(共36张PPT)
拓 视 野 指数函数的图象变换
为研究函数图象的变换规律，某数学兴趣小组以指数函数 f （ x ）＝2 x
为例，借助几何画板画出了下面4组函数的图象：
（1） y ＝ f （ x －1）；（2） y ＝ f （｜ x ｜）＋1；（3） y ＝－ f
（ x ）；（4） y ＝｜ f （ x ）－1｜.
【例1】 请分别写出这4组函数的解析式.
解：（1） y ＝ f （ x －1）＝2 x－1.
（2） y ＝ f （｜ x ｜）＋1＝2｜ x｜＋1.
（3） y ＝－ f （ x ）＝－2 x .
（4） y ＝｜ f （ x ）－1｜＝｜2 x －1｜.
【例2】 若给出函数 f （ x ）＝4 x 的图象，能否由图象变换
的方法得到上面这4组函数的图象？若能，试分别写出图象
的变换过程.
解：能.（1）将函数 y ＝ f （ x ）＝4 x 的图象向右平移1个单位长
度得到函数 y ＝ f （ x －1）＝4 x－1的图象.
（2）保留函数 y ＝ f （ x ）＝4 x 在 y 轴右侧的图象，并对称至 y 轴
左侧，再向上平移1个单位长度得到 y ＝ f （｜ x ｜）＋1＝4｜ x｜
＋1的图象.
（4）将函数 y ＝ f （ x ）＝4 x 的图象向下平移1个单位长度得到
函数 y ＝ f （ x ）－1＝4 x －1的图象，再将 x 轴下方的图象沿 x 轴
翻折到 x 轴的上方，便得到函数｜ f （ x ）－1｜＝｜4 x －1｜的
图象.
（3）函数 y ＝－ f （ x ）＝－4 x 与 y ＝ f （ x ）＝4 x 的图象关于 x
轴对称.
方法总结
利用指数函数图象作有关函数图象的基本方法
对于与指数函数有关的函数的作图问题，一般宜用变换作
图法作图，这样有利于从整体上把握函数的性质.
提醒 函数 y ＝ a｜ x｜的图象关于 y 轴对称；函数 y ＝｜ ax － b ｜
的图象可由函数 y ＝ ax － b 的图象保持在 x 轴上及 x 轴上方的部
分不动，把 x 轴下方的部分翻折到 x 轴上方得到.
【迁移应用】
1. 函数 y ＝ 的图象是（ ）
解析： 因为 y ＝ ＝所以选B.
2. 若函数 y ＝｜3 x －2｜＋ m 的图象不经过第二象限，则实数 m 的取
值范围是 .
解析：作出函数 y ＝｜3 x －2｜的图象如图所示.
由图可知若函数 y ＝｜3 x －2｜＋ m 的图象不经过第二象限，则 m
≤－2.
（－∞，－2]
知能演练·扣课标
课后巩固 核心素养落地
1. 下列函数中，指数函数的个数为（ ）
① y ＝ ；② y ＝ ax （ a ＞0，且 a ≠1）；③ y ＝1 x ；④ y ＝
－1.
A. 0 B. 1 C. 3 D. 4
解析： 由指数函数的定义可判定，只有②正确.
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2. 函数 y ＝ 的定义域是（ ）
A. （－∞，0） B. （－∞，0]
C. [0，＋∞） D. （0，＋∞）
解析： 由 －1≥0，得 ≥ ，∴ x ≤0.
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3. 已知函数 f （ x ）＝ ax－2＋2（ a ＞0且 a ≠1）的图象恒过定点 A ，则
点 A 的坐标为（ ）
A. （0，1） B. （2，3）
C. （3，2） D. （2，2）
解析： 令 x －2＝0，可得 x ＝2，且 f （2）＝ a2－2＋2＝3，所以
函数的图象恒过定点（2，3），即点 A 的坐标为（2，3）.
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4. 函数 y ＝ a｜ x｜（ a ＞1）的图象是（ ）
解析： 函数 y ＝ a｜ x｜是偶函数，当 x ＞0时， y ＝ ax .由已知 a ＞
1，故选B.
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5. 已知函数 f （ x ）＝若 f （ a ）＜1，则实数 a 的
取值范围是（ ）
A. （－∞，－3）
B. （1，＋∞）
C. （－3，1）
D. （－∞，－3）∪（1，＋∞）
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解析： 由题意，知 f （ a ）＜1等价于或
解得－3＜ a ＜0或0≤ a ＜1，所以－3＜ a ＜1.故选C.
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6. （多选）下列说法正确的是（ ）
D. 函数 y ＝3 x 与 y ＝－3 x 的图象关于 x 轴对称
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解析： 易知函数 y ＝ ax 与 y ＝ ＝ a－ x （ a ＞0且 a ≠1）的
图象关于 y 轴对称，且函数 y ＝ 与 y ＝－ 的图象关于 x 轴
对称，所以函数 y ＝ ax 与 y ＝－ 的图象关于原点对称，所以B
说法错误.
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3 －3
解析：由题意知， f （ x ）的图象过点（0，－2）和（2，0），所
以所以所以 f （ x ）＝
（ ） x －3，所以 f （3）＝（ ）3－3＝3 －3.
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8. 若函数 f （ x ）＝ 的定义域是[1，＋∞），则 a 的取值范围
是 .
解析：∵ ax － a ≥0，∴ ax ≥ a ，∴当 a ＞1时， x ≥1.故函数定义域
为[1，＋∞）时， a ＞1.
（1，＋∞）
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9. 若函数 f （ x ）＝则函数 f （ x ）的值域是
.
解析：由 x ＜0，得0＜2 x ＜1；由 x ＞0，∴－ x ＜0，0＜2－ x ＜1，
∴－1＜－2－ x ＜0，∴函数 f （ x ）的值域为（－1，0）∪（0，1）.
（－1，
0）∪（0，1）
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10. 求函数 f （ x ）＝ 的定义域、值域.
解：因为要使函数有意义，则 x 应满足 x2－2 x ≥0，
即 x ≥2或 x ≤0，
所以所求函数的定义域为（－∞，0]∪[2，＋∞），
令 t ＝ －1，
所以 t ≥－1，
又 y ＝ 为减函数，
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所以0＜ ≤ ，
即0＜ ≤3，
所以 f （ x ）的值域为（0，3].
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11. 若函数 y ＝ ax ＋ b －1（ a ＞0，且 a ≠1）的图象经过第二、三、四
象限，则一定有（ ）
A. 0＜ a ＜1，且 b ＞0 B. a ＞1，且 b ＞0
C. 0＜ a ＜1，且 b ＜0 D. a ＞1，且 b ＜0
解析： 函数 y ＝ ax ＋ b －1（ a ＞0，且 a ≠1）的图象是由函数
y ＝ ax 的图象经过向上或向下平移而得到的，因其图象不经过第
一象限，所以 a ∈（0，1）.若经过第二、三、四象限，则需将函
数 y ＝ ax （0＜ a ＜1）的图象向下平移大于1个单位长度，即 b －1
＜－1，所以 b ＜0.
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12. 已知关于 x 的方程｜3 x －1｜＝ 有两个不等实根，则实数 a 的取
值范围是（ ）
A. （－∞，0） B. （0，2）
C. （0，＋∞） D. （0，1）
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解析： 函数 y ＝｜3 x －1｜＝其大致图象如图所示.关于 x 的方程｜3 x －1｜＝ 有两个不等实根等价于直线 y ＝ 与 y ＝｜3 x －1｜的图象有两个交点，由图可知0＜ ＜1，即0
＜ a ＜2.故选B.
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解析：当0＜ a ＜1时，函数 f （ x ）在[－1，0]上单调递减，由题
意可得即解得此时 a ＋
b ＝－ .当 a ＞1时，函数 f （ x ）在[－1，0]上单调递增，由题意
可得即显然无解.
综上， a ＋ b ＝－ .
－
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14. 已知函数 f （ x ）＝ ax－1（ x ≥0）的图象经过点 ，其中 a ＞
0且 a ≠1.
（1）求 a 的值；
解：因为函数图象经过点 ，
所以 a2－1＝ ，则 a ＝ .
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（2）求函数 y ＝ f （ x ）（ x ≥0）的值域.
解：由（1）知函数为 f （ x ）＝ （ x ≥0），
由 x ≥0，得 x －1≥－1.
于是0＜ ≤ ＝2，
所以函数的值域为（0，2].
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15. 已知函数 f （ x ）＝若存在 x1， x2， x3（ x1
＜ x2＜ x3），使 f （ x1）＝ f （ x2）＝ f （ x3），则 f （ x1＋ x2＋ x3）
的取值范围是（ ）
A. （0，1] B. [0，1]
C. （－∞，1] D. （－∞，1）
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解析： 作出 f （ x ）与直线 y ＝ a 的大致图
象如图，交点横坐标为 x1， x2， x3，自左向右
依次排列，由图可知， x1， x2关于 x ＝－1对
称， x3＞0，即 x1＋ x2＝－2，则 x1＋ x2＋ x3＞
－2.由图象知，当 x ＞－2时， f （ x ）∈[0，
1]，所以 f （ x1＋ x2＋ x2）∈[0，1].
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16. 对于函数 f1（ x ）， f2（ x ），如果存在实数 a ， b ，使得 f （ x ）
＝ af1（ x ）－ bf2（ x ），那么称 f （ x ）为 f1（ x ）， f2（ x ）的亲
子函数.
（1）已知 f1（ x ）＝2 x －3， f2（ x ）＝ x ＋1，试判断 f （ x ）＝4 x
－11是否为 f1（ x ）， f2（ x ）的亲子函数，若是，求出 a ，
b ；若不是，说明理由；
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解：假设 f （ x ）＝4 x －11是 f1（ x ）， f2（ x ）的亲子函数，
则 f （ x ）＝ af1（ x ）－ bf2（ x ），即4 x －11＝ a （2 x －3）
－ b （ x ＋1），
可得解得
所以 f （ x ）＝4 x －11是 f1（ x ）， f2（ x ）的亲子函数，且 a
＝3， b ＝2.
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（2）已知 f1（ x ）＝3 x ， f2（ x ）＝9 x ， f （ x ）为 f1（ x ）， f2
（ x ）的亲子函数，且 a ＝4， b ＝1.若 g （ x ）＝（ m ＋1）
f2（ x ）－ f （ x ）＋1，当－1≤ x ≤0时， g （ x ）≤0恒成
立，求正数 m 的取值范围.
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解：由亲子函数的定义可得 f （ x ）＝4·3 x －9 x ，
g （ x ）＝（ m ＋1）9 x －（4·3 x －9 x ）＋1＝（ m ＋2）9 x －4·3 x ＋1，
设3 x ＝ t ，－1≤ x ≤0时， t ∈ ，
g （ t ）＝（ m ＋2） t2－4 t ＋1为开口向上的抛物线，若 g （ t ）≤0恒成立，
可得
解得 m ≤1，
因为 m ＞0，所以0＜ m ≤1.
故正数 m 的取值范围为（0，1].
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谢 谢 观 看！指数函数的图象变换
为研究函数图象的变换规律，某数学兴趣小组以指数函数f（x）＝2x为例，借助几何画板画出了下面4组函数的图象：
（1）y＝f（x－1）；（2）y＝f（｜x｜）＋1；（3）y＝－f（x）；（4）y＝｜f（x）－1｜.
【例1】 请分别写出这4组函数的解析式.
尝试解答
【例2】 若给出函数f（x）＝4x的图象，能否由图象变换的方法得到上面这4组函数的图象？若能，试分别写出图象的变换过程.
尝试解答
方法总结
利用指数函数图象作有关函数图象的基本方法
对于与指数函数有关的函数的作图问题，一般宜用变换作图法作图，这样有利于从整体上把握函数的性质.
提醒 函数y＝a｜x｜的图象关于y轴对称；函数y＝｜ax－b｜的图象可由函数y＝ax－b的图象保持在x轴上及x轴上方的部分不动，把x轴下方的部分翻折到x轴上方得到.
【迁移应用】
1.函数y＝的图象是（ ）
2.（2024·合肥月考）若函数y＝｜3x－2｜＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是 .
拓视野 指数函数的图象变换
【例1】 解：（1）y＝f（x－1）＝2x－1.
（2）y＝f（｜x｜）＋1＝2｜x｜＋1.
（3）y＝－f（x）＝－2x.
（4）y＝｜f（x）－1｜＝｜2x－1｜.
【例2】 解：能.（1）将函数y＝f（x）＝4x的图象向右平移1个单位长度得到函数y＝f（x－1）＝4x－1的图象.
（2）保留函数y＝f（x）＝4x在y轴右侧的图象，并对称至y轴左侧，再向上平移1个单位长度得到y＝f（｜x｜）＋1＝4｜x｜＋1的图象.
（3）函数y＝－f（x）＝－4x与y＝f（x）＝4x的图象关于x轴对称.
（4）将函数y＝f（x）＝4x的图象向下平移1个单位长度得到函数y＝f（x）－1＝4x－1的图象，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴的上方，便得到函数｜f（x）－1｜＝｜4x－1｜的图象.
迁移应用
1.B 因为y＝＝所以选B.
2.（－∞，－2] 解析：作出函数y＝｜3x－2｜的图象如图所示.
由图可知若函数y＝｜3x－2｜＋m的图象不经过第二象限，则m≤－2.
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