3.1.1 函数的概念
第1课时 函数的概念(一)
课时作业
(满分:100分)
基础练
1.下列对应关系中,满足从集合M={-2,0,2}到集合N={0,2}的一个函数是( )
[A]y=x [B]y=|x|
[C]y= [D]y=x2
【答案】 B
【解析】 对于A,当x=-2时,y=-2 N,A不符合题意;对于B,集合M中的每个值,按y=|x|,在集合N中都有唯一的值与之对应,B符合题意;对于C,集合N中没有元素与集合M中的0对应,C不符合题意;对于D,当x=±2时,y=4 N,D不符合题意.故选B.
2.已知函数f(x)=2x-4,若f(2a2-1)=10,则a的值为( )
[A]2 [B]-2
[C]±2 [D]±4
【答案】 C
【解析】 因为f(x)=2x-4,f(2a2-1)=10,所以2(2a2-1)-4=10,解得a=±2.故选C.
3.已知f(x)=ax5+1,且f(-2)=10,则f(2)=( )
[A]-8 [B]10
[C]9 [D]11
【答案】 A
【解析】 因为f(x)=ax5+1,且f(-2)=10,所以a·(-2)5+1=10,解得a=-,所以f(x)=-x5+1,所以f(2)=-×25+1=-9+1=-8.故选A.
4.若函数y=f(x)的定义域为{x|-1≤x≤0},值域为{y|-1≤y≤1},则函数y=f(x)的图象可能是( )
[A [B]
[C] [D]
【答案】 D
【解析】 对于A,定义域为{x|0≤x≤1},值域为{y|0≤y≤1},与条件矛盾,错误;对于B,定义域为{x|-1≤x≤1},值域为{y|0≤y≤1},与条件矛盾,错误;对于C,存在一个自变量对应两个函数值,不是函数,与条件矛盾,错误;对于D,定义域为{x|-1≤x≤0},值域为{y|-1≤y≤1},与条件吻合且符合函数定义,正确.故选D.
5.直线x=a与函数y=f(x)的图象的交点个数是( )
[A]0 [B]1
[C]0或1 [D]2
【答案】 C
【解析】 设y=f(x)的定义域为D,若a D,根据函数的定义知,没有函数值与之对应;若a∈D,根据函数的定义知,有唯一的函数值与之对应.故交点个数是0或1.故选C.
6.(多选)已知圆周率π=3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88…,如果记圆周率π小数点后第n位数字为f(n),则下列说法正确的是( )
[A]y=f(n),n∈N*是一个函数
[B]当n=5时,f(n)=3.141 59
[C]f(4)=f(8)
[D]f(n)∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
【答案】 ACD
【解析】 对于A,对于任意n∈N*,均存在唯一的f(n)与之对应,符合函数的定义,故A正确;对于B,C,因为f(4)=5,f(5)=9,f(8)=5,故B错误,C正确;
对于D,由定义可知f(n)∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},故D正确.故选ACD.
7.(5分)已知f:x→|x|是集合A到集合B的函数,如果集合B={0,1,2},那么集合A可能为 .(填一个满足条件的集合即可)
【答案】 {1}(答案不唯一)
【解析】 依题意,f:x→|x|是集合A到集合B的函数,令|x|=0,得x=0,令|x|=1,得x=±1,
令|x|=2,得x=±2,因此集合A是集合{0,-1,1,-2,2}的非空子集,所以集合A可能为{1}.
8.(5分)已知函数f(x)=x+4,g(x)=-x2+2x,则f(g(1))= .
【答案】 5
【解析】 因为g(x)=-x2+2x,所以g(1)=-1+2=1.因为f(x)=x+4,所以f(g(1))=f(1)=1+4=5.
9.(14分)已知函数f(x)=.
(1)点(3,14)在f(x)的图象上吗
(2)当x=4时,求f(x)的值.
(3)当f(x)=2时,求x的值.
【解】 (1)因为f(3)==-≠14,所以点(3,14)不在f(x)的图象上.
(2)当x=4时,f(4)==-3.
(3)若f(x)=2,则=2,即2x-12=x+2,解得x=14.
10.(14分)已知矩形的面积为10,设矩形的长为x,指出下列对应关系f的实际意义.(不必指出定义域、值域和说明理由)
(1)f(x)=;
(2)f(x)=2x+;
(3)f(x)=.
【解】 (1)对应关系f把每一个矩形的长x,对应到唯一确定的宽.
(2)对应关系f把每一个矩形的长x,对应到唯一确定的周长2x+.
(3)对应关系f把每一个矩形的长x,对应到唯一确定的对角线长.
强化练
11.若集合A={1,2,3,k},B={4,7,a4,a2+3a},其中a∈N*,k∈N*,f:x→y=3x+1.x∈A,y∈B是从定义域A到值域B的一个函数,则a+k的值为( )
[A]0 [B]7或0
[C]7 [D]5
【答案】 C
【解析】 由对应关系知1→4,2→7,3→10,k→3k+1,又a∈N*,所以a4≠10,所以a2+3a=10,
解得a=2或a=-5(舍去),所以a4=16,于是3k+1=16,所以k=5,所以a+k=7.故选C.
12.若一系列函数的对应关系相同、值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,例如对应关系为y=2x2+1,值域为{9}的“孪生函数”有三个:①y=2x2+1,x∈{-2};②y=2x2+1,
x∈{2};③y=2x2+1,x∈{-2,2}.那么对应关系为y=2x2+1,值域为{1,5}的“孪生函数”共有( )
[A]5个 [B]4个
[C]3个 [D]2个
【答案】 C
【解析】 由2x2+1=1解得x=0;由2x2+1=5解得x=±,则值域为{1,5}的自变量集合有{0,-},{0,},{0,-,},所以值域为{1,5}的“孪生函数”共有3个:y=2x2+1,x∈{0,-};
y=2x2+1,x∈{0,};y=2x2+1,x∈{0,-,}.故选C.
13.(15分)已知函数f(x)=.
(1)求f(2)与f(),f(3)与f().
(2)由(1)中求得的结果,你能发现f(x)与f()有什么关系 证明你的发现.
(3)求f(2)+f()+f(3)+f()+…+f(2 025)+f()的值.
【解】 (1)因为f(x)=,所以f(2)==-, f()==,f(3)==-,f()==.
(2)由(1)中求得的结果发现f(x)+f()=0,证明如下:
因为f(x)+f()=+=+=0,所以f(x)+f()=0.
(3)由(2)知f(x)+f()=0,所以f(2)+f()+f(3)+f()+…+f(2 025)+f()=2 024×0=0.
拓展练
14.(多选)如图所示为某加油站地下圆柱体储油罐示意图,已知储油罐长度为d,截面半径为r(d,r为常量),油面高度为h,油面宽度为w,储油量为v(h,w,v为变量),则有下列说法:①w是v的函数;②v是w的函数;③h是w的函数;④w是h的函数.其中正确的有( )
[A]① [B]②
[C]③ [D]④
【答案】 AD
【解析】 根据圆柱的体积公式可知,油面高度h会影响油面宽度w,从而影响储油量v.
对于①,若v确定,则h确定,w就确定,故①正确;对于②,若w确定,则h有两个值(上下对称),所以v也有两个值,故与函数的定义相矛盾,不是函数,故②错误;对于③,若w确定,则h有两个值(上下对称),故与函数的定义相矛盾,不是函数,故③错误;对于④,若h确定,则w确定,故④正确.故选AD.第2课时 函数的概念(二)
课时作业
(满分:100分)
基础练
1.函数y=的定义域为( )
[A](-1,+∞)
[B][-1,+∞)
[C](-1,0)∪(0,+∞)
[D][-1,0)∪(0,+∞)
2.下列函数中与f(x)=是同一个函数的是( )
[A]g(x)=x [B]g(x)=
[C]g(x)= [D]g(x)=x0·
3.若函数y=的定义域为M,值域为N,则M∩N=( )
[A](0,+∞) [B](2,+∞)
[C](1,2] [D][1,2)
4.下列函数中,值域是(0,+∞)的是( )
[A]y=
[B]y=,x∈(0,+∞)
[C]y=,x∈N
[D]y=
5.已知函数y=f(3x+2)的定义域为[-,1],则函数y=的定义域为( )
[A](1,5] [B][1,5]
[C][-,1] [D](2,5]
6.(多选)已知函数y=x2-2x+2的值域是[1,2],则其定义域可能是( )
[A][0,1] [B][1,2]
[C][,2] [D][-1,1]
7.(5分)下列各组函数:①f(x)=1,g(x)=x0;
②f(x)=,g(x)=;
③f(x)=x2-1,g(t)=;
④f(x)=,g(x)=x+3;
⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)=80x(0≤x≤5).
其中表示同一个函数的是 .(填上所有正确的序号)
8.(5分)函数f(x)=x4-2x2-1,x∈(0,2]的值域为 .
9.(14分)求下列函数的定义域:
(1)y=;
(2)y=·;
(3)y=;
(4)y=+.
10.(14分)求下列函数的值域:
(1)f(x)=2x+4;
(2)f(x)=+.
强化练
11.已知函数f(x)=的定义域为R,则实数a的取值范围是( )
[A][0,8] [B][0,8)
[C](0,8] [D](0,8)
12.(5分)已知函数f(x)=x2-x+的定义域和值域都是[1,m](m>1),则m的值为 .
13.(16分)已知函数f(x)=.
(1)若f(x)的定义域为[-1,2],求实数m的值;
(2)若f(x)的定义域为R,求实数m的取值范围.
拓展练
14.(5分)若函数f(x)=x-1的定义域为[0,4],则函数y=f(x2)+[f(x)]2的值域为 . 3.1.1 函数的概念
第1课时 函数的概念(一)
课时作业
(满分:100分)
基础练
1.下列对应关系中,满足从集合M={-2,0,2}到集合N={0,2}的一个函数是( )
[A]y=x [B]y=|x|
[C]y= [D]y=x2
2.已知函数f(x)=2x-4,若f(2a2-1)=10,则a的值为( )
[A]2 [B]-2
[C]±2 [D]±4
3.已知f(x)=ax5+1,且f(-2)=10,则f(2)=( )
[A]-8 [B]10
[C]9 [D]11
4.若函数y=f(x)的定义域为{x|-1≤x≤0},值域为{y|-1≤y≤1},则函数y=f(x)的图象可能是( )
[A [B]
[C] [D]
5.直线x=a与函数y=f(x)的图象的交点个数是( )
[A]0 [B]1
[C]0或1 [D]2
6.(多选)已知圆周率π=3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88…,如果记圆周率π小数点后第n位数字为f(n),则下列说法正确的是( )
[A]y=f(n),n∈N*是一个函数
[B]当n=5时,f(n)=3.141 59
[C]f(4)=f(8)
[D]f(n)∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
7.(5分)已知f:x→|x|是集合A到集合B的函数,如果集合B={0,1,2},那么集合A可能为 .(填一个满足条件的集合即可)
8.(5分)已知函数f(x)=x+4,g(x)=-x2+2x,则f(g(1))= .
9.(14分)已知函数f(x)=.
(1)点(3,14)在f(x)的图象上吗
(2)当x=4时,求f(x)的值.
(3)当f(x)=2时,求x的值.
10.(14分)已知矩形的面积为10,设矩形的长为x,指出下列对应关系f的实际意义.(不必指出定义域、值域和说明理由)
(1)f(x)=;
(2)f(x)=2x+;
(3)f(x)=.
强化练
11.若集合A={1,2,3,k},B={4,7,a4,a2+3a},其中a∈N*,k∈N*,f:x→y=3x+1.x∈A,y∈B是从定义域A到值域B的一个函数,则a+k的值为( )
[A]0 [B]7或0
[C]7 [D]5
12.若一系列函数的对应关系相同、值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,例如对应关系为y=2x2+1,值域为{9}的“孪生函数”有三个:①y=2x2+1,x∈{-2};②y=2x2+1,
x∈{2};③y=2x2+1,x∈{-2,2}.那么对应关系为y=2x2+1,值域为{1,5}的“孪生函数”共有( )
[A]5个 [B]4个
[C]3个 [D]2个
13.(15分)已知函数f(x)=.
(1)求f(2)与f(),f(3)与f().
(2)由(1)中求得的结果,你能发现f(x)与f()有什么关系 证明你的发现.
(3)求f(2)+f()+f(3)+f()+…+f(2 025)+f()的值.
拓展练
14.(多选)如图所示为某加油站地下圆柱体储油罐示意图,已知储油罐长度为d,截面半径为r(d,r为常量),油面高度为h,油面宽度为w,储油量为v(h,w,v为变量),则有下列说法:①w是v的函数;②v是w的函数;③h是w的函数;④w是h的函数.其中正确的有( )
[A]① [B]②
[C]③ [D]④第2课时 函数的概念(二)
课时作业
(满分:100分)
基础练
1.函数y=的定义域为( )
[A](-1,+∞)
[B][-1,+∞)
[C](-1,0)∪(0,+∞)
[D][-1,0)∪(0,+∞)
【答案】 D
【解析】 由得x≥-1且x≠0,故函数的定义域为[-1,0)∪(0,+∞).故选D.
2.下列函数中与f(x)=是同一个函数的是( )
[A]g(x)=x [B]g(x)=
[C]g(x)= [D]g(x)=x0·
【答案】 D
【解析】 函数f(x)==x,其定义域为{x|x≠0}.g(x)=x的定义域为R,两函数定义域不同,A不符合题意;g(x)==|x|,两函数对应关系不同,B不符合题意;g(x)==x,其定义域为{x|x>0},两函数定义域不同,C不符合题意;g(x)=x0·=x,其定义域为{x|x≠0},两函数是同一个函数,D符合题意.故选D.
3.若函数y=的定义域为M,值域为N,则M∩N=( )
[A](0,+∞) [B](2,+∞)
[C](1,2] [D][1,2)
【答案】 D
【解析】 由y=有意义可得2x-x2>0,所以x2-2x<0,所以0
所以函数y=的定义域M=(0,2),由0所以函数y=的值域N=[1,+∞),所以M∩N=[1,2).故选D.
4.下列函数中,值域是(0,+∞)的是( )
[A]y=
[B]y=,x∈(0,+∞)
[C]y=,x∈N
[D]y=
【答案】 D
【解析】 对于A,当x=0时,y=0,即值域中有0,故A错误;
对于B,因为=1+≠1,即值域中没有1,故B错误;
对于C,函数的定义域为x∈N,所以函数的值域不连续,故C错误;
对于D,因为|x-1|的取值范围是(0,+∞),所以函数的值域为(0,+∞),故D正确.故选D.
5.已知函数y=f(3x+2)的定义域为[-,1],则函数y=的定义域为( )
[A](1,5] [B][1,5]
[C][-,1] [D](2,5]
【答案】 A
【解析】 由函数y=f(3x+2)的定义域为[-,1],得-≤x≤1,则-3≤3x+2≤5,即y=f(x)的定义域为[-3,5],在函数y=中,由解得16.(多选)已知函数y=x2-2x+2的值域是[1,2],则其定义域可能是( )
[A][0,1] [B][1,2]
[C][,2] [D][-1,1]
【答案】 ABC
【解析】 由y=x2-2x+2=1,得x2-2x+1=0,即(x-1)2=0,得x1=x2=1.
由y=x2-2x+2=2,得x2-2x=0,即x=0或x=2. 故定义域内必须含有1,0与2至少含有一个,
且定义域一定是[0,2]的子集,则A,B,C符合题意,D不符合题意.故选ABC.
7.(5分)下列各组函数:①f(x)=1,g(x)=x0;
②f(x)=,g(x)=;
③f(x)=x2-1,g(t)=;
④f(x)=,g(x)=x+3;
⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)=80x(0≤x≤5).
其中表示同一个函数的是 .(填上所有正确的序号)
【答案】 ③⑤
【解析】 对于①,定义域不同,所以两函数不是同一个函数;对于②,对应关系不同,所以两函数不是同一个函数;对于③,f(x)与g(t)的定义域均为R,且=t2-1,所以两函数是同一个函数;对于④,两函数的定义域均为R,因为f(x)==|x+3|≠g(x),所以两函数不是同一个函数;对于⑤,定义域和对应关系都相同,两函数是同一个函数.所以表示同一个函数的是③⑤.
8.(5分)函数f(x)=x4-2x2-1,x∈(0,2]的值域为 .
【答案】 [-2,7]
【解析】 当x∈(0,2]时,x2∈(0,4],f(x)=-2,当x2=1,即x=1时,f(x)min=-2,
当x2=4,即x=2时,f(x)max=7,所以所求值域为[-2,7].
9.(14分)求下列函数的定义域:
(1)y=;
(2)y=·;
(3)y=;
(4)y=+.
【解】 (1)由题意得解得x≤0且x≠-,所以所求函数的定义域为(-∞,-)(,0].
(2)由题意得解得x=1,所以所求函数的定义域为{1}.
(3)由题意得解得x≤1且x≠0,所以所求函数的定义域为(-∞,0)∪(0,1].
(4)由题意得解得-≤x≤- 或≤x≤,所以所求函数的定义域为[-,-]∪[,].
10.(14分)求下列函数的值域:
(1)f(x)=2x+4;
(2)f(x)=+.
【解】 (1)令t=,则t∈[0,+∞),x=3-t2,则2x+4=2(3-t2)+4t=-2t2+4t+6,
令g(t)=-2t2+4t+6=-2(t-1)2+8,t∈[0,+∞),所以g(t)≤8,所以函数f(x)的值域为(-∞,8].
(2) 令y=+,则解得-2≤x≤2,所以函数的定义域为[-2,2],
易知y2=4+2,因为-2≤x≤2,所以0≤x2≤4,所以0≤4-x2≤4,则0≤≤2,所以4≤y2≤8,
显然y>0,所以2≤y≤2,即该函数的值域为[2,2].
强化练
11.已知函数f(x)=的定义域为R,则实数a的取值范围是( )
[A][0,8] [B][0,8)
[C](0,8] [D](0,8)
【答案】 B
【解析】 因为函数f(x)=的定义域为R,所以ax2+ax+2≠0恒成立.
当a=0时,显然符合题意;
当a≠0时,Δ=a2-8a<0,即012.(5分)已知函数f(x)=x2-x+的定义域和值域都是[1,m](m>1),则m的值为 .
【答案】 3
【解析】 由题得,函数f(x)=x2-x+=(x-1)2+1图象的对称轴为直线x=1,顶点为(1,1)且开口向上,要使f(x)的定义域和值域都是[1,m],则有所以m2-m+=m,
即m2-4m+3=0,所以m=3或m=1, 又因为m>1,所以 m=3.
13.(16分)已知函数f(x)=.
(1)若f(x)的定义域为[-1,2],求实数m的值;
(2)若f(x)的定义域为R,求实数m的取值范围.
【解】 (1)由于f(x)=的定义域需要满足(m2-m-6)x2+(m+2)x+
8≥0,
结合f(x)的定义域为[-1,2],故x=-1和x=2是一元二次方程(m2-m-6)x2+(m+2)x+8=0的两个不相等的实数根,因此解得m=2.
(2)f(x)的定义域为R,则(m2-m-6)x2+(m+2)x+8≥0对 x∈R均成立,
当m=3时,m2-m-6=0,此时不等式为5x+8≥0,解得x≥-,不符合题意,舍去;
当m=-2时,m2-m-6=0,此时不等式为8≥0,符合题意;
当m≠3且m≠-2时,m2-m-6≠0,不等式(m2-m-6)x2+(m+2)x+8≥0为一元二次不等式,要使解集为R,则解得m≥或m<-2.
综上可得,实数m的取值范围为(-∞,-2]∪[,+∞).
拓展练
14.(5分)若函数f(x)=x-1的定义域为[0,4],则函数y=f(x2)+[f(x)]2的值域为 .
【答案】 [-,4]
【解析】 由题意可知,y=f(x2)+[f(x)]2要有意义,则需即0≤x≤2,即函数的定义域为[0,2],
又y=x2-1+(x-1)2=2x2-2x,其图象的对称轴方程为x=,
所以当x=时,ymin=-,当x=2时,ymax=4,所以函数的值域为[-,4].