化为最简形式
典例解析
例1 计算：
(3)????3????(?????????)2?????5????(?????????)
?
1.确定最简公分母
系数：3、5
字母部分：x、y、（x-y）2、（y-x）
所以公分母为：15xy(x-y)2
运算法则：异分母的分式相加减，先通分化为同分母分式，再进行加减运算。
典例解析
例1 计算：
(3)????3????(?????????)2?????3????(?????????)
?
2.第一个分式通分
原分母：3x(x-y)2
需要乘5y:????×5????3????(?????????)2×5????=5????25????????(?????????)2
?
运算法则：异分母的分式相加减，先通分化为同分母分式，再进行加减运算。
典例解析
例1 计算：
(3)????3????(?????????)2?????5????(?????????)
?
3.第二个分式通分：
原分母：5y(y-x) = -5y(x-y)
需要乘以3x(x-y)：????×3????(?????????)?3????(?????????)×3????(?????????)=3????2(?????????)?15????????(?????????)2
?
运算法则：异分母的分式相加减，先通分化为同分母分式，再进行加减运算。
典例解析
例1 计算：
(3)????5????(?????????)2?????3????(?????????)
?
运算法则：异分母的分式相加减，先通分化为同分母分式，再进行加减运算。
解：原式=
5????215????????(?????????)2
?
3????2(?????????)15????????(?????????)2
?
-
通分化为同分母
5????2?3????2(?????????)15????????(?????????)2
?
=
统一分母，分子相减
5????2?3????3?3????2????15????????(?????????)2
?
=
分子去括号，合并同类项
典例解析
例1 计算：
(3)????5????(?????????)2?????3????(?????????)
?
运算法则：异分母的分式相加减，先通分化为同分母分式，再进行加减运算。
解：原式=
5????215????????(?????????)2
?
3????2(?????????)15????????(?????????)2
?
-
5????2?3????2(?????????)15????????(?????????)2
?
=
5????2?3????3?3????2????15????????(?????????)2
?
=
方法点拨
确定最简公分母的步骤
处理(x-y)和(y-x)的关系
通分后保持分式值不变
课堂练习
1.计算：
（1）????????+????????= __;
（2）?????????????????????????????????= ____;
（3）????+??????????????????????????????= __;
（4）????+????????????????+?????????????????????= ___.
?
????????
?
?????????????????????
?
????????
?
????????????
?
课堂练习
2.计算：
（1）?????????????????+????????????? ；
?
解：原式=???????????????????????????????=??????????????????????=??????????????????????=???? .
?
（2）????????????+??????????????????+???? .
?
解：原式=?????????????+????????+????=????????+????????+????=????????+????????+????=???? .
?
课堂练习
3.计算:
解：(1)原式=
(2)原式=
课堂练习
4.先化简，再求值：： ，其中x＝2016.
课堂练习
5.先化简，再求值：?????????????????+???????????????????????????,其中????=???? .
?
解：原式=?????????????????????+???????????????????????????????????+?????????????
=?????????????????+?????????????+????????????????+?????????????
=????+????????????+?????????????
=????????????????? .
当????=????时，原式=????????×?????????=???????? .
?
课堂总结
知识要点：
同分母分式加减：分母不变，分子相加减
异分母分式加减：先通分，再加减
通分关键：确定最简公分母
课堂总结
注意事项：
分子是多项式时要加括号
处理相反分母时的符号变化
结果要化为最简形式
思想方法：
类比思想（分式与分数）
转化思想（异分母→同分母）
感谢聆听!
