10.5 分式方程 第1课时 分式方程及其解法 教学课件【26张PPT】初中数学北京版（2024）八年级上册

北京版2024·八年级上册
三、分式方程
10.5 分式方程
第一课时 分式方程及其解法
第十章 分式
学 习 目 标
1
2
3
识别分式方程特征（分母含未知数）.
掌握分式方程解法（去分母→解整式方程→检验）.
理解增根产生原因及检验必要性.
知识回顾
解整式方程:
?????12+????+13 =1
?
通分，方程两边同时乘最简公分母6
解：?????12×6+????+13×6 =1×6
?
约分去分母
3（x-1）+2(x+1)=6
去括号
3x-3+2x+2=6
移项、合并同类项
5x=7
系数化为1
x=75
?
知识回顾
解整式方程:
?????12+????+13 =1
?
x-1
x
若将分母改为 x-1 和 x，即?????1?????1+????+1???? =1还是整式方程吗？
?
小明
改变后，分母含有未知数
分母含有未知数的方程该叫什么方程呢？
情景导入
问题：对于章前页中的问题，如果长方形花坛的面积100m不变，把原长延长5m后，宽变为原来的45，那么原长是多少米?你能通过列方程解决吗?
?
分析：已知长方形的面积为100m?.
(1)如果原长为xm,那么原宽为 ；
宽=面积长
?
100????
?
(2)如果把原长延长5m,那么现在的长为 ；
x+5
100????+5
?
情景导入
问题：对于章前页中的问题，如果长方形花坛的面积100m不变，把原长延长5m后，宽变为原来的45，那么原长是多少米?你能通过列方程解决吗?
?
分析： (2)如果把原长延长5m,那么现在的长为 ；
x+5
100????+5
?
现在的宽可以有几种表示方法?
100????+5
?
45×100????
?
新知探究
改造后的宽：
100????+5=45×100????①
?
思考与交流
方程①与我们以前所学过的方程有什么不同，它还是一元一次方程吗？
分母含有未知数
方程①不是整式方程，因为在方程里含有分式.这种分母里含有未知数的方程叫作分式方程.
新知探究
类此一元一次方程的求解过程来研究分式方程的解法:
?????12+????+13 =1
?
解：?????12×6+????+13×6 =1×6
?
3（x-1）+2(x+1)=6
3x-3+2x+2=6
5x=7
x=75
?
????+1?????1?1???? =1
?
通分，方程两边同时乘最简公分母x(x-1)
????+1?????1×????(?????1)?1????×????(?????1) =1×????(?????1)
?
约分去分母
????(????+1)?(?????1) =????(?????1)
?
去括号
????2+?????????+1 =????2?????
?
移项、合并同类项
???? =?1
?
新知探究
????+1?????1?1???? =1
?
把x=-1分别代入原方程的左、右两边检验：
左边=????+1?????1?1???? =?1+1?1?1?1?1=1
?
右边=1
?
所以左边=右边.
所以原方程的解是x=-1.
新知探究
思考与交流
1.上面两个方程的求解过程中，去分母时所乘的式子有什么不同?
整式方程
①分母为纯数字（如 2 和 3），乘的是分母的 最小公倍数（此处为 6）。
②目的是将分数系数转化为整数系数。
分式方程
①分母含未知数（如 x-1和 x），乘的是 最简公分母（此处为 x(x-1)）。
②目的是消去所有分母，将方程转化为整式方程。
风险：所乘的最简公分母 可能为零，导致产生增根（需检验）
新知探究
思考与交流
2.解整式方程和解分式方程有什么相同点和不同点?
目标一致：通过变形将方程化为简单形式求解。
核心操作：都需去分母（整式方程消数字分母，分式方程消含字母分母）。
解法基础：去分母后均转化为整式方程求解（移项、合并同类项等）。
相同点：
新知探究
不同点：
{6D9112C6-5468-41CB-99AE-1E13A1A3DA1D}对比项
整式方程
分式方程
分母性质
去分母方式
解的验证
风险点
分母为常数
分母为未知数
乘常数最小公倍数
乘含未知数的最简公分母
无需额外检验
必须检验（可能产生增根）
无增根
增根（使最简公分母=0的解无效）
2.解整式方程和解分式方程有什么相同点和不同点?
新知探究
思考与交流
3.解分式方程的步骤是什么?
1. 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
2. 解这个整式方程.
3. 把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去。
4. 写出原方程的根.
简记为：“一化二解三检验”.
典例解析
例1 解方程
解： 方程两边乘x(x-3),得
2x=3x-9.
解得
x=9.
检验：当x=9时，x(x-3) ≠0.
所以，原分式方程的解为x=9.
典例解析
例2 解方程
解：方程两边乘(x-1)(x+2),得
x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.
解得
x=1.
检验：当x=1时， (x-1)(x+2) =0, 因此x=1是原方程的增根，不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
典例解析
归纳小结
解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母” 即方程两边同乘最简公分母.
典例解析
用框图的方式总结为：
分式方程
整式方程
去分母
解整式方程
x =a
检验
x =a是分式
方程的解
x =a不是分式
方程的解
x =a
最简公分母是
否为零？
否
是
课堂练习
1.下列方程中,不是分式方程的是( )
C
A. ????????+????=???? B. ????????=?????????????
C. ????????=???? D. ?????????????=?????????????????
?
课堂练习
2.将分式方程1x=2x?2 去分母后得到的整式方程是( )
?
A
A. ?????????=???????? B. ?????????????????=????????
C. ?????????=???? D. ????=?????????????
?
课堂练习
3. 解分式方程 时，去分母后得到的整式方程是（ ）
A.2(x-8)+5x=16(x-7) B.2(x-8)+5x=8
C.2(x-8)-5x=16(x-7) D.2(x-8)-5x=8
A
课堂练习
4．若关于x的分式方程 无解，则m的值为 ( )
A．－1，5 B．1
C．－1.5或2 D．－0.5或－1.5
D
课堂练习
5.解方程：???????????????????????????=????? .
?
解：方程两边乘?????????，得????+????=?????????????? .
解得????=???????? .
检验：当????=????????时，?????????≠???? .
∴ 原分式方程的解是????=???????? .
?
典例解析
6.已知关于????的方程?????????????????+?????????????=????? .
?
（1）当????=???? 时，方程的解为________；
?
????=?????????
?
（2）当???? 取何值时，此方程无解？
?
解：去分母，得????????+????=?????????+???? .
解得????=????????????? .
∵ 方程无解,
∴?????????????=????,解得????=????? .
?
新知探究
（3）当此方程的解是正数时，求???? 的取值范围.
?
解：∵????>???? ，
∴?????????????>????,解得????∵????≠???? ，
∴????≠????? .
综上所述，?????
课堂总结
方法口诀：
一分二解三检验，
去分母时括号全，
增根产生分母零，
规范步骤保周全
分式方程的解法
去分母为整式方程
确定最简公分母
验根防增根
分子整体乘
代入原分母
为0则舍去
感谢聆听!