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高中数学
人教A版(2019)
必修 第一册
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.2 基本不等式
2.2 基本不等式(2课时打包)(含解析)
文档属性
名称
2.2 基本不等式(2课时打包)(含解析)
格式
zip
文件大小
196.0KB
资源类型
教案
版本资源
人教A版(2019)
科目
数学
更新时间
2025-10-09 17:25:36
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文档简介
第2课时 基本不等式的应用
课时作业
(满分:100分)
基础练
1.已知一个直角三角形的斜边长为8,则其面积的最大值是( )
[A]12 [B]14 [C]16 [D]18
【答案】 C
【解析】 设直角三角形的两条直角边分别为a,b,则a2+b2=64,直角三角形的面积为ab≤·==16,当且仅当a=b=4时,等号成立.故选C.
2.已知a>1>c,则与的大小关系是( )
[A]≥
[B]≤
[C]>
[D]<
【答案】 B
【解析】 因为a>1>c,所以a-1>0,1-c>0.所以=≤=,当且仅当a-1=1-c,即a+c=2时,等号成立.所以≤.故选B.
3.某生物制药公司为了节约成本开支,引入了一批新型生物污水处理器,通过费用开支的记录得知其月处理成本y(单位:元)与月处理量x(单位:t)满足函数关系式y=2x2-180x+
20 000.则当每吨的平均处理成本最低时的月处理量为( )
[A]80 t [B]100 t [C]120 t [D]150 t
【答案】 B
【解析】 依题意,每吨的平均处理成本为=2(x+)-180≥2×2-180=220,当且仅当x=,即x=100时,等号成立,所以当月处理量为100 t时,可以使每吨的平均处理成本最低.故选B.
4.已知a>0,b>0,则下列不等式不成立的是( )
[A]a+b+≥2
[B](a+b)(+)≥4
[C]≥2
[D]>
【答案】 D
【解析】 对于A,a+b+≥2+≥2=2,当且仅当2=且a=b,
即a=b=时,等号成立,A正确;
对于B,(a+b)(+)=1+1++≥2+2=4,当且仅当=,即a=b时,等号成立,B正确;
对于C,因为a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时,等号成立),所以≥=2,C正确;
对于D,若>成立,则>1,即a+b<2,但a+b≥2,D错误.故选D.
5.某工厂生产某种产品,第一年的产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x(a,b,x均大于零),则( )
[A]x= [B]x≤
[C]x> [D]x≥
【答案】 B
【解析】 由题意得,A(1+a)(1+b)=A(1+x)2,则(1+a)(1+b)=(1+x)2,因为(1+a)(1+b)≤()2,所以1+x≤=1+,所以x≤,当且仅当a=b时,等号成立.故选B.
6.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10 g黄金,售货员先将5 g的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将5 g的砝码放在天平右盘中,再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡;最后将两次称得的黄金交给顾客.设顾客购得的黄金实际克数是t,则( )
[A]t>10 [B]t≥10
[C]0
【答案】 A
【解析】 由于天平两臂不等长,可设天平左臂长为a,右臂长为b,则a≠b,再设先称得黄金为x g,后称得黄金为y g,则xb=5a,5b=ay,所以x=,y=,所以x+y=+≥2=10,当且仅当=,即a=b时,等号成立,但a≠b,所以等号不成立,即x+y>10,所以t>10.故选A.
7.(5分)西周数学家商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例,其中“弦”指的是直角三角形的斜边.现将两个全等的直角三角形拼接成一个矩形,若三角形的“弦”的长度为2,则该矩形周长的最大值为 .
【答案】 8
【解析】 设矩形的一组邻边长为a,b,则该矩形的周长为2(a+b),且a2+b2=8.
法一 a2+b2=(a+b)2-2ab≥(a+b)2-2()2=(a+b)2,即a+b≤=4,
当且仅当a=b=2时,等号成立,所以2(a+b)≤8,即该矩形周长的最大值为8.
法二 ≤=2,当且仅当a=b=2时,等号成立,所以2(a+b)≤8,
即该矩形周长的最大值为8.
8.(5分)已知对任意x>a,不等式2x+≥5恒成立,则实数a的最小值为 .
【答案】
【解析】 由x>a,可得x-a>0,又由2x+=2(x-a)++2a≥2·+2a=4+2a,当且仅当2(x-a)=,即x=a+1时,等号成立,因为对任意x>a,不等式2x+≥5恒成立,所以4+2a≥5,解得a≥,所以实数a的最小值为.
9.(14分)某厂要建一个长方体形状的露天蓄水池,其蓄水量为200 m3,高为x m,底面的一条边长为5 m,施工方给的报价为四个侧面造价100元/m2,底面造价80元/m2.
(1)设此蓄水池的总造价为y元,求y关于x的函数关系式;
(2)如果你是施工方,请帮该厂设计一个总造价最低的方案,并给出具体的数据.
【解】 (1)长方体蓄水池的底面面积为 m2,长方体底面的另一条边长为= m,
故y=80·+100×2(5x+·x)=+1 000x+8 000,x>0.
(2)因为x>0,所以y=+1 000x+8 000≥2+8 000=16 000,
当且仅当=1 000x,即x=4时,等号成立,此时=10,
故当长方体的高为4 m,底面长、宽分别为10 m 和5 m时,总造价最低.
10.(14分)(1)已知a,b,c>0,求证:++≥a+b+c.
(2)已知a,b,c均为正数,且满足abc=1,求证:++≤a2+b2+c2.
【证明】 (1)因为a,b,c>0,所以+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,
所以+b++c++a≥2a+2b+2c,即++≥a+b+c,当且仅当a=b=c时,等号成立.
(2)因为a,b,c均为正数,所以a2+b2≥2ab,a2+c2≥2ac,b2+c2≥2bc,
所以a2+b2+a2+c2+b2+c2≥2ab+2ac+2bc,即a2+b2+c2≥ab+ac+bc,
因为abc=1,所以a2+b2+c2≥=++,当且仅当a=b=c时,等号成立,即++≤a2+b2+c2.
强化练
11.某公园有如图所示的一块直角三角形空地,直角边AB=8 m,AC=6 m.现欲建一个如图所示的内接矩形花园ADEF,点E在斜边BC上(不包括端点),则花园ADEF的面积的最大值为( )
[A]2 m2 [B]12 m2
[C]16 m2 [D]24 m2
【答案】 B
【解析】 设AD=x,则BD=8-x,因为△CFE∽△CAB,所以=,解得AF=6-x,其中0
12.(多选)已知a,b为不相等的正实数,满足a+=b+,则下列不等式正确的为( )
[A]a+b>2
[B]++≥4
[C]+≥16
[D]≥4
【答案】 ABD
【解析】 由a+=b+ a-b+-=0 a-b+=0 (a-b)(1-)=0,因为a,b为不相等的正实数,所以ab=1.对于A,a+b>2=2,故A正确;
对于B,++=a+b+≥2=4,当且仅当a+b=,即或 时,等号成立,故B正确;对于C,+=+=b2++≥3=12,
当且仅当b2=,即b=2时,等号成立,故C错误;
对于D,≥4等价于8a2+b2≥4a2+4,即4a2+b2≥4ab=4,
当且仅当2a=b,即时,等号成立,故D正确.故选ABD.
13.(16分)如图,在周长为8的矩形ABCD中(其中AB>AD),现将△ABC沿AC折叠到
△AB′C,设AB′与CD交于点E,设AB=x,B′E=y.
(1)求△B′EC的周长;
(2)试用x表示y,并求x的取值范围;
(3)当x为何值时,△B′EC的面积S取得最大值,并求出该最大值.
【解】 (1)由题意得△DEA≌△B′EC,因此CE+B′C+B′E=CE+AD+DE=AD+DC=4,
所以△B′EC的周长为定值4.
(2)由折叠知AB′=AE+B′E=AB=x,
则AE=x-y,即CE=x-y,
由(1)知CE+B′C+B′E=4,
即(x-y)+B′C+y=4,则B′C=4-x,
在Rt△B′EC中,由勾股定理得B′E2+B′C2=CE2,
即y2+(4-x)2=(x-y)2,化简得y=4-.
因为AB>AD,AB+AD=4,
所以x>4-x且x<4,即2
所以y=4-,2
(3)在Rt△B′EC中,S=B′C·B′E=(4-x)(4-)=12--2x,2
则S=12-(+2x)≤12-2=12-8,当且仅当=2x,即x=2时,等号成立,
所以当x=2时,△B′EC的面积S取得最大值,且最大值为12-8.
拓展练
14.当x>0,y>0时,≥,这个基本不等式可以推广为当x,y>0时,λx+μy≥xλyμ,其中λ+μ=1且λ>0,μ>0.考虑取等号的条件,进而可得当x≈y时,λx+μy≈xλyμ.用这个式子估计可以这样操作:×≈×10+×9=,则≈≈3.167.用这样的方法,可得的近似值为( )
[A]3.033 [B]3.035
[C]3.037 [D]3.039
【答案】 C
【解析】 依题意,×≈×28+×27=,则≈≈3.037.故选C.第1课时 基本不等式
课时作业
(满分:100分)
基础练
1.给出下列条件:①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0.其中可使+≥2成立的个数是( )
[A]1 [B]2 [C]3 [D]4
2.下列各不等式正确的是( )
[A]a2+1>2a(a∈R)
[B]|x+|≥2(x∈R,x≠0)
[C]≥2(ab≠0)
[D]+(x∈R)的最小值为2
3.若实数x>0,y>0,且x+y=1,则xy的最大值为( )
[A]1 [B]2 [C] [D]
4.已知0
[A] [B] [C]1 [D]
5.(多选)已知函数y=x++1(x<0),则函数( )
[A]没有最大值 [B]没有最小值
[C]最大值为-7 [D]最小值为9
6.已知a>0,且是方程x2+bx-8=0的一个根,则b+的最小值是( )
[A]8 [B]4 [C]2 [D]8
7.(5分)若a,b,c,d,x,y是正实数,且P=+,Q=·,则P Q.(比较大小)
8.(5分)已知m>0,n>0,且m+n=1,则m2+n2的最小值为 .
9.(13分)(1)已知a>0,b>0,且2a+b=4,求的最小值;
(2)求1+2x2+的最小值.
10.(15分)(1)若x>1,求y=x+的最小值;
(2)已知x>0,求y=的最小值;
(3)求y=(x>-1)的最小值.
强化练
11.(多选)已知a>0,b>0,a+b<2,则( )
[A]0
[C]1
12.(5分)已知实数x,y,z,若x+2y-z=4,则(x+y-z)y-xz的最大值为 .
13.(15分)已知实数a>b>0.
(1)证明b(a-b)≤,并指出等号成立的条件;
(2)求a2+的最小值及取最小值时a,b的值.
拓展练
14.在古巴比伦时期的数学泥版上,有许多三角形和梯形的分割问题,涉及不同的割线.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,且CD=a,AB=b,EF和GH为平行于底的两条割线,其中EF为中位线,GH过对角线交点,则通过比较这两条割线可以直接证明的不等式为( )
[A]≥(a>0,b>0)
[B]≤(a>0,b>0)
[C]≤(a>0,b>0)
[D]a2+b2≥2(a>0,b>0)第1课时 基本不等式
课时作业
(满分:100分)
基础练
1.给出下列条件:①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0.其中可使+≥2成立的个数是( )
[A]1 [B]2 [C]3 [D]4
【答案】 C
【解析】 根据基本不等式的条件,可知a,b应同号,故只有②不符合.故选C.
2.下列各不等式正确的是( )
[A]a2+1>2a(a∈R)
[B]|x+|≥2(x∈R,x≠0)
[C]≥2(ab≠0)
[D]+(x∈R)的最小值为2
【答案】 B
【解析】 A选项,当a=1时,a2+1=2a,故A错误;B选项,因为x≠0,|x|>0,|x+|=|x|+≥2=2,当且仅当x=±1时,等号成立,故B正确;C选项,当a<0,b<0时,<0,故C错误;D选项,
+≥2,当且仅当=,即x2+2=1,x2=-1时,等号成立,但是x2=-1不成立,故D错误.故选B.
3.若实数x>0,y>0,且x+y=1,则xy的最大值为( )
[A]1 [B]2 [C] [D]
【答案】 C
【解析】 因为x>0,y>0,x+y=1,所以xy≤()2=,当且仅当x=y=时,等号成立.故选C.
4.已知0
[A] [B] [C]1 [D]
【答案】 C
【解析】 因为0
0,所以a=≤=1,当且仅当a2=2-a2,即a=1时,等号成立,所以a 的最大值为1.故选C.
5.(多选)已知函数y=x++1(x<0),则函数( )
[A]没有最大值 [B]没有最小值
[C]最大值为-7 [D]最小值为9
【答案】 BC
【解析】 因为x<0,所以y=x++1=-[(-x)+(-)]+1≤-2·+1=-7,当且仅当-x=-,即x=-4时,等号成立,所以函数有最大值-7,无最小值.故选BC.
6.已知a>0,且是方程x2+bx-8=0的一个根,则b+的最小值是( )
[A]8 [B]4 [C]2 [D]8
【答案】 D
【解析】 由是方程x2+bx-8=0的一个根可得+-8=0,即b=4a-,且a>0,所以b+=
4a-+=4a+≥2·=8,当且仅当4a=,即a=1,b=2时,等号成立,故b+的最小值是8.故选D.
7.(5分)若a,b,c,d,x,y是正实数,且P=+,Q=·,则P Q.(比较大小)
【答案】 ≤
【解析】 Q=·=≥=+=P,
当且仅当=时,等号成立,故P≤Q.
8.(5分)已知m>0,n>0,且m+n=1,则m2+n2的最小值为 .
【答案】
【解析】 由m>0,n>0,且m+n=1,得mn≤()2=,当且仅当m=n=时,等号成立,
所以m2+n2=(m+n)2-2mn=1-2mn≥1-2×=,即m2+n2的最小值为.
9.(13分)(1)已知a>0,b>0,且2a+b=4,求的最小值;
(2)求1+2x2+的最小值.
【解】 (1)因为a>0,b>0,所以4=2a+b≥2,当且仅当2a=b,且2a+b=4,即a=1,b=2时,等号成立,所以0
(2)由题意可知x≠0,所以x2>0,所以1+2x2+≥1+2=9,当且仅当2x2=,即x=±时,等号成立.所以1+2x2+的最小值为9.
10.(15分)(1)若x>1,求y=x+的最小值;
(2)已知x>0,求y=的最小值;
(3)求y=(x>-1)的最小值.
【解】 (1)y=x+=x+2+=x-1++3,由x>1可知x-1>0,
所以x-1++3≥2+3=7,当且仅当x-1=,即x=3时,
等号成立.所以所求的最小值为7.
(2)因为x>0,所以y==x+-2≥2-2=2,当且仅当x=,即x=2时,等号成立.
所以所求的最小值为2.
(3)因为x>-1,所以x+1>0,y===x+1++5≥2+5=9,
当且仅当x+1=,即x=1时,等号成立.所以所求的最小值为9.
强化练
11.(多选)已知a>0,b>0,a+b<2,则( )
[A]0
[C]1
【答案】 ABD
【解析】 对于A,0<2≤a+b<2,当且仅当a=b时,等号成立,故0
0,b>0,a+b<2,所以0
12.(5分)已知实数x,y,z,若x+2y-z=4,则(x+y-z)y-xz的最大值为 .
【答案】 4
【解析】 因为x+2y-z=4,所以(x+y-z)y-xz=y(x+y)-z(x+y)=(x+y)(y-z)≤()2=()2=4,当且仅当x+y=y-z=2时,等号成立,故(x+y-z)y-xz的最大值为4.
13.(15分)已知实数a>b>0.
(1)证明b(a-b)≤,并指出等号成立的条件;
(2)求a2+的最小值及取最小值时a,b的值.
(1)【证明】 因为a>b>0,所以a-b>0,所以b(a-b)≤[]2=,当且仅当b=a-b,即2b=a时,等号成立.所以b(a-b)≤,当且仅当2b=a时,等号成立.
(2)【解】 由(1)知0
综上可知,当a=,b=时,a2+取得最小值20.
拓展练
14.在古巴比伦时期的数学泥版上,有许多三角形和梯形的分割问题,涉及不同的割线.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,且CD=a,AB=b,EF和GH为平行于底的两条割线,其中EF为中位线,GH过对角线交点,则通过比较这两条割线可以直接证明的不等式为( )
[A]≥(a>0,b>0)
[B]≤(a>0,b>0)
[C]≤(a>0,b>0)
[D]a2+b2≥2(a>0,b>0)
【答案】 B
【解析】 设AC交BD于点O,如图所示,因为AB∥GH∥CD,所以===,即OG=OH.又+=+=1,即+=1,解得GH=.又EF=,GH≤EF,所以≤.故选B.第2课时 基本不等式的应用
课时作业
(满分:100分)
基础练
1.已知一个直角三角形的斜边长为8,则其面积的最大值是( )
[A]12 [B]14 [C]16 [D]18
2.已知a>1>c,则与的大小关系是( )
[A]≥
[B]≤
[C]>
[D]<
3.某生物制药公司为了节约成本开支,引入了一批新型生物污水处理器,通过费用开支的记录得知其月处理成本y(单位:元)与月处理量x(单位:t)满足函数关系式y=2x2-180x+
20 000.则当每吨的平均处理成本最低时的月处理量为( )
[A]80 t [B]100 t [C]120 t [D]150 t
4.已知a>0,b>0,则下列不等式不成立的是( )
[A]a+b+≥2
[B](a+b)(+)≥4
[C]≥2
[D]>
5.某工厂生产某种产品,第一年的产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x(a,b,x均大于零),则( )
[A]x= [B]x≤
[C]x> [D]x≥
6.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10 g黄金,售货员先将5 g的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将5 g的砝码放在天平右盘中,再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡;最后将两次称得的黄金交给顾客.设顾客购得的黄金实际克数是t,则( )
[A]t>10 [B]t≥10
[C]0
7.(5分)西周数学家商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例,其中“弦”指的是直角三角形的斜边.现将两个全等的直角三角形拼接成一个矩形,若三角形的“弦”的长度为2,则该矩形周长的最大值为 .
8.(5分)已知对任意x>a,不等式2x+≥5恒成立,则实数a的最小值为 .
9.(14分)某厂要建一个长方体形状的露天蓄水池,其蓄水量为200 m3,高为x m,底面的一条边长为5 m,施工方给的报价为四个侧面造价100元/m2,底面造价80元/m2.
(1)设此蓄水池的总造价为y元,求y关于x的函数关系式;
(2)如果你是施工方,请帮该厂设计一个总造价最低的方案,并给出具体的数据.
10.(14分)(1)已知a,b,c>0,求证:++≥a+b+c.
(2)已知a,b,c均为正数,且满足abc=1,求证:++≤a2+b2+c2.
强化练
11.某公园有如图所示的一块直角三角形空地,直角边AB=8 m,AC=6 m.现欲建一个如图所示的内接矩形花园ADEF,点E在斜边BC上(不包括端点),则花园ADEF的面积的最大值为( )
[A]2 m2 [B]12 m2
[C]16 m2 [D]24 m2
12.(多选)已知a,b为不相等的正实数,满足a+=b+,则下列不等式正确的为( )
[A]a+b>2
[B]++≥4
[C]+≥16
[D]≥4
13.(16分)如图,在周长为8的矩形ABCD中(其中AB>AD),现将△ABC沿AC折叠到
△AB′C,设AB′与CD交于点E,设AB=x,B′E=y.
(1)求△B′EC的周长;
(2)试用x表示y,并求x的取值范围;
(3)当x为何值时,△B′EC的面积S取得最大值,并求出该最大值.
14.当x>0,y>0时,≥,这个基本不等式可以推广为当x,y>0时,λx+μy≥xλyμ,其中λ+μ=1且λ>0,μ>0.考虑取等号的条件,进而可得当x≈y时,λx+μy≈xλyμ.用这个式子估计可以这样操作:×≈×10+×9=,则≈≈3.167.用这样的方法,可得的近似值为( )
[A]3.033 [B]3.035
[C]3.037 [D]3.039
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同课章节目录
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
1.2 集合间的基本关系
1.3 集合的基本运算
1.4 充分条件与必要条件
1.5 全称量词与存在量词
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
2.2 基本不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第三章 函数概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3.2 函数的基本性质
3.3 幂函数
3.4 函数的应用(一)
第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数
4.2 指数函数
4.3 对数
4.4 对数函数
4.5 函数的应用(二)
第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制
5.2 三角函数的概念
5.3 诱导公式
5.4 三角函数的图象与性质
5.5 三角恒等变换
5.6 函数 y=Asin( ωx + φ)
5.7 三角函数的应用
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