第三章 指数运算与指数函数
§1 指数幂的拓展 §2 指数幂的运算性质
1.下列各式正确的是（ ）
A.＝－3 B.＝a
C.＝2 D.＝2
2.2＋1－－＝（ ）
A.3 B.6
C. D.15
3.化简 ÷（a＞0）＝（ ）
A. B.
C.1 D.
4.计算（2a－3）·（－3a－1b）÷（4a－4）得（ ）
A.－b2 B.b2
C.－ D.
5.设－＝m，则＝（ ）
A.m2－2 B.2－m2
C.m2＋2 D.m2
6.（多选）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A.－＝（－x（x＞0）
B.＝（y＞0）
C.＝（x＞0，y＞0）
D.＝－（x＞0）
7.化简＝ .
8.已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两个根，且a＞b＞0，则的值为 .
9.设a2＝b4＝m（a＞0，b＞0），且a＋b＝6，则m＝ .
10.化简下列各式（式中的字母都是正实数）：
（1）；
（2）÷；
（3）（＋）.
11.已知ab＝－5，则a＋b＝（ ）
A.2 B.0
C.－2 D.±2
12.（多选）已知a＋a－1＝3，则下列选项中正确的有（ ）
A.a2＋a－2＝7 B.a3＋a－3＝16
C.＋＝± D.＋＝2
13.若ex，ey的几何平均值为e（e是自然对数的底数），则x2，y2的算术平均值的最小值为 .
14.已知函数f（x）＝（a＞0，a≠1，a为常数，x∈R）.
（1）若f（m）＝6，求f（－m）的值；
（2）若f（1）＝3，求f（2），f的值.
15.化简：（1＋）（1＋）（1＋）（1＋）（1＋）＝ .
16.已知ax3＝by3＝cz3，且＋＋＝1，求证：（ax2＋by2＋cz2＝＋＋.
1 指数幂的拓展
2 指数幂的运算性质
1.C 由于＝3，＝｜a｜，＝－2，故A、B、D错误.
2.A 原式＝（33＋（42－（2－1）－2－＝9＋4－1－4－＝9＋－4－＝9－6＝3.
3.D 原式＝÷＝＝.故选D.
4.A 原式＝＝－b2.
5.C 将－＝m两边平方，得＝m2，即a－2＋a－1＝m2，所以a＋a－1＝m2＋2，即a＋＝m2＋2，所以＝m2＋2.
6.BC 对于A，－＝－（x＞0），故错误；对于B，＝（y＞0），故正确；对于C，＝（x＞0，y＞0），故正确；对于D，＝（x＞0），故错误.故选B、C.
7.1 解析：原式＝＝＝＝1.
8. 解析：∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两个根，∴∵a＞b＞0，∴＞.∵（）2＝＝＝＝，∴＝＝.
9.16 解析：因为a2＝b4＝m（a＞0，b＞0），所以a＝b2.由a＋b＝6得b2＋b－6＝0，解得b＝2或b＝－3（舍去），所以m＝24＝16.
10.解：（1）＝＝m2n－3＝.
（2）原式＝[－3×4÷（－2）]·＝6a0b0＝6.
（3）原式＝（＋）＝（＋）＝（－）（＋）＝（）2－（）2＝x－y.
11.B 由题意知ab＜0，a＋b＝a＋b＝a＋b＝a＋b＝0，故选B.
12.AD ∵a＋a－1＝3，∴a2＋a－2＝（a＋a－1）2－2＝32－2＝7，因此A正确；a3＋a－3＝（a＋a－1）·（a2＋a－2－1）＝3×（7－1）＝18，因此B不正确；∵（＋）2＝a＋a－1＋2＝3＋2＝5，a＞0，∴＋＝，因此C不正确；∵a＋＝（a＋a－1－1）（＋）＝2，因此D正确.故选A、D.
13.1 解析：由已知条件可得ex·ey＝ex＋y＝e2，所以x＋y＝2，由基本不等式可得x2＋y2≥2xy，即2（x2＋y2）≥x2＋y2＋2xy＝（x＋y）2＝4，所以≥1，当且仅当x＝y＝1时，等号成立.因此，x2，y2的算术平均值的最小值为1.
14.解：（1）∵f（m）＝6，∴＝6，
∴f（－m）＝＝6.
（2）∵f（1）＝3，∴＝3，∴a＋a－1＝6，
∴f（2）＝＝＝17.
∵＝a＋a－1＋2＝8，
∴＋＝2，
∴f＝＝.
15.2－ 解析：原式＝××××××2＝×××××2＝××××2＝×××2＝××2＝×2＝2－.
16.证明：令ax3＝by3＝cz3＝t，则ax2＝，by2＝，cz2＝，因为＋＋＝1，所以＋＋＝t，即ax2＋by2＋cz2＝t.所以（ax2＋by2＋cz2＝＝＝＋＋＝＋＋.
2 / 2第三章 指数运算与指数函数
§1 指数幂的拓展 §2 指数幂的运算性质
新课程标准解读 核心素养
通过对有理数指数幂（a＞0，且a≠1；m，n为整数，且n＞0），实数指数幂ax（a＞0，且a≠1；x∈R）含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质 数学抽象、数学运算
薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它侵害田地的面积S（单位：hm2）与年数t（单位：年）满足关系式S＝S0·1.057t，其中S0（单位：hm2）为侵害面积的初始值.如果求10年后侵害的面积，则S＝S0·1.05710；如果求15.5年后侵害的面积，就需要计算S＝S0·1.05715.5.
【问题】 这个指数运算与初中所学的指数运算有什么差异呢？
知识点一 n次方根
定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫作a的 ，其中n＞1，且n∈N＋
性质 n是 奇数 a＞0 x＞0 x仅有一个值，记为
a＜0 x＜0
n是 偶数 a＞0 x有两个值，且互为相反数，记为
a＜0 x在实数范围内不存在
【想一想】
正数a的n次方根一定有两个吗？
知识点二 根式
1.定义：式子 叫作根式，这里n叫作 ，a叫作 .
2.性质（n＞1，且n∈N＋）：
（1）（）n＝ ；
（2） ＝
提醒 与（）n的区别：①是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制；②（）n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶决定.其算法是对a先开方，再乘方（都是n次），结果恒等于a.
知识点三 指数幂及其运算性质
1.正分数指数幂
（1）定义：给定正数a和正整数m，n（n＞1，且m，n互素），若存在唯一的正数b，使得 ，则称b为a的次幂，记作b＝.这就是正分数指数幂；
（2）性质：①当k是正整数时，分数指数幂满足：＝ ；②＝ .
2.负分数指数幂
给定正数a和正整数m，n（n＞1，且m，n互素），定义＝ ＝ .
提醒 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
3.无理数指数幂
一般地，给定正数a，对于任意的正无理数α，规定：a－α＝.
4.指数幂的运算性质
（1）aα·aβ＝ （a＞0，α，β∈R）；
（2）（aα）β＝ （a＞0，α，β∈R）；
（3）（ab）α＝ （a＞0，b＞0，α∈R）.
提醒 （1）分数指数幂不可理解为个a相乘，它是根式的一种写法；（2）正数的负分数指数幂总表示正数，而不是负数；（3）把根式 化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分；（4）在幂和根式的化简运算中，一般将根式化为分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质进行计算.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）＝3－π.（ ）
（2）的运算结果是±2.（ ）
（3）可以写成.（ ）
（4）[（a3）2·（－b2）3]3＝－a18b18.（ ）
2.可化为（ ）
A. B.
C. D.
3.若10α＝2，10β＝3，则10α＋β＝ ，10α－β＝ ，10－3α＝ .
题型一 根式与分数指数幂的互化
【例1】 将下列根式化成分数指数幂的形式：
（1）·；
（2） ；
（3）·；
（4）（）2·.
尝试解答
通性通法
根式与分数指数幂互化的规律
（1）根指数分数指数的分母，被开方数（式）的指数分数指数的分子；
（2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题.
【跟踪训练】
1.计算 的结果为（ ）
A.8 B.4
C.2 D.
2.用分数指数幂表示为（ ）
A. B.
C. D.a
题型二 指数幂的运算
【例2】 计算下列各式：
（1）＋（0.002－10（－2）－1＋（－）0；
（2）（a－2b－3）·（－4a－1b）÷（12a－4b－2c）；
（3）（×；
（4）（.
尝试解答
通性通法
指数幂运算的解题通法
（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；
（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；
（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数；
（4）若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式，指数中的根式可以保留直接运算；
（5）运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一.
【跟踪训练】
计算下列各式（式中的字母都是正实数）：
（1）0.02＋－；
（2）÷；
（3）（；
（4）a－π.
题型三 条件求值问题
【例3】 已知＋＝，求下列各式的值：
（1）a＋a－1；
（2）a2＋a－2.
尝试解答
【母题探究】
（变设问）在本例条件下，则a2－a－2＝ .
通性通法
解决条件求值问题的一般方法
对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值.但有时字母的取值未知或不易求出，这时可将所求代数式恰当地变形，构造出与已知条件相同的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值.利用“整体代入法”求值时常用的变形公式如下：
（1）a±2＋b＝；
（2）a－b＝；
（3）＋＝；
（4）－＝（其中a＞0，b＞0）.
【跟踪训练】
1.已知＋＝4，则＝（ ）
A.2 B.4
C.14 D.16
2.已知x＋y＝12，xy＝9，且x＜y，求的值.
1.已知：n∈N，n＞1，那么＝（ ）
A.5 B.－5
C.－5或5 D.不能确定
2.化简[的结果为（ ）
A.5 B. C.－ D.－5
3.设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝ ，（2α）β＝ .
4.化简 ·· （m＞0）＝ .
5.化简（x＞0）的结果是 .
§1 指数幂的拓展
§2 指数幂的运算性质
【基础知识·重落实】
知识点一
n次方根 ±
想一想
提示：不一定.当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，且互为相反数.当n为奇数时，正数a的n次方根只有一个且仍为正数.
知识点二
1. 根指数 被开方数 2.（1）a （2）a ｜a｜
知识点三
1.（1）bn＝am （2）① ② 2. 4.（1）aα＋β （2）aαβ （3）aαbα
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）√ （4）√
2.C ＝＝.
3.6 解析：10α＋β＝10α·10β＝2×3＝6.10α－β＝＝.10－3α＝（10α）－3＝2－3＝.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）·＝·＝.
（2）原式＝··＝.
（3）原式＝·＝.
（4）原式＝（）2··＝.
跟踪训练
1.A 由题意可得＝1＝（24＝23＝8.故选A.
2.A ＝＝＝，故选A.
【例2】 解：（1）原式＝（－1×＋－＋1＝＋50－10（＋2）＋1＝＋10－10－20＋1＝－.
（2）原式＝－4a－2－1b－3＋1÷（12a－4b－2c）＝－·a－3－（－4）·b－2－（－2）c－1＝－ac－1＝－.
（3）原式＝［（23×
＝（23×＝23×3＝24.
（4）原式＝（＝（＝＝＝.
跟踪训练
解：（1）0.02＋－＝（0.33＋－＝0.09＋－＝0.09.
（2）原式＝[2×（－6）÷（－3）]＝4ab0＝4a.
（3）原式＝（·＝26·m3＝64m3.
（4）原式＝＝a0＝1.
【例3】 解：（1）将＋＝两边平方，
得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3.
（2）将a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，
即a2＋a－2＝7.
母题探究
±3 解析：令y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝（a2＋a－2）2－4＝72－4＝45，∴y＝±3，即a2－a－2＝±3.
跟踪训练
1.C 因为＋＝4，所以（＋）2＝42，即a＋a－1＋2＝16，所以a＋a－1＝14，所以＝＝a＋a－1＝14，故选C.
2.解：∵x＋y＝12，xy＝9，
∴（x－y）2＝（x＋y）2－4xy＝122－4×9＝108.
∵x＜y，∴x－y＝－6.
∴＝
＝＝＝－.
随堂检测
1.A ＝＝5.
2.B [＝（＝＝.
3. 解析：由根与系数的关系得α＋β＝－2，αβ＝，则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝，（2α）β＝2αβ＝.
4.1 解析：原式＝··＝＝m0＝1.
5.x 解析：由题意得＝＝＝x.
4 / 5(共57张PPT)
§1 指数幂的拓展
§2 指数幂的运算性质
新课程标准解读 核心素养
数学抽象、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它侵害田地
的面积 S （单位：hm2）与年数 t （单位：年）满足关系式 S ＝
S0·1.057 t ，其中 S0（单位：hm2）为侵害面积的初始值.如果求10年后
侵害的面积，则 S ＝ S0·1.05710；如果求15.5年后侵害的面积，就需要
计算 S ＝ S0·1.05715.5.
【问题】 这个指数运算与初中所学的指数运算有什么差异呢？
知识点一 n 次方根
定
义 一般地，如果 xn ＝ a ，那么 x 叫作 a 的 ，其中 n ＞
1，且 n ∈N＋ 性
质 n 是
奇数 a ＞0 x ＞0 x 仅有一个值，记为
a ＜0 x ＜0 n 是
偶数 a ＞0 x 有两个值，且互为相反数，记为 a ＜0 x 在实数范围内不存在 n 次方根
±
【想一想】
正数 a 的 n 次方根一定有两个吗？
提示：不一定.当 n 为偶数时，正数 a 的 n 次方根有两个，且互为相反
数.当 n 为奇数时，正数 a 的 n 次方根只有一个且仍为正数.
知识点二 根式
2. 性质（ n ＞1，且 n ∈N＋）：
根指数
被开方数
（1）（ ） n ＝ ；
（2） ＝
a
提醒 与（ ） n 的区别：① 是实数 an 的 n 次方根，是一个恒有意义的式子，不受 n 的奇偶限制，但这个式子的值受 n 的奇偶限制；②（ ） n 是实数 a 的 n 次方根的 n 次幂，其中实数 a 的取值由 n 的奇偶决定.其算法是对 a 先开方，再乘方（都是 n 次），结果恒等于 a .
知识点三 指数幂及其运算性质
1. 正分数指数幂
（1）定义：给定正数 a 和正整数 m ， n （ n ＞1，且 m ， n 互素），
若存在唯一的正数 b ，使得 ，则称 b 为 a 的 次
幂，记作 b ＝ .这就是正分数指数幂；
（2）性质：①当 k 是正整数时，分数指数幂 满足：
＝ ；② ＝ .
bn ＝ am
2. 负分数指数幂
给定正数 a 和正整数 m ， n （ n ＞1，且 m ， n 互素），定义
＝ ＝ .
提醒 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
3. 无理数指数幂
一般地，给定正数 a ，对于任意的正无理数α，规定： a－α＝ .
4. 指数幂的运算性质
（1） aα· aβ＝ （ a ＞0，α，β∈R）；
（2）（ aα）β＝ （ a ＞0，α，β∈R）；
（3）（ ab ）α＝ （ a ＞0， b ＞0，α∈R）.
提醒 （1）分数指数幂 不可理解为 个 a 相乘，它是根
式的一种写法；（2）正数的负分数指数幂总表示正数，而不
是负数；（3）把根式 化成分数指数幂的形式时，不要
轻易对 进行约分；（4）在幂和根式的化简运算中，一般将
根式化为分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质进行计算.
aα＋β
aαβ
aα bα
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1） ＝3－π. （ × ）
（2） 的运算结果是±2. （ × ）
（3） 可以写成 . （ √ ）
（4）[（ a3）2·（－ b2）3]3＝－ a18 b18. （ √ ）
×
×
√
√
2. 可化为（ ）
A.
C. D.
解析： ＝ ＝ .
3. 若10α＝2，10β＝3，则10α＋β＝ ，10α－β＝ ，10－3α＝ .
解析：10α＋β＝10α·10β＝2×3＝6.10α－β＝ ＝ .10－3α＝
（10α）－3＝2－3＝ .
6
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 根式与分数指数幂的互化
【例1】 将下列根式化成分数指数幂的形式：
（1） · ；
解： · ＝ · ＝ .
（2） ；
解：原式＝ · · ＝ .
（3） · ；
解：原式＝ · ＝ .
（4）（ ）2· .
解：原式＝（ ）2· · ＝ .
通性通法
根式与分数指数幂互化的规律
（1）根指数 分数指数的分母，被开方数（式）的指
数 分数指数的分子；
（2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后
利用有理数指数幂的运算性质解题.
【跟踪训练】
1. 计算 的结果为（ ）
A. 8 B. 4 C. 2
解析： 由题意可得 ＝1 ＝（24 ＝23＝8.故选A.
2. 用分数指数幂表示为（ ）
A.
C. D. a
解析： ＝ ＝ ＝ ，故选A.
题型二 指数幂的运算
【例2】 计算下列各式：
（1） ＋（0.002 －10（ －2）－1＋（ － ）0；
解：原式＝（－1 × ＋ － ＋1＝
＋50 －10（ ＋2）＋1＝ ＋10 －10 －20＋1＝－ .
（2）（ a－2 b－3）·（－4 a－1 b ）÷（12 a－4 b－2 c ）；
解：原式＝－4 a－2－1 b－3＋1÷（12 a－4 b－2 c ）＝－ · a－3－（－
4）· b－2－（－2） c－1＝－ ac－1＝－ .
（3）（ × ；
解：原式＝［（23 ×
＝（23 × ＝23×3＝24.
（4）（ .
解：原式＝（ ＝（ ＝ ＝ ＝ .
通性通法
指数幂运算的解题通法
（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；
（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；
（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是
带分数，先化成假分数；
（4）若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式，指数中
的根式可以保留直接运算；
（5）运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又
含有负指数幂，形式力求统一.
【跟踪训练】
计算下列各式（式中的字母都是正实数）：
（1）0.02 ＋ － ；
解：0.02 ＋ － ＝（0.33 ＋ － ＝
0.09＋ － ＝0.09.
（2） ÷ ；
解：原式＝[2×（－6）÷（－3）] ＝4 ab0＝4 a .
（3）（2 ；
解：原式＝（2 · ＝26· m3＝64 m3.
（4） a－π.
解：原式＝ ＝ a0＝1.
题型三 条件求值问题
【例3】 已知 ＋ ＝ ，求下列各式的值：
（1） a ＋ a－1；
解：将 ＋ ＝ 两边平方，
得 a ＋ a－1＋2＝5，即 a ＋ a－1＝3.
（2） a2＋ a－2.
解：将 a ＋ a－1＝3两边平方，得 a2＋ a－2＋2＝9，
即 a2＋ a－2＝7.
【母题探究】
（变设问）在本例条件下，则 a2－ a－2＝ .
解析：令 y ＝ a2－ a－2，两边平方，得 y2＝ a4＋ a－4－2＝（ a2＋ a－2）2
－4＝72－4＝45，∴ y ＝±3 ，即 a2－ a－2＝±3 .
±3
通性通法
解决条件求值问题的一般方法
对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入
求值.但有时字母的取值未知或不易求出，这时可将所求代数式恰
当地变形，构造出与已知条件相同的结构，从而通过“整体代入
法”巧妙地求出代数式的值.利用“整体代入法”求值时常用的变
形公式如下：
（1） a ±2 ＋ b ＝ ；
（2） a － b ＝ ；
（3） ＋ ＝ ；
（4） － ＝ （其中 a ＞0， b ＞0）.
【跟踪训练】
1. 已知 ＋ ＝4，则 ＝（ ）
A. 2 B. 4
C. 14 D. 16
解析： 因为 ＋ ＝4，所以（ ＋ ）2＝42，即 a ＋ a－1
＋2＝16，所以 a ＋ a－1＝14，所以 ＝ ＝ a
＋ a－1＝14，故选C.
2. 已知 x ＋ y ＝12， xy ＝9，且 x ＜ y ，求 的值.
解：∵ x ＋ y ＝12， xy ＝9，
∴（ x － y ）2＝（ x ＋ y ）2－4 xy ＝122－4×9＝108.
∵ x ＜ y ，
∴ x － y ＝－6 .
∴ ＝
＝ ＝ ＝－ .
1. 已知： n ∈N， n ＞1，那么 ＝（ ）
A. 5 B. －5
C. －5或5 D. 不能确定
解析： ＝ ＝5.
2. 化简[ 的结果为（ ）
A. 5
D. －5
解析： [ ＝（ ＝ ＝ .
解析：由根与系数的关系得α＋β＝－2，αβ＝ ，则2α·2β＝2α
＋β＝2－2＝ ，（2α）β＝2αβ＝ .
4. 化简 · · （ m ＞0）＝ .
解析：原式＝ · · ＝ ＝ m0＝1.
1
5. 化简 （ x ＞0）的结果是 .
解析：由题意得 ＝ ＝ ＝ x .
x
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列各式正确的是（ ）
解析： 由于 ＝3， ＝｜ a ｜， ＝－2，故
A、B、D错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2. 2 ＋1 － － ＝（ ）
A. 3 B. 6
D. 15
解析： 原式＝（33 ＋（42 －（2－1）－2－ ＝9＋
4－1－4－ ＝9＋ －4－ ＝9－6＝3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3. 化简 ÷ （ a ＞0）＝（ ）
C. 1
解析： 原式＝ ÷ ＝ ＝ .故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4. 计算（2 a－3 ）·（－3 a－1 b ）÷（4 a－4 ）得（ ）
解析： 原式＝ ＝－ b2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5. 设 － ＝ m ，则 ＝（ ）
A. m2－2 B. 2－ m2
C. m2＋2 D. m2
解析： 将 － ＝ m 两边平方，得 ＝ m2，即 a －
2＋ a－1＝ m2，所以 a ＋ a－1＝ m2＋2，即 a ＋ ＝ m2＋2，所以
＝ m2＋2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6. （多选）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 对于A，－ ＝－ （ x ＞0），故错误；对于B，
＝ （ y ＞0），故正确；对于C， ＝ （ x ＞0， y ＞
0），故正确；对于D， ＝ （ x ＞0），故错误.故选B、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7. 化简 ＝ .
解析：原式＝ ＝ ＝ ＝1.
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8. 已知 a ， b 是方程 x2－6 x ＋4＝0的两个根，且 a ＞ b ＞0，则
的值为 .
解析：∵ a ， b 是方程 x2－6 x ＋4＝0的两个根，∴∵ a
＞ b ＞0，∴ ＞ .∵（ ）2＝ ＝ ＝ ＝
，∴ ＝ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9. 设 a2＝ b4＝ m （ a ＞0， b ＞0），且 a ＋ b ＝6，则 m ＝ .
解析：因为 a2＝ b4＝ m （ a ＞0， b ＞0），所以 a ＝ b2.由 a ＋ b ＝6
得 b2＋ b －6＝0，解得 b ＝2或 b ＝－3（舍去），所以 m ＝24＝16.
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10. 化简下列各式（式中的字母都是正实数）：
（1） ；
解： ＝ ＝ m2 n－3＝ .
（2） ÷ ；
解：原式＝[－3×4÷（－2）]· ＝6 a0 b0＝6.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
（3） （ ＋ ）.
解：原式＝ （ ＋ ）＝
（ ＋ ）＝（ － ）（ ＋ ）＝（ ）2－
（ ）2＝ x － y .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11. 已知 ab ＝－5，则 a ＋ b ＝（ ）
B. 0
解析： 由题意知 ab ＜0， a ＋ b ＝ a ＋ b
＝ a ＋ b ＝ a ＋ b ＝0，故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12. （多选）已知 a ＋ a－1＝3，则下列选项中正确的有（ ）
A. a2＋ a－2＝7 B. a3＋ a－3＝16
解析： ∵ a ＋ a－1＝3，∴ a2＋ a－2＝（ a ＋ a－1）2－2＝32－2
＝7，因此A正确； a3＋ a－3＝（ a ＋ a－1）·（ a2＋ a－2－1）＝3×
（7－1）＝18，因此B不正确；∵（ ＋ ）2＝ a ＋ a－1＋2＝3
＋2＝5， a ＞0，∴ ＋ ＝ ，因此C不正确；∵ a ＋
＝（ a ＋ a－1－1）（ ＋ ）＝2 ，因此D正确.故选A、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13. 若e x ，e y 的几何平均值为e（e是自然对数的底数），则 x2， y2的算
术平均值的最小值为 .
解析：由已知条件可得e x ·e y ＝e x＋ y ＝e2，所以 x ＋ y ＝2，由基本
不等式可得 x2＋ y2≥2 xy ，即2（ x2＋ y2）≥ x2＋ y2＋2 xy ＝（ x ＋
y ）2＝4，所以 ≥1，当且仅当 x ＝ y ＝1时，等号成立.因
此， x2， y2的算术平均值的最小值为1.
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14. 已知函数 f （ x ）＝ （ a ＞0， a ≠1， a 为常数， x ∈R）.
（1）若 f （ m ）＝6，求 f （－ m ）的值；
解：∵ f （ m ）＝6，∴ ＝6，
∴ f （－ m ）＝ ＝6.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
（2）若 f （1）＝3，求 f （2）， f 的值.
解：∵ f （1）＝3，∴ ＝3，∴ a ＋ a－1＝6，
∴ f （2）＝ ＝ ＝17.
∵ ＝ a ＋ a－1＋2＝8，
∴ ＋ ＝2 ，
∴ f ＝ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15. 化简： ＝ 2－ .
解析：原式＝ × × × ×
× ×2＝ × × × ×
×2＝ × × × ×2＝
× × ×2＝ × ×2＝
×2＝2－ .
2－
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16. 已知 ax3＝ by3＝ cz3，且 ＋ ＋ ＝1，求证：（ ax2＋ by2＋ cz2
＝ ＋ ＋ .
证明：令 ax3＝ by3＝ cz3＝ t ，则 ax2＝ ， by2＝ ， cz2＝ ，因为
＋ ＋ ＝1，所以 ＋ ＋ ＝ t ，即 ax2＋ by2＋ cz2＝ t .所以（ ax2
＋ by2＋ cz2 ＝ ＝ ＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＋ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
谢 谢 观 看！
