5.1.1 任意角
课时作业
基础练
1.某同学从家步行到学校,一般需要10 min,则钟表的分针10 min走过的角度是( )
[A]30° [B]-30°
[C]60° [D]-60°
2.已知角α和角β,则下列说法正确的是( )
[A]若角α是第一象限角,则角α是锐角
[B]若角α和角β的终边相同,则α=β
[C]若角α和角β分别是角0°的终边绕端点O按顺、逆时针方向旋转相同度数形成的角,则α+β=0
[D]若角β的终边在第二象限,则角β是钝角
3.下列选项中两个角终边相同的一组为( )
[A]35°和575° [B]-72°和198°
[C]147°和957° [D]-234°和-954°
4.若α是第四象限角,则180°-α是( )
[A]第一象限角 [B]第二象限角
[C]第三象限角 [D]第四象限角
5.设集合A={x|x=k·180°+(-1)k·90°,k∈Z},B={x|x=k·360°+90°,k∈Z},则集合A,B的关系是( )
[A]A B [B]A B
[C]A=B [D]A∩B=
6.如图,终边在阴影部分(含边界)的角的集合是( )
[A]{α|-60°≤α≤135°}
[B]{α|135°≤α≤300°}
[C]{α|-60°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}
[D]{α|135°+k·360°≤α≤300°+k·360°,k∈Z}
7.(5分)若角α与角β终边互为反向延长线,且α=-120°,则与角β的终边相同的角γ的集合为 .
8.(5分)已知角α,β都是锐角,且角α+β的终边与-280°角的终边相同,角α-β的终边与670°角的终边相同,则α= ,β= .
9.(14分)已知α=-2 026°.
(1)把α写成β+k·360°,k∈Z,0°≤β<360°的形式,并指出它是第几象限角;
(2)求θ,使θ与α的终边相同,且-720°≤θ<0°.
10.(15分)(1)如图,阴影部分表示角α的终边所在的位置,试写出角α的集合.
(2)在平面直角坐标系中画出表示集合{α|k·180°-90°≤α≤k·180°+45°,k∈Z}的范围.
强化练
11.角α与角β的终边关于y轴对称,则α与β的关系为( )
[A]α+β=k·360°,k∈Z
[B]α+β=180°+k·360°,k∈Z
[C]α-β=180°+k·360°,k∈Z
[D]α-β=k·360°,k∈Z
12.(多选)如图,若角α的终边落在阴影部分,则角的终边可能在( )
[A]第一象限 [B]第二象限
[C]第三象限 [D]第四象限
13.(15分)已知角β的终边在直线y=x上.
(1)写出角β的集合S;
(2)写出集合S中适合不等式-360°<β<720°的元素.
拓展练
14.(5分)如图所示,半径为1的圆的圆心位于坐标原点,点P从点A(1,0)出发,以逆时针方向等速沿单位圆周旋转,已知P点在1 s内转过的角度为θ(0°<θ<180°),经过2 s达到第三象限,经过14 s 后又回到了出发点A处,则θ= . 5.1.1 任意角
课时作业
基础练
1.某同学从家步行到学校,一般需要10 min,则钟表的分针10 min走过的角度是( )
[A]30° [B]-30°
[C]60° [D]-60°
【答案】 D
【解析】 因为分针为顺时针旋转,所以10 min时间钟表的分针走过的角度是-=-60°.
故选D.
2.已知角α和角β,则下列说法正确的是( )
[A]若角α是第一象限角,则角α是锐角
[B]若角α和角β的终边相同,则α=β
[C]若角α和角β分别是角0°的终边绕端点O按顺、逆时针方向旋转相同度数形成的角,则α+β=0
[D]若角β的终边在第二象限,则角β是钝角
【答案】 C
【解析】 角α=360°+20°=380°,是第一象限角,但不是锐角,A错误;角α=90°,角β=360°+90°=
450°,则角α和β的终边相同,但α≠β,B错误;0°的终边绕端点O按顺、逆时针方向旋转相同度数形成的两个角互为相反角,C正确;角β=120°+360°的终边在第二象限,但角β不是钝角,D错误.故选C.
3.下列选项中两个角终边相同的一组为( )
[A]35°和575° [B]-72°和198°
[C]147°和957° [D]-234°和-954°
【答案】 D
【解析】 由575°-35°=540°≠k·360°(k∈Z),A错误;198°+72°=270°≠k·360°(k∈Z),B错误;
957°-147°=810°≠k·360°(k∈Z),C错误;由于-234°-(-954°)=954°-234°=720°=360°×2,所以-234°和-954°终边相同,D正确.故选D.
4.若α是第四象限角,则180°-α是( )
[A]第一象限角 [B]第二象限角
[C]第三象限角 [D]第四象限角
【答案】 C
【解析】 法一 可以给α赋一特殊值-60°,则180°-α=240°,故180°-α是第三象限角.故选C.
法二 因为α是第四象限角,所以-90°+k·360°<α270°+k·360°,k∈Z,所以180°-α是第三象限角.故选C.
5.设集合A={x|x=k·180°+(-1)k·90°,k∈Z},B={x|x=k·360°+90°,k∈Z},则集合A,B的关系是( )
[A]A B [B]A B
[C]A=B [D]A∩B=
【答案】 C
【解析】 当k=2n+1,n∈Z时,x=(2n+1)·180°-90°=n·360°+90°,当k=2n,n∈Z时,x=
2n·180°+90°=n·360°+90°,故A={x|x=n·360°+90°,n∈Z},显然集合A,B都表示终边在y轴非负半轴上的所有角,所以A=B.故选C.
6.如图,终边在阴影部分(含边界)的角的集合是( )
[A]{α|-60°≤α≤135°}
[B]{α|135°≤α≤300°}
[C]{α|-60°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}
[D]{α|135°+k·360°≤α≤300°+k·360°,k∈Z}
【答案】 C
【解析】 在-180°～180°间阴影部分区域中两条边界所在的终边表示的角分别为-60°和135°,所以阴影部分的区域在-180°～180°间的范围是-60°≤α≤135°,所以终边在阴影部分区域的角的集合为{α|-60°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}.故选C.
7.(5分)若角α与角β终边互为反向延长线,且α=-120°,则与角β的终边相同的角γ的集合为 .
【答案】 {γ|γ=60°+k·360°,k∈Z}
【解析】 因为在0°～360°范围内与α=-120°的终边互为反向延长线的角是60°,所以与角β的终边相同的角γ的集合为{γ|γ=60°+k·360°,k∈Z}.
8.(5分)已知角α,β都是锐角,且角α+β的终边与-280°角的终边相同,角α-β的终边与670°角的终边相同,则α= ,β= .
【答案】 15° 65°
【解析】 因为角α,β都是锐角,所以0°<α<90°,0°<β<90°,则0°<α+β<180°,-90°<α-β<90°,由题意可知,α+β=-280°+k1·360°,k1∈Z,α-β=670°+k2·360°,k2∈Z,则α+β=80°,α-β=-50°,解得α=15°,
β=65°.
9.(14分)已知α=-2 026°.
(1)把α写成β+k·360°,k∈Z,0°≤β<360°的形式,并指出它是第几象限角;
(2)求θ,使θ与α的终边相同,且-720°≤θ<0°.
【解】 (1)-2 026°=134°-6×360°,即α=134°-6×360°,它是第二象限角.
(2)由(1)及题意,令θ=134°+k·360°,k∈Z,当k=-1时,θ=-226°;当k=-2时,θ=-586°.
综上,θ=-226°或θ=-586°.
10.(15分)(1)如图,阴影部分表示角α的终边所在的位置,试写出角α的集合.
(2)在平面直角坐标系中画出表示集合{α|k·180°-90°≤α≤k·180°+45°,k∈Z}的范围.
【解】 (1)①{α|-30°+k·360°≤α≤k·360°,k∈Z}∪{α|150°+k·360°≤α≤180°+k·360°,k∈Z}=
{α|-30°+k·180°≤α≤k·180°,k∈Z}.
②{α|-30°+k·360°<α<60°+k·360°,k∈Z}.
(2)因为{α|k·180°-90°≤α≤k·180°+45°,k∈Z}={α|k·360°-90°≤α≤k·360°+45°,k∈Z}∪{α|k·360°+
90°≤α≤k·360°+225°,k∈Z},所以集合{α|k·180°-90°≤α≤k·180°+45°,k∈Z}表示的范围如下图
所示:
强化练
11.角α与角β的终边关于y轴对称,则α与β的关系为( )
[A]α+β=k·360°,k∈Z
[B]α+β=180°+k·360°,k∈Z
[C]α-β=180°+k·360°,k∈Z
[D]α-β=k·360°,k∈Z
【答案】 B
【解析】 因为角α与角β的终边关于y轴对称,所以β=180°-α+k·360°,k∈Z,即α+β=
180°+k·360°,k∈Z.故选B.
12.(多选)如图,若角α的终边落在阴影部分,则角的终边可能在( )
[A]第一象限 [B]第二象限
[C]第三象限 [D]第四象限
【答案】 AC
【解析】 依题意,得k·360°+40°≤α≤k·360°+140°,k∈Z,所以k·180°+20°≤≤k·180°+70°,k∈Z.当k为偶数时,的终边在第一象限;当k为奇数时,的终边在第三象限.故选AC.
13.(15分)已知角β的终边在直线y=x上.
(1)写出角β的集合S;
(2)写出集合S中适合不等式-360°<β<720°的元素.
【解】 (1)因为角β的终边在直线x-y=0上,
且直线x-y=0与x轴正半轴的夹角为60°,
所以角β的集合S={β|β=60°+k·180°,k∈Z}.
(2)在S={β|β=60°+k·180°,k∈Z}中,取k=-2,得β=-300°,取k=-1,得β=-120°,取k=0,得β=60°,取k=1,得β=240°,取k=2,得β=420°,取k=3,得β=600°,所以S中适合不等式-360°<β<720°的元素分别是-300°,-120°,60°,240°,420°,600°.
拓展练
14.(5分)如图所示,半径为1的圆的圆心位于坐标原点,点P从点A(1,0)出发,以逆时针方向等速沿单位圆周旋转,已知P点在1 s内转过的角度为θ(0°<θ<180°),经过2 s达到第三象限,经过14 s 后又回到了出发点A处,则θ= .
【答案】 或
【解析】 因为0°<θ<180°,且k·360°+180°<2θ又因为14θ=n·360°(n∈Z),所以θ=,从而90°<<135°,所以当n=4时,θ=;当n=5时,θ=.
所以θ=或.
