§3 指数函数
3.1 指数函数的概念 3.2 指数函数的图象和性质
新课程标准解读 核心素养
1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念 数学抽象
2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的性质并会运用 直观想象、数学运算
第一课时 指数函数的概念、图象与性质
将一张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系？对折后的面积S（设原面积为1）与折叠的次数有怎样的关系？
折叠次数 对应层数 对折后的面积S
x＝1 y＝2＝21 S＝
x＝2 y＝4＝22 S＝＝（）2
x＝3 y＝8＝23 S＝＝（）3
…… …… ……
由上面的对应关系，我们可以归纳出第x次折叠后对应的层数为y＝2x（x∈N＋），对折后的面积S＝（x∈N＋）.
【问题】 实例中得到的两个函数解析式有什么共同特征？
知识点一 指数函数的概念
1.定义：当给定正数a，且a≠1时，对于任意的实数x，都有唯一确定的正数y＝ax与之对应，因此，y＝ax是一个定义在 上的函数，称为指数函数.
2.性质：（1）定义域是 ，函数值 ；
（2）图象过定点 .
提醒 指数函数概念的再理解
【想一想】
为什么指数函数的底数a＞0，且a≠1？
知识点二 指数函数的图象和性质
a＞1 0＜a＜1
定义域：
值域：
过定点 ，即当x＝0时，y＝
当x＜0时， ＜y＜ ；当x＞0时，y＞ 当x＜0时，y＞ ；当x＞0时， ＜y＜
在R上是 函数，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于0 在R上是 函数，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于正无穷大
提醒 指数函数图象的特征
同一坐标系中，画出不同底数的指数函数的图象如图所示.直线x＝1与四个指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的交点依次为（1，a），（1，b），（1，c），（1，d），所以有0＜b＜a＜1＜d＜c，因此可得出以下结论：在y轴的右侧，底数越大，图象越高，简称“底大图高”.
【想一想】
在直角坐标系中指数函数图象不可能出现在第几象限？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）y＝2x＋1是指数函数.（ ）
（2）指数函数y＝ax中，a可以为负数.（ ）
（3）已知函数f（x）＝3x，若m＞n，则f（m）＞f（n）.（ ）
（4）指数函数的图象一定在x轴的上方.（ ）
2.函数y＝2x＋1的图象是（ ）
3.函数y＝1－2x，x∈[0，1]的值域是 .
题型一 指数函数的解析式
【例1】 （1）若函数f（x）＝·ax是指数函数，则f＝（ ）
A.2 B.－2
C.－2 D.2
（2）若函数f（x）是指数函数，且f（2）＝9，则f（x）＝ .
尝试解答
通性通法
1.求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键.
2.求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式.
【跟踪训练】
已知函数f（x）为指数函数，且f＝，求f（－2）的值.
题型二 指数函数的图象及应用
【例2】 （1）（多选）函数y＝ax－（a＞0，a≠1）的图象可能是（ ）
（2）若直线y＝2a与函数y＝｜ax－1｜＋1（a＞0，且a≠1）的图象有两个公共点，则实数a的取值范围是 .
尝试解答
通性通法
处理函数图象问题的策略
（1）抓住特殊点：指数函数的图象过定点（0，1），求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点；
（2）巧用图象变换：函数图象的平移变换（左右平移、上下平移）；
（3）利用函数的性质：奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势.
【跟踪训练】
1.（多选）已知实数a，b满足（）a＝（）b，则下面给出的四个选项，其中可能成立的为（ ）
A.0＜b＜a B.b＜a＜0
C.a＜b＜0 D.b＝a＝0
2.函数y＝ax－3＋3（a＞0，且a≠1）的图象过定点 .
题型三 指数型函数的定义域和值域
【例3】 求下列函数的定义域和值域：
（1）y＝；
（2）y＝；
（3）y＝4x＋2x＋1＋2.
尝试解答
【母题探究】
1.（变条件，变设问）若将本例（1）的函数换为“y＝”，求其定义域.
2.（变条件，变设问）若将本例（3）的函数增加条件“0≤x≤2”，再求函数的值域.
通性通法
函数y＝af（x）定义域、值域的求法
（1）定义域：形如y＝af（x）形式的函数的定义域是使得f（x）有意义的x的取值集合；
（2）值域：①换元，令t＝f（x）；②求t＝f（x）的定义域x∈D；③求t＝f（x）的值域t∈M；④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域.
提醒 （1）通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集；
（2）当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论.
【跟踪训练】
函数f（x）＝＋ 的定义域是（ ）
A.[2，4）
B.[2，4）∪（4，＋∞）
C.（2，4）∪（4，＋∞）
D.[2，＋∞）
1.下列各函数中，是指数函数的是（ ）
A.y＝（－3）x B.y＝－3x
C.y＝3x－1 D.y＝
2.若指数函数f（x）的图象过点（3，8），则f（x）的解析式为（ ）
A.f（x）＝x3 B.f（x）＝2x
C.f（x）＝ D.f（x）＝
3.函数f（x）＝πx与g（x）＝的图象关于（ ）
A.原点对称
B.x轴对称
C.y轴对称
D.直线y＝－x对称
4.（多选）已知函数y＝ax，y＝bx（a，b＞0且a≠1，b≠1）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A.a＞b＞1 B.0＜a＜b＜1
C.2a＜2b D.b＞a＞1
5.全集U＝R，集合A＝，则 UA＝ .
第一课时 指数函数的概念、图象与性质
【基础知识·重落实】
知识点一
1.实数集 2.（1）R 大于0 （2）（0，1）
想一想
提示：①如果a＝0，当x＞0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义.
②如果a＜0，例如y＝（－4）x，这时对于x＝，，…，该函数无意义.
③如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值.
为了避免上述各种情况，所以规定a＞0，且a≠1.
知识点二
R （0，＋∞） （0，1） 1 0 1 1 1 0 1 增 减
想一想
提示：指数函数的图象只能出现在第一、二象限，不可能出现在第三、四象限.
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）√ （4）√
2.A 函数y＝2x的图象是经过定点（0，1），在x轴上方且为增函数的曲线，依据函数图象的画法可得函数y＝2x＋1的图象为增函数且过点（0，2），故选A.
3.[－1，0] 解析：由指数函数y＝2x在x∈[0，1]上单调递增知1≤2x≤2，∴y＝1－2x∈[－1，0].
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）D （2）3x 解析：（1）因为函数f（x）是指数函数，所以a－3＝1，且a＞0，a≠1，所以a＝8，所以f（x）＝8x，f＝＝2.
（2）由题意设f（x）＝ax（a＞0且a≠1），因为f（2）＝a2＝9，所以a＝3，所以f（x）＝3x.
跟踪训练
解：设f（x）＝ax（a＞0且a≠1），
由f＝得，＝，
所以a＝3，
所以f（x）＝3x，
所以f（－2）＝3－2＝.
【例2】 （1）CD （2） 解析：（1）当a＞1时，∈（0，1），因此x＝0时，0＜y＝1－＜1，且y＝ax－在R上是增函数，故C符合；当0＜a＜1时，＞1，因此x＝0时，y＜0，且y＝ax－在R上是减函数，故D符合.故选C、D.
（2）当a＞1时，函数y＝｜ax－1｜＋1的图象如图①所示，则由图可知1＜2a＜2，解得＜a＜1，与a＞1矛盾；当0＜a＜1时，函数y＝｜ax－1｜＋1的图象如图②所示，则由图可知1＜2a＜2，解得＜a＜1.综上可知，a的取值范围为.
跟踪训练
1.ACD
由题意可令f（x）＝（）x，g（x）＝（）x，在同一平面直角坐标系中作出函数f（x）＝（）x，g（x）＝（）x的图象，如图所示.若f（a）＝g（b）＞1，即（）a＝（）b＞1，则a＜b＜0，故C成立，B不成立；若0＜f（a）＜g（b）＜1，即0＜（）a＝（）b＜1，则0＜b＜a，故A成立；若f（a）＝g（b）＝1，即（）a＝（）b＝1，则a＝b＝0，故D成立.
2.（3，4） 解析：法一 因为指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象过定点（0，1），所以在函数y＝ax－3＋3中，令x＝3，得y＝1＋3＝4，即函数的图象过定点（3，4）.
法二 将原函数解析式变形，得y－3＝ax－3，把y－3看成x－3的指数函数，所以当x－3＝0时，y－3＝1，即x＝3时，y＝4，所以原函数的图象过定点（3，4）.
【例3】 解：（1）要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0，故函数y＝的定义域为（－∞，0].
因为x≤0，所以0＜3x≤1，所以0≤1－3x＜1，
所以∈[0，1），即函数y＝的值域为[0，1）.
（2）定义域为R.
因为x2－2x－3＝（x－1）2－4≥－4，
所以≤＝16.
又因为＞0，
所以函数y＝的值域为（0，16].
（3）因为对于任意的x∈R，函数y＝4x＋2x＋1＋2都有意义，所以函数y＝4x＋2x＋1＋2的定义域为R.因为2x＞0，所以4x＋2x＋1＋2＝（2x）2＋2×2x＋2＝（2x＋1）2＋1＞1＋1＝2.
即函数y＝4x＋2x＋1＋2的值域为（2，＋∞）.
母题探究
1.解：由－1≥0得≥，∴x≤0，即函数的定义域为（－∞，0].
2.解：∵0≤x≤2，∴1≤2x≤4，∴y＝4x＋2x＋1＋2＝（2x）2＋2×2x＋2＝（2x＋1）2＋1.
令2x＝t，则t∈[1，4]，且f（t）＝（t＋1）2＋1，易知f（t）在[1，4]上单调递增，
∴f（1）≤f（t）≤f（4），即5≤f（t）≤26，
即函数y＝4x＋2x＋1＋2的值域为[5，26].
跟踪训练
B 依题意有解得x∈[2，4）∪（4，＋∞）.
随堂检测
1.D 根据指数函数的定义知，D正确.
2.B 设f（x）＝ax（a＞0且a≠1），则由f（3）＝8得a3＝8，∴a＝2，∴f（x）＝2x.
3.C 设点（x，y）为函数f（x）＝πx的图象上任意一点，则点（－x，y）为g（x）＝π－x＝的图象上的点.因为点（x，y）与点（－x，y）关于y轴对称，所以函数f（x）＝πx与g（x）＝的图象关于y轴对称，故选C.
4.CD 由指数函数图象可知b＞a＞1， 故A、B错误，D正确；由b＞a＞1得2a＜2b，C正确.故选C、D.
5. 解析：∵A＝＝，∴ UA＝ RA＝.
4 / 5(共45张PPT)
3.1 指数函数的概念
3.2 指数函数的图象和性质
新课程标准解读 核心素养
1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解
指数函数的概念 数学抽象
2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的
图象，探索并理解指数函数的性质并会运用 直观想象、数学
运算
第一课时 指数函数的概念、图象与性质
第一课时 指数函数的概念、图象与性质
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
将一张报纸连续对折，折叠次数 x 与对应的层数 y 之间存在什么
关系？对折后的面积 S （设原面积为1）与折叠的次数有怎样的关系？
折叠次数 对应层数 对折后的面积 S
x ＝1 y ＝2＝21
x ＝2 y ＝4＝22
x ＝3 y ＝8＝23
…… …… ……
由上面的对应关系，我们可以归纳出第 x 次折叠后对应的层数为 y
＝2 x （ x ∈N＋），对折后的面积 S ＝ （ x ∈N＋）.
【问题】 实例中得到的两个函数解析式有什么共同特征？
知识点一 指数函数的概念
1. 定义：当给定正数 a ，且 a ≠1时，对于任意的实数 x ，都有唯一确
定的正数 y ＝ ax 与之对应，因此， y ＝ ax 是一个定义在
上的函数，称为指数函数.
2. 性质：（1）定义域是 ，函数值 ；
实数集
R
大于0
（2）图象过定点 .
提醒 指数函数概念的再理解
（0，1）
②如果 a ＜0，例如 y ＝（－4） x ，这时对于 x ＝ ， ，…，
该函数无意义.
③如果 a ＝1，则 y ＝1 x 是一个常量，没有研究的价值.
为了避免上述各种情况，所以规定 a ＞0，且 a ≠1.
【想一想】
为什么指数函数的底数 a ＞0，且 a ≠1？
提示：①如果 a ＝0，当 x ＞0时， ax 恒等于0，没有研究的必
要；当 x ≤0时， ax 无意义.
知识点二 指数函数的图象和性质
a ＞1 0＜ a ＜1
定义域： 值域： 过定点 ，即当 x ＝0时， y ＝ R
（0，＋∞）
（0，1）
1
a ＞1 0＜ a ＜1
当 x ＜0时， ＜ y
＜ ；当 x ＞0时， y
＞ 当 x ＜0时， y ＞ ；当 x ＞0
时， ＜ y ＜
在R上是 函数，当 x 值趋
近于正无穷大时，函数值趋近
于正无穷大；当 x 值趋近于负无
穷大时，函数值趋近于0 在R上是 函数，当 x 值趋近
于正无穷大时，函数值趋近于0；
当 x 值趋近于负无穷大时，函数
值趋近于正无穷大
0
1
1
1
0
1
增
减
提醒 指数函数图象的特征
同一坐标系中，画出不同底数的指数函数的图象如图所示.直线 x ＝1
与四个指数函数 y ＝ ax ， y ＝ bx ， y ＝ cx ， y ＝ dx 的交点依次为（1，
a ），（1， b ），（1， c ），（1， d ），所以有0＜ b ＜ a ＜1＜ d ＜
c ，因此可得出以下结论：在 y 轴的右侧，底数越大，图象越高，简称
“底大图高”.
【想一想】
在直角坐标系中指数函数图象不可能出现在第几象限？
提示：指数函数的图象只能出现在第一、二象限，不可能出现在第
三、四象限.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1） y ＝2 x＋1是指数函数. （ × ）
（2）指数函数 y ＝ ax 中， a 可以为负数. （ × ）
（3）已知函数 f （ x ）＝3 x ，若 m ＞ n ，则 f （ m ）＞ f （ n ）.
（ √ ）
（4）指数函数的图象一定在 x 轴的上方. （ √ ）
×
×
√
√
2. 函数 y ＝2 x＋1的图象是（ ）
解析： 函数 y ＝2 x 的图象是经过定点（0，1），在 x 轴上方且
为增函数的曲线，依据函数图象的画法可得函数 y ＝2 x＋1的图象为
增函数且过点（0，2），故选A.
3. 函数 y ＝1－2 x ， x ∈[0，1]的值域是 .
解析：由指数函数 y ＝2 x 在 x ∈[0，1]上单调递增知1≤2 x ≤2，∴ y
＝1－2 x ∈[－1，0].
[－1，0]
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 指数函数的解析式
【例1】 （1）若函数 f （ x ）＝ · ax 是指数函数，则 f ＝
（ D ）
A. 2 B. －2
解析：因为函数 f （ x ）是指数函数，所以 a －3＝1，且 a ＞0， a
≠1，所以 a ＝8，所以 f （ x ）＝8 x ， f ＝ ＝2 .
D
（2）若函数 f （ x ）是指数函数，且 f （2）＝9，则 f （ x ）＝ .
解析：由题意设 f （ x ）＝ ax （ a ＞0且 a ≠1），因为 f （2）＝ a2
＝9，所以 a ＝3，所以 f （ x ）＝3 x .
3 x
通性通法
1. 求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解
析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的
解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键.
2. 求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式.
【跟踪训练】
已知函数 f （ x ）为指数函数，且 f ＝ ，求 f （－2）的值.
解：设 f （ x ）＝ ax （ a ＞0且 a ≠1），
由 f ＝ 得， ＝ ，
所以 a ＝3，
所以 f （ x ）＝3 x ，
所以 f （－2）＝3－2＝ .
题型二 指数函数的图象及应用
【例2】 （1）（多选）函数 y ＝ ax － （ a ＞0， a ≠1）的图象可能
是（ CD ）
CD
解析：当 a ＞1时， ∈（0，1），因此 x ＝0时，0＜ y ＝1－ ＜1，且
y ＝ ax － 在R上是增函数，故C符合；当0＜ a ＜1时， ＞1，因此 x
＝0时， y ＜0，且 y ＝ ax － 在R上是减函数，故D符合.故选C、D.
（2）若直线 y ＝2 a 与函数 y ＝｜ ax －1｜＋1（ a ＞0，且 a ≠1）的图
象有两个公共点，则实数 a 的取值范围是 .
解析：当 a ＞1时，函数 y ＝｜ ax －1｜＋1的图象如图①所示，
则由图可知1＜2 a ＜2，解得 ＜ a ＜1，与 a ＞1矛盾；当0＜ a ＜
1时，函数 y ＝｜ ax －1｜＋1的图象如图②所示，则由图可知1＜
2 a ＜2，解得 ＜ a ＜1.综上可知， a 的取值范围为 .
通性通法
处理函数图象问题的策略
（1）抓住特殊点：指数函数的图象过定点（0，1），求指数型函数
图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的 y 的值，即可
得函数图象所过的定点；
（2）巧用图象变换：函数图象的平移变换（左右平移、上下平
移）；
（3）利用函数的性质：奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函
数图象的走势.
【跟踪训练】
1. （多选）已知实数 a ， b 满足（ ） a ＝（ ） b ，则下面给出的四个
选项，其中可能成立的为（ ）
A. 0＜ b ＜ a B. b ＜ a ＜0
C. a ＜ b ＜0 D. b ＝ a ＝0
解析： 由题意可令 f （ x ）＝（ ） x ，
g （ x ）＝（ ） x ，在同一平面直角坐
标系中作出函数 f （ x ）＝（ ） x ， g
（ x ）＝（ ） x 的图象，如图所示.若 f
（ a ）＝ g （ b ）＞1，即（ ） a ＝（ ） b ＞1，则 a ＜ b ＜0，故C成立，B不成立；
若0＜ f （ a ）＜ g （ b ）＜1，即0＜（ ） a＝（ ） b ＜1，则0＜ b ＜ a ，故A成立；若 f （ a ）＝ g （ b ）＝1，即（ ） a ＝（ ） b ＝1，则 a ＝ b ＝0，故D成立.
2. 函数 y ＝ ax－3＋3（ a ＞0，且 a ≠1）的图象过定点 .
解析：法一 因为指数函数 y ＝ ax （ a ＞0，且 a ≠1）的图象过定
点（0，1），所以在函数 y ＝ ax－3＋3中，令 x ＝3，得 y ＝1＋3＝
4，即函数的图象过定点（3，4）.
（3，4）
法二 将原函数解析式变形，得 y －3＝ ax－3，把 y －3看成 x －3的指
数函数，所以当 x －3＝0时， y －3＝1，即 x ＝3时， y ＝4，所以原函
数的图象过定点（3，4）.
题型三 指数型函数的定义域和值域
【例3】 求下列函数的定义域和值域：
（1） y ＝ ；
解：要使函数式有意义，则1－3 x ≥0，即3 x ≤1＝30，因为函数
y ＝3 x 在R上是增函数，所以 x ≤0，故函数 y ＝ 的定义
域为（－∞，0].
因为 x ≤0，所以0＜3 x ≤1，所以0≤1－3 x ＜1，
所以 ∈[0，1），即函数 y ＝ 的值域为[0，1）.
（2） y ＝ ；
解：定义域为R.
因为 x2－2 x －3＝（ x －1）2－4≥－4，
所以 ≤ ＝16.
又因为 ＞0，
所以函数 y ＝ 的值域为（0，16].
（3） y ＝4 x ＋2 x＋1＋2.
解：因为对于任意的 x ∈R，函数 y ＝4 x ＋2 x＋1＋2都有意义，所
以函数 y ＝4 x ＋2 x＋1＋2的定义域为R. 因为2 x ＞0，所以4 x ＋2 x＋
1＋2＝（2 x ）2＋2×2 x ＋2＝（2 x ＋1）2＋1＞1＋1＝2.
即函数 y ＝4 x ＋2 x＋1＋2的值域为（2，＋∞）.
【母题探究】
1. （变条件，变设问）若将本例（1）的函数换为“ y ＝
”，求其定义域.
解：由 －1≥0得 ≥ ，∴ x ≤0，即函数的定义域为
（－∞，0].
2. （变条件，变设问）若将本例（3）的函数增加条件“0≤ x
≤2”，再求函数的值域.
解：∵0≤ x ≤2，∴1≤2 x ≤4，∴ y ＝4 x ＋2 x＋1＋2＝（2 x ）2＋2×2
x ＋2＝（2 x ＋1）2＋1.
令2 x ＝ t ，则 t ∈[1，4]，且 f （ t ）＝（ t ＋1）2＋1，易知 f （ t ）在
[1，4]上单调递增，
∴ f （1）≤ f （ t ）≤ f （4），即5≤ f （ t ）≤26，
即函数 y ＝4 x ＋2 x＋1＋2的值域为[5，26].
通性通法
函数 y ＝ af（ x）定义域、值域的求法
（1）定义域：形如 y ＝ af（ x）形式的函数的定义域是使得 f （ x ）有意
义的 x 的取值集合；
（2）值域：①换元，令 t ＝ f （ x ）；②求 t ＝ f （ x ）的定义域 x ∈
D ；③求 t ＝ f （ x ）的值域 t ∈ M ；④利用 y ＝ at 的单调性求 y ＝
at ， t ∈ M 的值域.
提醒 （1）通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不
等关系解集的交集；
（2）当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分
类讨论.
【跟踪训练】
函数 f （ x ）＝ ＋ 的定义域是（ ）
A. [2，4） B. [2，4）∪（4，＋∞）
C. （2，4）∪（4，＋∞） D. [2，＋∞）
解析： 依题意有解得 x ∈[2，4）∪（4，＋∞）.
1. 下列各函数中，是指数函数的是（ ）
A. y ＝（－3） x B. y ＝－3 x
C. y ＝3 x－1
解析： 根据指数函数的定义知，D正确.
2. 若指数函数 f （ x ）的图象过点（3，8），则 f （ x ）的解析式为
（ ）
A. f （ x ）＝ x3 B. f （ x ）＝2 x
解析： 设 f （ x ）＝ ax （ a ＞0且 a ≠1），则由 f （3）＝8得 a3＝
8，∴ a ＝2，∴ f （ x ）＝2 x .
3. 函数 f （ x ）＝π x 与 g （ x ）＝ 的图象关于（ ）
A. 原点对称 B. x 轴对称
C. y 轴对称 D. 直线 y ＝－ x 对称
解析： 设点（ x ， y ）为函数 f （ x ）＝π x 的图象上任意一点，
则点（－ x ， y ）为 g （ x ）＝π－ x ＝ 的图象上的点.因为点
（ x ， y ）与点（－ x ， y ）关于 y 轴对称，所以函数 f （ x ）＝π x 与
g （ x ）＝ 的图象关于 y 轴对称，故选C.
4. （多选）已知函数 y ＝ ax ， y ＝ bx （ a ， b ＞0且 a ≠1， b ≠1）的图
象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. a ＞ b ＞1 B. 0＜ a ＜ b ＜1
C. 2 a ＜2 b D. b ＞ a ＞1
解析： 由指数函数图象可知 b ＞ a ＞1， 故A、B错误，D正
确；由 b ＞ a ＞1得2 a ＜2 b ，C正确.故选C、D.
5. 全集 U ＝R，集合 A ＝ ，则 UA ＝ .
解析：∵ A ＝ ＝ ，∴ UA ＝ R A ＝
.
谢 谢 观 看！§3 指数函数
3.1 指数函数的概念 3.2 指数函数的图象和性质
第一课时 指数函数的概念、图象与性质
1.下列函数中，指数函数的个数为（ ）
①y＝；②y＝ax（a＞0，且a≠1）；③y＝1x；④y＝－1.
A.0 B.1
C.3 D.4
2.函数y＝的定义域是（ ）
A.（－∞，0） B.（－∞，0]
C.[0，＋∞） D.（0，＋∞）
3.已知函数f（x）＝ax－2＋2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，则点A的坐标为（ ）
A.（0，1） B.（2，3）
C.（3，2） D.（2，2）
4.函数y＝a｜x｜（a＞1）的图象是（ ）
5.已知函数f（x）＝若f（a）＜1，则实数a的取值范围是（ ）
A.（－∞，－3）
B.（1，＋∞）
C.（－3，1）
D.（－∞，－3）∪（1，＋∞）
6.（多选）下列说法正确的是（ ）
A.函数y＝3x与y＝的图象关于y轴对称
B.函数y＝3x与y＝的图象关于x轴对称
C.函数y＝3x与y＝－的图象关于原点对称
D.函数y＝3x与y＝－3x的图象关于x轴对称
7.已知f（x）＝ax＋b（a＞0，且a≠1）的图象如图，则f（3）＝ .
8.若函数f（x）＝ 的定义域是[1，＋∞），则a的取值范围是 .
9.若函数f（x）＝则函数f（x）的值域是 .
10.求函数f（x）＝的定义域、值域.
11.若函数y＝ax＋b－1（a＞0，且a≠1）的图象经过第二、三、四象限，则一定有（ ）
A.0＜a＜1，且b＞0 B.a＞1，且b＞0
C.0＜a＜1，且b＜0 D.a＞1，且b＜0
12.已知关于x的方程｜3x－1｜＝有两个不等实根，则实数a的取值范围是（ ）
A.（－∞，0） B.（0，2）
C.（0，＋∞） D.（0，1）
13.已知函数f（x）＝ax＋b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝ .
14.已知函数f（x）＝ax－1（x≥0）的图象经过点，其中a＞0且a≠1.
（1）求a的值；
（2）求函数y＝f（x）（x≥0）的值域.
15.已知函数f（x）＝若存在x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），使f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则f（x1＋x2＋x3）的取值范围是（ ）
A.（0，1] B.[0，1]
C.（－∞，1] D.（－∞，1）
16.对于函数f1（x），f2（x），如果存在实数a，b，使得f（x）＝af1（x）－bf2（x），那么称f（x）为f1（x），f2（x）的亲子函数.
（1）已知f1（x）＝2x－3，f2（x）＝x＋1，试判断f（x）＝4x－11是否为f1（x），f2（x）的亲子函数，若是，求出a，b；若不是，说明理由；
（2）已知f1（x）＝3x，f2（x）＝9x，f（x）为f1（x），f2（x）的亲子函数，且a＝4，b＝1.若g（x）＝（m＋1）f2（x）－f（x）＋1，当－1≤x≤0时，g（x）≤0恒成立，求正数m的取值范围.
第一课时 指数函数的概念、图象与性质
1.B 由指数函数的定义可判定，只有②正确.
2.B 由－1≥0，得≥，∴x≤0.
3.B 令x－2＝0，可得x＝2，且f（2）＝a2－2＋2＝3，所以函数的图象恒过定点（2，3），即点A的坐标为（2，3）.
4.B 函数y＝a｜x｜是偶函数，当x＞0时，y＝ax.由已知a＞1，故选B.
5.C 由题意，知f（a）＜1等价于或解得－3＜a＜0或0≤a＜1，所以－3＜a＜1.故选C.
6.ACD 易知函数y＝ax与y＝＝a－x（a＞0且a≠1）的图象关于y轴对称，且函数y＝与y＝－的图象关于x轴对称，所以函数y＝ax与y＝－的图象关于原点对称，所以B说法错误.
7.3－3 解析：由题意知，f（x）的图象过点（0，－2）和（2，0），所以所以所以f（x）＝（）x－3，所以f（3）＝（）3－3＝3－3.
8.（1，＋∞） 解析：∵ax－a≥0，∴ax≥a，∴当a＞1时，x≥1.故函数定义域为[1，＋∞）时，a＞1.
9.（－1，0）∪（0，1） 解析：由x＜0，得0＜2x＜1；由x＞0，∴－x＜0，0＜2－x＜1，∴－1＜－2－x＜0，∴函数f（x）的值域为（－1，0）∪（0，1）.
10.解：因为要使函数有意义，则x应满足x2－2x≥0，
即x≥2或x≤0，
所以所求函数的定义域为（－∞，0]∪[2，＋∞），
令t＝－1，
所以t≥－1，
又y＝为减函数，
所以0＜≤，
即0＜≤3，
所以f（x）的值域为（0，3].
11.C 函数y＝ax＋b－1（a＞0，且a≠1）的图象是由函数y＝ax的图象经过向上或向下平移而得到的，因其图象不经过第一象限，所以a∈（0，1）.若经过第二、三、四象限，则需将函数y＝ax（0＜a＜1）的图象向下平移大于1个单位长度，即b－1＜－1，所以b＜0.
12.B 函数y＝｜3x－1｜＝其大致图象如图所示.关于x的方程｜3x－1｜＝有两个不等实根等价于直线y＝与y＝｜3x－1｜的图象有两个交点，由图可知0＜＜1，即0＜a＜2.故选B.
13.－ 解析：当0＜a＜1时，函数f（x）在[－1，0]上单调递减，由题意可得即解得此时a＋b＝－.当a＞1时，函数f（x）在[－1，0]上单调递增，由题意可得即显然无解.
综上，a＋b＝－.
14.解：（1）因为函数图象经过点，
所以a2－1＝，则a＝.
（2）由（1）知函数为f（x）＝（x≥0），
由x≥0，得x－1≥－1.
于是0＜≤＝2，
所以函数的值域为（0，2].
15.B 作出f（x）与直线y＝a的大致图象如图，交点横坐标为x1，x2，x3，自左向右依次排列，由图可知，x1，x2关于x＝－1对称，x3＞0，即x1＋x2＝－2，则x1＋x2＋x3＞－2.由图象知，当x＞－2时，f（x）∈[0，1]，所以f（x1＋x2＋x2）∈[0，1].
16.解：（1）假设f（x）＝4x－11是f1（x），f2（x）的亲子函数，
则f（x）＝af1（x）－bf2（x），即4x－11＝a（2x－3）－b（x＋1），
可得解得
所以f（x）＝4x－11是f1（x），f2（x）的亲子函数，且a＝3，b＝2.
（2）由亲子函数的定义可得f（x）＝4·3x－9x，
g（x）＝（m＋1）9x－（4·3x－9x）＋1＝（m＋2）9x－4·3x＋1，
设3x＝t，－1≤x≤0时，t∈，
g（t）＝（m＋2）t2－4t＋1为开口向上的抛物线，若g（t）≤0恒成立，
可得
解得m≤1，
因为m＞0，所以0＜m≤1.
故正数m的取值范围为（0，1].
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