3.3幂函数
课时作业
(满分:100分)
基础练
1.若幂函数f(x)的图象经过(1,1),(2,-4),(-,2)这三个点中的两个点,则f(4)等于( )
[A]64 [B]16
[C]4 [D]2
【答案】 B
【解析】 设f(x)=xα,易知f(x)的图象必经过点(1,1).当f(x)的图象经过点(2,-4)时,f(2)=2α=-4不成立;当f(x)的图象经过点(-,2)时,f(-)==2,得α=2.故f(x)=x2,得f(4)=16.
故选B.
2.设α∈{-1,-,,3},则使函数f(x)=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为( )
[A]3 [B]-1
[C]-,3 [D],3
【答案】 A
【解析】 当α=-1时,f(x)=x-1=的定义域为{x|x≠0},不符合题意;当α=-时,f(x)==的定义域为{x|x>0},不符合题意;当α=时,f(x)==的定义域为{x|x≥0},不符合题意;当α=3时,
f(x)=x3的定义域为R,f(-x)=(-x)3=-x3,即f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,符合题意.所以α=3符合题意.故选A.
3.已知幂函数f(x)的图象过点(2,32),若f(a+1)+f(-1)>0,则a的取值范围为( )
[A](2,+∞) [B](1,+∞)
[C](0,+∞) [D](-1,+∞)
【答案】 C
【解析】 设幂函数y=f(x)=xα,其图象过点(2,32),所以2α=32,解得α=5,所以f(x)=x5.
因为f(-x)=(-x)5=-f(x),所以f(x)=x5为奇函数,且在R上是增函数,所以f(a+1)+f(-1)>0可化为f(a+1)>-f(-1)=f(1),可得a+1>1,解得a>0.故选C.
4.若幂函数y=(a2-2a-2)xa的图象与一次函数y=x的图象有三个交点,则a的值为( )
[A]0 [B]-1或3
[C]-1 [D]3
【答案】 D
【解析】 因为y=(a2-2a-2)xa为幂函数,则a2-2a-2=1,解得a=3或a=-1,
如图,若a=3,则y=x3的图象与一次函数y=x的图象有三个交点,符合题意;
若a=-1,则y=x-1=的图象与一次函数y=x的图象有两个交点,不符合题意.
综上可得,a=3.故选D.
5.(多选)下列比较大小中正确的是( )
[A]<
[B]<
[C]-2.13<(-2.2)-3
[D]<
【答案】 CD
【解析】 由函数y=x0.5在(0,+∞)上单调递增,>,得>,A错误;由函数y=x-1在(-∞,0)上单调递减,-<-,得>,B错误;-2.13=(-2.1)3,(-2.2)-3=,因为函数y=x3在R上单调递增,-2.1<-,所以(-2.1)3<,即-2.13<(-2.2)-3,C正确;因为<0,
>0,所以<,D正确.故选CD.
6.已知函数f(x)=则y=-f(x)的图象大致为( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 C
【解析】当x<0时,易知f(x)=x-2=在(-∞,0)上单调递增;
当x≥0时,易知f(x)==在[0,+∞)上单调递增.故函数f(x)的图象如图所示.
又y=-f(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称,所以C项满足题意.故选C.
7.(5分)已知幂函数y=x-1的图象及直线y=x,y=1,x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”:①,②,③,④,⑤,⑥,⑦,⑧(如图所示).那么幂函数y=的图象经过的“卦限”是 .
【答案】 ①⑤
【解析】 对于函数y==,当x>1时,1<
8.(5分)已知函数f(x)=2x3+3x,若关于x的不等式f(kx2)+f(1-kx)>0恒成立,则实数k的取值范围为 .
【答案】 [0,4)
【解析】 易知f(x)+f(-x)=2x3+3x+2(-x)3+3(-x)=0,即f(x)为奇函数,由幂函数的单调性知f(x)在R上是增函数,所以f(kx2)+f(1-kx)>0等价于f(kx2)>-f(1-kx)=f(kx-1),则得kx2-kx+1>0在R上恒成立.
若k<0,显然不成立;若k=0,显然恒成立;若k>0,则当且仅当Δ=k2-4k<0,即0综上,实数k的取值范围为[0,4).
9.(14分)已知幂函数f(x)=(3m2-m+1)x9m-2的图象不经过原点.
(1)求m的值;
(2)若a≠0,试比较f(a)与f(a2+1)的大小.
【解】 (1)因为f(x)是幂函数,所以3m2-m+1=1,解得m=0或m=.当m=0时,f(x)=x-2的图象不经过原点,符合题意;当m=时,f(x)=x的图象经过原点,不符合题意,所以m=0.
(2)由(1)得f(x)=x-2,易得f(x)在(0,+∞)上单调递减.
当a>0时,由a2+1-a=+>0,可得a2+1>a>0,所以f(a2+1)当a<0时,-a>0,由a2+1-(-a)=+>0,可得a2+1>-a>0.因为f(-a)=(-a)-2=a-2=f(a),所以f(a2+1)综上,f(a2+1)10.(14分)已知幂函数f(x)=(-2m2)xm的图象过点(-,n).
(1)求实数n的值;
(2)设函数g(x)=f(x)+[f(x)]-2,用单调性的定义证明:g(x)在(1,+∞)上单调递增.
(1)【解】 由f(x)=(-2m2)xm是幂函数,得-2m2=1,解得m=±.
当m=时,f(x)=的图象不过点(-2,n),不满足题意;
当m=-时,f(x)=的图象过点(2,n),所以n==.
(2)【证明】 由(1)知,f(x)=,则g(x)=+x,任取x1,x2∈(1,+∞),且x1则g(x1)-g(x2)=+x1-(+x2)=(x1-x2)+=(x1-x2)+=
(x1-x2)[1-],
由x2>x1>1,得x1-x2<0,>>1,则+>1,>1,(+)>1,
1->0,(x1-x2)[1-]<0,
因此g(x1)-g(x2)<0,即g(x1)所以g(x)在(1,+∞)上单调递增.
强化练
11.在同一平面直角坐标系内,函数y=xa(a≠0)和y=ax-的图象可能是( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 对于A,幂的指数a<0,则y=ax-应为减函数,A错误;对于B,幂的指数a>1,则y=ax-应为增函数,B错误;对于D,幂的指数a<0,则->0,即直线y=ax-与y轴的交点应在x轴上方,D错误;易知C正确.故选C.
12.已知幂函数y=f(x)过点(,),P(x1,y1),Q(x2,y2)是其图象上任意两点(x1[A]x1f(x1)[B]>
[C]f()>
[D]f()<
【答案】 D
【解析】 因为f(x)是幂函数,可设f(x)=xα,因为幂函数f(x)的图象经过点(,),所以=,即=2-3α,解得α=,所以f(x)=,定义域为[0,+∞).
对于A,设g(x)=xf(x)=x=,定义域为[0,+∞),因为>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,若0≤x1对于B,设h(x)====,定义域为(0,+∞),因为-<0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递减,若0h(x2),即>,故B正确;
对于C,D,f()=,=,
[f()]2=,
=,
而=>(x1≠x2,等号不成立),所以[f()]2>[]2,又f()>0,>0,所以>,故C正确,D错误.故选D.
13.(16分)已知幂函数f(x)=(m2+4m+4)xm+2在(0,+∞)上单调递减.
(1)求m的值;
(2)若(2a+1)-m<(a+3)-m,求a的取值范围;
(3)设h(x)=,求h(x-3)+h(5-x)的最大值.
【解】 (1)由f(x)=(m2+4m+4)xm+2是幂函数,得m2+4m+4=1,解得m=-1或m=-3.
当m=-1时,f(x)=x在(0,+∞)上单调递增,不符合题意;
当m=-3时,f(x)=x-1在(0,+∞)上单调递减,符合题意,所以m=-3.
(2)若(2a+1)-m<(a+3)-m,即(2a+1)3<(a+3)3,因为函数y=x3在R上是增函数,所以2a+1(3)h(x)==,则h(x-3)+h(5-x)=+,3≤x≤5,
因为≤=1,
所以+≤2,当且仅当x=4时,等号成立,所以h(x-3)+h(5-x)的最大值为2.
拓展练
14.已知幂函数y=xα,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一族曲线(如图).设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα,y=xβ的图象三等分,即有|BM|=|MN|=|NA|,那么αβ等于( )
[A] [B]
[C]1 [D]3
【答案】 C
【解析】 由题意得,点A(1,0),B(0,1),|BM|=|MN|=|NA|,所以M(,),N(,),分别代入y=xα,y=xβ,得=,=,所以=[()α]β==,所以αβ=1.故选C.3.3幂函数
课时作业
(满分:100分)
基础练
1.若幂函数f(x)的图象经过(1,1),(2,-4),(-,2)这三个点中的两个点,则f(4)等于( )
[A]64 [B]16
[C]4 [D]2
2.设α∈{-1,-,,3},则使函数f(x)=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为( )
[A]3 [B]-1
[C]-,3 [D],3
3.已知幂函数f(x)的图象过点(2,32),若f(a+1)+f(-1)>0,则a的取值范围为( )
[A](2,+∞) [B](1,+∞)
[C](0,+∞) [D](-1,+∞)
4.若幂函数y=(a2-2a-2)xa的图象与一次函数y=x的图象有三个交点,则a的值为( )
[A]0 [B]-1或3
[C]-1 [D]3
5.(多选)下列比较大小中正确的是( )
[A]<
[B]<
[C]-2.13<(-2.2)-3
[D]<
6.已知函数f(x)=则y=-f(x)的图象大致为( )
[A] [B]
[C] [D]
7.(5分)已知幂函数y=x-1的图象及直线y=x,y=1,x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”:①,②,③,④,⑤,⑥,⑦,⑧(如图所示).那么幂函数y=的图象经过的“卦限”是 .
8.(5分)已知函数f(x)=2x3+3x,若关于x的不等式f(kx2)+f(1-kx)>0恒成立,则实数k的取值范围为 .
9.(14分)已知幂函数f(x)=(3m2-m+1)x9m-2的图象不经过原点.
(1)求m的值;
(2)若a≠0,试比较f(a)与f(a2+1)的大小.
10.(14分)已知幂函数f(x)=(-2m2)xm的图象过点(-,n).
(1)求实数n的值;
(2)设函数g(x)=f(x)+[f(x)]-2,用单调性的定义证明:g(x)在(1,+∞)上单调递增.
强化练
11.在同一平面直角坐标系内,函数y=xa(a≠0)和y=ax-的图象可能是( )
[A] [B]
[C] [D]
12.已知幂函数y=f(x)过点(,),P(x1,y1),Q(x2,y2)是其图象上任意两点(x1[A]x1f(x1)[B]>
[C]f()>
[D]f()<
13.(16分)已知幂函数f(x)=(m2+4m+4)xm+2在(0,+∞)上单调递减.
(1)求m的值;
(2)若(2a+1)-m<(a+3)-m,求a的取值范围;
(3)设h(x)=,求h(x-3)+h(5-x)的最大值.
拓展练
14.已知幂函数y=xα,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一族曲线(如图).设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα,y=xβ的图象三等分,即有|BM|=|MN|=|NA|,那么αβ等于( )
[A] [B]
[C]1 [D]3