第2课时 函数的最大(小)值
课时作业
(满分:100分)
基础练
1.下列函数在区间[1,4]上的最大值为3的是( )
[A]y=+2 [B]y=3x-2
[C]y=x2 [D]y=1-x
2.设函数f(x)的定义域为[0,1],则“f(x)在区间[0,1]上单调递增”是“f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(1)”的( )
[A]充分不必要条件
[B]必要不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分也不必要条件
3.已知函数f(x)=则f(x)的值域是( )
[A][-3,2] [B][-3,1]
[C][-2,2] [D][0,4]
4.已知函数y=x2-2x+3在闭区间[-1,m]上有最大值6,最小值2,则m的取值范围是( )
[A][1,+∞) [B][0,3]
[C](-∞,2] [D][1,3]
5.(多选)已知函数f(x)=,则下列选项正确的是( )
[A]若f(x)=2,则x=14
[B]函数f(x)在定义域内是减函数
[C]若x∈[2,8],则f(x)的值域是[-1,5]
[D]若x∈N,则函数f(x)有最小值也有最大值
6.某工厂生产某产品x吨所需费用为P元,而卖出x吨的价格为每吨Q元,已知P=1 000+
5x+x2,Q=a+,若生产出的产品能全部卖出,且当产量为150吨时利润最大.此时每吨的价格为40元,则有( )
[A]a=45,b=-30
[B]a=30,b=-45
[C]a=-30,b=45
[D]a=-45,b=-30
7.(5分)已知函数y=ax+1在区间[1,3]上的最大值为4,则a= .
8.(5分)函数f(x)=x+,x∈[0,4]的最大值为 ,最小值为 .
9.(14分)已知函数f(x)=.
(1)试用单调性定义判断f(x)在[1,2]上的单调性;
(2)求函数f(x)在[1,2]上的最值.
10.(15分)已知函数f(x)=-x2+2|x|+3,
(1)定义g(x)=min{f(x),x+3},其中min表示f(x)与x+3两者中的最小者(若两者相等,取其中一个函数),画出g(x)的图象;
(2)写出g(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值.
强化练
11.设f(x)=若f(0)是f(x)的最小值,则a的取值范围为( )
[A][-1,0] [B][-1,+∞)
[C][-2,-1] [D](-∞,0]
12.(5分)已知函数f(x)=x2+5x+8,g(x)=mx+3-5m,若对任意的x1∈[-4,2],总存在x2∈[2,6],使f(x1)=g(x2)成立,则实数m的取值范围是 .
13.(15分)已知函数f(x)=(x-2)|x+a|.
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)当a>3时,函数f(x)在[-3,3]上的最小值记为g(a),求g(a)的表达式.
拓展练
14.已知函数f(x)=若n>m,且f(n)=f(m),设t=n-m,则t的最大值为( )
[A]1 [B]-1
[C] [D]-3.2.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
课时作业
(满分:100分)
基础练
1.若函数r=f(p)的图象如图所示,则该函数的定义域和单调区间分别是( )
[A][-5,0],[2,6)和[-5,0]∪[2,6]
[B][-5,0]∪[2,6)和[-5,0],[2,6]
[C][-5,0],[2,6)和(-5,0)∪(2,6)
[D][-5,0]∪[2,6)和(-5,0),(2,6)
2.已知函数f(x)=,则函数f(x)( )
[A]在(-2,+∞)上单调递增
[B]在(-2,+∞)上单调递减
[C]在(1,+∞)上单调递增
[D]在(1,+∞)上单调递减
3.已知函数f(x)=x2-mx+3在区间[-1,1]上单调,则实数m的取值范围是 ( )
[A][-,]
[B][-2,2]
[C](-∞,-]∪[,+∞)
[D](-∞,-2]∪[2,+∞)
4.已知函数f(x)=||x-1|-1|,x∈[0,+∞),它的单调递减区间是( )
[A][1,+∞) [B][0,1)
[C][1,2] [D](2,+∞)
5.已知函数f(x)=则不等式f(2x-4)>f(x2-3x)的解集为( )
[A](1,4)
[B](-4,-1)
[C](-∞,1)∪(4,+∞)
[D](-∞,-1)
6.已知函数f(x)在定义域[-9,9]上单调递增,则函数y=f(x2)的单调递增区间是( )
[A][-9,9] [B][0,9]
[C][0,3] [D][-3,3]
7.(5分)若函数f(x)=在[1,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是 .
8.(5分)已知函数y=f(x)是R上的增函数,且y=f(x)的图象经过点A(-2,-5)和B(1,5),则不等式|f(2x-1)|<5的解集为 .
9.(13分)已知f(x)=x|x-2|.
(1)将f(x)写成分段函数的形式;
(2)画出f(x)的图象,并写出f(x)的单调递增区间.
10.(15分)用函数单调性的定义证明:
(1)函数f(x)=2x2+4x在[-1,+∞)上单调递增;
(2)函数f(x)=在区间(1,+∞)上单调递减.
强化练
11.函数f(x)=满足对 x1,x2∈R且x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 ,则实数a的取值范围是( )
[A](-∞,4)
[B](-∞,3)
[C](-∞,-2]∪[1,3)
[D](-∞,-1]∪[2,3)
12.若函数f(x)=在[1,2]上单调递减,则正数k的取值范围为( )
[A][1,3)∪(10,+∞)
[B][1,+∞)
[C][2,+∞)
[D][2,3)∪(10,+∞)
13.(17分)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x),f(2)=1,满足对 x,y∈(0,+∞),等式f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,且当x>1时,f(x)>0.
(1)求f(1),f()的值;
(2)解关于x的不等式f(x)+f(x-6)≤4.
拓展练
14.已知函数f(x)满足: x1,x2∈R,当x1≠x2时,>2恒成立,且f(2)=12.若f(m2)≥2m2+8,则实数m的取值范围是( )
[A][-,]
[B][-2,2]
[C](-∞,-]∪[,+∞)
[D](-∞,-2]∪[2,+∞)第2课时 函数的最大(小)值
课时作业
(满分:100分)
基础练
1.下列函数在区间[1,4]上的最大值为3的是( )
[A]y=+2 [B]y=3x-2
[C]y=x2 [D]y=1-x
【答案】 A
【解析】 选项B,C在[1,4]上均单调递增,选项A,D在[1,4]上均单调递减,代入端点值,可知A正确.故选A.
2.设函数f(x)的定义域为[0,1],则“f(x)在区间[0,1]上单调递增”是“f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(1)”的( )
[A]充分不必要条件
[B]必要不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分也不必要条件
【答案】 A
【解析】 若“f(x)在区间[0,1]上单调递增”,则“f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(1)”;若“f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(1)”,则f(x)在区间[0,1]上不一定单调.所以“f(x)在区间[0,1]上单调递增”是“f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(1)”的充分不必要条件.故选A.
3.已知函数f(x)=则f(x)的值域是( )
[A][-3,2] [B][-3,1]
[C][-2,2] [D][0,4]
【答案】 A
【解析】 由二次函数性质可知,当x∈[1,4]时,f(x)=-x2+4x-2在[1,2]上单调递增,在[2,4]上单调递减,且f(2)=2,f(1)=1,f(4)=-2,所以f(x)=-x2+4x-2∈[-2,2];由一次函数性质可知,当x∈[0,1)时,f(x)=4x-3单调递增,所以f(x)=4x-3∈[-3,1).综上,函数f(x)的值域为[-3,2].故选A.
4.已知函数y=x2-2x+3在闭区间[-1,m]上有最大值6,最小值2,则m的取值范围是( )
[A][1,+∞) [B][0,3]
[C](-∞,2] [D][1,3]
【答案】 D
【解析】 如图,抛物线y=x2-2x+3的对称轴方程为x=1,当x=1时,ymin=2,当x=-1时,y=6,又当x=3时,y=6,
结合图象可知m的取值范围是[1,3].故选D.
5.(多选)已知函数f(x)=,则下列选项正确的是( )
[A]若f(x)=2,则x=14
[B]函数f(x)在定义域内是减函数
[C]若x∈[2,8],则f(x)的值域是[-1,5]
[D]若x∈N,则函数f(x)有最小值也有最大值
【答案】 AD
【解析】 对于A,由f(x)=2,可得=2,解得x=14,故A正确;对于B,f(x)==1+的定义域为(-∞,6)∪(6,+∞),f(x)在(-∞,6)上单调递减,且f(x)<1,f(x)在(6,+∞)上单调递减,且f(x)>1,故f(x)在(-∞,6)∪(6,+∞)上不是单调函数,故B错误;对于C,由B的分析可得,当x∈[2,6)时,
f(x)≤f(2)=-1,当x∈(6,8]时,f(x)≥f(8)=5,所以f(x)的值域是(-∞,-1]∪[5,+∞),当x=6时,f(x)无意义,故C错误;当x∈N且x∈[0,6)时,-7=f(5)≤f(x)≤f(0)=-,当x∈N且x∈(6,+∞)时,
1
6.某工厂生产某产品x吨所需费用为P元,而卖出x吨的价格为每吨Q元,已知P=1 000+
5x+x2,Q=a+,若生产出的产品能全部卖出,且当产量为150吨时利润最大.此时每吨的价格为40元,则有( )
[A]a=45,b=-30
[B]a=30,b=-45
[C]a=-30,b=45
[D]a=-45,b=-30
【答案】 A
【解析】 设生产x吨产品全部卖出,获利润为y元,则y=xQ-P=x(a+)-(1 000+5x+x2)=
(-)·x2+(a-5)x-1 000(x>0).
由题意知,当x=150时,y取最大值,此时Q=40.所以解得故选A.
7.(5分)已知函数y=ax+1在区间[1,3]上的最大值为4,则a= .
【答案】 1
【解析】 若a=0,则函数y=1,不满足题意;若a<0,则函数y=ax+1在区间[1,3]上单调递减,并且在区间的左端点处,即x=1时取得最大值,即a+1=4,解得a=3,不满足a<0,舍去;若a>0,则函数y=ax+1在区间[1,3]上单调递增,并且在区间的右端点处,即x=3时取得最大值,即3a+1=4,解得a=1.综上,a=1.
8.(5分)函数f(x)=x+,x∈[0,4]的最大值为 ,最小值为 .
【答案】 6 0
【解析】 因为y=x和y=在[0,4]上单调递增,所以f(x)=x+在[0,4]上单调递增,所以f(x)min=f(0)=0,f(x)max=f(4)=6,所以函数f(x) 的最大值为6,最小值为0.
9.(14分)已知函数f(x)=.
(1)试用单调性定义判断f(x)在[1,2]上的单调性;
(2)求函数f(x)在[1,2]上的最值.
【解】 (1) x1,x2∈[1,2],且x1=,
因为1≤x10,
所以f(x1)>f(x2),所以f(x)在[1,2]上单调递减.
(2)由(1)知f(x)在[1,2]上单调递减,所以f(x)min=f(2)=-4,f(x)max=f(1)=-.
所以函数f(x)在[1,2]上的最小值为-4,最大值为-.
10.(15分)已知函数f(x)=-x2+2|x|+3,
(1)定义g(x)=min{f(x),x+3},其中min表示f(x)与x+3两者中的最小者(若两者相等,取其中一个函数),画出g(x)的图象;
(2)写出g(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值.
【解】 (1)f(x)=-x2+2|x|+3=画出f(x)与y=x+3的图象,可得实线部分为g(x)=min{f(x),x+3}的图象.
(2)从图象可知,在区间[-2,2]上,g(x)在x=1时取得最大值4,在x=-2时取得最小值1.
强化练
11.设f(x)=若f(0)是f(x)的最小值,则a的取值范围为( )
[A][-1,0] [B][-1,+∞)
[C][-2,-1] [D](-∞,0]
【答案】 A
【解析】 当x≥0时,f(x)=2x2-ax+1图象的对称轴方程为x=,若f(0)=1是f(x)的最小值,则≤0,即得a≤0;当x<0时,可得-x>0,-x-+a≥2+a=2+a,当且仅当x=-1时等号成立,要使得函数的最小值为f(0),则1≤2+a,解得a≥-1.综上可得,实数a的取值范围为[-1,0].故选A.
12.(5分)已知函数f(x)=x2+5x+8,g(x)=mx+3-5m,若对任意的x1∈[-4,2],总存在x2∈[2,6],使f(x1)=g(x2)成立,则实数m的取值范围是 .
【答案】 (-∞,-]∪[19,+∞)
【解析】 由题意,函数f(x)=x2+5x+8=+,g(x)=mx+3-5m,
根据二次函数的性质,当x1∈[-4,2]时,f(x1)∈[,22],记A=[,22],对任意x1∈[-4,2],总存在x2∈[2,6],使f(x1)=g(x2)成立.
当m>0时,g(x)在[2,6]上单调递增,g(x)∈[3-3m,m+3].
记B=[3-3m,m+3],所以A B,则解得m≥19;
当m<0时,g(x)在[2,6]上单调递减,g(x)∈[m+3,3-3m].
记B=[m+3,3-3m],所以A B,则解得m≤-.
当m=0时,g(x)=3(舍去),
综上,实数m的取值范围是(-∞,-]∪[19,+∞).
13.(15分)已知函数f(x)=(x-2)|x+a|.
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)当a>3时,函数f(x)在[-3,3]上的最小值记为g(a),求g(a)的表达式.
【解】 (1)当a=1时,f(x)=(x-2)|x+1|.
当x≤-1时,f(x)=(x-2)(-x-1)=-x2+x+2,所以f(x)在(-∞,-1]上单调递增;
当x>-1时,f(x)=(x-2)(x+1)=x2-x-2,所以f(x)在(-1,)上单调递减,在[,+∞)上单调递增.
综上所述,f(x)的单调递增区间为(-∞,-1],[,+∞);单调递减区间为(-1,).
(2)因为a>3,当x∈[-3,3]时,f(x)=(x-2)(x+a)=x2+(a-2)x-2a.
①当3≥≥-3,即3所以g(a)=f()=;
②当<-3,即a>8时,f(x)在[-3,3]上单调递增,g(a)=f(-3)=15-5a.
综上所述,g(a)=
拓展练
14.已知函数f(x)=若n>m,且f(n)=f(m),设t=n-m,则t的最大值为( )
[A]1 [B]-1
[C] [D]-
【答案】 C
【解析】 当1≥n>m时,f(x)在(-∞,1]上单调递增,故f(n)=f(m)不成立,故舍去;当n>m>1时,f(x) 在(1,+∞)上单调递增,故f(n)=f(m)不成立,故舍去;当n>1≥m时,有n2-1=3m+1,即m=≤1,则n2≤5,解得-≤n≤,又n>1,故1第1课时 函数的单调性
课时作业
(满分:100分)
基础练
1.若函数r=f(p)的图象如图所示,则该函数的定义域和单调区间分别是( )
[A][-5,0],[2,6)和[-5,0]∪[2,6]
[B][-5,0]∪[2,6)和[-5,0],[2,6]
[C][-5,0],[2,6)和(-5,0)∪(2,6)
[D][-5,0]∪[2,6)和(-5,0),(2,6)
【答案】 D
【解析】 定义域是函数自变量p的取值范围,为[-5,0]∪[2,6),函数的单调递增区间有2个,不能用“∪”连接,并且单调区间应是定义域的子集.故选D.
2.已知函数f(x)=,则函数f(x)( )
[A]在(-2,+∞)上单调递增
[B]在(-2,+∞)上单调递减
[C]在(1,+∞)上单调递增
[D]在(1,+∞)上单调递减
【答案】 D
【解析】 f(x)===1+(x≠1),所以函数f(x)的图象可由反比例函数y=的图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度得到.因为y=在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,所以f(x)=在(-∞,1)和(1,+∞)上单调递减.故选D.
3.已知函数f(x)=x2-mx+3在区间[-1,1]上单调,则实数m的取值范围是 ( )
[A][-,]
[B][-2,2]
[C](-∞,-]∪[,+∞)
[D](-∞,-2]∪[2,+∞)
【答案】 D
【解析】 因为函数f(x)=x2-mx+3的图象的对称轴方程为x=,且函数f(x)在[-1,1]上单调,所以≤-1或≥1,解得m≤-2或m≥2,则实数m的取值范围为(-∞,-2]∪[2,+∞).故选D.
4.已知函数f(x)=||x-1|-1|,x∈[0,+∞),它的单调递减区间是( )
[A][1,+∞) [B][0,1)
[C][1,2] [D](2,+∞)
【答案】 C
【解析】 当0≤x<1时,f(x)=||x-1|-1|=|(1-x)-1|=|-x|=x;
当1≤x≤2时,f(x)=||x-1|-1|=|(x-1)-1|=|x-2|=2-x;
当x>2时,f(x)=||x-1|-1|=|(x-1)-1|=|x-2|=x-2.
所以f(x)=所以f(x)的单调递减区间为[1,2].故选C.
5.已知函数f(x)=则不等式f(2x-4)>f(x2-3x)的解集为( )
[A](1,4)
[B](-4,-1)
[C](-∞,1)∪(4,+∞)
[D](-∞,-1)
【答案】 A
【解析】 当x<0时,函数f(x)=-在(-∞,0)上单调递增,f(x)<2,当x≥0时,函数f(x)=x+2在[0,+∞)上单调递增,f(x)≥2,因此函数f(x)在R上是增函数,不等式f(2x-4)>f(x2-3x)
2x-4>x2-3x,即x2-5x+4<0,解得16.已知函数f(x)在定义域[-9,9]上单调递增,则函数y=f(x2)的单调递增区间是( )
[A][-9,9] [B][0,9]
[C][0,3] [D][-3,3]
【答案】 C
【解析】 因为函数f(x)的定义域为[-9,9],所以函数y=f(x2)的定义域满足-9≤x2≤9,即x∈[-3,3].
令t=x2,则t=x2在[0,3]上单调递增,在[-3,0)上单调递减,又y=f(x)在[-3,3]上单调递增,
所以函数y=f(x2)的单调递增区间为[0,3].故选C.
7.(5分)若函数f(x)=在[1,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是 .
【答案】 (-∞,1)
【解析】 f(x)===a+,因为函数f(x)在[1,+∞)上单调递减,所以1-a>0,解得a<1,所以实数a的取值范围是(-∞,1).
8.(5分)已知函数y=f(x)是R上的增函数,且y=f(x)的图象经过点A(-2,-5)和B(1,5),则不等式|f(2x-1)|<5的解集为 .
【答案】 (-,1)
【解析】 因为y=f(x)的图象经过点A(-2,-5)和B(1,5),所以f(-2)=-5,f(1)=5.
又|f(2x-1)|<5,所以-5因为函数y=f(x)是R上的增函数,
所以-2<2x-1<1,解得-9.(13分)已知f(x)=x|x-2|.
(1)将f(x)写成分段函数的形式;
(2)画出f(x)的图象,并写出f(x)的单调递增区间.
【解】 (1)由f(x)=x|x-2|,当x≥2时,f(x)=x(x-2),当x<2时,f(x)=x(2-x),
故f(x)=
(2)函数f(x)的图象如图所示,函数的单调递增区间为(-∞,1),(2,+∞).
10.(15分)用函数单调性的定义证明:
(1)函数f(x)=2x2+4x在[-1,+∞)上单调递增;
(2)函数f(x)=在区间(1,+∞)上单调递减.
【证明】 (1) x1,x2∈[-1,+∞),且x1f(x1)-f(x2)=2+4x1-(2+4x2)=2(x1+x2)(x1-x2)+4(x1-x2)=2(x1-x2)(x1+x2+2),
因为-1≤x10,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以函数f(x)=2x2+4x在[-1,+∞)上单调递增.
(2) x1,x2∈(1,+∞),且x1因为x10.又因为x1,x2∈(1,+∞),所以x2+x1>0,-1>0,-1>0,
所以>0,即f(x1)>f(x2).
所以函数f(x)=在区间(1,+∞)上单调递减.
强化练
11.函数f(x)=满足对 x1,x2∈R且x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 ,则实数a的取值范围是( )
[A](-∞,4)
[B](-∞,3)
[C](-∞,-2]∪[1,3)
[D](-∞,-1]∪[2,3)
【答案】 D
【解析】 由题意得f(x)在R上单调递增,其中当x<2时,y===a+,
故需满足解得2≤a<3或a≤-1.故选D.
12.若函数f(x)=在[1,2]上单调递减,则正数k的取值范围为( )
[A][1,3)∪(10,+∞)
[B][1,+∞)
[C][2,+∞)
[D][2,3)∪(10,+∞)
【答案】 A
【解析】 要使函数f(x)=在[1,2]上单调递减,则需g(x)=kx2-2x-8在[1,2]上单调递增且同号,
所以
解得1≤k<3或k>10.所以正数k的取值范围是[1,3)∪(10,+∞).故选A.
13.(17分)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x),f(2)=1,满足对 x,y∈(0,+∞),等式f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,且当x>1时,f(x)>0.
(1)求f(1),f()的值;
(2)解关于x的不等式f(x)+f(x-6)≤4.
【解】 (1)令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0.
令x=y=2,得f(4)=f(2)+f(2)=1+1=2,
令x=4,y=,得f(4×)=f(4)+f(),即f(1)=f(4)+f(),所以f()=-2.
(2)设任意x1,x2∈(0,+∞),x1>x2,则>1,
f(x1)-f(x2)=f(x2·)-f(x2)=f(x2)+f()-f(x2)=f(),
因为>1,所以f()>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
令x=y=4,得f(16)=f(4)+f(4)=4,不等式f(x)+f(x-6)≤4可转化为f(x2-6x)≤f(16),
所以解得6拓展练
14.已知函数f(x)满足: x1,x2∈R,当x1≠x2时,>2恒成立,且f(2)=12.若f(m2)≥2m2+8,则实数m的取值范围是( )
[A][-,]
[B][-2,2]
[C](-∞,-]∪[,+∞)
[D](-∞,-2]∪[2,+∞)
【答案】 C
【解析】 不妨设x1>x2,>2 f(x1)-f(x2)>2x1-2x2,故f(x1)-2x1>f(x2)-2x2,
令F(x)=f(x)-2x,则F(x1)>F(x2),所以F(x)=f(x)-2x在R上单调递增,因为f(2)=12,
所以F(2)=f(2)-4=8,f(m2)≥2m2+8 f(m2)-2m2≥8 F(m2)≥F(2),所以m2≥2,
解得m∈(-∞,-]∪[,+∞).故选C.