第二课时 指数函数及其性质的应用
题型一 指数式的大小比较
【例1】 比较下列各组数的大小：
（1）1.52.5和1.53.2；
尝试解答
（2）与；
（3）1.50.3和0.81.2.
尝试解答
通性通法
比较指数式大小的3种类型及处理方法
【跟踪训练】
比较下列各题中两个值的大小：
（1）0.8－0.1，1.250.2；
（2）1.70.3，0.93.1；
（3）a0.5与a0.6（a＞0，且a≠1）.
题型二 解指数型不等式或方程
【例2】 求解下列不等式：
（1）已知3x≥，求实数x的取值范围；
（2）若a－5x＞ax＋7（a＞0且a≠1），求x的取值范围.
尝试解答
通性通法
1.指数型不等式的求解方法
（1）指数型不等式af（x）＞ag（x）（a＞0，且a≠1）的解法：当a＞1时，f（x）＞g（x）；当0＜a＜1时，f（x）＜g（x）；
（2）如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a0（a＞0，且a≠1），a－x＝（a＞0，且a≠1）等.
2.指数型方程的求解方法
（1）同底法：形如af（x）＝ag（x）（a＞0，且a≠1）的方程，化为f（x）＝g（x）求解；
（2）换元法：形如a2x＋b·ax＋c＝0（a＞0，且a≠1）的方程，用换元法求解，求解时应特别注意ax＞0.
【跟踪训练】
1.已知方程81×32x＝，则x＝ .
2.设0＜a＜1，则关于x的不等式＞1的解集为 .
题型三 指数型函数的单调性
【例3】 判断f（x）＝的单调性，并求其值域.
尝试解答
【母题探究】
1.（变条件，变设问）若函数y＝｜2x－1｜在（－∞，m]上单调递减，则m的取值范围是 .
2.（变条件，变设问）把本例的函数变为“f（x）＝”，求其单调区间.
通性通法
函数y＝af（x）（a＞0，a≠1）的单调性的处理技巧
（1）指数型函数y＝af（x）（a＞0，且a≠1）的单调性由两点决定，一是底数a＞1还是0＜a＜1；二是f（x）的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f（x）复合而成；
（2）求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f（u），u＝φ（x），通过考查f（u）和φ（x）的单调性，求出y＝f（φ（x））的单调性.
【跟踪训练】
1.画出函数y＝2－｜x｜的图象，并根据图象求函数的单调区间.
2.函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）在区间[1，2]上的最大值比最小值大，求a的值.
题型四 指数函数性质的综合应用
【例4】 已知定义在R上的函数f（x）＝a＋是奇函数.
（1）求a的值；
（2）判断f（x）的单调性（不需要写出理由）；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2－2t）＋f（2t2－k）＜0恒成立，求实数k的取值范围.
尝试解答
通性通法
解决指数函数性质的综合问题的注意点
（1）注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母（或分子）有理化等变形技巧；
（2）解答函数问题注意应在函数定义域内进行；
（3）由于指数函数的单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论.
【跟踪训练】
已知函数f（x）＝·x3.
（1）求f（x）的定义域；
（2）讨论f（x）的奇偶性；
（3）证明：f（x）＞0.
1.方程42x－1＝16的解是（ ）
A.x＝－ B.x＝
C.x＝1 D.x＝2
2.若函数f（x）＝（1－2a）x在实数集R上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
3.函数y＝的单调递增区间为（ ）
A.（－∞，＋∞） B.（0，＋∞）
C.（1，＋∞） D.（0，1）
4.（多选）下列大小关系正确的有（ ）
A.22.1＞2.12
B.23.9＜3.92
C.＜
D.（＜（
5.不等式＞5x＋1的解集是 .
第二课时 指数函数及其性质的应用
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）∵函数y＝1.5x在R上是增函数，2.5＜3.2，
∴1.52.5＜1.53.2.
（2）作出指数函数y＝与y＝的图象（如图），
由图知＞.
（3）由指数函数的性质知1.50.3＞1.50＝1，
而0.81.2＜0.80＝1，∴1.50.3＞0.81.2.
跟踪训练
解：（1）∵0＜0.8＜1，∴y＝0.8x在R上是减函数.
∵－0.2＜－0.1，∴0.8－0.2＞0.8－0.1，
而0.8－0.2＝＝1.250.2，
即0.8－0.1＜1.250.2.
（2）∵1.70.3＞1.70＝1，0.93.1＜0.90＝1，
∴1.70.3＞0.93.1.
（3）a0.5与a0.6可看做指数函数y＝ax的两个函数值.
当0＜a＜1时，函数y＝ax在R上是减函数.∵0.5＜0.6，∴a0.5＞a0.6.当a＞1时，函数y＝ax在R上是增函数.∵0.5＜0.6，∴a0.5＜a0.6.综上所述，当0＜a＜1时，a0.5＞a0.6；当a＞1时，a0.5＜a0.6.
【例2】 解：（1）因为＝30.5，所以由3x≥可得3x≥30.5，因为y＝3x为增函数，故x≥0.5.
（2）①当0＜a＜1时，函数y＝ax是减函数，则由a－5x＞ax＋7可得－5x＜x＋7，解得x＞－.
②当a＞1时，函数y＝ax是增函数，则由a－5x＞ax＋7可得－5x＞x＋7，解得x＜－.
综上，当0＜a＜1时，x＞－；当a＞1时，x＜－.
跟踪训练
1.－2 解析：∵81×32x＝，∴32x＋4＝3－2（x＋2），∴2x＋4＝－2（x＋2），解得x＝－2.
2. 解析：因为0＜a＜1，不等式＞1＝a0变为2x2－7x＋3＜0，解得＜x＜3.
【例3】 解：令u＝x2－2x，则原函数变为y＝.
∵u＝x2－2x＝（x－1）2－1在（－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞）上单调递增，又∵y＝在（－∞，＋∞）上为减函数，
∴y＝在（－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞）上单调递减.
∵u＝x2－2x＝（x－1）2－1≥－1，
∴y＝，u∈[－1，＋∞），
∴0＜≤＝3，∴原函数的值域为（0，3].
母题探究
1.（－∞，0] 解析：
在平面直角坐标系中作出y＝2x的图象，把图象沿y轴向下平移1个单位长度得到y＝2x－1的图象，再把y＝2x－1在x轴下方的图象翻折到x轴上方，其余部分不变.如图，得到y＝｜2x－1｜的图象，由图可知y＝｜2x－1｜在（－∞，0]上单调递减，故m∈（－∞，0].
2.解：函数y＝的定义域为R.
令u＝－x2＋2x，则y＝2u.
当x∈（－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x单调递增，函数y＝2u单调递增，
所以函数y＝在（－∞，1]上单调递增.
当x∈[1，＋∞）时，函数u＝－x2＋2x单调递减，函数y＝2u单调递增，所以函数y＝在[1，＋∞）上单调递减.
综上，函数y＝的单调减区间是[1，＋∞），单调增区间是（－∞，1].
跟踪训练
1.解：
y＝2－｜x｜＝的图象如图所示.
由图象可得函数y＝2－｜x｜的单调递增区间为（－ ∞，0]，单调递减区间为（0，＋∞）.
2.解：①若a＞1，则f（x）在[1，2]上单调递增，最大值为a2，最小值为a.
所以a2－a＝，解得a＝或a＝0（舍去）.
②若0＜a＜1，则f（x）在[1，2]上单调递减，最大值为a，最小值为a2.
所以a－a2＝，解得a＝或a＝0（舍去）.
综上所述，a的值为或.
【例4】 解：（1）∵f（x）的定义域为R，且f（x）为奇函数，
∴f（0）＝0，即a＋＝0，∴a＝－.
（2）由（1）知f（x）＝－＋，
故f（x）在R上为减函数.
（3）∵f（x）为奇函数，
∴f（t2－2t）＋f（2t2－k）＜0可化为f（t2－2t）＜f（k－2t2）.
由（2）知f（x）在R上为减函数，
∴t2－2t＞k－2t2，
即3t2－2t－k＞0对于一切t∈R恒成立，
∴Δ＝4＋12k＜0，得k＜－，
∴k的取值范围是.
跟踪训练
解：（1）由题意得2x－1≠0，即x≠0，
∴f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）.
（2）由（1）知，f（x）的定义域关于原点对称.
令g（x）＝＋＝，φ（x）＝x3，
则f（x）＝g（x）·φ（x）.
∵g（－x）＝＝＝－g（x），
φ（－x）＝（－x）3＝－x3＝－φ（x），
∴f（－x）＝g（－x）·φ（－x）＝[－g（x）]·[－φ（x）]＝g（x）·φ（x）＝f（x），
∴f（x）＝·x3为偶函数.
（3）证明：当x＞0时，2x＞1，
∴2x－1＞0，∴＋＞0.
∵x3＞0，∴f（x）＞0.
由偶函数的图象关于y轴对称知，当x＜0时，f（x）＞0也成立.故对于x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），恒有f（x）＞0.
随堂检测
1.B ∵42x－1＝42，∴2x－1＝2，即x＝.
2.B 由已知，得0＜1－2a＜1，解得0＜a＜，即实数a的取值范围是.
3.A 由已知得，f（x）的定义域为R.设u＝1－x，则y＝.因为u＝1－x在R上为减函数，又因为y＝在R上为减函数，所以y＝在R上为增函数，故选A.
4.BCD 当x∈（2，4）时，2x＜x2，所以22.1＜2.12，23.9＜3.92，故选项A错误，选项B正确；因为y＝为减函数，－0.2＞－0.3，故＜成立，故选项C正确；对于D，因为y＝在（0，＋∞）上为增函数，＜，所以（＜（，故正确.故选B、C、D.
5. 解析：由＞5x＋1得2x2＞x＋1，解得x＜－或x＞1.
2 / 3(共60张PPT)
第二课时 指数函数及其性质的应用
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 指数式的大小比较
【例1】 比较下列各组数的大小：
（1）1.52.5和1.53.2；
解：∵函数 y ＝1.5 x 在R上是增函数，2.5＜3.2，
∴1.52.5＜1.53.2.
（2） 与 ；
解：作出指数函数 y ＝ 与 y ＝ 的图象（如图），由图知 ＞ .
（3）1.50.3和0.81.2.
解：由指数函数的性质知1.50.3＞1.50＝1，
而0.81.2＜0.80＝1，∴1.50.3＞0.81.2.
通性通法
比较指数式大小的3种类型及处理方法
【跟踪训练】
比较下列各题中两个值的大小：
（1）0.8－0.1，1.250.2；
解：∵0＜0.8＜1，∴ y ＝0.8 x 在R上是减函数.
∵－0.2＜－0.1，∴0.8－0.2＞0.8－0.1，
而0.8－0.2＝ ＝1.250.2，
即0.8－0.1＜1.250.2.
（2）1.70.3，0.93.1；
解：∵1.70.3＞1.70＝1，0.93.1＜0.90＝1，
∴1.70.3＞0.93.1.
（3） a0.5与 a0.6（ a ＞0，且 a ≠1）.
解： a0.5与 a0.6可看做指数函数 y ＝ ax 的两个函数值.
当0＜ a ＜1时，函数 y ＝ ax 在R上是减函数.∵0.5＜0.6，∴ a0.5
＞ a0.6.当 a ＞1时，函数 y ＝ ax 在R上是增函数.∵0.5＜0.6，
∴ a0.5＜ a0.6.综上所述，当0＜ a ＜1时， a0.5＞ a0.6；当 a ＞1
时， a0.5＜ a0.6.
题型二 解指数型不等式或方程
【例2】 求解下列不等式：
（1）已知3 x ≥ ，求实数 x 的取值范围；
解：因为 ＝30.5，所以由3 x ≥ 可得3 x ≥30.5，因为
y ＝3 x 为增函数，故 x ≥0.5.
（2）若 a－5 x ＞ ax＋7（ a ＞0且 a ≠1），求 x 的取值范围.
解：①当0＜ a ＜1时，函数 y ＝ ax 是减函数，则由 a－5 x ＞ ax＋7可
得－5 x ＜ x ＋7，解得 x ＞－ .
②当 a ＞1时，函数 y ＝ ax 是增函数，则由 a－5 x ＞ ax＋7可得－5 x
＞ x ＋7，解得 x ＜－ .
综上，当0＜ a ＜1时， x ＞－ ；当 a ＞1时， x ＜－ .
通性通法
1. 指数型不等式的求解方法
（1）指数型不等式 af（ x）＞ ag（ x）（ a ＞0，且 a ≠1）的解法：当 a
＞1时， f （ x ）＞ g （ x ）；当0＜ a ＜1时， f （ x ）＜ g
（ x ）；
（2）如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形
将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝ a0
（ a ＞0，且 a ≠1）， a－ x ＝ （ a ＞0，且 a ≠1）等.
2. 指数型方程的求解方法
（1）同底法：形如 af（ x）＝ ag（ x）（ a ＞0，且 a ≠1）的方程，化
为 f （ x ）＝ g （ x ）求解；
（2）换元法：形如 a2 x ＋ b · ax ＋ c ＝0（ a ＞0，且 a ≠1）的方程，
用换元法求解，求解时应特别注意 ax ＞0.
【跟踪训练】
1. 已知方程81×32 x ＝ ，则 x ＝ .
解析：∵81×32 x ＝ ，∴32 x＋4＝3－2（ x＋2），∴2 x ＋4＝－2
（ x ＋2），解得 x ＝－2.
－2
2. 设0＜ a ＜1，则关于 x 的不等式 ＞1的解集为 .
解析：因为0＜ a ＜1，不等式 ＞1＝ a0变为2 x2－7 x ＋3
＜0，解得 ＜ x ＜3.
题型三 指数型函数的单调性
【例3】 判断 f （ x ）＝ 的单调性，并求其值域.
解：令 u ＝ x2－2 x ，则原函数变为 y ＝ .
∵ u ＝ x2－2 x ＝（ x －1）2－1在（－∞，1]上单调递减，在[1，＋
∞）上单调递增，又∵ y ＝ 在（－∞，＋∞）上为减函数，
∴ y ＝ 在（－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞）上单调递减.
∵ u ＝ x2－2 x ＝（ x －1）2－1≥－1，
∴ y ＝ ， u ∈[－1，＋∞），
∴0＜ ≤ ＝3，∴原函数的值域为（0，3].
【母题探究】
1. （变条件，变设问）若函数 y ＝｜2 x －1｜在（－∞， m ]上单调递
减，则 m 的取值范围是 .
解析：在平面直角坐标系中作出 y ＝2 x 的图象，把图象沿 y 轴向下
平移1个单位长度得到 y ＝2 x －1的图象，再把 y ＝2 x －1在 x 轴下方
的图象翻折到 x 轴上方，其余部分不变.如图，得到 y ＝｜2 x －1｜
的图象，由图可知 y ＝｜2 x －1｜在（－∞，0]上单调递减，故 m
∈（－∞，0].
（－∞，0]
2. （变条件，变设问）把本例的函数变为“ f （ x ）＝ ”，求
其单调区间.
解：函数 y ＝ 的定义域为R.
令 u ＝－ x2＋2 x ，则 y ＝2 u .
当 x ∈（－∞，1]时，函数 u ＝－ x2＋2 x 单调递增，函数 y ＝2 u 单
调递增，
所以函数 y ＝ 在（－∞，1]上单调递增.
当 x ∈[1，＋∞）时，函数 u ＝－ x2＋2 x 单调递减，函数 y ＝2 u 单
调递增，所以函数 y ＝ 在[1，＋∞）上单调递减.
综上，函数 y ＝ 的单调减区间是[1，＋∞），单调增区间
是（－∞，1].
通性通法
函数 y ＝ af（ x）（ a ＞0， a ≠1）的单调性的处理技巧
（1）指数型函数 y ＝ af（ x）（ a ＞0，且 a ≠1）的单调性由两点决定，
一是底数 a ＞1还是0＜ a ＜1；二是 f （ x ）的单调性，它由两个
函数 y ＝ au ， u ＝ f （ x ）复合而成；
（2）求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数
分解成 y ＝ f （ u ）， u ＝φ（ x ），通过考查 f （ u ）和φ（ x ）的
单调性，求出 y ＝ f （φ（ x ））的单调性.
【跟踪训练】
1. 画出函数 y ＝2－｜ x｜的图象，并根据图象求函数的单调区间.
解： y ＝2－｜ x｜＝的图象如图所示.
由图象可得函数 y ＝2－｜ x｜的单调递增区间为（－∞，0]，单调递
减区间为（0，＋∞）.
2. 函数 f （ x ）＝ ax （ a ＞0， a ≠1）在区间[1，2]上的最大值比最小
值大 ，求 a 的值.
解：①若 a ＞1，则 f （ x ）在[1，2]上单调递增，最大值为 a2，最
小值为 a .
所以 a2－ a ＝ ，解得 a ＝ 或 a ＝0（舍去）.
②若0＜ a ＜1，则 f （ x ）在[1，2]上单调递减，最大值为 a ，最小
值为 a2.
所以 a － a2＝ ，解得 a ＝ 或 a ＝0（舍去）.
综上所述， a 的值为 或 .
题型四 指数函数性质的综合应用
【例4】 已知定义在R上的函数 f （ x ）＝ a ＋ 是奇函数.
（1）求 a 的值；
解：∵ f （ x ）的定义域为R，且 f （ x ）为奇函数，
∴ f （0）＝0，即 a ＋ ＝0，∴ a ＝－ .
（2）判断 f （ x ）的单调性（不需要写出理由）；
解：由（1）知 f （ x ）＝－ ＋ ，
故 f （ x ）在R上为减函数.
（3）若对任意的 t ∈R，不等式 f （ t2－2 t ）＋ f （2 t2－ k ）＜0恒成
立，求实数 k 的取值范围.
解：∵ f （ x ）为奇函数，
∴ f （ t2－2 t ）＋ f （2 t2－ k ）＜0可化为 f （ t2－2 t ）＜ f （ k －2 t2）.
由（2）知 f （ x ）在R上为减函数，
∴ t2－2 t ＞ k －2 t2，
即3 t2－2 t － k ＞0对于一切 t ∈R恒成立，
∴Δ＝4＋12 k ＜0，得 k ＜－ ，
∴ k 的取值范围是 .
通性通法
解决指数函数性质的综合问题的注意点
（1）注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母
（或分子）有理化等变形技巧；
（2）解答函数问题注意应在函数定义域内进行；
（3）由于指数函数的单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论.
【跟踪训练】
已知函数 f （ x ）＝ · x3.
（1）求 f （ x ）的定义域；
解：由题意得2 x －1≠0，即 x ≠0，
∴ f （ x ）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）.
（2）讨论 f （ x ）的奇偶性；
解：由（1）知， f （ x ）的定义域关于原点对称.
令 g （ x ）＝ ＋ ＝ ，φ（ x ）＝ x3，
则 f （ x ）＝ g （ x ）·φ（ x ）.
∵ g （－ x ）＝ ＝ ＝－ g （ x ），
φ（－ x ）＝（－ x ）3＝－ x3＝－φ（ x ），
∴ f （－ x ）＝ g （－ x ）·φ（－ x ）＝[－ g （ x ）]·[－φ（ x ）]
＝ g （ x ）·φ（ x ）＝ f （ x ），
∴ f （ x ）＝ · x3为偶函数.
（3）证明： f （ x ）＞0.
解：证明：当 x ＞0时，2 x ＞1，
∴2 x －1＞0，∴ ＋ ＞0.
∵ x3＞0，∴ f （ x ）＞0.
由偶函数的图象关于 y 轴对称知，当 x ＜0时， f （ x ）＞0也成
立.故对于 x ∈（－∞，0）∪（0，＋∞），恒有 f （ x ）＞0.
1. 方程42 x－1＝16的解是（ ）
C. x ＝1 D. x ＝2
解析： ∵42 x－1＝42，∴2 x －1＝2，即 x ＝ .
2. 若函数 f （ x ）＝（1－2 a ） x 在实数集R上是减函数，则实数 a 的取
值范围是（ ）
A.
C. D.
解析： 由已知，得0＜1－2 a ＜1，解得0＜ a ＜ ，即实数 a 的
取值范围是 .
3. 函数 y ＝ 的单调递增区间为（ ）
A. （－∞，＋∞） B. （0，＋∞）
C. （1，＋∞） D. （0，1）
解析： 由已知得， f （ x ）的定义域为R. 设 u ＝1－ x ，则 y ＝
.因为 u ＝1－ x 在R上为减函数，又因为 y ＝ 在R上为减函
数，所以 y ＝ 在R上为增函数，故选A.
4. （多选）下列大小关系正确的有（ ）
A. 22.1＞2.12 B. 23.9＜3.92
解析： 当 x ∈（2，4）时，2 x ＜ x2，所以22.1＜2.12，23.9＜
3.92，故选项A错误，选项B正确；因为 y ＝ 为减函数，－0.2
＞－0.3，故 ＜ 成立，故选项C正确；对于D，因为 y
＝ 在（0，＋∞）上为增函数， ＜ ，所以（ ＜
（ ，故正确.故选B、C、D.
5. 不等式 ＞5 x＋1的解集是 .
解析：由 ＞5 x＋1得2 x2＞ x ＋1，解得 x ＜－ 或 x ＞1.
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 已知 a ＝0.52.1， b ＝20.5， c ＝0.22.1，则 a ， b ， c 的大小关系是
（ ）
A. a ＜ c ＜ b B. b ＞ a ＞ c
C. a ＜ b ＜ c D. c ＞ a ＞ b
解析： a ＝0.52.1∈（0，1）， b ＝20.5＞1， c ＝0.22.1∈（0，
1），由图象（图略）可知，0.52.1＞0.22.1，所以 a ＞ c ，所以 b ＞
a ＞ c .
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2. “2 x ≤1”是“ x ＞－1”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析： 由2 x ≤1＝20，得 x ≤0，所以“2 x ≤1”是“ x ＞－1”的
既不充分也不必要条件.故选D.
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3. 函数 y ＝ －1的值域为（ ）
A. [1，＋∞） B. （－1，1）
C. [－1，＋∞） D. [－1，1）
解析： ∵2 x ＞0，∴4－2 x ＜4.又∵4－2 x ≥0，∴0≤4－2 x ＜4.
令 t ＝4－2 x ，则 t ∈[0，4），∴ ∈[0，2），∴ y ∈[－1，1），
即函数的值域是[－1，1）.故选D.
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4. 若关于 x 的不等式 a2 x ≥ a3－ x （0＜ a ＜1）的解集为 A ，则函数 y ＝ 3 x＋1， x ∈ A 的最大值为（ ）
A. 1 B. 3 C. 6 D. 9
解析： ∵0＜ a ＜1，且 a2 x ≥ a3－ x ，∴2 x ≤3－ x ，解得 x ≤1，
∴ A ＝{ x ｜ x ≤1}.又函数 y ＝3 x＋1， x ∈ A 为增函数，∴当 x ＝1
时， y ＝3 x＋1取得最大值9.
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5. （2023·新高考Ⅰ卷4题）设函数 f （ x ）＝2 x（ x－ a）在区间（0，1）
上单调递减，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. （－∞，－2] B. [－2，0）
C. （0，2] D. [2，＋∞）
解析： 设 t ＝ x （ x － a ），易知函数 y ＝2 t 是增函数.因为 f
（ x ）＝2 x（ x－ a）在（0，1）上单调递减，所以由复合函数的
单调性可知函数 t ＝ x （ x － a ）在（0，1）上单调递减.因为
函数 t ＝ x （ x － a ）在（－∞， ）上单调递减，所以 ≥1，
即 a ≥2.故选D.
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6. （多选）若 f （ x ）＝3 x ＋1，则（ ）
A. f （ x ）在[－1，1]上单调递增
C. f （ x ）的图象过点（0，1）
D. f （ x ）的值域为[1，＋∞）
解析： f （ x ）＝3 x ＋1在R上为增函数，则A正确； y ＝3 x ＋1
与 y ＝3－ x ＋1的图象关于 y 轴对称，则B正确；由 f （0）＝2，得 f
（ x ）的图象过点（0，2），则C错误；由3 x ＞0，可得 f （ x ）＞
1，则D错误.故选A、B.
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7. 满足方程4 x ＋2 x －2＝0的 x 的值为 .
解析：设 t ＝2 x （ t ＞0），则原方程化为 t2＋ t －2＝0，∴ t ＝1或 t
＝－2.∵ t ＞0，∴ t ＝－2舍去.∴ t ＝1，即2 x ＝1，∴ x ＝0.
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8. 已知函数 f （ x ）＝ 为奇函数，则 n 的值为 .
解析：由 f （0）＝ ＝0，解得 n ＝2，当 n ＝2时， f （ x ）＝
，易证其是奇函数.
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9. 已知函数 y ＝ x2－4 x ＋1中的 x 满足 ≤2 x ，则该函数的值域
为 .
解析：由 ≤2 x ，得2－ x＋5≤2 x ，∴－ x ＋5≤ x ，解得 x ≥ .
又 y ＝ x2－4 x ＋1＝（ x －2）2－3在 上单调递增，∴ y ＝
x2－4 x ＋1＝（ x －2）2－3≥ －3＝－ .
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10. 若函数 y ＝ a － 为奇函数.
（1）确定 a 的值；
解：由奇函数的定义，可得 f （－ x ）＋ f （ x ）＝0，
即 a － ＋ a － ＝0，
∴2 a ＋ ＝0，∴ a ＝－ .
（2）求函数的定义域.
解：由（1）知 y ＝－ － ，∴2 x －1≠0，即 x
≠0，∴函数 y ＝－ － 的定义域为{ x ｜ x ≠0}.
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11. 若函数 f （ x ）＝ a｜2 x－4｜（ a ＞0，且 a ≠1）满足 f （1）＝ ，则 f
（ x ）的单调递减区间是（ ）
A. （－∞，2] B. [2，＋∞）
C. [－2，＋∞） D. （－∞，－2]
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解析： 由 f （1）＝ ，得 a2＝ ，于是 a ＝ ，因此 f （ x ）＝
.令 t ＝｜2 x －4｜，所以 h （ t ）＝ 为减函数.因
为 g （ x ）＝｜2 x －4｜在[2，＋∞）上单调递增，所以 f （ x ）的
单调递减区间是[2，＋∞）.故选B.
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12. （多选）已知函数 f （ x ）＝ ，则下列结论中正确的有（ ）
A. f （ x ）的图象关于原点对称
B. f （ x ）的图象关于 y 轴对称
C. f （ x ）的值域为（－1，1）
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解析： 对于选项A， f （ x ）＝ ，则 f （－ x ）＝
＝ ＝－ f （ x ），则 f （ x ）为奇函数，故图象关于原点对称，
故A正确；对于选项B，因为 f （1）＝－ ， f （－1）＝ ≠ f
（1），故 f （ x ）的图象不关于 y 轴对称，故B错误；对于选项
C， f （ x ）＝ ＝－1＋ ，令1＋2 x ＝ t ， t ∈（1，＋∞），
则 g （ t ）＝－1＋ ，易知－1＋ ∈（－1，1），故 f （ x ）的值
域为（－1，1），故C正确；
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对于选项D， f （ x ）＝ ＝－1＋ ，因为 t ＝1＋2 x 在R上为增函
数，所以 y ＝－1＋ 在（1，＋∞）上单调递减，由复合函数的单调
性的判断法则可得 f （ x ）在R上单调递减，故 x1， x2∈R，且 x1≠ x2，
＜0恒成立，故D正确.故选A、C、D.
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13. 函数 y ＝ 在区间（－∞，3）上单调递增，则实数 a 的
取值范围是 .若在区间[－1，1]上具有严格的单调
性，则实数 a 的取值范围是 .
解析： y ＝ 在（－∞，3）上单调递增，即二次函数 y
＝－ x2＋ ax －1在（－∞，3）上单调递增，因此需要对称轴 x ＝
≥3，解得 a ≥6.若函数在[－1，1]上具有严格的单调性，则 ≤
－1或 ≥1，解得 a ≤－2或 a ≥2.
[6，＋∞）
（－∞，－2]∪[2，＋∞）
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14. 已知函数 f （ x ）＝ .
（1）若 a ＝－1，求函数 f （ x ）的单调增区间；
解：当 a ＝－1时， f （ x ）＝ ，
令 g （ x ）＝－ x2－4 x ＋3＝－（ x ＋2）2＋7，
由于 g （ x ）在[－2，＋∞）上单调递减， y ＝ 在R上是
减函数，所以 f （ x ）在[－2，＋∞）上单调递增，即 f
（ x ）的单调增区间是[－2，＋∞）.
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（2）如果函数 f （ x ）有最大值3，求实数 a 的值.
解：令 h （ x ）＝ ax2－4 x ＋3， f （ x ）＝ ，
由于 f （ x ）有最大值3，所以 h （ x ）应有最小值－1.
因此必有解得 a ＝1，
即当 f （ x ）有最大值3时，实数 a 的值为1.
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解析：∵ f （ x ）＝3 x ＋2 m －1是定义在[－1，1]上的“倒戈函
数”，∴ x0∈[－1，1]满足 f （－ x0）＝－ f （ x0），∴ ＋2
m －1＝－ －2 m ＋1，∴4 m ＝－ － ＋2.构造函数 g
（ x ）＝－3－ x －3 x ＋2， x ∈[－1，1]，令 t ＝3 x ，则 t ∈［ ，
3］，则 g （ x ）可转化为 y ＝－ － t ＋2，易知 y ＝－ － t ＋2在
［ ，1］上单调递增，在[1，3]上单调递减，∴ y ∈［－ ，
0］，∴－ ≤4 m ＜0，∴－ ≤ m ＜0.
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16. 设 f （ x ）＝ ， g （ x ）＝ （其中 a ＞0且 a ≠1）.
（1）由5＝2＋3，请你探究 g （5）能否用 f （2）， g （2）， f
（3）， g （3）来表示；
解：∵ g （5）＝ ， f （2） g （3）＋ g （2） f
（3）＝ · ＋ ·
＝ （ a5＋ a － a－1－ a－5＋ a5－ a ＋ a－1－ a－5）
＝ （ a5－ a－5），
∴ g （5）＝ f （3） g （2）＋ g （3） f （2）.
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（2）如果你在（1）中获得了一个结论，请探究能否将其推广.
解：探究（1）中的等式，可以得 g （ x ＋ y ）＝ f （ x ） g
（ y ）＋ g （ x ） f （ y ）恒成立.
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证明： f （ x ） g （ y ）＋ g （ x ） f （ y ）
＝ · ＋ ·
＝ （ ax＋ y ＋ ay－ x － ax－ y － a－ x－ y ＋ ax＋ y － ay－ x ＋ ax－ y － a
－ x－ y ）＝ （ ax＋ y － a－ x－ y ）.
∵ g （ x ＋ y ）＝ ，
∴ g （ x ＋ y ）＝ f （ x ） g （ y ）＋ g （ x ） f （ y ）.
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谢 谢 观 看！第二课时 指数函数及其性质的应用
1.已知a＝0.52.1，b＝20.5，c＝0.22.1，则a，b，c的大小关系是（ ）
A.a＜c＜b B.b＞a＞c
C.a＜b＜c D.c＞a＞b
2.“2x≤1”是“x＞－1”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.函数y＝－1的值域为（ ）
A.[1，＋∞） B.（－1，1）
C.[－1，＋∞） D.[－1，1）
4.若关于x的不等式a2x≥a3－x（0＜a＜1）的解集为A，则函数y＝3x＋1，x∈A的最大值为（ ）
A.1 B.3
C.6 D.9
5.（2023·新高考Ⅰ卷4题）设函数f（x）＝2x（x－a）在区间（0，1）上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A.（－∞，－2] B.[－2，0）
C.（0，2] D.[2，＋∞）
6.（多选）若f（x）＝3x＋1，则（ ）
A.f（x）在[－1，1]上单调递增
B.y＝3x＋1与y＝＋1的图象关于y轴对称
C.f（x）的图象过点（0，1）
D.f（x）的值域为[1，＋∞）
7.满足方程4x＋2x－2＝0的x的值为 .
8.已知函数f（x）＝为奇函数，则n的值为 .
9.已知函数y＝x2－4x＋1中的x满足≤2x，则该函数的值域为 .
10.若函数y＝a－为奇函数.
（1）确定a的值；
（2）求函数的定义域.
11.若函数f（x）＝a｜2x－4｜（a＞0，且a≠1）满足f（1）＝，则f（x）的单调递减区间是（ ）
A.（－∞，2] B.[2，＋∞）
C.[－2，＋∞） D.（－∞，－2]
12.（多选）已知函数f（x）＝，则下列结论中正确的有（ ）
A.f（x）的图象关于原点对称
B.f（x）的图象关于y轴对称
C.f（x）的值域为（－1，1）
D. x1，x2∈R，且x1≠x2，＜0恒成立
13.函数y＝在区间（－∞，3）上单调递增，则实数a的取值范围是 .若在区间[－1，1]上具有严格的单调性，则实数a的取值范围是 .
14.已知函数f（x）＝.
（1）若a＝－1，求函数f（x）的单调增区间；
（2）如果函数f（x）有最大值3，求实数a的值.
15.对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（－x0）＝－f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”.设f（x）＝3x＋2m－1（m∈R，且m≠0）是定义在[－1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是 .
16.设f（x）＝，g（x）＝（其中a＞0且a≠1）.
（1）由5＝2＋3，请你探究g（5）能否用f（2），g（2），f（3），g（3）来表示；
（2）如果你在（1）中获得了一个结论，请探究能否将其推广.
第二课时 指数函数及其性质的应用
1.B a＝0.52.1∈（0，1），b＝20.5＞1，c＝0.22.1∈（0，1），由图象（图略）可知，0.52.1＞0.22.1，所以a＞c，所以b＞a＞c.
2.D 由2x≤1＝20，得x≤0，所以“2x≤1”是“x＞－1”的既不充分也不必要条件.故选D.
3.D ∵2x＞0，∴4－2x＜4.又∵4－2x≥0，∴0≤4－2x＜4.令t＝4－2x，则t∈[0，4），∴∈[0，2），∴y∈[－1，1），即函数的值域是[－1，1）.故选D.
4.D ∵0＜a＜1，且a2x≥a3－x，∴2x≤3－x，解得x≤1，∴A＝{x｜x≤1}.又函数y＝3x＋1，x∈A为增函数，∴当x＝1时，y＝3x＋1取得最大值9.
5.D 设t＝x（x－a），易知函数y＝2t是增函数.因为f（x）＝2x（x－a）在（0，1）上单调递减，所以由复合函数的单调性可知函数t＝x（x－a）在（0，1）上单调递减.因为函数t＝x（x－a）在（－∞，）上单调递减，所以≥1，即a≥2.故选D.
6.AB f（x）＝3x＋1在R上为增函数，则A正确；y＝3x＋1与y＝3－x＋1的图象关于y轴对称，则B正确；由f（0）＝2，得f（x）的图象过点（0，2），则C错误；由3x＞0，可得f（x）＞1，则D错误.故选A、B.
7.0 解析：设t＝2x（t＞0），则原方程化为t2＋t－2＝0，∴t＝1或t＝－2.∵t＞0，∴t＝－2舍去.∴t＝1，即2x＝1，∴x＝0.
8.2 解析：由f（0）＝＝0，解得n＝2，当n＝2时，f（x）＝，易证其是奇函数.
9. 解析：由≤2x，得2－x＋5≤2x，∴－x＋5≤x，解得x≥.又y＝x2－4x＋1＝（x－2）2－3在上单调递增，∴y＝x2－4x＋1＝（x－2）2－3≥－3＝－.
10.解：（1）由奇函数的定义，可得f（－x）＋f（x）＝0，
即a－＋a－＝0，
∴2a＋＝0，∴a＝－.
（2）由（1）知y＝－－，∴2x－1≠0，即x≠0，
∴函数y＝－－的定义域为{x｜x≠0}.
11.B 由f（1）＝，得a2＝，于是a＝，因此f（x）＝.令t＝｜2x－4｜，所以h（t）＝为减函数.因为g（x）＝｜2x－4｜在[2，＋∞）上单调递增，所以f（x）的单调递减区间是[2，＋∞）.故选B.
12.ACD 对于选项A，f（x）＝，则f（－x）＝＝＝－f（x），则f（x）为奇函数，故图象关于原点对称，故A正确；对于选项B，因为f（1）＝－，f（－1）＝≠f（1），故f（x）的图象不关于y轴对称，故B错误；对于选项C，f（x）＝＝－1＋，令1＋2x＝t，t∈（1，＋∞），则g（t）＝－1＋，易知－1＋∈（－1，1），故f（x）的值域为（－1，1），故C正确；对于选项D，f（x）＝＝－1＋，因为t＝1＋2x在R上为增函数，所以y＝－1＋在（1，＋∞）上单调递减，由复合函数的单调性的判断法则可得f（x）在R上单调递减，故 x1，x2∈R，且x1≠x2，＜0恒成立，故D正确.故选A、C、D.
13.[6，＋∞） （－∞，－2]∪[2，＋∞） 解析：y＝在（－∞，3）上单调递增，即二次函数y＝－x2＋ax－1在（－∞，3）上单调递增，因此需要对称轴x＝≥3，解得a≥6.若函数在[－1，1]上具有严格的单调性，则≤－1或≥1，解得a≤－2或a≥2.
14.解：（1）当a＝－1时，f（x）＝，
令g（x）＝－x2－4x＋3＝－（x＋2）2＋7，
由于g（x）在[－2，＋∞）上单调递减，y＝在R上是减函数，所以f（x）在[－2，＋∞）上单调递增，即f（x）的单调增区间是[－2，＋∞）.
（2）令h（x）＝ax2－4x＋3，f（x）＝，
由于f（x）有最大值3，所以h（x）应有最小值－1.
因此必有解得a＝1，
即当f（x）有最大值3时，实数a的值为1.
15.［－，0） 解析：∵f（x）＝3x＋2m－1是定义在[－1，1]上的“倒戈函数”，∴ x0∈[－1，1]满足f（－x0）＝－f（x0），∴＋2m－1＝－－2m＋1，∴4m＝－－＋2.构造函数g（x）＝－3－x－3x＋2，x∈[－1，1]，令t＝3x，则t∈［，3］，则g（x）可转化为y＝－－t＋2，易知y＝－－t＋2在［，1］上单调递增，在[1，3]上单调递减，∴y∈［－，0］，∴－≤4m＜0，∴－≤m＜0.
16.解：（1）∵g（5）＝，f（2）g（3）＋g（2）f（3）＝·＋·
＝（a5＋a－a－1－a－5＋a5－a＋a－1－a－5）＝（a5－a－5），
∴g（5）＝f（3）g（2）＋g（3）f（2）.
（2）探究（1）中的等式，可以得g（x＋y）＝f（x）g（y）＋g（x）f（y）恒成立.
证明：f（x）g（y）＋g（x）f（y）
＝·＋·
＝（ax＋y＋ay－x－ax－y－a－x－y＋ax＋y－ay－x＋ax－y－a－x－y）
＝（ax＋y－a－x－y）.
∵g（x＋y）＝，
∴g（x＋y）＝f（x）g（y）＋g（x）f（y）.
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