章末检测（三） 指数运算与指数函数
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设a＞0，将表示成分数指数幂，下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
2.－（1－0.5－2）÷＝（ ）
A.－ B. C. D.
3.函数f（x）＝＋的定义域为（ ）
A.（－3，0] B.（－3，1]
C.（－∞，－3）∪（－3，0] D.（－∞，－3）∪（－3，1]
4.函数f（x）＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（ ）
A.a＞1，b＜0 B.a＞1，b＞0
C.0＜a＜1，0＜b＜1 D.0＜a＜1，b＜0
5.某地为了保护水土资源，实行退耕还林，如果2018年退耕8万公顷，以后每年比上一年增加10%，那么2024年需退耕（ ）
A.8×1.14万公顷 B.8×1.15万公顷
C.8×1.16万公顷 D.8×1.13万公顷
6.设a＝0.60.4，b＝0.40.6，c＝0.40.4，则a，b，c的大小关系为（ ）
A.a＜b＜c B.b＜c＜a C.c＜a＜b D.c＜b＜a
7.已知函数f（x）＝e｜x｜＋x2（e为自然对数的底数），且f（3a－2）＞f（a－1），则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C.∪ D.∪
8.已知函数f（x）＝＋1，－2≤x≤2，则函数y＝f（x）＋f（2x）的最大值是（ ）
A.7 B.8 C.21 D.22
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.下列各式中一定成立的有（ ）
A.＝n7 B.＝ C.＝（x＋y D.＝
10.设指数函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1），则下列等式中正确的是（ ）
A.f（x＋y）＝f（x）f（y） B.f（x－y）＝
C.f＝f（x）－f（y） D.f（nx）＝[f（x）]n（n∈Q）
11.函数y＝｜ax－1｜的图象如图，则下列说法正确的是（ ）
A.a＞1
B.0＜a＜1
C.当x＞0时，a越大，ax越大
D.方程｜ax－1｜＝b有两个不相等实根，则0＜b＜1
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.设2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则x＋y＝ .
13.已知函数f（x）满足：
（1）对于任意的x1，x2∈R，有f（x1＋x2）＝f（x1）·f（x2）；
（2）满足“对任意x1，x2∈R，且x1≠x2，都有＜0”.
请写出一个满足这些条件的函数 .（写出一个即可）
14.已知函数f（x）＝（a＞0，a≠1）的值域为R，则实数a的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）化简下列各式（a＞0，b＞0）：
（1） ；
（2）（b）x··（.
16.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）在区间[1，2]上的最大值为m，最小值为n.
（1）若m＋n＝6，求实数a的值；
（2）若m＝2n，求实数a的值.
17.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝a3x＋1，g（x）＝，其中a＞0，且a≠1.
（1）若0＜a＜1，求不等式f（x）＜1的解集；
（2）求不等式f（x）≥g（x）的解集.
18.（本小题满分17分）已知函数f（x）＝x3（a＞0，且a≠1）.
（1）讨论f（x）的奇偶性；
（2）求a的取值范围，使f（x）＞0在定义域上恒成立.
19.（本小题满分17分）定义在D上的函数f（x），如果满足对任意x∈D，存在常数M＞0，都有｜f（x）｜≤M成立，则称f（x）在D上为有界函数，其中M称为函数f（x）的上界.已知函数f（x）＝1＋a·＋.
（1）当a＝1时，求函数f（x）在（－∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（－∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，＋∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围.
章末检测（三） 指数运算与指数函数
1.C 由题意＝＝，故选C.
2.D 原式＝1－（1－22）÷＝1－（－3）×＝.故选D.
3.A 由题意得所以－3＜x≤0，即所求函数的定义域为（－3，0].
4.D 法一 由题图可知0＜a＜1，当x＝0时，a－b∈（0，1），故－b＞0，得b＜0.故选D.
法二 由图可知0＜a＜1，f（x）的图象可由函数y＝ax的图象向左平移得到，故－b＞0，则b＜0.故选D.
5.C 根据题意，知2018年退耕8万公顷，x年后退耕8×1.1x万公顷，所以2024年退耕亩数为8×1.16万公顷.
6.B 根据a＝0.60.4，c＝0.40.4，由幂函数的性质可得a＞c，又b＝0.40.6，c＝0.40.4，由函数y＝0.4x的性质可得b＜c，所以b＜c＜a.故选B.
7.C 易知f（x）＝e｜x｜＋x2为偶函数，所以f（3a－2）＞f（a－1）同解于f（｜3a－2｜）＞f（｜a－1｜）.又因为在[0，＋∞）上，f（x）＝e｜x｜＋x2单调递增，所以f（｜3a－2｜）＞f（｜a－1｜） ｜3a－2｜＞｜a－1｜，两边平方得8a2－10a＋3＞0，解得a＜或a＞，故选C.
8.B 由题意得，y＝f（x）＋f（2x）＝＋＋2，∵f（x）的定义域为[－2，2]，∴y＝f（x）＋f（2x）的定义域应满足－2≤2x≤2即x∈[－1，1]，令t＝，则t∈，则y＝f（t）＝t2＋t＋2，t∈，又f（t）在上单调递增，∴f（t）max＝f（2）＝8，即函数y＝f（x）＋f（2x）的最大值为8.故选B.
9.BD A中应为＝n7m－7；＝＝，B正确；C中当x＝y＝1时，等式不成立；D正确.故选B、D.
10.ABD f（x＋y）＝ax＋y＝axay＝f（x）f（y），故A中的等式正确；f（x－y）＝ax－y＝axa－y＝＝，故B中的等式正确；f（）＝＝（ax，f（x）－f（y）＝ax－ay≠（ax，故C中的等式错误；f（nx）＝anx＝（ax）n＝[f（x）]n，故D中的等式正确.
11.BD 将y＝ax的图象向下平移一个单位长度，再把x轴下方的图象翻折到x轴上方，就得到y＝｜ax－1｜的图象.因此由图可知0＜a＜1.在y轴右侧a越大，ax越小；若y＝b与y＝｜ax－1｜的图象有两个不同交点，则0＜b＜1，故选B、D.
12.27 解析：由2x＝8y＋1得2x＝23y＋3，所以x＝3y＋3.①
由9y＝3x－9得32y＝3x－9，所以2y＝x－9. ②
由①②联立方程组，解得x＝21，y＝6，所以x＋y＝27.
13.f（x）＝e－x（答案不唯一） 解析：根据指数的运算性质，am＋n＝aman，可得所有指数函数f（x）均满足f（x1＋x2）＝f（x1）·f（x2），又∵满足“对任意x1，x2∈R，且x1≠x2，都有＜0”，即函数是一个在R上的减函数，综上所述，任一底数大于0小于1的指数函数均可.故其中一个函数为f（x）＝e－x.
14. 解析：由题意，y＝6a－x，x＞0的值域为（－∞，6a），要使得f（x）＝（a＞0，a≠1）的值域为R，y＝ax必为减函数，因此0＜a＜1，作出函数图象如图，由图象可知解得≤a＜1.
15.解：（1） ＝
＝ ＝ ＝.
（2）原式＝（b）x··（
＝（·bx）·（·）·
＝abx×a×b－x＝a1＋1bx－x＝a2.
16.解：（1）因为无论0＜a＜1还是a＞1，函数f（x）的最大值都是a和a2中的一个，最小值为另一个，
所以a2＋a＝6，解得a＝2或a＝－3（舍去），
故实数a的值为2.
（2）当0＜a＜1时，函数f（x）＝ax在区间[1，2]上单调递减，其最大值m＝f（1）＝a，最小值n＝f（2）＝a2，
所以由题意，得a＝2a2，解得a＝或a＝0（舍去），所以a＝.
当a＞1时，函数f（x）＝ax在区间[1，2]上单调递增，其最大值m＝f（2）＝a2，最小值n＝f（1）＝a，
所以由题意，得a2＝2a，解得a＝2或a＝0（舍去），所以a＝2.综上，实数a的值为或2.
17.解：（1）当0＜a＜1时，f（x）＝a3x＋1在R上为减函数.
由f（x）＜1，得a3x＋1＜a0，
所以3x＋1＞0，解得x＞－，
故该不等式的解集为.
（2）由不等式f（x）≥g（x），得a3x＋1≥a2x－5.
当0＜a＜1时，可得3x＋1≤2x－5，解得x≤－6，所以不等式的解集为{x｜x≤－6}.
当a＞1时，可得3x＋1≥2x－5，解得x≥－6，所以不等式的解集为{x｜x≥－6}.
综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为{x｜x≤－6}；当a＞1时，不等式的解集为{x｜x≥－6}.
18.解：（1）由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0，
∴函数f（x）的定义域为{x｜x≠0}.
对于定义域内任意x，有f（－x）＝（＋）（－x）3＝（＋）（－x）3＝（－1－＋）（－x）3＝（＋）x3＝f（x），∴函数f（x）是偶函数.
（2）由（1）知f（x）为偶函数，∴只需讨论x＞0时的情况，当x＞0时，要使f（x）＞0，
则x3＞0，即＋＞0，即＞0，则ax＞1.
又∵x＞0，∴a＞1.∴当a∈（1，＋∞）时，f（x）＞0在定义域上恒成立.
19.解：（1）当a＝1时，f（x）＝1＋＋.
令t＝，由x＜0可得t＞1，
f（x）＝h（t）＝t2＋t＋1＝＋，
因为h（t）在（1，＋∞）上单调递增，
故f（x）＞h（1）＝3，f（x）在（－∞，0）上的值域为（3，＋∞）.
故不存在常数M＞0，使｜f（x）｜≤M成立，
故函数f（x）在（－∞，0）上不是有界函数.
（2）若函数f（x）在[0，＋∞）上是以3为上界的有界函数，则当x≥0时，｜f（x）｜≤3恒成立.
故有－3≤f（x）≤3，
即－4－≤a·≤2－，
所以－4·2x－≤a≤2·2x－.
求得－4·2x－的最大值为－4－1＝－5，
2·2x－的最小值为2－1＝1，
故有－5≤a≤1，即a的取值范围为[－5，1].
3 / 3(共33张PPT)
章末检测（三）
指数运算与指数函数
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设 a ＞0，将 表示成分数指数幂，下列选项正确的是（ ）
解析： 由题意 ＝ ＝ ，故选C.
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2. －（1－0.5－2）÷ ＝（ ）
A. －
C. D.
解析： 原式＝1－（1－22）÷ ＝1－（－3）× ＝ .
故选D.
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3. 函数 f （ x ）＝ ＋ 的定义域为（ ）
A. （－3，0]
B. （－3，1]
C. （－∞，－3）∪（－3，0]
D. （－∞，－3）∪（－3，1]
解析： 由题意得所以－3＜ x ≤0，即所求函数的
定义域为（－3，0].
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4. 函数 f （ x ）＝ ax－ b 的图象如图所示，其中 a ， b 为常数，则下列结
论正确的是（ ）
A. a ＞1， b ＜0
B. a ＞1， b ＞0
C. 0＜ a ＜1，0＜ b ＜1
D. 0＜ a ＜1， b ＜0
解析： 法一 由题图可知0＜ a ＜1，当 x ＝0时， a－ b ∈（0，
1），故－ b ＞0，得 b ＜0.故选D.
法二 由图可知0＜ a ＜1， f （ x ）的图象可由函数 y ＝ ax 的图象向左
平移得到，故－ b ＞0，则 b ＜0.故选D.
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5. 某地为了保护水土资源，实行退耕还林，如果2018年退耕8万公
顷，以后每年比上一年增加10%，那么2024年需退耕（ ）
A. 8×1.14万公顷 B. 8×1.15万公顷
C. 8×1.16万公顷 D. 8×1.13万公顷
解析： 根据题意，知2018年退耕8万公顷， x 年后退耕8×1.1 x
万公顷，所以2024年退耕亩数为8×1.16万公顷.
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6. 设 a ＝0.60.4， b ＝0.40.6， c ＝0.40.4，则 a ， b ， c 的大小关系为
（ ）
A. a ＜ b ＜ c B. b ＜ c ＜ a
C. c ＜ a ＜ b D. c ＜ b ＜ a
解析： 根据 a ＝0.60.4， c ＝0.40.4，由幂函数的性质可得 a ＞
c ，又 b ＝0.40.6， c ＝0.40.4，由函数 y ＝0.4 x 的性质可得 b ＜ c ，
所以 b ＜ c ＜ a .故选B.
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7. 已知函数 f （ x ）＝e｜ x｜＋ x2（e为自然对数的底数），且 f （3 a －
2）＞ f （ a －1），则实数 a 的取值范围是（ ）
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解析： 易知 f （ x ）＝e｜ x｜＋ x2为偶函数，所以 f （3 a －2）＞ f
（ a －1）同解于 f （｜3 a －2｜）＞ f （｜ a －1｜）.又因为在[0，
＋∞）上， f （ x ）＝e｜ x｜＋ x2单调递增，所以 f （｜3 a －2｜）＞ f
（｜ a －1｜） ｜3 a －2｜＞｜ a －1｜，两边平方得8 a2－10 a ＋3
＞0，解得 a ＜ 或 a ＞ ，故选C.
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8. 已知函数 f （ x ）＝ ＋1，－2≤ x ≤2，则函数 y ＝ f （ x ）＋ f
（2 x ）的最大值是（ ）
A. 7 B. 8
C. 21 D. 22
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解析： 由题意得， y ＝ f （ x ）＋ f （2 x ）＝ ＋ ＋2，
∵ f （ x ）的定义域为[－2，2]，∴ y ＝ f （ x ）＋ f （2 x ）的定义域
应满足－2≤2 x ≤2即 x ∈[－1，1]，令 t ＝ ，则 t ∈ ，
则 y ＝ f （ t ）＝ t2＋ t ＋2， t ∈ ，又 f （ t ）在 上单调
递增，∴ f （ t ）max＝ f （2）＝8，即函数 y ＝ f （ x ）＋ f （2 x ）的
最大值为8.故选B.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对
的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列各式中一定成立的有（ ）
A. ＝ n7 ＝
C. ＝（ x ＋ y D. ＝
解析： A中应为 ＝ n7 m－7； ＝ ＝ ，B
正确；C中当 x ＝ y ＝1时，等式不成立；D正确.故选B、D.
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10. 设指数函数 f （ x ）＝ ax （ a ＞0，且 a ≠1），则下列等式中正确
的是（ ）
A. f （ x ＋ y ）＝ f （ x ） f （ y ）
D. f （ nx ）＝[ f （ x ）] n （ n ∈Q）
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解析： f （ x ＋ y ）＝ ax＋ y ＝ axay ＝ f （ x ） f （ y ），故A中
的等式正确； f （ x － y ）＝ ax－ y ＝ axa－ y ＝ ＝ ，故B中的
等式正确； f （ ）＝ ＝（ ax ， f （ x ）－ f （ y ）＝ ax － ay
≠（ ax ，故C中的等式错误； f （ nx ）＝ anx ＝（ ax ） n ＝[ f
（ x ）] n ，故D中的等式正确.
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11. 函数 y ＝｜ ax －1｜的图象如图，则下列说法正确的是（ ）
A. a ＞1
B. 0＜ a ＜1
C. 当 x ＞0时， a 越大， ax 越大
D. 方程｜ ax －1｜＝ b 有两个不相等实根，则0＜ b ＜1
解析： 将 y ＝ ax 的图象向下平移一个单位长度，再把 x 轴下
方的图象翻折到 x 轴上方，就得到 y ＝｜ ax －1｜的图象.因此由图
可知0＜ a ＜1.在 y 轴右侧 a 越大， ax 越小；若 y ＝ b 与 y ＝｜ ax －
1｜的图象有两个不同交点，则0＜ b ＜1，故选B、D.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中
横线上）
12. 设2 x ＝8 y＋1，9 y ＝3 x－9，则 x ＋ y ＝ .
解析：由2 x ＝8 y＋1得2 x ＝23 y＋3，所以 x ＝3 y ＋3. ①
由9 y ＝3 x－9得32 y ＝3 x－9，所以2 y ＝ x －9. ②
由①②联立方程组，解得 x ＝21， y ＝6，所以 x ＋ y ＝27.
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13. 已知函数 f （ x ）满足：
（1）对于任意的 x1， x2∈R，有 f （ x1＋ x2）＝ f （ x1）· f
（ x2）；
（2）满足“对任意 x1， x2∈R，且 x1≠ x2，都有 ＜0”.
请写出一个满足这些条件的函数
.（写出一个即可）
f （ x ）＝e－ x （答案不唯
一）
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解析：根据指数的运算性质， am＋ n ＝ aman ，可得所有指数函数 f （ x ）均满足 f （ x1＋ x2）＝ f （ x1）· f （ x2），又∵满足“对任意 x1， x2∈R，且 x1≠ x2，都有 ＜0”，即函数是一个在R上的减函数，综上所述，任一底数大于0小于1的指数函数均可.故其中一个函数为 f （ x ）＝e－ x .
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14. 已知函数 f （ x ）＝（ a ＞0， a ≠1）的值域为R，
则实数 a 的取值范围是 .
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解析：由题意， y ＝6 a － x ， x ＞0的值域为（－∞，6 a ），要使
得 f （ x ）＝（ a ＞0， a ≠1）的值域为R， y ＝ ax
必为减函数，因此0＜ a ＜1，作出函数图象如图，由图象可知
解得 ≤ a ＜1.
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）化简下列各式（ a ＞0， b ＞0）：
（1） ；
解： ＝ ＝
＝ ＝ .
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（2）（ b ） x · ·（ .
解：原式＝（ b ） x · ·（
＝（ · bx ）·（ · ）·
＝ abx × a × b－ x ＝ a1＋1 bx－ x ＝ a2.
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16. （本小题满分15分）已知函数 f （ x ）＝ ax （ a ＞0，且 a ≠1）在
区间[1，2]上的最大值为 m ，最小值为 n .
（1）若 m ＋ n ＝6，求实数 a 的值；
解：因为无论0＜ a ＜1还是 a ＞1，函数 f （ x ）的最大
值都是 a 和 a2中的一个，最小值为另一个，
所以 a2＋ a ＝6，解得 a ＝2或 a ＝－3（舍去），
故实数 a 的值为2.
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（2）若 m ＝2 n ，求实数 a 的值.
解：当0＜ a ＜1时，函数 f （ x ）＝ ax 在区间[1，2]上
单调递减，其最大值 m ＝ f （1）＝ a ，最小值 n ＝ f （2）＝a2，
所以由题意，得 a ＝2 a2，解得 a ＝ 或 a ＝0（舍去），所以
a ＝ .
当 a ＞1时，函数 f （ x ）＝ ax 在区间[1，2]上单调递增，其
最大值 m ＝ f （2）＝ a2，最小值 n ＝ f （1）＝ a ，
所以由题意，得 a2＝2 a ，解得 a ＝2或 a ＝0（舍去），所以 a ＝2.综上，实数 a 的值为 或2.
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17. （本小题满分15分）已知函数 f （ x ）＝ a3 x＋1， g （ x ）＝
，其中 a ＞0，且 a ≠1.
（1）若0＜ a ＜1，求不等式 f （ x ）＜1的解集；
解：当0＜ a ＜1时， f （ x ）＝ a3 x＋1在R上为减函数.
由 f （ x ）＜1，得 a3 x＋1＜ a0，
所以3 x ＋1＞0，解得 x ＞－ ，
故该不等式的解集为 .
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（2）求不等式 f （ x ）≥ g （ x ）的解集.
解：由不等式 f （ x ）≥ g （ x ），得 a3 x＋1≥ a2 x－5.
当0＜ a ＜1时，可得3 x ＋1≤2 x －5，解得 x ≤－6，所以不
等式的解集为{ x ｜ x ≤－6}.
当 a ＞1时，可得3 x ＋1≥2 x －5，解得 x ≥－6，所以不等式
的解集为{ x ｜ x ≥－6}.
综上，当0＜ a ＜1时，不等式的解集为{ x ｜ x ≤－6}；当 a
＞1时，不等式的解集为{ x ｜ x ≥－6}.
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18. （本小题满分17分）已知函数 f （ x ）＝ x3（ a ＞0，且
a ≠1）.
（1）讨论 f （ x ）的奇偶性；
解：由于 ax －1≠0，则 ax ≠1，得 x ≠0，
∴函数 f （ x ）的定义域为{ x ｜ x ≠0}.
对于定义域内任意 x ，有 f （－ x ）＝（ ＋ ）（－ x ）3＝（ ＋ ）（－ x ）3＝（－1－ ＋ ）（－ x ）3＝
（ ＋ ） x3＝ f （ x ），
∴函数 f （ x ）是偶函数.
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（2）求 a 的取值范围，使 f （ x ）＞0在定义域上恒成立.
解：由（1）知 f （ x ）为偶函数，
∴只需讨论 x ＞0时的情况，当 x ＞0时，要使 f （ x ）＞0，
则 x3＞0，
即 ＋ ＞0，
即 ＞0，则 ax ＞1.
又∵ x ＞0，∴ a ＞1.∴当 a ∈（1，＋∞）时， f （ x ）＞0在
定义域上恒成立.
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19. （本小题满分17分）定义在 D 上的函数 f （ x ），如果满足对任意
x ∈ D ，存在常数 M ＞0，都有｜ f （ x ）｜≤ M 成立，则称 f
（ x ）在 D 上为有界函数，其中 M 称为函数 f （ x ）的上界.已知函
数 f （ x ）＝1＋ a · ＋ .
（1）当 a ＝1时，求函数 f （ x ）在（－∞，0）上的值域，并
判断函数 f （ x ）在（－∞，0）上是否为有界函数，请
说明理由；
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解：当 a ＝1时， f （ x ）＝1＋ ＋ .
令 t ＝ ，由 x ＜0可得 t ＞1，
f （ x ）＝ h （ t ）＝ t2＋ t ＋1＝ ＋ ，
因为 h （ t ）在（1，＋∞）上单调递增，
故 f （ x ）＞ h （1）＝3， f （ x ）在（－∞，0）上的值域为
（3，＋∞）.
故不存在常数 M ＞0，使｜ f （ x ）｜≤ M 成立，
故函数 f （ x ）在（－∞，0）上不是有界函数.
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（2）若函数 f （ x ）在[0，＋∞）上是以3为上界的有界函数，求
实数 a 的取值范围.
解：若函数 f （ x ）在[0，＋∞）上是以3为上界的有界函数，
则当 x ≥0时，｜ f （ x ）｜≤3恒成立.
故有－3≤ f （ x ）≤3，
即－4－ ≤ a · ≤2－ ，
所以－4·2 x － ≤ a ≤2·2 x － .
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求得－4·2 x － 的最大值为－4－1＝－5，
2·2 x － 的最小值为2－1＝1，
故有－5≤ a ≤1，即 a 的取值范围为[－5，1].
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