4.4.2 对数函数的图象和性质
第1课时 对数函数的图象和性质(一)
课时作业
基础练
1.若lg(2x-4)≤1,则x的取值范围是( )
[A](-∞,7] [B](2,7]
[C][7,+∞) [D](2,+∞)
【答案】 B
【解析】 由题意得0<2x-4≤10,即2
2.已知a=log30.3,b=log57,c=0.30.2,则( )
[A]a[C]c【答案】 B
【解析】 依题意得,a=log30.3log55=1,03.已知实数m>0且m≠1,函数y=logm(x+n)的大致图象如下,则m,n的取值范围可能为( )
[A]m>1,n>1
[B]m>1,0[C]01
[D]0【答案】 C
【解析】 由题图可知函数y=logm(x+n)是减函数,所以01.故选C.
4.函数f(x)=log2(2x)的大致图象为( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 令f(x)=0,解得x=.由题意,f(x)=log2(2x)=log2x+1,且x>0,所以f(x)的图象由函数y=log2x的图象向上平移一个单位长度即可.故选C.
5.(多选)在同一平面直角坐标系中,函数y=ax与y=loga(x-2)的图象可能是( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 BD
【解析】 对于函数y=loga(x-2),有x-2>0,可得x>2,故函数y=loga(x-2)的定义域为(2,+∞).
当a>1时,函数y=ax在R上单调递增,函数y=loga(x-2)在(2,+∞)上单调递增,B项符合题意;
当06.(多选)若函数f(x)=lox,则下列说法正确的是( )
[A]函数的定义域为R
[B]当00
[C]f(x)>1的解集为(-∞,)
[D]f(f())=0
【答案】 BD
【解析】 由题知,f(x)=lox,函数的定义域为(0,+∞),故A错误;f(x)=lox在(0,+∞)上单调递减,当0lo1=0,故B正确;f(x)>1,即lox>lo,解得07.(5分)函数y=ax-2+loga(x-1)+7(a>0,且a≠1)的图象过定点 .
【答案】 (2,8)
【解析】 令即x=2,此时y=a0+loga1+7=8,所以函数y=ax-2+loga(x-1)+7(a>0,且a≠1)的图象过定点(2,8).
8.(5分)已知f(x)=|lg x|,且>a>b>1,则f(a),f(b),f(c)的大小关系是 .(用“>”连接)
【答案】 f(c)>f(a)>f(b)
【解析】 先作出函数y=lg x的图象,再将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方,于是得到f(x)=|lg x|的图象(如图).由图象可知,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.由>a>b>1得f()>f(a)>f(b),又f()=|lg |=|-lg c|=|lg c|=f(c),所以f(c)>f(a)>f(b).
9.(12分)作出下列函数的大致图象:
(1)y=log2(x+1);
(2)y=log2(2-x);
(3)y=-log2(x-1);
(4)y=log2|x|.
【解】 (1)y=log2(x+1)的图象可由y=log2x的图象向左平移1个单位长度得到,如图(1).
图(1)
(2)y=log2(2-x)的图象可由y=log2x的图象先根据y轴对称,再向右平移2个单位长度得到,如图(2).
图(2)
(3)y=-log2(x-1)的图象可由y=log2x的图象先根据x轴对称,再向右平移1个单位长度得到,如图(3).
图(3)
(4)y=log2|x|的图象由组成,其中y=log2(-x)的图象可由y=log2x的图象根据y轴对称得到,如图(4).
图(4)
10.(15分)比较下列a,b,c的大小:
(1)已知1(2)已知a=log36,b=log510,c=log714.
【解】 (1)因为1所以c=log2(log2x)所以b=log2x2=2log2x>log2x>a,所以c<0(2)因为a=log36=log3(3×2)=1+log32,b=log510=log5(5×2)=1+log52,c=log714=log7(7×2)=1+log72,且00,所以>>,所以log32>log52>log72,所以1+log32>1+log52>1+log72,即a>b>c.
强化练
11.已知偶函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,a=f(0.50.4),b=f(log0.50.4),c=f(log40.5),则( )
[A]a>b>c [B]a>c>b
[C]b>c>a [D]b>a>c
【答案】 D
【解析】 因为函数f(x)是偶函数,所以a=f(0.50.4),b=f(log0.50.4),c=f(|log40.5|),
又由=0.51<0.50.4<0.50=1,|log40.5|=|lo2-1|=|-|=,log0.50.4>log0.50.5=1,所以|log40.5|<0.50.412.(5分)设a>0,且a≠1,若loga4>log2,则实数a的取值范围是 .
【答案】 (0,)∪(1,4)
【解析】 由loga4>log2,得>log2,得>log2a,所以>log2a.
当02(舍去),所以log2a<-2=log2,得0当a>1时,log2a>0,所以4>,所以0综上,实数a的取值范围是(0,)∪(1,4).
13.(16分)已知函数f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1-x),其中常数a>0,且 a≠1.
(1)若a=2,求不等式2f(x)>g(x)+1的解集;
(2)若0【解】 (1)当a=2时,f(x)=log2(1+x),g(x)=log2(1-x),易知即x∈(-1,1).
所以2f(x)=log2(1+x)2,g(x)+1=log2[2(1-x)],则不等式等价于log2(1+x)2>log2[2(1-x)],则(1+x)2>2(1-x),即x2+4x-1>0,解得x>-2或x<--2,结合定义域x∈(-1,1)知不等式的解集为(-2,1).
(2)易知当01>1-x>0.
若a>1,则loga(1+x)>0,loga(1-x)<0,
所以A=loga(1+x),B=-loga(1-x),则A-B=loga(1-x2)若00,
所以A=-loga(1+x),B=loga(1-x),则A-B=-loga(1-x2)=lo(1-x2)拓展练
14.已知当0[A](0,) [B](,1)
[C](1,) [D](,2)
【答案】 B
【解析】 当a>1时,在区间(0,]上,y=4x>0,y=logax<0,不符合题意;
当02=logaa2,则课时作业
基础练
1.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,且满足f(2)=1,则f(x)=( )
[A]log2x [B]
[C]log0.5x [D]2x
【答案】 A
【解析】 函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数为y=logax,即f(x)=logax(a>0,且a≠1),又f(2)=1,所以loga2=1,所以a=2,则f(x)=log2x.故选A.
2.若点(a,b)在函数y=lg x的图象上,且a≠1,则下列也在此图象上的点是 ( )
[A](,b) [B](10a,1-b)
[C](,b+1) [D](a2,2b)
【答案】 D
【解析】 因为点(a,b)在函数y=lg x的图象上,所以b=lg a.当x=时,有y=lg =-lg a=-b,所以点(,b)不在此函数的图象上,A不符合;
当x=10a 时,有y=lg (10a)=1+lg a=1+b,所以点(10a,1-b)不在此函数的图象上,B不符合;
当x=时,有y=lg =1-lg a=1-b,所以点(,b+1)不在此函数的图象上,C不符合;
当x=a2时,有y=lg a2=2lg a=2b,所以点(a2,2b)在此函数的图象上,D符合.故选D.
3.函数f(x)=的定义域为( )
[A](e,+∞) [B](1,e]
[C](-∞,1) [D](0,1)∪(1,e]
【答案】 D
【解析】 要使函数有意义,即满足解得所以函数f(x)=的定义域为(0,1)∪(1,e].故选D.
4.函数f(x)=lg |x|为 ( )
[A]奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减
[B]奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增
[C]偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增
[D]偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减
【答案】 D
【解析】 函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于坐标原点对称,且f(-x)=lg |-x|=lg |x|=f(x),所以f(x)是偶函数;当x>0时,f(x)=lg x在区间(0,+∞)上单调递增,又f(x)为偶函数,所以f(x)=lg |x|在区间(-∞,0)上单调递减.故选D.
5.函数f(x)=的图象大致为( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 D
【解析】 要使函数f(x)有意义,即x2+1≠1,所以x≠0,故f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
因为f(-x)==-f(x),所以f(x)为奇函数,排除选项B,C;当x>0时,-x<0,ln(x2+1)>ln 1=0,所以f(x)<0,所以排除选项A.故选D.
6.已知a=log72,b=log0.70.2,c=0.70.2,则a,b,c的大小关系为( )
[A]b[C]c【答案】 B
【解析】 因为0<0.7<1,所以b=log0.70.2>log0.70.7=1,c=0.70.2<0.70=1,即0因为7>1,所以0=log71所以=<0.70.2=c,即a7.(5分)函数f(x)=log2(-x2-4x+12)的值域是 .
【答案】 (-∞,4]
【解析】 由题意得-x2-4x+12>0,解得-68.(5分)已知函数f(x)=lg (x≠-2)是定义在(-b,b)上的奇函数,则ab的取值范围为 .
【答案】 (1,4]
【解析】 函数f(x)=lg(x≠-2)是定义在(-b,b)上的奇函数,则有f(0)=lg=0,解得a=2,此时f(-x)=lg==-lg=-f(x),满足在(-b,b)上为奇函数,即f(x)=lg.要使f(x)有意义,则>0,解得-29.(13分)已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1).
(1)若f(x)在区间[4,16]上的最大值与最小值之差为2,求实数a的值;
(2)若函数g(x)=log2(x2-2x+a)的值域为[1,+∞),求使得f(1-t)≤1的实数t的取值范围.
【解】 (1)当a>1时,函数f(x)在[4,16]上单调递增,则loga16-loga4=loga4=2,所以a=2;
当0(2)因为函数g(x)=log2(x2-2x+a)的值域为[1,+∞),所以x2-2x+a=(x-1)2+a-1∈[2,+∞),即有a-1=2,解得a=3.因为f(1-t)≤1,所以log3(1-t)≤1=log33,即有0<1-t≤3,所以-2≤t<1,则实数t的取值范围为[-2,1).
10.(15分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=lo(-x+1).
(1)判断函数f(x)在(-∞,0]上的单调性并利用定义证明;
(2)求函数f(x)的解析式;
(3)若f(a-1)<-1,求实数a的取值范围.
【解】 (1)函数f(x)在(-∞,0]上单调递增,证明如下:
x1,x2∈(-∞,0],且x1则f(x1)-f(x2)=lo(-x1+1)-lo(-x2+1)=lo,因为x1-x2+1>0,那么>1,又对数函数y=lou在(0,+∞)上单调递减,当u=>1时,lo<0,即f(x1)-f(x2)<0,所以f(x1)(2)设x>0,则-x<0,因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x)=lo(x+1),所以f(x)=
(3)当x>0时,令f(x)=lo(x+1)=-1,则x+1==2,解得x=1,所以f(1)=-1,因为f(x)在(-∞,0]上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,且f(x)是偶函数,所以f(a-1)<-1等价于f(|a-1|)1,即a-1>1或a-1<-1,解得a>2或a<0.所以实数a的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞).
强化练
11.(多选)已知函数f(x)=log2(ex+e-x),g(x)是定义域为R的奇函数,则( )
[A]f(x)的定义域为R
[B]f(x)的值域为[1,+∞)
[C]y=f(x)g(x)是偶函数
[D]y=f(x)|g(x)|是偶函数
【答案】 ABD
【解析】 因为ex+e-x≥2=2(当且仅当ex=e-x,即x=0时,等号成立),所以f(x)的定义域为R,故A正确;f(x)=log2(ex+e-x)≥log22=1,即f(x)的值域为[1,+∞),故B正确;因为f(x)的定义域为R,且f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数.又y=f(x)g(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),则y=f(x)g(x)是奇函数,故C错误;因为y=f(x)|g(x)|的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)|g(-x)|=f(x)|-g(x)|=f(x)|g(x)|,则y=f(x)|g(x)|是偶函数,故D正确.故选ABD.
12.若关于x的函数f(x)=lg[loga(x2+ax+2)]的定义域为R,则实数a的取值范围为( )
[A](0,1)∪(1,2)
[B](0,1)∪(1,2)
[C](1,2)
[D](1,2)
【答案】 C
【解析】 由题意,a>0,a≠1,
对任意x∈R,x2+ax+2>0,①
且loga(x2+ax+2)>0,②
对于①,Δ1=a2-8<0,结合a>0,a≠1,得a∈(0,1)∪(1,2).若a∈(0,1),由②知对任意x∈R,x2+ax+2∈(0,1),当x=0时,x2+ax+2=2,矛盾;若a∈(1,2),由②知对任意x∈R,x2+ax+2>1,即x2+ax+1>0,则Δ2=a2-4<0,得a∈(1,2).
综上,当a∈(1,2)时,对任意x∈R,①②同时成立.故选C.
13.(15分)已知函数f(x)=log9(9x+1)+kx是偶函数.
(1)求k的值;
(2)求函数f(x)的最小值;
(3)若方程f(x)=x+b有实数根,求b的取值范围.
【解】 (1)函数f(x)=log9(9x+1)+kx的定义域为R,由函数f(x)为偶函数,得f(-x)=f(x),
即log9(9-x+1)-kx=log9(9x+1)+kx,则log9()-kx=log9(9x+1)+kx,所以log99-x=2kx,解得k=-,所以f(x)=log9(9x+1)-x.
(2)由(1)知,f(x)=log9(9x+1)-log9=log9(9x+1)-log93x=log9(3x+3-x),令函数h(x)=3x+3-x,x≥0,设任意x1,x2∈[0,+∞),x10,即h(x1)(3)依题意,方程f(x)=x+b,即log9(9x+1)-x=b有实数根.令g(x)=log9(9x+1)-x,则函数g(x)=log9(9x+1)-x的图象与直线y=b有交点,而g(x)=log9=log9(1+9-x),又1+9-x>1恒成立,则g(x)>0恒成立,所以b>0,即b的取值范围为(0,+∞).
拓展练
14.(多选) 已知函数f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x-2,且f(a)=g(b)=0,则下列结论错误的是( )
[A]a>b [B]g(a)<0[C]a+b=2 [D]g(a)>0>f(b)
【答案】 AD
【解析】 因为y=ex,y=ln x,y=x-2在其定义域上都单调递增,所以f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x-2在其定义域上都单调递增.因为f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,且f(a)=0,所以00,且g(b)=0,所以1因为a令f(x)=ex+x-2=0,g(x)=ln x+x-2=0,则ex=2-x,ln x=2-x,由于函数y=ex,y=ln x的图象都和直线y=2-x相交(如图所示),
且函数y=ex和函数y=ln x的图象关于直线y=x对称,直线y=2-x和直线y=x的交点为(1,1),所以=1,即a+b=2,即选项C正确.故选AD.第2课时 对数函数的图象和性质(二)
课时作业
基础练
1.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,且满足f(2)=1,则f(x)=( )
[A]log2x [B]
[C]log0.5x [D]2x
2.若点(a,b)在函数y=lg x的图象上,且a≠1,则下列也在此图象上的点是 ( )
[A](,b) [B](10a,1-b)
[C](,b+1) [D](a2,2b)
3.函数f(x)=的定义域为( )
[A](e,+∞) [B](1,e]
[C](-∞,1) [D](0,1)∪(1,e]
4.函数f(x)=lg |x|为 ( )
[A]奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减
[B]奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增
[C]偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增
[D]偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减
5.函数f(x)=的图象大致为( )
[A] [B]
[C] [D]
6.已知a=log72,b=log0.70.2,c=0.70.2,则a,b,c的大小关系为( )
[A]b[C]c7.(5分)函数f(x)=log2(-x2-4x+12)的值域是 .
8.(5分)已知函数f(x)=lg (x≠-2)是定义在(-b,b)上的奇函数,则ab的取值范围为 .
9.(13分)已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1).
(1)若f(x)在区间[4,16]上的最大值与最小值之差为2,求实数a的值;
(2)若函数g(x)=log2(x2-2x+a)的值域为[1,+∞),求使得f(1-t)≤1的实数t的取值范围.
10.(15分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=lo(-x+1).
(1)判断函数f(x)在(-∞,0]上的单调性并利用定义证明;
(2)求函数f(x)的解析式;
(3)若f(a-1)<-1,求实数a的取值范围.
强化练
11.(多选)已知函数f(x)=log2(ex+e-x),g(x)是定义域为R的奇函数,则( )
[A]f(x)的定义域为R
[B]f(x)的值域为[1,+∞)
[C]y=f(x)g(x)是偶函数
[D]y=f(x)|g(x)|是偶函数
12.若关于x的函数f(x)=lg[loga(x2+ax+2)]的定义域为R,则实数a的取值范围为( )
[A](0,1)∪(1,2)
[B](0,1)∪(1,2)
[C](1,2)
[D](1,2)
13.(15分)已知函数f(x)=log9(9x+1)+kx是偶函数.
(1)求k的值;
(2)求函数f(x)的最小值;
(3)若方程f(x)=x+b有实数根,求b的取值范围.
拓展练
14.(多选) 已知函数f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x-2,且f(a)=g(b)=0,则下列结论错误的是( )
[A]a>b [B]g(a)<0[C]a+b=2 [D]g(a)>0>f(b)4.4.2 对数函数的图象和性质
第1课时 对数函数的图象和性质(一)
课时作业
基础练
1.若lg(2x-4)≤1,则x的取值范围是( )
[A](-∞,7] [B](2,7]
[C][7,+∞) [D](2,+∞)
2.已知a=log30.3,b=log57,c=0.30.2,则( )
[A]a[C]c3.已知实数m>0且m≠1,函数y=logm(x+n)的大致图象如下,则m,n的取值范围可能为( )
[A]m>1,n>1
[B]m>1,0[C]01
[D]04.函数f(x)=log2(2x)的大致图象为( )
[A] [B]
[C] [D]
5.(多选)在同一平面直角坐标系中,函数y=ax与y=loga(x-2)的图象可能是( )
[A] [B]
[C] [D]
6.(多选)若函数f(x)=lox,则下列说法正确的是( )
[A]函数的定义域为R
[B]当00
[C]f(x)>1的解集为(-∞,)
[D]f(f())=0
7.(5分)函数y=ax-2+loga(x-1)+7(a>0,且a≠1)的图象过定点 .
8.(5分)已知f(x)=|lg x|,且>a>b>1,则f(a),f(b),f(c)的大小关系是 .(用“>”连接)
9.(12分)作出下列函数的大致图象:
(1)y=log2(x+1);
(2)y=log2(2-x);
(3)y=-log2(x-1);
(4)y=log2|x|.
10.(15分)比较下列a,b,c的大小:
(1)已知1(2)已知a=log36,b=log510,c=log714.
强化练
11.已知偶函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,a=f(0.50.4),b=f(log0.50.4),c=f(log40.5),则( )
[A]a>b>c [B]a>c>b
[C]b>c>a [D]b>a>c
12.(5分)设a>0,且a≠1,若loga4>log2,则实数a的取值范围是 .
13.(16分)已知函数f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1-x),其中常数a>0,且 a≠1.
(1)若a=2,求不等式2f(x)>g(x)+1的解集;
(2)若0拓展练
14.已知当0[A](0,) [B](,1)
[C](1,) [D](,2)