一、数学运算
数学运算核心素养在本章中主要体现在指数幂的运算、幂的运算及函数求值（最值）等问题中.
培优一 指数与指数幂的运算
【例1】 （1）化简：（×（÷＝ ；
（2）已知a＝－，b＝，则÷＝ .
尝试解答
培优二 条件求值问题
【例2】 已知2x＋2－x＝a（常数），求8x＋8－x的值.
尝试解答
培优三 与指数函数有关的最值问题
【例3】 已知函数y＝4x－2x＋1＋5的定义域为[－1，3].
（1）求函数在[－1，3]的单调区间；
（2）求函数在[－1，3]的最大值和最小值.
尝试解答
二、直观想象
直观想象核心素养在本章中主要体现在指数函数图象的识别与应用问题中.
培优四 指数函数图象的识别
【例4】 定义运算a b＝则函数f（x）＝1 2x的图象是（ ）
尝试解答
培优五 指数函数图象的应用
【例5】 （1）若函数f（x）＝（x－a）（x－b）（a＞b）的图象如图所示，则g（x）＝a－x＋b的图象可能是（ ）
（2）已知f（x）＝｜3x－1｜＋1，若关于x的方程[f（x）]2－（2＋a）f（x）＋2a＝0有三个实根，则实数a的取值范围是（ ）
A.1＜a＜2 B.a＞2
C.2＜a＜3 D.a＞1
尝试解答
三、逻辑推理
逻辑推理核心素养在本章中主要体现在性质的判断及应用、比较大小和不等式的求解等问题中.
培优六 性质的判断及应用
【例6】 （1）已知函数f（x）＝3x－，则f（x）（ ）
A.是奇函数，且在R上是增函数
B.是偶函数，且在R上是增函数
C.是奇函数，且在R上是减函数
D.是偶函数，且在R上是减函数
（2）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（－∞，0）上单调递增.若实数a满足f（2｜a－1｜）＞f（－），则a的取值范围是 .
尝试解答
培优七 比较大小
【例7】 已知a＝0.3－2，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是（ ）
A.a＞b＞c B.a＞c＞b
C.c＞b＞a D.b＞a＞c
尝试解答
培优八 解不等式
【例8】 已知函数f（x）＝2x－x－1，则不等式f（x）＞0的解集是（ ）
A.（－1，1）
B.（－∞，－1）∪（1，＋∞）
C.（0，1）
D.（－∞，0）∪（1，＋∞）
尝试解答
章末复习与总结
【例1】 （1） （2） 解析：（1）原式＝×÷1＝2－1×103×1＝2－1×1＝.
（2）原式＝÷
＝×
＝＝＝.
由题意得，＝－，∴＝.
【例2】 解：8x＋8－x＝（2x）3＋（2－x）3＝（2x＋2－x）·[（2x）2－2x·2－x＋（2－x）2]＝（2x＋2－x）[（2x＋2－x）2－3]＝a（a2－3）.
【例3】 解：由题意得，y＝4x－2x＋1＋5＝（2x）2－2×2x＋5.
（1）令t＝2x，故y＝t2－2t＋5，对称轴为t＝1，
由于－1≤x≤3，所以t∈，根据复合函数单调性可知，函数y＝（2x）2－2×2x＋5在t∈，即x∈[－1，0）上单调递减，在t∈[1，8]，即x∈[0，3]上单调递增.
（2）由（1）知，当x＝0时，函数y＝（2x）2－2×2x＋5有最小值为4；当x＝－1时，y＝；当x＝3时，y＝53.所以函数y＝（2x）2－2×2x＋5的最大值为53.
【例4】 A 由题意，知f（x）＝1 2x＝只有选项A中的图象符合要求.故选A.
【例5】 （1）C （2）A 解析：（1）根据函数f（x）＝（x－a）（x－b）（a＞b）的图象知a＞1，－1＜b＜0，g（x）＝a－x＋b＝＋b，根据函数平移变换知选项C满足条件，故选C.
（2）由题得[f（x）－2]·[f（x）－a]＝0，所以f（x）＝2或f（x）＝a，所以｜3x－1｜＋1＝2或｜3x－1｜＋1＝a，所以｜3x－1｜＝1或｜3x－1｜＝a－1，｜3x－1｜＝1有一个根，所以方程｜3x－1｜＝a－1有两个不同的实根，函数y＝｜3x－1｜的图象如图所示，所以0＜a－1＜1，所以1＜a＜2.故选A.
【例6】 （1）B （2）（，） 解析：（1）因为f（x）＝3x－，且定义域为R，
所以f（－x）＝3－x－＝－3x＝－＝－f（x），即函数f（x）是奇函数.
又y＝3x在R上是增函数，y＝在R上是减函数，所以f（x）＝3x－在R上是增函数.
（2）∵f（x）是偶函数，且在（－∞，0）上单调递增，
∴f（x）在（0，＋∞）上单调递减，f（－）＝f（），
∴f（2｜a－1｜）＞f（），∴2｜a－1｜＜＝，
∴｜a－1｜＜，即－＜a－1＜，即＜a＜.
【例7】 B ∵b＝＜c＝＜1，a＝0.3－2＞1，∴a＞c＞b.故选B.
【例8】 D 函数f（x）＝2x－x－1，则不等式f（x）＞0的解集即2x＞x＋1的解集，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2x，y＝x＋1的图象（图略），结合图象易得2x＞x＋1的解集为（－∞，0）∪（1，＋∞），故选D.
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章末复习与总结
一、数学运算
数学运算核心素养在本章中主要体现在指数幂的运算、幂的运算
及函数求值（最值）等问题中.
培优一 指数与指数幂的运算
【例1】 （1）化简：（ ×（ ÷ ＝ ；
解析：原式＝ × ÷1 ＝2－1×103×1 ＝2－1×1 ＝
.
（2）已知 a ＝－ ， b ＝ ，则 ÷ ＝ .
解析：原式＝ ÷
＝ ×
＝ ＝ ＝ .
由题意得， ＝－ ，∴ ＝ .
培优二 条件求值问题
【例2】 已知2 x ＋2－ x ＝ a （常数），求8 x ＋8－ x 的值.
解：8 x ＋8－ x ＝（2 x ）3＋（2－ x ）3＝（2 x ＋2－ x ）·[（2 x ）2－2 x ·2－ x
＋（2－ x ）2]＝（2 x ＋2－ x ）[（2 x ＋2－ x ）2－3]＝ a （ a2－3）.
培优三 与指数函数有关的最值问题
【例3】 已知函数 y ＝4 x －2 x＋1＋5的定义域为[－1，3].
（1）求函数在[－1，3]的单调区间；
解：由题意得， y ＝4 x －2 x＋1＋5＝（2 x ）2－2×2 x ＋5.
令 t ＝2 x ，故 y ＝ t2－2 t ＋5，对称轴为 t ＝1，
由于－1≤ x ≤3，所以 t ∈ ，根据复合函数单调性可知，
函数 y ＝（2 x ）2－2×2 x ＋5在 t ∈ ，即 x ∈[－1，0）上
单调递减，在 t ∈[1，8]，即 x ∈[0，3]上单调递增.
（2）求函数在[－1，3]的最大值和最小值.
解：由（1）知，当 x ＝0时，函数 y ＝（2 x ）2－2×2 x ＋5有最小
值为4；当 x ＝－1时， y ＝ ；当 x ＝3时， y ＝53.所以函数 y ＝
（2 x ）2－2×2 x ＋5的最大值为53.
二、直观想象
直观想象核心素养在本章中主要体现在指数函数图象的识别与应
用问题中.
培优四 指数函数图象的识别
【例4】 定义运算 a b ＝则函数 f （ x ）＝1 2 x 的图象
是（ ）
解析： 由题意，知 f （ x ）＝1 2 x ＝只有选项A中的
图象符合要求.故选A.
培优五 指数函数图象的应用
【例5】 （1）若函数 f （ x ）＝（ x － a ）（ x － b ）（ a ＞ b ）的图
象如图所示，则 g （ x ）＝ a－ x ＋ b 的图象可能是（ C ）
C
解析：根据函数 f （ x ）＝（ x － a ）（ x － b ）（ a ＞ b ）的图象知 a
＞1，－1＜ b ＜0， g （ x ）＝ a－ x ＋ b ＝ ＋ b ，根据函数平移变换
知选项C满足条件，故选C.
（2）已知 f （ x ）＝｜3 x －1｜＋1，若关于 x 的方程[ f （ x ）]2－（2
＋ a ） f （ x ）＋2 a ＝0有三个实根，则实数 a 的取值范围是
（ A ）
A. 1＜ a ＜2 B. a ＞2
C. 2＜ a ＜3 D. a ＞1
A
解析：由题得[ f （ x ）－2]·[ f （ x ）－ a ]＝0，所以 f （ x ）＝2
或 f （ x ）＝ a ，所以｜3 x －1｜＋1＝2或｜3 x －1｜＋1＝ a ，所
以｜3 x －1｜＝1或｜3 x －1｜＝ a －1，｜3 x －1｜＝1有一个根，
所以方程｜3 x －1｜＝ a －1有两个不同的实根，函数 y ＝｜3 x －
1｜的图象如图所示，所以0＜ a －1＜1，所以1＜ a ＜2.故选A.
三、逻辑推理
逻辑推理核心素养在本章中主要体现在性质的判断及应用、比较
大小和不等式的求解等问题中.
培优六 性质的判断及应用
【例6】 （1）已知函数 f （ x ）＝3 x － ，则 f （ x ）（ B ）
A. 是奇函数，且在R上是增函数
B. 是偶函数，且在R上是增函数
C. 是奇函数，且在R上是减函数
D. 是偶函数，且在R上是减函数
B
解析：因为 f （ x ）＝3 x － ，且定义域为R，
所以 f （－ x ）＝3－ x － ＝ －3 x ＝－ ＝－ f
（ x ），即函数 f （ x ）是奇函数.
又 y ＝3 x 在R上是增函数， y ＝ 在R上是减函数，所以 f （ x ）＝3 x
－ 在R上是增函数.
（2）已知 f （ x ）是定义在R上的偶函数，且在区间（－∞，0）上单
调递增.若实数 a 满足 f （2｜ a－1｜）＞ f （－ ），则 a 的取值范
围是（ .
解析：∵ f （ x ）是偶函数，且在（－∞，0）上单调递增，
∴ f （ x ）在（0，＋∞）上单调递减， f （－ ）＝ f （ ），
∴ f （2｜ a－1｜）＞ f （ ），∴2｜ a－1｜＜ ＝ ，
∴｜ a －1｜＜ ，即－ ＜ a －1＜ ，即 ＜ a ＜ .
（
， ）
培优七 比较大小
【例7】 已知 a ＝0.3－2， b ＝ ， c ＝ ，则 a ， b ， c 的大
小关系是（ ）
A. a ＞ b ＞ c B. a ＞ c ＞ b
C. c ＞ b ＞ a D. b ＞ a ＞ c
解析： ∵ b ＝ ＜ c ＝ ＜1， a ＝0.3－2＞1，∴ a ＞ c ＞
b .故选B.
培优八 解不等式
【例8】 已知函数 f （ x ）＝2 x － x －1，则不等式 f （ x ）＞0的解集
是（ ）
A. （－1，1）
B. （－∞，－1）∪（1，＋∞）
C. （0，1）
D. （－∞，0）∪（1，＋∞）
解析： 函数 f （ x ）＝2 x － x －1，则不等式 f （ x ）＞0的解集即2 x
＞ x ＋1的解集，在同一平面直角坐标系中画出函数 y ＝2 x ， y ＝ x ＋1
的图象（图略），结合图象易得2 x ＞ x ＋1的解集为（－∞，0）∪
（1，＋∞），故选D.
谢 谢 观 看！
