4.2.2 指数函数的图象和性质（2课时打包）（含解析）

第2课时　指数函数的图象和性质(二)
课时作业
基础练
1.若a=1.020.5,b=1.020.6,c=0.60.5,则(　　)
[A]c>a>b [B]c>b>a
[C]b>a>c [D]a>b>c
2.已知函数f(x)=a-为奇函数,则a等于(　　)
[A]2 [B]1 [C]0 [D]-1
3.函数f(x)=的图象大致是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
4.函数f(x)=3x-3-x是(　　)
[A]奇函数,且在R上是增函数
[B]奇函数,且在R上是减函数
[C]偶函数,且在(0,+∞)上单调递增
[D]偶函数,且在(0,+∞)上单调递减
5.已知指数函数f(x)=ax与g(x)=bx的图象如图所示,则(　　)
[A]a>ab>b>ba [B]a>ab>ba>b
[C]ab>a>ba>b [D]ab>a>b>ba
6.若对任意的x∈[-3,-2],都有(2m-1)2x≤1恒成立,则m的取值范围为(　　)
[A](-∞,2] [B](-∞,]
[C](-∞,4] [D](-∞,]
7.(5分)不等式<0.的解集为　　　　.
8.(5分)不等式9x-4×3x+1+27≤0的解集为　　　　　.
9.(14分)已知m>0,a>0且a≠1,函数f(x)=(m2-4m-4)ax是指数函数,且f(2)=.
(1)求m和a的值;
(2)求f(x2-2x)-f(3)>0的解集.
10.(15分)已知函数f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,当x∈(0,1)时,f(x)=2x.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求f(x)的值域;
(3)若不等式f(2a)+f(1-a)>0,求实数a的取值范围.
强化练
11.已知函数f(x)=
(a>0,且a≠1)在R上具有单调性,则实数a的取值范围为(　　)
[A](0,] [B](0,]∪(1,+∞)
[C][,1) [D](1,+∞)
12.(多选)已知函数f(x)=(k为常数)是定义域为R的奇函数,则下列说法正确的是(　　)
[A]k=±1
[B]f(x)在R上单调递减
[C]f(x)的值域为(-1,1)
[D]f(x)>0的解集为(-∞,0)
13.(15分)已知函数f(x)=(+)x3.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)讨论f(x)的奇偶性;
(3)求证:对定义域内的所有x,都有f(x)>0成立.
拓展练
14.设函数f(x)=2|x|+1-,则下列不等式中正确的是(　　)
[A]f(50.3)>f(-)>f(0.35)
[B]f(-)>f(0.35)>f(50.3)
[C]f(0.35)>f(50.3)>f(-)
[D]f(-)>f(50.3)>f(0.35)第2课时　指数函数的图象和性质(二)
课时作业
基础练
1.若a=1.020.5,b=1.020.6,c=0.60.5,则(　　)
[A]c>a>b [B]c>b>a
[C]b>a>c [D]a>b>c
【答案】 C
【解析】 由函数y=1.02x在R上为增函数,则1.020.5<1.020.6,即a0.60.5,即a>c.
综上所述,b>a>c.故选C.
2.已知函数f(x)=a-为奇函数,则a等于(　　)
[A]2 [B]1 [C]0 [D]-1
【答案】 B
【解析】 函数f(x)=a-的定义域为R.
由函数f(x)为奇函数,得f(-x)+f(x)=0,
即a-+a-=2a-(+)=2a-2=0,所以a=1,经检验满足题意.故选B.
3.函数f(x)=的图象大致是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 f(x)的定义域为R,且f(-x)===f(x),故f(x)为偶函数,排除B,D;
当x>0时,f(x)>0,排除C.故选A.
4.函数f(x)=3x-3-x是(　　)
[A]奇函数,且在R上是增函数
[B]奇函数,且在R上是减函数
[C]偶函数,且在(0,+∞)上单调递增
[D]偶函数,且在(0,+∞)上单调递减
【答案】 A
【解析】 函数f(x)=3x-3-x,定义域为R,且f(-x)=3-x-3x=-f(x),所以函数f(x)为奇函数;
f(x)=3x+,因为y=3x在R上是增函数,所以y=-在R上是增函数,所以函数f(x)在R上是增函数.故选A.
5.已知指数函数f(x)=ax与g(x)=bx的图象如图所示,则(　　)
[A]a>ab>b>ba [B]a>ab>ba>b
[C]ab>a>ba>b [D]ab>a>b>ba
【答案】 A
【解析】 由题图可知,a>1,0ab>b>ba.故选A.
6.若对任意的x∈[-3,-2],都有(2m-1)2x≤1恒成立,则m的取值范围为(　　)
[A](-∞,2] [B](-∞,]
[C](-∞,4] [D](-∞,]
【答案】 B
【解析】 由(2m-1)2x≤1恒成立,得2m-1≤=恒成立,又x∈[-3,-2],所以y=的最小值为=4,所以2m-1≤4,解得m≤.
故m的取值范围为(-∞,].故选B.
7.(5分)不等式<0.的解集为　　　　.
【答案】 {x|x<1}
【解析】 原不等式可化为<,因为函数y=2x是增函数,所以3-2x<4-3x,解得x<1.
则不等式的解集为{x|x<1}.
8.(5分)不等式9x-4×3x+1+27≤0的解集为　　　　　.
【答案】 {x|1≤x≤2}
【解析】 不等式9x-4×3x+1+27≤0可化为-12×3x+27≤0,即(3x-3)(3x-9)≤0,解得3≤3x≤9,所以1≤x≤2.
故不等式9x-4×3x+1+27≤0的解集为{x|1≤x≤2}.
9.(14分)已知m>0,a>0且a≠1,函数f(x)=(m2-4m-4)ax是指数函数,且f(2)=.
(1)求m和a的值;
(2)求f(x2-2x)-f(3)>0的解集.
【解】 (1)因为函数f(x)=(m2-4m-4)ax是指数函数,所以m2-4m-4=1,又m>0,解得m=5;
则f(x)=ax,又f(2)=a2=,a>0且a≠1,所以a=.
(2)由(1)得f(x)=,它是定义在R上的减函数,不等式f(x2-2x)-f(3)>0化为f(x2-2x)>f(3),所以x2-2x<3,解得-110.(15分)已知函数f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,当x∈(0,1)时,f(x)=2x.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求f(x)的值域;
(3)若不等式f(2a)+f(1-a)>0,求实数a的取值范围.
【解】 (1)由题知,f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,则f(0)=0.设-1故f(x)=
(2)当x∈(0,1)时,f(x)=2x∈(1,2);当x=0时,f(x)=0;当x∈(-1,0)时,f(x)=-2-x∈(-2,-1).
所以f(x)的值域为(-2,-1)∪{0}∪(1,2).
(3)由(1)知,当x∈(0,1)时,f(x)=2x.则函数f(x)在(0,1)上单调递增,又由函数f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,则函数f(x)在(-1,1)上单调递增.由f(2a)+f(1-a)>0,有f(2a)>-f(1-a)=f(a-1),
所以解得0所以实数a的取值范围为(0,).
强化练
11.已知函数f(x)=
(a>0,且a≠1)在R上具有单调性,则实数a的取值范围为(　　)
[A](0,] [B](0,]∪(1,+∞)
[C][,1) [D](1,+∞)
【答案】 B
【解析】 f(x)=
(a>0,且a≠1)在R上具有单调性,当f(x)在R上单调递减时,解得01.
所以实数a的取值范围是(0,]∪(1,+∞).故选B.
12.(多选)已知函数f(x)=(k为常数)是定义域为R的奇函数,则下列说法正确的是(　　)
[A]k=±1
[B]f(x)在R上单调递减
[C]f(x)的值域为(-1,1)
[D]f(x)>0的解集为(-∞,0)
【答案】 BCD
【解析】 A选项,由题意得f(0)=0,即=0,解得k=1,经检验,当k=1时,f(x)=为奇函数,所以k=1,故A不正确;B选项,f(x)===-1+,因为y=3x在R上单调递增,所以f(x)在定义域R上单调递减,故B正确;C选项,当x>0时,3x>1,所以1+3x>2,则0<<1,故-1<-1+<0,即-10,得1-3x>0,解得x<0,故D正确.故选BCD.
13.(15分)已知函数f(x)=(+)x3.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)讨论f(x)的奇偶性;
(3)求证:对定义域内的所有x,都有f(x)>0成立.
(1)【解】 要使函数f(x)有意义,则2x-1≠0,即x≠0,则函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.
(2)【解】 由(1)知f(x)的定义域关于原点对称,因为f(x)=(+)x3=·x3,
所以f(-x)=·(-x)3=·(-x)3=·x3=f(x),则函数f(x)是偶函数.
(3)【证明】 因为函数f(x)是偶函数,所以只要证明当x>0时,f(x)>0即可.
当x>0时,2x-1>0,此时(+)·x3>0,即f(x)>0成立,所以对定义域内的所有x,都有f(x)>0成立.
拓展练
14.设函数f(x)=2|x|+1-,则下列不等式中正确的是(　　)
[A]f(50.3)>f(-)>f(0.35)
[B]f(-)>f(0.35)>f(50.3)
[C]f(0.35)>f(50.3)>f(-)
[D]f(-)>f(50.3)>f(0.35)
【答案】 D
【解析】 因为f(x)=2|x|+1-的定义域为R,且f(-x)=2|-x|+1-=2|x|+1-=f(x),所以f(x)为偶函数,故f(-)=f().当x>0时,f(x)=2x+1-,因为y=2x+1,y=-在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=2x+1-在(0,+∞)上单调递增.因为=50.5>50.3>1>0.35,所以f(-)>f(50.3)>f(0.35).故选D.4.2.2　指数函数的图象和性质
第1课时　指数函数的图象和性质(一)
课时作业
基础练
1.函数f(x)=ax-1+xa-1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(　　)
[A](0,-1) [B](0,1)
[C](1,0) [D](1,1)
2.已知两个指数函数y=ax,y=bx的部分图象如图所示,则(　　)
[A]0[C]a>b>1 [D]b>a>1
3.若函数y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的图象不经过第二象限,则有(　　)
[A]a>1且b<1 [B]0[C]00 [D]a>1且b≤0
4.函数f(x)=·3x的图象大致形状是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
5.已知函数y=a+b的图象过原点,且无限接近直线y=2但不与该直线相交,则(　　)
[A]a=-2,b=2 [B]a=2,b=2
[C]a=-1,b=2 [D]a=2,b=1
6.设函数f(x)=a-x-2(a>0,且a≠1)的图象经过第二、第三、第四象限,则不等式f(1-m)[A](-2,1)
[B](0,1)
[C](-2,1]
[D](-∞,-2)∪(1,+∞)
7.(5分)已知指数函数y=的图象如图所示,则二次函数y=2ax2+bx+c图象顶点的横坐标的取值范围为　　　　　.
8.(5分)若关于x的方程=k有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围为　　　　　.
9.(12分)求下列函数的定义域和值域:
(1)y=;
(2)y=.
10.(15分)已知函数f(x)=.
(1)当a=1时,求f(x)的值域;
(2)若f(x)的最大值为9,求a的值.
强化练
11.已知函数f(x)=若存在x1,x2,x3(x1[A](0,1] [B][0,1]
[C](-∞,1] [D](-∞,1)
12.(多选)已知函数f(x)=|5x-1|,若存在实数m>r>n,使得f(m)=f(n)>f(r),则下列关系式中成立的是(　　)
[A]5m+5n=2 [B]5m+5r>2
[C]5r+5n>2 [D]5r>2
13.(17分)已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1).
(1)若函数f(x)的图象如图(1)所示,求a,b的值;
(2)若函数f(x)的图象如图(2)所示,求a,b的取值范围;
(3)在(1)中,若|f(x)|=m有且仅有一个实数根,求m的取值范围.
拓展练
14.函数f(x)=2x+3-x的图象可能为(　　)
[A] [B]
[C] [D]4.2.2　指数函数的图象和性质
第1课时　指数函数的图象和性质(一)
课时作业
基础练
1.函数f(x)=ax-1+xa-1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(　　)
[A](0,-1) [B](0,1)
[C](1,0) [D](1,1)
【答案】 D
【解析】 令x-1=0,得x=1,所以f(1)=a0+1a-1=1,所以图象恒过定点(1,1).故选D.
2.已知两个指数函数y=ax,y=bx的部分图象如图所示,则(　　)
[A]0[C]a>b>1 [D]b>a>1
【答案】 D
【解析】 由题图可知函数y=ax,y=bx均单调递增,则a>1,b>1.当x=-1时,a-1=>b-1=,得aa>1.故选D.
3.若函数y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的图象不经过第二象限,则有(　　)
[A]a>1且b<1 [B]0[C]00 [D]a>1且b≤0
【答案】 D
【解析】 当00,且a≠1)的图象必经过第二象限,故排除选项B,C;
由题意得函数图象与y轴的交点不在x轴上方,
所以当x=0时,y=a0+b-1≤0,即b≤0.故选D.
4.函数f(x)=·3x的图象大致形状是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 当x>0时,f(x)=3x,其在(0,+∞)上单调递增,C,D错误;
当x<0时,f(x)=-3x,其在(-∞,0)上单调递减,B错误,A正确.故选A.
5.已知函数y=a+b的图象过原点,且无限接近直线y=2但不与该直线相交,则(　　)
[A]a=-2,b=2 [B]a=2,b=2
[C]a=-1,b=2 [D]a=2,b=1
【答案】 A
【解析】 由题意得0=a+b,即a+b=0.当x→+∞时,→0,故a+b→b,故b=2,解得a=-2.故选A.
6.设函数f(x)=a-x-2(a>0,且a≠1)的图象经过第二、第三、第四象限,则不等式f(1-m)[A](-2,1)
[B](0,1)
[C](-2,1]
[D](-∞,-2)∪(1,+∞)
【答案】 A
【解析】 函数f(x)=a-x-2=-2(a>0,且a≠1)的图象经过第二、第三、第四象限,则0<<1,解得a>1,
则函数f(x)在定义域R上是减函数,不等式f(1-m) m2-1,即m2+m-2<0,解得-27.(5分)已知指数函数y=的图象如图所示,则二次函数y=2ax2+bx+c图象顶点的横坐标的取值范围为　　　　　.
【答案】 (-,0)
【解析】 由指数函数y=的图象可知0<<1,所以二次函数y=2ax2+bx+c图象顶点的横坐标x0=-∈(-,0).
8.(5分)若关于x的方程=k有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围为　　　　　.
【答案】 (0,1)
【解析】 由题意知,函数y=的图象与直线y=k有两个不同的交点,又y==作出大致图象如图所示, 所以09.(12分)求下列函数的定义域和值域:
(1)y=;
(2)y=.
【解】 (1)函数的定义域为R;
因为x2+1≥1,所以0<≤1,所以30<≤31,即1<≤3,所以所求函数的值域为(1,3].
(2)由题意知1-≥0,所以≤1=,所以x+2≥0,即x≥-2,所以函数的定义域为[-2,+∞);
因为0<≤1,所以0≤1-<1,即0≤y<1,所以所求函数的值域为[0,1).
10.(15分)已知函数f(x)=.
(1)当a=1时,求f(x)的值域;
(2)若f(x)的最大值为9,求a的值.
【解】 (1)当a=1时,f(x)=,令t=x2+2x-3,由t=(x+1)2-4得t∈[-4,+∞),所以3t≥3-4=,所以f(x)的值域为[,+∞).
(2)令u=ax2+2x-3,y=3u,因为y=3u在定义域上为增函数,而f(x)的最大值为9,所以u=ax2+2x-3的最大值为2,所以所以a=-.
强化练
11.已知函数f(x)=若存在x1,x2,x3(x1[A](0,1] [B][0,1]
[C](-∞,1] [D](-∞,1)
【答案】 B
【解析】 作出f(x)的大致图象如图,其与直线y=a(0由图可知,x1,x2关于直线x=-1对称,x3>0,即x1+x2=-2,则x1+x2+x3>-2.由图象知,当x>-2时,f(x)∈[0,1],所以f(x1+x2+x3)∈[0,1].故选B.
12.(多选)已知函数f(x)=|5x-1|,若存在实数m>r>n,使得f(m)=f(n)>f(r),则下列关系式中成立的是(　　)
[A]5m+5n=2 [B]5m+5r>2
[C]5r+5n>2 [D]5r>2
【答案】 AB
【解析】 作出函数f(x)=|5x-1|的图象如图所示,
存在实数m>r>n,使得f(m)=f(n)>f(r),
由图可知,5m-1=1-5n,即5m+5n=2,A正确;因为函数y=5x在R上为增函数,则5m>5r>5n>0,所以5m+5r>5m+5n=2,B正确;5r+5n<5m+5n=2,C错误;5r<5m<5m+5n=2,D错误.故选AB.
13.(17分)已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1).
(1)若函数f(x)的图象如图(1)所示,求a,b的值;
(2)若函数f(x)的图象如图(2)所示,求a,b的取值范围;
(3)在(1)中,若|f(x)|=m有且仅有一个实数根,求m的取值范围.
【解】 (1)由题图(1)知函数f(x)的图象过点(2,0),(0,-2),所以又a>0,且a≠1,所以a=,b=-3.
(2)由题图(2)知函数f(x)在其定义域上为减函数,所以0故a的取值范围为(0,1),b的取值范围为(-∞,-1).
(3)由(1)知f(x)=()x-3,画出|f(x)|=|()x-3|的大致图象如图所示,
要使|f(x)|=m有且仅有一个实数根,则m=0或m≥3.故m的取值范围为{0}∪[3,+∞).
拓展练
14.函数f(x)=2x+3-x的图象可能为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 因为f(x)=2x+3-x,x∈R,所以f(0)=20+30=2,f(1)=2+>2=f(0),故排除D;
又f(-1)=2-1+3=>f(0),故排除C;
f()=+=+=,==<=4,所以<2,即f()故选A.