1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定
课时作业
(满分:100分)
1.命题“ x∈R,x2>x”的否定是( )
[A] x R,x2>x [B] x R,x2≤x
[C] x∈R,x2≤x [D] x∈R,x2≤x
2.命题“ a∈R,一元二次方程x2+ax+6=0有实数根”的否定是( )
[A] a∈R,一元二次方程x2+ax+6=0没有实数根
[B] a∈R,一元二次方程x2+ax+6≠0有实数根
[C] a∈R,一元二次方程x2+ax+6≠0有实数根
[D] a∈R,一元二次方程x2+ax+6=0没有实数根
3.命题“方程x2-x-2=0有正根”的否定是( )
[A] x>0,x2-x-2≠0
[B] x<0,x2-x-2=0
[C] x>0,x2-x-2≠0
[D] x<0,x2-x-2=0
4.命题“矩形都有外接圆”的否定是( )
[A]全称量词命题、真命题
[B]全称量词命题、假命题
[C]存在量词命题、真命题
[D]存在量词命题、假命题
5.(多选)已知a,b∈Z,p:a+b是奇数;q:ab是偶数,则下列命题为真命题的是( )
[A]若p,则q [B]若q,则p
[C]若﹁q,则﹁p [D]若﹁p,则﹁q
6.“三个数a,b,c不都为0”的否定为( )
[A]三个数a,b,c都不是0
[B]三个数a,b,c至多有一个为0
[C]三个数a,b,c至少有一个为0
[D]三个数a,b,c都为0
7.(5分)已知命题p: x∈{x|-3≤x≤2},都有x∈{x|a-4≤x≤a+5},且p的否定是假命题,则实数a的取值范围是 .
8.(5分)若命题p: x∈R,x2-4x+a=0为假命题,则实数a的取值范围是 ,p的否定是 .
9.(12分)写出下列命题的否定,并判断其否定的真假.
(1)不论m取何实数,方程x2+mx-1=0必有实根;
(2) x,y∈R,x2+y2+2x-4y+5≠0.
10.(15分)已知命题p: x∈[1,+∞),a-2x2≤0,命题q: x∈{x|1≤x≤3},x+a≥0.
(1)分别写出命题p,q的否定;
(2)若两个命题都是真命题,求实数a的取值范围.
强化练
11.若命题p: x∈R,<0,则p的否定的准确表述是( )
[A] x∈R,≥0
[B] x∈R,≥0
[C] x∈R,>0或x-2=0
[D] x∈R,>0或x-2=0
12.(多选) 已知集合A={x|x-1>2},B={x|x<-1或x>2},则下列命题的否定为假命题的是( )
[A] x∈B,x∈A [B] x∈B,x A
[C] x∈A,x B [D] x∈A,x∈B
13.(16分)已知命题p: x∈R,均有x2-2x+k≠0,命题q:-2(1)写出p的否定,若p的否定为真命题,求实数k的取值范围;
(2)若命题p的否定与q一真一假,求实数k的取值范围.
拓展练
14.(5分)(1)命题“ x∈R, n∈N*,n≥2x+1”的否定是 ;
(2)命题“ x∈R, x2+x+1>0或x2-x+1=0”的否定是 . 1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定
课时作业
(满分:100分)
1.命题“ x∈R,x2>x”的否定是( )
[A] x R,x2>x [B] x R,x2≤x
[C] x∈R,x2≤x [D] x∈R,x2≤x
【答案】 C
【解析】 命题“ x∈R,x2>x”为存在量词命题,该命题的否定为“ x∈R,x2≤x”.故选C.
2.命题“ a∈R,一元二次方程x2+ax+6=0有实数根”的否定是( )
[A] a∈R,一元二次方程x2+ax+6=0没有实数根
[B] a∈R,一元二次方程x2+ax+6≠0有实数根
[C] a∈R,一元二次方程x2+ax+6≠0有实数根
[D] a∈R,一元二次方程x2+ax+6=0没有实数根
【答案】 D
【解析】 命题“ a∈R,一元二次方程x2+ax+6=0有实数根”的否定是“ a∈R,一元二次方程x2+ax+6=0没有实数根”.故选D.
3.命题“方程x2-x-2=0有正根”的否定是( )
[A] x>0,x2-x-2≠0
[B] x<0,x2-x-2=0
[C] x>0,x2-x-2≠0
[D] x<0,x2-x-2=0
【答案】 C
【解析】 命题“方程x2-x-2=0有正根”即“ x>0,x2-x-2=0”,故其否定为“ x>0,x2-x-2≠0”.故选C.
4.命题“矩形都有外接圆”的否定是( )
[A]全称量词命题、真命题
[B]全称量词命题、假命题
[C]存在量词命题、真命题
[D]存在量词命题、假命题
【答案】 D
【解析】 命题“矩形都有外接圆”即所有的矩形都有外接圆,为全称量词命题,且为真命题,则其否定为存在量词命题、假命题.故选D.
5.(多选)已知a,b∈Z,p:a+b是奇数;q:ab是偶数,则下列命题为真命题的是( )
[A]若p,则q [B]若q,则p
[C]若﹁q,则﹁p [D]若﹁p,则﹁q
【答案】 AC
【解析】 若a+b是奇数,则a,b一奇一偶,则ab是偶数,故A正确;若ab是偶数,举例a=2,b=4,此时a+b=6为偶数,故B错误;若ab不是偶数,则ab为奇数,则a,b均为奇数,则a+b为偶数,即a+b不是奇数,故C正确;若a+b不是奇数,则a+b为偶数,举例a=2,b=4,则ab此时为偶数,故D错误.故选AC.
6.“三个数a,b,c不都为0”的否定为( )
[A]三个数a,b,c都不是0
[B]三个数a,b,c至多有一个为0
[C]三个数a,b,c至少有一个为0
[D]三个数a,b,c都为0
【答案】 D
【解析】 因为“不都为”的否定是“都为”,所以“三个数a,b,c不都为0”的否定为“三个数a,b,c都为0”.故选D.
7.(5分)已知命题p: x∈{x|-3≤x≤2},都有x∈{x|a-4≤x≤a+5},且p的否定是假命题,则实数a的取值范围是 .
【答案】 {a|-3≤a≤1}
【解析】 因为p的否定是假命题,所以p是真命题,又 x∈{x|-3≤x≤2},
都有x∈{x|a-4≤x≤a+5},所以{x|-3≤x≤2} {x|a-4≤x≤a+5},
则解得-3≤a≤1,即实数a的取值范围是{a|-3≤a≤1}.
8.(5分)若命题p: x∈R,x2-4x+a=0为假命题,则实数a的取值范围是 ,p的否定是 .
【答案】 {a|a>4} x∈R,x2-4x+a≠0
【解析】 当命题p为真命题时,等价于x2-4x+a=0有实数根,Δ≥0,所以当命题p为假命题时,Δ=(-4)2-4a<0,解得a>4.
由存在量词命题的否定是全称量词命题得p的否定为“ x∈R,x2-4x+a≠0”.
9.(12分)写出下列命题的否定,并判断其否定的真假.
(1)不论m取何实数,方程x2+mx-1=0必有实根;
(2) x,y∈R,x2+y2+2x-4y+5≠0.
【解】 (1)命题的否定:存在一个实数m,使方程x2+mx-1=0没有实数根.
因为该方程的判别式Δ=m2+4>0恒成立,所以原命题为真命题,所以其否定为假命题.
(2)命题的否定: x,y∈R,x2+y2+2x-4y+5=0.
因为x2+y2+2x-4y+5=(x+1)2+(y-2)2,当x=-1,y=2时,x2+y2+2x-4y+5=0成立,所以其否定为真命题.
10.(15分)已知命题p: x∈[1,+∞),a-2x2≤0,命题q: x∈{x|1≤x≤3},x+a≥0.
(1)分别写出命题p,q的否定;
(2)若两个命题都是真命题,求实数a的取值范围.
【解】 (1)因为p: x∈[1,+∞),a-2x2≤0,所以命题p的否定: x∈[1,+∞),a-2x2>0.
因为q: x∈{x|1≤x≤3},x+a≥0,所以命题q的否定: x∈{x|1≤x≤3},x+a<0.
(2)因为p: x∈[1,+∞),a-2x2≤0,所以 x∈[1,+∞),a≤2x2,又x≥1,所以2x2≥2,故a≤2;
因为q: x∈{x|1≤x≤3},x+a≥0,所以 x∈{x|1≤x≤3},a≥-x,又-3≤-x≤-1,故a≥-3.
综上,当两个命题都是真命题时,实数a的取值范围为{a|-3≤a≤2}.
强化练
11.若命题p: x∈R,<0,则p的否定的准确表述是( )
[A] x∈R,≥0
[B] x∈R,≥0
[C] x∈R,>0或x-2=0
[D] x∈R,>0或x-2=0
【答案】 D
【解析】 由存在量词命题的否定是全称量词命题,且<0等价于x<2,其否定为x≥2,即>0或x-2=0,所以p的否定: x∈R,>0或x-2=0.故选D.
12.(多选) 已知集合A={x|x-1>2},B={x|x<-1或x>2},则下列命题的否定为假命题的是( )
[A] x∈B,x∈A [B] x∈B,x A
[C] x∈A,x B [D] x∈A,x∈B
【答案】 BD
【解析】 因为A={x|x>3},B={x|x<-1或x>2},所以A B,所以“ x∈A,x∈B”为真命题,其否定“ x∈A,x B”为假命题;“ x∈B,x A”为真命题,其否定“ x∈B,x∈A”为假命题.故选BD.
13.(16分)已知命题p: x∈R,均有x2-2x+k≠0,命题q:-2(1)写出p的否定,若p的否定为真命题,求实数k的取值范围;
(2)若命题p的否定与q一真一假,求实数k的取值范围.
【解】 (1)p的否定: x∈R,x2-2x+k=0.若p的否定为真命题,则方程x2-2x+k=0有实数解,即Δ=4-4k≥0,解得k≤1.所以实数k的取值范围为{k|k≤1}.
(2)若命题p的否定为真,q为假,则得k≤-2;
若命题p的否定为假,q为真,则得1综上,若命题p的否定与q一真一假,则实数k的取值范围为{k|k≤-2或1拓展练
14.(5分)(1)命题“ x∈R, n∈N*,n≥2x+1”的否定是 ;
(2)命题“ x∈R, x2+x+1>0或x2-x+1=0”的否定是 .
【答案】 (1) x∈R, n∈N*,n<2x+1
(2) x∈R, x2+x+1≤0且x2-x+1≠0
【解析】 含有多个量词的命题的否定,前面的量词都要改写,“p或q”的否定是“﹁p且
﹁q”,“p且q”的否定是“﹁p或﹁q”,根据以上要求,答案为(1) x∈R, n∈N*,n<2x+1;
(2) x∈R, x2+x+1≤0且x2-x+1≠0.
