1.5.1 全称量词与存在量词
课时作业
(满分:100分)
1.下列命题中是存在量词命题的是( )
[A] x∈R,x2>0
[B] x∈R,x2-2≤0
[C]平行四边形的对边平行
[D]矩形的任一组对边相等
2.(多选)下列命题是全称量词命题的是( )
[A]任意一个自然数都是正整数
[B]有的菱形不是正方形
[C]梯形有两边平行
[D]有一个数不能做除数
3.将x2+y2≥2xy改写成全称量词命题,下列说法正确的是( )
[A] x,y∈R,都有x2+y2≥2xy
[B] x,y∈R,都有x2+y2≥2xy
[C] x>0,y>0,都有x2+y2≥2xy
[D] x>0,y>0,都有x2+y2≤2xy
4.下列命题中,是存在量词命题且是真命题的是( )
[A]所有正方形都是菱形
[B] x∈R,使x2+2x+2=0
[C]至少有一个实数x,使x3+1=0
[D] x∈R,使x2-x+<0
5.(多选)下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )
[A] x∈R,x2+2x+1≥0
[B] x∈Z,x2+3x为质数
[C]所有菱形的四条边都相等
[D]每个二次函数的图象都是轴对称图形
6.(多选)若“ x∈M,x<0”为真命题,“ x∈M,x≥4”为假命题,则集合M可以是( )
[A]{x|x<1} [B]{x|-1≤x≤4}
[C]{x|0≤x<3} [D]{x|-4
7.(5分)根据下述事实,写出一个含有量词的全称量词真命题或存在量词真命题: .
1=12,
1+3=22,
1+3+5=32,
1+3+5+7=42,
1+3+5+7+9=52,
……
8.(5分)已知命题“ x∈R,x2+2x+a≠0”为真命题,则实数a的取值范围为 .
9.(12分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并用符号“ ”或“ ”表示.
(1)整数的平方大于或等于零;
(2)存在实数y,满足y2≥2 025;
(3)实数的绝对值是非负数;
(4)存在实数k,使函数y=kx+b的值随x的增大而增大.
10.(14分)指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断真假:
(1)有的集合中存在两个相同的元素;
(2) a,b∈R,(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3;
(3)存在一个x∈R,使=0;
(4)对任意直角三角形的两个锐角A,B,都有sin A=cos B.
强化练
11.(5分)能够说明“若012.(5分)(1)若“ x>0,x+m-1=0”为真命题,则实数m的取值范围是 .
(2)若“ x∈R,m≥-x2+1”是真命题,则实数m的最小值为 .
(2)由已知“ x∈R,m≥-x2+1”是真命题,即m≥-x2+1对 x∈R恒成立,即m≥(-x2+1)max,x∈R.
又当x=0时,-x2+1取得最大值1,即m≥1,即m的最小值为1.
13.(16分)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}.
(1)若命题p: x∈B,x∈A是真命题,求m的取值范围;
(2)若命题q: x∈A,x∈B是假命题,求m的取值范围.
拓展练
14.(5分)已知集合A={x|1≤x≤3},B={x|m-1≤x≤2m+3},若 x1∈A, x2∈B,使得x1=x2,则整数m的取值集合为 . 1.5.1 全称量词与存在量词
课时作业
(满分:100分)
1.下列命题中是存在量词命题的是( )
[A] x∈R,x2>0
[B] x∈R,x2-2≤0
[C]平行四边形的对边平行
[D]矩形的任一组对边相等
【答案】 B
【解析】 选项B含有存在量词“ ”,符合存在量词命题的定义.故选B.
2.(多选)下列命题是全称量词命题的是( )
[A]任意一个自然数都是正整数
[B]有的菱形不是正方形
[C]梯形有两边平行
[D]有一个数不能做除数
【答案】 AC
【解析】 A中的命题含有全称量词“任意”,是全称量词命题;C即“任意一个梯形有两边平行”,是全称量词命题;B,D是存在量词命题.故选AC.
3.将x2+y2≥2xy改写成全称量词命题,下列说法正确的是( )
[A] x,y∈R,都有x2+y2≥2xy
[B] x,y∈R,都有x2+y2≥2xy
[C] x>0,y>0,都有x2+y2≥2xy
[D] x>0,y>0,都有x2+y2≤2xy
【答案】 A
【解析】 将x2+y2≥2xy改写成全称量词命题为“ x,y∈R,都有x2+y2≥2xy”.故选A.
4.下列命题中,是存在量词命题且是真命题的是( )
[A]所有正方形都是菱形
[B] x∈R,使x2+2x+2=0
[C]至少有一个实数x,使x3+1=0
[D] x∈R,使x2-x+<0
【答案】 C
【解析】 “所有正方形都是菱形”为全称量词命题,故A错误;“ x∈R,使x2+2x+2=0”为存在量词命题,而x2+2x+2=(x+1)2+1>0恒成立,该命题为假命题,故B错误;“至少有一个实数x,使x3+1=0”为存在量词命题,当x=-1时,方程成立,该命题为真命题,故C正确;“ x∈R,使x2-x+<0”为存在量词命题,而x2-x+=(x-)2≥0恒成立,该命题为假命题,故D错误.故选C.
5.(多选)下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )
[A] x∈R,x2+2x+1≥0
[B] x∈Z,x2+3x为质数
[C]所有菱形的四条边都相等
[D]每个二次函数的图象都是轴对称图形
【答案】 ACD
【解析】 选项A,C,D是全称量词命题,选项B是存在量词命题.由x2+2x+1=(x+1)2≥0,得A正确;易知C,D均正确.故选ACD.
6.(多选)若“ x∈M,x<0”为真命题,“ x∈M,x≥4”为假命题,则集合M可以是( )
[A]{x|x<1} [B]{x|-1≤x≤4}
[C]{x|0≤x<3} [D]{x|-4【答案】 AD
【解析】 依题意可知M中存在小于0的元素且不存在大于或等于4的元素,则集合{x|x<1}和{x|-47.(5分)根据下述事实,写出一个含有量词的全称量词真命题或存在量词真命题: .
1=12,
1+3=22,
1+3+5=32,
1+3+5+7=42,
1+3+5+7+9=52,
……
【答案】 k∈N*,1+3+5+…+(2k-1)=k2
【解析】 观察式子可知,从1开始从小到大连续k个奇数相加的和为k2,故可得 k∈N*,1+3+5+…+(2k-1)=k2.
8.(5分)已知命题“ x∈R,x2+2x+a≠0”为真命题,则实数a的取值范围为 .
【答案】 {a|a>1}
【解析】 由题意得方程x2+2x+a=0在R上没有实数根,则Δ=4-4a<0,即a>1.
9.(12分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并用符号“ ”或“ ”表示.
(1)整数的平方大于或等于零;
(2)存在实数y,满足y2≥2 025;
(3)实数的绝对值是非负数;
(4)存在实数k,使函数y=kx+b的值随x的增大而增大.
【解】 (1)这是全称量词命题,省略了全称量词“所有的”,符号表示为“ x∈Z,x2≥0”.
(2)这是存在量词命题,符号表示为“ y∈R,y2≥2 025”.
(3)这是全称量词命题,省略了全称量词“所有的”,符号表示为“ x∈R,|x|≥0”.
(4)这是存在量词命题,符号表示为“ k∈R,使函数y=kx+b的值随x的增大而增大”.
10.(14分)指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断真假:
(1)有的集合中存在两个相同的元素;
(2) a,b∈R,(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3;
(3)存在一个x∈R,使=0;
(4)对任意直角三角形的两个锐角A,B,都有sin A=cos B.
【解】 (1)是存在量词命题,由集合中元素的互异性可知,此命题是假命题.
(2)是全称量词命题, a,b∈R,(a-b)(a2+ab+b2)=a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3=a3-b3,是真命题.
(3)是存在量词命题,因为不存在x∈R,使=0成立,所以该命题是假命题.
(4)是全称量词命题,根据锐角三角函数的定义可知,对任意直角三角形的两个锐角A,B,都有 sin A=cos B,是真命题.
强化练
11.(5分)能够说明“若0【答案】 ,,(答案不唯一)
【解析】 由“若0由此可得b>bc,故c<1,若取c=,a=,则b≤,故可取b=.
12.(5分)(1)若“ x>0,x+m-1=0”为真命题,则实数m的取值范围是 .
(2)若“ x∈R,m≥-x2+1”是真命题,则实数m的最小值为 .
【答案】 (1){m|m<1} (2)1
【解析】 (1)由题意,x+m-1=0有正数解,因为x+m-1=0,所以x=1-m,所以1-m>0,解得m<1.
(2)由已知“ x∈R,m≥-x2+1”是真命题,即m≥-x2+1对 x∈R恒成立,即m≥(-x2+1)max,x∈R.
又当x=0时,-x2+1取得最大值1,即m≥1,即m的最小值为1.
13.(16分)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}.
(1)若命题p: x∈B,x∈A是真命题,求m的取值范围;
(2)若命题q: x∈A,x∈B是假命题,求m的取值范围.
【解】 (1)因为命题p: x∈B,x∈A是真命题,所以B A,当B= 时,m+1>2m-1,解得m<2;
当B≠ 时,则解得2≤m≤3.
综上,m的取值范围为{m|m≤3}.
(2)因为命题q: x∈A,x∈B是假命题,所以A∩B= ,当B= 时,m+1>2m-1,解得m<2;
当B≠ 时,则或解得m>4.
综上,m的取值范围为{m|m<2或m>4}.
拓展练
14.(5分)已知集合A={x|1≤x≤3},B={x|m-1≤x≤2m+3},若 x1∈A, x2∈B,使得x1=x2,则整数m的取值集合为 .
【答案】 {0,1,2}
【解析】 因为 x1∈A, x2∈B,使得x1=x2,所以A B,所以
解得0≤m≤2.又m∈Z,所以整数m的取值集合为{0,1,2}.
